hrw30

integrál vrov-
nici(30.17) roven
contintegraldisplay
B·ds =
contintegraldisplay
Bcos0ds =B
contintegraldisplay
ds =B(2D4r).
Připomeňme,že
contintegraltext
dsvtomtovztahuznamenásoučetvšech
infinitezimálních délkových elementů ds podél kružnice.
To dáváobvod 2D4r kružnice.
Pravidlopravérukypřiřazujekladnéznaménkoproudu
na obr.30.14, takže pravá strana Ampérova zákona bude
rovna+µ
0
I.Proto dostaneme
B(2D4r)=µ
0
I
aodtud
B =
µ
0
I
2D4r
. (30.19)
To je stejný výraz jako rov.(30.6), kterou jsme odvo-
dili již dříve (se značně větší námahou) s použitím Bio-
tova-Savartova zákona. Jelikož rov.(30.19) dává kladnou
hodnotu B, je směr vektoru indukce B orientován tak, jak
ukazujeobr.30.14.
Magnetické pole uvnitř
dlouhého přímého vodiče
Na obr.30.15 je průřez dlouhým přímým vodičem o po-
loměru R, kterým protéká vprůřezu homogenně rozlo-
žený elektrický proud I směrem k nám. Protože se jedná
o homogenní rozložení proudu, bude také jím vytvořené
magnetické pole válcově symetrické.Chceme-li tedy určit
magnetické pole v bodech uvnitř vodiče, můžeme znovu
s výhodou využít jako Ampérovy křivky kružnici o po-
loměru r
>r)advouradiálníchúseček.Každouzesmyčekprotékástejný
elektrický proud a středový úhel vymezený přímými radiálními
částmivodičejestejný.Seřadquoterightteobvodysestupněpodlevelikosti
výslednémagnetickéindukcevestředechobloukůvyznačených
na obrázku.
(a)(b)(c)
Obr.30.27 Otázka4
5. Na obr.30.28 jsou tři části různých elektrických obvodů,
z nichž každá se skládá z vodiče zakřiveného do tvaru kru-
hového oblouku (všechny mají stejný poloměr) a dvou dlou-
hých přímých úseků, které mají směr tečny k oblouku. Vodiče
se kříží bez dotyku. Každou z těchto částí protéká stejný elek-
trickýproud.Seřadquoterightteúsekysestupněpodlevelikostimagnetické
indukce ve vyznačených bodech (středech oblouků).
(a)(b)(c)
Obr.30.28 Otázka5
6. Na obr.30.29 jsou tři úseky různých elektrických obvodů,
z nichž každý se skládá z kruhového oblouku (všechny mají
(a)(b)(c)
Obr.30.29 Otázka6
OTÁZKY 789
stejný poloměr a středový úhel) a ze dvou dlouhých přímých
částí.Příméčástimajívpřípaděúseku aradiálnísměravpřípadě
úsekůbactečnýsměr;vodičesekřížíbezdotyku.Vevšechtřech
případech protéká vodiči stejný proud. Seřadquoterightte úseky sestupně
podlevelikosti výsledné magnetickéindukcevestředukaždého
oblouku.
7. Na obr.30.30 jsou čtyři konfigurace dlouhých přímých vo-
dičů kolmých k rovině obrázku a umístěných stejně daleko od
sebe.Vodičiprotékástejnýelektrickýproudbudquoterightsměremknám,
nebo od nás. Seřadquoterightte sestupně tyto konfigurace podle velikosti
výsledné síly, kterou působí na prostřední vodič ostatní vodiče.
(a)
(b)
(c)
(d)
Obr.30.30 Otázka7
8. Na obr.30.31 jsou tři konfigurace dlouhých přímých vodičů
kolmých k rovině obrázku, kterými protéká stejný elektrický
proud budquoteright směrem k nám, nebo od nás. (a) Seřadquoterightte sestupně
jednotlivé konfigurace podle velikosti celkové síly, kterou pů-
sobíostatnívodičenatenvodič,jímžtečeproudsměremknám.
