hrw30

30
MagnetickÈ pole elektrickÈho proudu
Takto, pomocÌ raket a raketopl·n˘, vysÌl·me v souËasnÈ dobÏ kosmonauty
a dopravujeme materi·l do kosmickÈho prostoru. Je to cesta velmi n·roËn· na
kvalitu konstrukËnÌch materi·l˘ a paliva. Aûvöak budeme dolovat suroviny
nap¯Ìklad na MÏsÌci nebo asteroidech, budeme pot¯ebovat mÈnÏ n·roËn˝
zp˘sob dopravy. JednÌm z takov˝ch ¯eöenÌ mohou b˝t elektromagnetickÈ
katapulty. ElektromagnetickÈ dÏlo je v souËasnÈ dobÏ schopnÈ urychlit
st¯elu z klidu na rychlost 10km/s bÏhem jednÈ milisekundy. Jak lze
dos·hnout tak obrovskÈho zrychlenÌ
?
774 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU
30.1 MAGNETICKÉ POLE
ELEKTRICKÉHO PROUDU
V čl.29.1 jsme si vysvětlili, že magnetické pole můžeme
vytvořit elektrickým proudem, tedy pohybujícím se nábo-
jem. Po pečlivém prostudování celé následující kapitoly
bychom měli umět vypočítat magnetické pole vytvořené
danou konfigurací elektrických proudů. Budeme postupo-
vatstejnějakovkap.23,kdejsmeurčovalielektricképole
vytvořenédanýmrozloženímnábojů.
Zopakujme si stručně základní postup. Nejprve jsme
myšleně rozdělili celý náboj (spojitě rozložený) na infi-
nitezimální elementy náboje dQ (obr.30.1a). Potom jsme
vypočítali infinitezimální intenzitu dE elektrického pole,
kterou vytvoří v daném bodě P náboj dQ. Protože pro
elektricképoleplatíprincipsuperpozice,určilijsmeinten-
zituvbodě P integracípříspěvkůdE odvšechelementů.
(a)
r
P
dE
dQ
spojitěrozloženýnáboj
(b)
I
Ids
r
P
ds
θ
dB
od nás
spojitě
rozloženýproud
Obr.30.1 (a)ElementnábojedQvytváříelektricképoleointen-
zitědEvbodě P.(b)ProudovýelementI dsvytvářímagnetické
pole o indukci dB vbodě P. Zelený křížek vyjadřuje směr dB
(kolmo k rovině obrázku, směremod nás).
Připomeňme, že velikost vektoru dE vyjádříme vzta-
hem
dE =
1
4D4ε
0
dQ
r
2
, (30.1)
kde r je vzdálenost bodu P od elementu náboje dQ.Pro
kladný element náboje dQ je směr vektoru dE stejný jako
směrvektorur,cožjevektor,kterýmápočátekvelementu
náboje dQ a konec vbodě P (je to tedy průvodič bodu P
vůčidQ).Rov.(30.1)pakmůžemepřepsatdovektorového
tvaru:
dE =
1
4D4ε
0
dQ
r
3
r. (30.2)
Všimnětesi,žerov.(30.2)jezákon„převrácenéhočtverce“
(výrazdE závisínapřevrácenéhodnotěr
2
navzdoryexpo-
nentu 3 ve jmenovateli; ten je tam jenom proto, že jsme
jednotkový vektor r
0
zapsalivýrazem r/r).
Analogicky budeme postupovat při výpočtu magne-
tického pole elektrického proudu. Na obr.30.1b je tenký
vodič obecného tvaru, kterým protéká elektrický proud I.
Naším úkolem je vypočítat magnetickou indukci B vlibo-
volnězvolenémboděP.Nejdřívemyšleněrozdělímevodič
nainfinitezimálnídélkovéelementyds,jejichždélkajeds
akterémajísměrtečnykvodičiajsouorientoványvesměru
proudu.Jevhodnézavéstpojeminfinitezimálního proudo-
vého délkového elementu, daného výrazem I ds (dále pro
stručnostpouze proudový element),určitindukci magne-
tickéhopoledBvytvořenouvboděP takovýmelementem.