(b) Jaký je vpřípadě (3) úhel mezi čárkovanou polopřímkou
a celkovou silou, kterou působí ostatní vodiče na vodič s prou-
dem,tekoucímsměremknám—jevětší,roven,nebomenšínež
45
◦
?
(1)
d
D
(2)
d D
(3)
d
D
Obr.30.31 Otázka8
9. Naobr.30.32jsoudvěkonfiguracedlouhýchpřímýchvodičů
kolmých k rovině obrázku, kterými protéká stejný elektrický
proud budquoteright směrem od nás, nebo k nám. Oba vodiče jsou stejně
vzdáleny od osy y. (a) Pro každou z konfigurací určete směr
výsledné magnetické indukce v bodě P. (b) Pro každou konfi-
guraci dále určete směr síly, kterou by působily oba vodiče na
(1)
x
P
y
(2)
x
P
y
Obr.30.32 Otázka9
rovnoběžný vodič procházející bodem P a protékaný stejným
proudem směremod nás.
10. Na obr.30.33 je dlouhý přímý vodič, kterým protéká elek-
trický proud I směrem doprava. Vedle něho se nacházejí tři
vodivé pravoúhlé smyčky, kterými protéká stejně velký elek-
trickýproudvnaznačenémsměru.Délkystransmyčekjsoubudquoteright
L,nebo2L a všechny strany smyček přilehlé k vodiči mají od
něho stejnou vzdálenost. Seřadquoterightte sestupně smyčky podle veli-
kosticelkovésíly,kterounaněpůsobímagneticképolepřímého
vodiče.
a
bc
I
Obr.30.33 Otázka10
11. Na obr.30.34 je vodivá smyčka nepravidelného tvaru po-
ložená na hladkém stole tak, že její body a a b jsou ke stolu
připevněny. Začne-lismyčkou protékatelektrickýproud,změní
se její tvar. Bude se smyčka vypínat do tvaru oblouku, nebo se
bude stahovat dovnitř?
a
b
I
I
Obr.30.34 Otázka11
12. Na obr.30.35 je znázorněno homogenní magnetické pole
oindukciBačtyřipříméúsekystejnédélky.Seřadquoterighttejesestupně
podle velikosti integrálu
integraltext
B·ds podél úseků.
a
b
c
d
B
30
◦
30
◦
Obr.30.35 Otázka12
13. Na obr.30.36a jsou čtyři Ampérovy křivky a, b, c a d.
Válcovým vodičem protéká elektrický proud kolmo k obrázku
směrem k nám. Proudová hustota má stejnou velikost i směr
vcelémkruhovémprůřezuvodiče.Seřadquoterighttetytokřivkysestupně
podle velikosti integrálu
contintegraltext
B·ds podél každé z nich.
14. Na obr.30.36b jsou čtyři Ampérovy křivky — kružnice a,
b, c, d a čtyři dlouhé válcové vodiče. Vodič s nejmenším polo-
měrem má kruhový průřez a zbývající vodiče jsou duté válce
(křivky i vodiče jsou soustředné). Elektrické proudy tekoucí
vodiči kolmo k rovině obrázku mají (od nejmenšího poloměru
790 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU
po největší) hodnoty: 4A (k nám), 9A (od nás), 5A (k nám)
a3A(odnás).Seřadquoterighttekřivkysestupněpodlevelikostiintegrálu
contintegraltext
B·ds podél každé z nich.
(a)
a
b
c
d
(b)
a
b
c
d
Obr.30.36 Otázky13 a14
15. Naobr.30.37jsoučtyřipřímérovnoběžnévodičeprotékané
stejnými elektrickými proudy I a pět orientovaných Ampéro-
vých křivek obepínajících vodiče. Seřadquoterightte tyto křivky sestupně
podle velikosti integrálu
contintegraltext
B·ds.
16. Následujícítabulkauvádíprošestideálníchsolenoidůorůz-
nýchpoloměrechpočetzávitůnajednotkudélkynaproudI jimi
tekoucí.Chcemeněkolikznichsoustřednězasunoutdosebetak,
abyvýsledná magnetickáindukce na společné podélné ose byla
nulová. Je to možné udělat pomocí (a) dvou, (b) tří, (c) čtyř
a (d) pěti z nich? Které solenoidy byste použili? Určete směry
příslušných proudů.