Pro magnetickou indukci platí princip superpozice stejně
jako pro elektrickou intenzitu, tj. výsledné pole je rovno
součtu polí dílčích. Výsledné pole o indukci B vbodě P
vypočteme tedy integrací příspěvků dB od všech proudo-
výchelementů.Rozdíloprotielektrickémupolijevtom,že
zatímco elementelektrického náboje dQ, vytvářející elek-
tricképole,jeskalárnípovahy,máproudovýelementI ds,
vytvářejícímagneticképole,povahuvektorovou.
Východiskem dalšího výkladu bude vzorec pro veli-
kostmagnetickéindukcedB,vytvořenévlibovolněvybra-
némboděP proudovým elementemI ds:
dB =
µ
0
4D4
I dssinθ
r
2
. (30.3)
Zde µ
0
je konstanta* nazývaná permeabilita vakua neboli
magnetická konstanta,jejížhodnotu definujemepřesně:
µ
0
= 4D4·10
−7
T·m·A
−1
.
=
.
= 1,26·10
−6
T·m·A
−1
. (30.4)
Vektor dB má směr daný vektorovým součinem ds×
× r (obr.30.1b), kde r je polohový vektor směřující od
proudovéhoelementuk boduP.Rov.(30.3)tedymůžeme
zapsatvevektorovémtvaru:
dB =
µ
0
4D4
I ds×r
r
3
(Biotův-Savartův zákon). (30.5)
Tato vektorová rovnice, stejně jako její skalární tvar
rov.(30.3), se nazýváBiotův-Savartův zákon (někdy též
Biotův-Savartův-Laplaceův).Jetozákon,kterýtaképatří
mezi zákony „převráceného čtverce“, v nichž veličina po-
pisujícípoleklesásečtvercemvzdálenostiodsvéhozdroje
(vtomtopřípaděproudovéhoelementu I ds).
VnašemvýkladubudeBiotův-Savartůvzákonvýcho-
zím zákonem při studiu magnetického pole, obdobně jako
byl Coulombůvzákon výchozím zákonem pro elektrosta-
ticképole.
* Souvislostµ
0
sε
0
a rychlostísvětlac je uvedenavčl.34.2.
30.1 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU 775
(Magneticképolejevytvářenoelektrickýmproudem;vodič
pouze vymezuje, kudy má proud téci. Často však píšeme jen
„pole přímého vodiče“, resp. „pole kruhového oblouku“ a ne-
prodlužujeme zbytečně text zdůrazňováním samozřejmosti, že
jde o vodič daného tvaru, kterým protéká proud, tj. že je to
„pole elektrického proudu, protékajícího vodičem majícím tvar
přímky, resp. kruhového oblouku“.)
Magnetické pole dlouhého přímého vodiče
Vyjdeme z Biotova-Savartova zákona a dokážeme, že ve-
likost magnetické indukce ve vzdálenostiR od nekonečně
dlouhého přímého tenkého vodiče, kterým protéká elek-
trickýproudI,jevyjádřenavztahem
B =
µ
0
I
2D4R
(dlouhý přímý vodič). (30.6)
(Zdůrazněme, že vtomto vztahu je R (kolmá) vzdálenost
bodu,vekterémmábýturčenoB,odvodiče.Naprotitomu
vrov.(30.3)a(30.5)—kteréjsouzákladní—je r vzdále-
nosttohotobodu odproudového elementu.)
Velikost magnetické indukce B vrov.(30.6) závisí
pouzenavelikostiprouduavzdálenostiuvažovanéhobodu
od vodiče. V našem odvození ukážeme, že indukční čáry
vektorumagnetickéindukceBmajítvarsoustřednýchkruž-
nic kolem vodiče, jak je ukázáno na obr.30.2 a jak lze de-
monstrovatpomocíželeznýchpilin(obr.30.3).Vzdálenost
mezi magnetickými indukčními čarami na obr.30.2 s ros-
toucí vzdáleností od vodiče roste tak, jak klesá velikost B
vzávislostina R,tj.jako1/R.
vodičprotékanýproudem
vesměru odnás
Obr.30.2 Magnetické indukční čáry pole vytvořeného prou-
dem, protékajícím dlouhým přímým vodičem, jsou soustředné
kružnicesestředyvevodiči(naobrázkujsoutytočáryzobrazeny
v rovinném řezu, kolmém k vodiči). Proud ve vodiči je kolmý
na rovinu obrázkua má směrod nás, jak ukazuje křížek.