Solenoid1234 56
n 5432108
I 5376 23
17. Polohový vektor částice pohybující se po kružnici o polo-
měrurjer.Určetehodnotuintegrálu
contintegraltext
r·dspodéltétokružnice.
18. Vypočtěte hodnotu integrálu
contintegraltext
ds podél obvodu (a) čtverce
s délkou strany a a (b) rovnostranného trojúhelníka s délkou
stranyd.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
I
III
Obr.30.37 Otázka15
CVIČENÍ&ÚLOHY
ODST. 30.1 Magnetické pole elektrického proudu
1C. Velikost magnetické indukce vbodě, který je vzdálen
88,0cmodosydlouhéhopříméhovodiče,je7,30D1T.Jakvelký
elektrický proud protéká vodičem?
2C. Neizolovaným měděným vodičem (průměr 2,6mm) může
bez přehřátí procházet proud 50A. Jaká je přitom magnetická
indukce na povrchu vodiče?
3C. Zeměměřičurčujezeměpisnoupolohu pomocímagnetické
buzoly 6,0m pod elektrickým vedením, kterým protéká stej-
nosměrný elektrický proud 100A. (a) Jaká je magnetická in-
dukcevytvořenátímtoproudemvmístě,kdesenacházíbuzola?
(b) Bude toto vedení nějak ovlivňovat její údaje? Vodorovná
složkaindukcemagnetickéhopoleZeměvmístě,kdesenachází
zeměměřičs buzolou, je 20D1T.
4C. Elektronovédělovtelevizníobrazovcevystřelujeelektrony
s kinetickou energií 25keV vpaprsku o průměru 0 ,22mm. Za
každou sekundu dopadne naobrazovku 5,6·10
14
elektronů. Vy-
počtětemagnetickouindukci,kteroubudípaprsekvmístěvzdá-
leném 1,5mmodsvéosy.
5C. Na obr.30.38 je 3,0cm dlouhý úsek vodiče, kterým
protéká elektrický proud 2,0A ve směru osy y.Úsekvo-
diče je umístěn tak, že se jeho střed nachází vpočátku
soustavy souřadnic. Určete magnetickou indukci B vbo-
dech (a) (0;0;5,0m),(b)(0;6,0m;0),(c)(7,0m;7,0m;0)
a(d)(−3,0m;−4,0m;0). Můžete k tomu použít Biotova-
-Savartova zákona ve tvaru B = (µ
0
/4D4)IDelta1ssinθ/r
2
,kam
dosadíte Delta1s = 3,0cm (veličiny r a θ jsou vnašem zadání
prakticky konstantní pro celýúsek vodiče).
x
y
z
2,0A
2,0A
3,0cm
Obr.30.38 Cvičení5
6C. Dlouhý vodič, kterým protéká elektrický proud 100A, se
nachází ve vnějším homogenním magnetickém poli o indukci
5,0mT a je k ní kolmý. Určete body, ve kterých je výsledné
magnetické pole rovno nule.
7C. V laboratoři na Filipínách má indukce magnetického pole
Zeměvelikost39D1Tasměrvodorovněkseveru.Vevzdálenosti
8,0cmnaddlouhýmpřímýmvodorovnýmvodičem,kterýmpro-
tékáelektrickýproudI,jevýslednámagnetickáindukcenulová.
Určete (a)velikost a (b) směr elektrického prouduI.
8C. Kladně nabitá částice s nábojem Q se nachází ve vzdále-
nosti d od dlouhého přímého vodiče, kterým protéká proud I.
Částice se pohybuje rychlostí v kolmo k vodiči. Určete směr
a velikost magnetické síly působící na částici, pohybuje-li se
(a)směremk vodiči, (b) směremod vodiče.