Pro určení směru magnetického pole délkového ele-
mentu dlouhého přímého vodiče používáme pravidlo
pravé ruky:
Obr.30.3 Železnépiliny,kterýmibylposypántuhýpapírkolmý
na přímý dlouhý vodič protékaný proudem. Piliny se uspořá-
daly do tvaru soustředných kružnic kolem vodiče. Uspořádání
je v souladu se směrem magnetické indukce pole vytvořeného
elektrickým proudem ve vodiči.
Položtepalecpravérukyvesměruproudovéhoelemen-
tu;zahnutéprstyukazujísměrmagnetickýchindukčních
čar.
Použití tohoto pravidla pro dlouhý přímý vodič pro-
tékaný proudem (obr.30.2) vidíme na obr.30.4a v bočním
pohledu. Chceme-li určit směr indukce B vurčitém bodě,
obejmemepravourukouvodičtak,abypalecbylvesměru
proudu. Směr ohnutých prstů potom udává směr magne-
tickéindukce B vtomtobodě.
(a)
B
I
(b)
B
I
Obr.30.4 Pravidlo pravé ruky určuje směr pole buzeného vo-
dičem. (a) Situace z obr.30.2 vbočním pohledu. Magnetická
indukce B v každém bodě vlevo od vodiče je kolmá k rovině
papíru a má směr prstů pravé ruky. Směřuje tedy od nás, jak
je znázorněnokřížkem.(b) Jestliže je směr elektrickéhoproudu
opačný, potom indukce B je v každém bodě vlevo od vodiče
kolmá kobrázku a směřuje k nám,jakje znázorněno tečkou.
Odvození vztahu (30.6)
Obr.30.5 je obdobou obr.30.1b s tím rozdílem, že se nyní
jedná o přímý dlouhý vodič. Ilustruje to, co chceme vy-
řešit: hledáme magnetickou indukci B vbodě P ležícím
776 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU
ve vzdálenostiR od vodiče. Velikost magnetické indukce,
kterou vytvoří v bodě P proudový element I ds,jedána
rov.(30.3):
dB =
µ
0
4D4
I dssinθ
r
2
.
Směr magnetické indukce dB na obr.30.5 je určen vekto-
rovýmsoučinemds×r,tj.dB jekolménarovinuobrázku
amásměrodnás.
Všimněte si, že všechny proudové elementy, na které
vodič rozdělujeme, vytvářejí v bodě P příspěvky dB ve
stejnémsměru.
VelikostmagnetickéindukcevytvořenévboděP prou-
dovýmielementyzhornípolovinyvodičezískámeintegrací
příspěvkůdB (rov.(30.3))v mezíchodnulydonekonečna.
Podlerov.(30.5)mámagnetickáindukce,kterouv boděP
vytvářísymetrickyumístěnýproudovýelementzdolnípo-
loviny, tutéž velikost a směr. Magnetická indukce, vytvo-
řená v tomtéž bodě každou z polovin vodiče protékaného
proudem,jetedystejná.VelikostindukceB magnetického
pole nekonečnědlouhého příméhotenkéhovodičejetedy
B = 2
integraldisplay
∞
0
dB =
µ
0
I
2D4
integraldisplay
∞
0
sinθ ds
r
2
. (30.7)
(B lzesamozřejměvyjádřittakéintegrálemB =
integraltext
∞
−∞
dB.)
Proměnné θ, s a r v této rovnici jsou mezi sebou vázány
vztahy,kteréjsouzřejmézobr.30.5:
r =
radicalbig
s
2
+R
2
,
sinθ = sin(D4−θ)=
R
√
s
2
+R
2
.
Tytovztahydosadímedorov.(30.7)aintegrací(dodatekE)
dostaneme
B =
µ
0
I
2D4
integraldisplay
∞
0
Rds
(s
2
+R
2
)
3/2
=
=
µ
0
I
2D4R
bracketleftbigg
s
(s
2
+R
2
)
1/2
bracketrightbigg
∞
0
=
µ
0
I
2D4R
, (30.8)
což jsme chtěli odvodit. Dodejme, že magnetická indukce
vbodě P, vytvořená budquoteright horní, nebo dolní polovinou ne-
konečně dlouhého přímého vodiče protékaného proudem
(obr.30.5),je rovnapolovinětétohodnoty, tj.
B =
µ
0
I
4D4R
(polopřímkový vodič s proudem). (30.9)
Magnetické pole kruhového oblouku
Chceme-li určit magnetické pole vytvořené proudem pro-
tékajícímzakřivenýmvodičem,vyjdemeopětzrov.(30.3).
Obr.30.5 Výpočet magnetického
pole proudu I, který protéká
dlouhým přímým vodičem
o zanedbatelném průřezu. Mag-
netická indukce dB vlibovolném
bodě P je funkcí proudového ele-
mentu I ds, je kolmá k obrázku
amásměrodnás.
I
s
ds
θ
r
R
P
dB
Vyjádříme nejprve příspěvek magnetické indukce vytvo-
řenýproudovýmelementemaintegracízískámevýslednou
magnetickou indukci vytvořenou všemi elementy celého
vodiče.Vzávislostinatvaruvodičemůžebýttatointegrace
značně obtížná; je však snadná, má-li vodič například tvar
části kruhového oblouku a zajímá-li nás magnetická in-
dukcepolevjehostředu S.
(a)
R
I
S
ϕ
0
(b)
r
ds
S
(c)
B
S
I
Obr.30.6 (a) Vodičem ve tvaru kruhového oblouku se středem
SprotékáproudI.(b)Prokaždýdélkovýelementvodičejeúhel
mezi směrem elementu ds avektoremr roven 90
◦
. (c) Určení
směru magnetické indukce ve středu S. Pole směřuje kolmo
k rovině obrázku ve směru ohnutých prstů pravé ruky, jak je
znázorněnobarevnou tečkou vboděS.
Naobr.30.6ajeznázorněnvodič,kterýmprotékáelek-
trický proud I a který má tvar části kruhového oblouku se
středovýmúhlemϕ
0
,poloměremR astředemS.VboděS
vytváříkaždýproudovýelementI dsmagnetickouindukci
o velikosti dB danou rov.(30.3). Úlohu usnadňuje i sku-
tečnost, že nezáleží na tom, ve kterém místě vodiče se
takový element nachází (obr.30.6b). Úhel θ, který svírají
vektorydsar,je90
◦
ar =R.Protozrov.(30.3)dostaneme
dB =
µ
0
4D4
I dssin90
◦
R
2
=
µ
0
4D4
I ds
R
2
. (30.10)
Příspěvek k magnetické indukci v bodě S, vytvořený kaž-
dým proudovým elementem ve tvaru oblouku, má stejnou
velikost.
Pomocí pravidla pravé ruky (obr.30.6c) zjistíme, že
všechnypříspěvkymagnetickéindukcedBodkteréhokoliv
místavodičemajívboděStentýžsměr,jsoukolmékrovině
obrázku a směřují k nám. Velikost výsledné magnetické
30.1 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU 777
indukce vbodě S je tedy rovna součtu (integrálu) všech
příspěvků dB, daných rov.(30.10). Využijeme-li vztahu
ds = Rdϕ (čímž změníme integrační proměnnou s na ϕ),
dostanemez rov.(30.10)
B =
integraldisplay
dB =
integraldisplay
ϕ
0
0
µ
0
4D4
IRdϕ
R
2
=
µ
0
I
4D4R
integraldisplay
ϕ
0
0
dϕ.