CVIČENÍ & ÚLOHY 791
9C. Přímý vodič, kterým protéká proud I, se rozděluje na dva
půlkruhové oblouky, jak je ukázáno na obr.30.39. Určete mag-
netickou indukci ve středuS kruhové části vodiče.
II
S
Obr.30.39 Cvičení9
10C. Dlouhým přímým vodičem protéká proud 50A. Elektron
letí rychlostí 1,0·10
7
m·s
−1
ve vzdálenosti 5,0cm od vodiče.
Jakásílananějpůsobí,letí-li(a)kolmokvodiči,(b)rovnoběžně
svodičem a (c)kolmo k oběma předcházejícím směrům?
11Ú. Vodičem na obr.30.40 protéká proud I. Určete vbodě S
(středupůlkružnice)magnetickouindukciBvyvolanouproudem
protékajícím (a) vkaždém z přímých úseků vodiče délky L,
(b) v půlkruhovém úseku vodiče o poloměru R, (c) vcelém
vodiči.
II
LL
R
S
Obr.30.40 Úloha11
12Ú. PoužijteBiotův-Savartůvzákonkvýpočtumagnetickéin-
dukce B vbodě S, který je společným středem půlkruhových
obloukůADaHJ(obr.30.41a).Obaobloukyjsouspojenytak,
ževytvářejí obvod AHJDA,kterým protéká proudI.
(a)
A SDHJ
R
1
R
2
I
I
(b)
II
a
b
P
θ
Obr.30.41 Úlohy12a 13
13Ú. Na obr.30.41b je elektrický obvod skládající se ze dvou
kruhových oblouků o poloměrech a a b. Oba jsou propojeny
radiálnímipřímýmiúseky.UrčetemagnetickouindukciBvbodě
P (středu oblouků), víte-li, že obvodem protéká proudI.
14Ú. Každým ze dvou nekonečně dlouhých vodičů protéká
proud I. Geometrické uspořádání obou vodičů je znázorněno
naobr.30.42.Ukažte,žemagnetickáindukcevestředukružnice
opoloměruRjestejnájakomagnetickáindukcevevzdálenostiR
podjedinýmnekonečnědlouhýmpřímýmvodičem,jímžprotéká
proudI směremdoleva.
15Ú. Vlásenka protékaná proudem I má tvar podle obr.30.43.
Určete směr a velikost magnetické indukce B (a) vbodě A,
(b) vbodě B. Úlohu řešte numericky pro R = 5,0mmapro
R
I
I
Obr.30.42 Úloha14
vzdálenostiAB mnohemvětšínežR(každýzoboupřímkových
úseků pokračuje do nekonečna).
AB
R
I
I
Obr.30.43 Úloha15
16Ú. Vodič, kterým protéká proud I, má tvar podle obr.30.44.
Jaký musí být úhelθ,aby magnetická indukceB byla ve středu
kružnice nulová?
I
I
R θ
Obr.30.44 Úloha16
17Ú. Na obr.30.45 je přímý vodič, kterým protéká proud I.
Dokažte,ževelikostmagnetickéindukceB,kterouvytváříproud
tekoucíúsekemvodičeodélceLvbodě P
1
vevzdálenostiRod
středu úseku, je
B =
µ
0
I
2D4R
L
√
L
2
+4R
2
.
Dokažte, že tento výraz přecházíproL→∞vrov.(30.6).
L
RR
I
P
1
P
2
Obr.30.45 Úloha17a 18
18Ú. Na obr.30.45 je úsek přímého vodiče délky L,kterým
protéká proud I. Dokažte, že velikost magnetické indukce B
buzené úsekem vbodě P
2
ve vzdálenostiR od konce vodiče je
B =
µ
0
I
4D4R
L
√
L
2
+R
2
.
19Ú. Čtvercovou smyčkou s délkou strany a protéká proud I.
Svyužitímvýsledkuúlohy17dokažte,ževestředutétosmyčky
792 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU
má magnetická indukce velikost
B =
2
√
2µ
0
I
D4a
.
Určete její směr.
20Ú. S využitím výsledku úlohy 17 dokažte, že magnetická
indukce ve středu obdélníkové smyčky o délce L ašířced,
kterou protéká proudI,je
B =
2µ
0
I
D4
√
L
2
+d
2
Ld
.
Ukažte, že pro L greatermuch d přejde tento výraz do tvaru totožného
s výsledkem př.30.2.
21Ú. Čtvercovou vodivou smyčkou o délce strany a protéká
proudI.Svyužitímvýsledkuúlohy17dokažte,ževelikostmag-
netické indukce vbodě ležícím na ose kolmé k rovině smyčky
ve vzdálenostix od jejího středu je
B(x)=
4µ
0
Ia
2
D4(4x
2
+a
2
)
√
4x
2
+2a
2
.
Dokažte, že tento výsledek souhlasí s výsledkem úlohy 19.
22Ú. Dva vodiče mají stejnou délku L. Jeden má tvar čtverce,
druhý tvar kružnice a každým protéká stejný proud I. Dokažte,
že magnetická indukce ve středu čtvercové smyčky je větší než
ve středu smyčky kruhové (viz úlohu 19).
23Ú. Naobr.30.46jeúsekpříméhovodičedélkya,kterýmpro-
téká proud I. Dokažte, že velikost magnetické indukce buzené
úsekem vbodě P jeB =
√
2µ
0
I/(8D4a).
a
a
I
P
Obr.30.46 Úloha23
24Ú. Vypočtěte magnetickou indukci B vbodě P na obr.30.47
(viz úlohu 23).
I2a
aa
P
a
Obr.30.47 Úloha24
25Ú. Určetemagnetickouindukci Bvbodě P naobr.30.48pro
I = 10A aa = 8,0cm(viz úlohy 18 a 23).
a
a
I
P
a/4
a/4
Obr.30.48 Úloha25
26Ú. Naobr.30.49jeprůřezdlouhéhovodičevetvaruproužku
ošířceD, kterým protéká stejnoměrně rozložený elektrický
proudI kolmokobrázku,směremodnás.Určetevelikostasměr
magnetické indukce B vbodě P ležícím v rovině proužku ve
vzdálenosti d od jeho hrany. (Tip: Představte si, že proužek je
složený z mnoha dlouhých, infinitezimálně tenkých rovnoběž-
ných vodičů.)
dD
P
Obr.30.49 Úloha26
ODST. 30.2 Dva rovnoběžné vodiče
27C. Dvadlouhérovnoběžnévodičeležívevzdálenosti8,0cm
odsebe.TečejimistejnýproudI.Jakvelkýmusíbýt,abymag-
netická indukce uprostřed mezi vodiči měla velikost 300D1T?
Směrproudů nechtquoteright je (a)souhlasný, (b) nesouhlasný.
28C. Dvěma dlouhými rovnoběžnými vodiči ve vzdálenosti d
protékají proudy I a3I stejným směrem. Určete bod (nebo
body), ve kterémse jejich magnetická pole navzájemvyruší.
29C. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe
0,75cmležíkolmokroviněobr.30.50.Vodičem1protékáproud
o velikosti 6,5A směrem od nás. Jaký musí být proud (velikost
a směr) ve vodiči 2, aby výsledné magnetické pole v bodě P
bylo nulové?
vodič1
vodič2
P
0,75cm
1,5cm
Obr.30.50 Cvičení29
30C. Na obr.30.51 leží pět dlouhých rovnoběžných vodičů
vrovině xy. Každým z nich protéká proud I = 3,00A
Obr.30.51
Cvičení30
dddd
z
y
IIIII
CVIČENÍ & ÚLOHY 793
vkladném směru osy x. Vzdálenost mezi sousedními vodiči
je d = 8,00cm. Určete magnetickou sílu, kterou působí ostatní
vodiče na jeden metr délky každého z vodičů. Sílu vyjádřete ve
vektorovém tvarupomocí jednotkových vektorů i, j, k.
31C. Pro rovnoběžné vodiče z př.30.2 dokažte, že rov.(30.15)
platí i pro body vně celé konfigurace, tj. pro body se souřadnicí
x>dnebox