Po jednoduchéintegracidostaneme
B =
µ
0
Iϕ
0
4D4R
(ve středu kruhového oblouku). (30.11)
Přivýpočtechjetřebadosazovatúhelϕ
0
vmířeobloukové,
nikoliv ve stupních. Tato rovnice udává magnetickou in-
dukcipouzevestředuvodičevetvarukruhovéhooblouku,
kterýmprotékáproud.
PŘÍKLAD 30.1
Vodičemnaobr.30.7aprotékáproudI.Vodičjetvořenkruho-
vým obloukem o poloměru R se středovým úhlem (D4/2)rad
advěmapřímkovýmičástmi,jejichžprodlouženíseprotínají
vestředuSoblouku.UrčetemagnetickouindukciBvbodě S.
(a)
12
3
R
I
I
I
SS
S
(b)
r
ds
(c)
I
B
3
Obr.30.7 Příklad 30.1. (a) Vodičem složeným ze dvou přím-
kových částí 1 a 2 a kruhového oblouku 3 protéká proud I.
(b) Pro proudový element v přímém úseku 1 je úhel mezi vek-
tory ds a r roven nule. (c) Určení směru magnetické indukce B
3
vbodě S (proudI protéká vodičem v naznačenémsměru, magne-
ticképoleje kolmékroviněobrázkua směřujeod nás).
ŘEŠENÍ: Abychom úlohu vyřešili co nejjednodušším způ-
sobem,rozdělímevodič myšleně natřičásti: (1)polopřímku
vlevo, (2) polopřímku vpravo a (3) kruhový oblouk. Poté
použijeme rov.(30.3) pro každou z těchto tříčástí.
Prokaždýproudovýelementúseku1jeúhelθ mezidsar
roven nule (obr.30.7b). Z rov.(30.3) tedy dostáváme
dB
1
=
µ
0
4D4
I dssinθ
r
2
=
µ
0
4D4
I dssin0
r
2
= 0.
Elektrický proud, protékající přímým úsekem 1 (levá část
vodiče),nevytváří tedy žádné magnetické pole v boděS:
B
1
= 0.
Stejně jetomu ivpřípadě příméhoúseku 2,kdy je úhel θ
mezids a r roven 180
◦
pro každýproudový element.Tedy
B
2
= 0.
Poněvadž zakřivená část3představuje kruhový oblouk, mů-
žemevyužít rov.(30.11) provýpočetmagnetické indukce ve
středu kruhu. Dosazenímϕ =(D4/2)raddostaneme
B
3
=
µ
0
I(D4/2)
4D4R
=
µ
0
I
8R
.
K určení směru magnetické indukce B
3
použijeme pravidla
pravé ruky. Vidíme, že je kolmá k rovině obrázku a směřuje
od nás.
VýslednámagnetickáindukceBvytvořenávboděSprou-
dem protékajícím vodičem má tedy velikost
B =B
1
+B
2
+B
3
= 0+0+
µ
0
I
8R
=
µ
0
I
8R
, (Odpovědquoteright)
je kolmá k rovině obrázku a míříod nás.
K
ONTROLA 1: Na obrázku jsou zakresleny tři obvody,
obsahující soustředné kruhové oblouky (půlkružnice
nebo čtvrtkružnice s poloměry r,2r a3r) a radiální
přímé úseky. Obvody protéká tentýž proud. Seřadquoterightte je
sestupněpodlevelikostimagnetickéindukcevestředu
oblouků(označenémtečkou).
(a)(b)(c)
RADY A NÁMĚTY
Bod 30.1: Pravidlo pravé ruky
Uvádíme přehled různých variantpravidla pravé ruky:
(a)Včl.3.7byluvedenpostup,jakurčitsměrvektorového
součinu dvou vektorů: orientujme prsty pravé ruky tak, že
palec směřuje ve směru prvního vektoru a ukazováček ve
směru vektoru druhého. Potom vztyčený prostředník ukáže
směr vektorového součinu. V kap.12 jsme použili tohoto
pravidlakurčenísměrumomentu(sílyahybnosti)avkap.29
k určení směru síly působící na vodič protékaný proudem
vmagnetickém poli.
778 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU
(b)Vněkterýchpř