hrw30

ípadech(zejménavmagnetismu)potře-
bujemedátdovzájemnéhovztahu„zakřivené“prvkyaprvky
„rovné“. K tomu nám nejlépe poslouží ohnuté prsty a vzty-
čený palec pravé ruky. V čl.29.8 jsme řešili příklad, kde
se vyskytoval proud protékající smyčkou (zakřivený prvek)
anormálovývektorn(přímýprvek)smyčky.Ohneme-liprsty
pravé ruky ve směru proudu tekoucího smyčkou, pak vzty-
čený palec ukazuje směr vektoru n. To je také směr magne-
tického dipólového momentu µ smyčky.
Vtomtoodstavcijsmepoužilivariantu(b):abychomurčili
směr indukčních čar magnetického pole vokolí proudového
elementu,položímevztyčenýpalecpravérukydosměruelek-
trickéhoproudu,tekoucíhovodičem.Ohnutéprstypravéruky
potom ukazují směrindukčních čarmagnetického pole.
30.2 DVA ROVNOBĚŽNÉ VODIČE
Dvarovnoběžnévodiče,jimižprotékáelektrickýproud,na
sebe navzájem silově působí. Určeme tyto síly pro dlouhé
tenké vodiče z obr.30.8; jejich vzdálenost je d a protékají
jimi proudyI
a
aI
b
.
a
b
d
L
L
I
a
I
b
F
ba
B
a
způsobenáI
a
Obr.30.8 Dva vodiče se souhlasně rovnoběžnými proudy se
navzájem přitahují. Indukce B
a
vmístě vodiče b je vytvořená
proudem tekoucím vodičem a. Výsledná síla F
ba
působící na
vodič b je způsobena tím, že vodičem protéká elektrický proud
vmagnetickém poli oindukci B
a
.
Nejprve vyjádříme sílu, kterou působí vodič a na vo-
dičb(obr.30.8).Elektrickýproud,kterýprotékávodičema,
vytváří kolem něj magnetické pole o indukci B
a
.Právě
toto magnetické pole silově působí na vodič b. Abychom
tuto sílu mohli vyjádřit, potřebujeme znát velikost a směr
magnetické indukce B
a
v místě, kde leží vodič b. Velikost
indukce B
a
vkaždém bodě vodiče b je podle rov.(30.6)
rovna
B
a
=
µ
0
I
a
2D4d
. (30.12)
Pravidlo pravé ruky nám ukazuje, že vektor B
a
vmístě
vodičeb směřujedolů (obr.30.8).
Nyní, když známe velikost magnetické indukce pole,
můžeme nalézt sílu, kterou působí toto pole na vodič b.
Rov.(29.27)určujesíluF
ba
,kteroupůsobímagneticképole
B
a
naúsekvodičeb délkyL:
F
ba
=I
b
L×B
a
. (30.13)
Na obr.30.8 jsou vektory L a B
a
na sebe kolmé. Použitím
rov.(30.12)dostaneme
F
ba
=I
b
LB
a
sin90
◦
=
µ
0
LI
a
I
b
2D4d
. (30.14)
Směr vektoru F
ba
je dán vektorovým součinem L × B
a
.
Použijeme-li pravidlo pravé ruky v obr.30.8, zjistíme, že
sílaF
ba
míříkvodičia.Obecnýpostupurčenísílypůsobící
navodičsproudemje tedynásledující:
Sílu, kterou na sebe působí dva vodiče protékané prou-
dem,zjistímevedvou krocích:(1) určímemagnetickou
indukci B
2
, kterou vytváří druhý vodič v místě prvního
vodiče;(2)určímesílu,kteroupůsobípoleoindukciB
2
naprvní vodič.
Nyní použijeme vyložený postup k výpočtu síly, kte-
rou působí vodič b na vodič a. Zjistíme, že tato síla míří
směremkvodičib;odtudplyne,žedvarovnoběžnévodiče,
jimižprotékajísouhlasněorientovanéproudy,senavzájem
přitahují. Naopak v případě, že proudy ve vodičích jsou
orientoványnesouhlasně,sevodičeodpuzují.Tedy:
Dva rovnoběžné vodiče protékané souhlasně oriento-
vanými proudy se přitahují, vodiče protékané opačně
orientovanýmiproudy seodpuzují.
Síla působící mezi proudy tekoucími vrovnoběžných
vodičích je základem pro definici ampéru, který je jednou
ze sedmi základních jednotek soustavy SI. Podle definice
přijatévroce1946jeampérdefinovánjakovelikoststálého
elektrickéhoproudu,kterýpřiprůtokudvěmapřímýmirov-
noběžnýmiavelmidlouhýmivodičizanedbatelnéhokruho-
véhoprůřezuvzdálenýmiodsebe1mvevakuuvyvolámezi
těmitovodičisílu2·10
−7
Nnajedenmetrjejichdélky.Tato
definice vychází z rov.(30.14) s µ
0
= 4D4·10
−7
T·m·A
−1
(přesně).
Elektromagnetické dělo
Princip elektromagnetického děla je znázorněn na ob-
rázku30.9a.Elektrickýproudprocházíprvníkolejnicí,poté
napříčvodivou„pojistkou“(úzkýpásekmědi),kterásena-
cházímezi oběma kolejnicemi,a vrací se druhou kolejnicí
zpětdozdrojeproudu.Střela,kterámábýtvystřelena,leží
načelnístraněpojistkyajeuloženavolněmezioběmako-
lejnicemi. Po zapnutí proudu se pojistka okamžitě roztaví
30.2 DVA ROVNOBĚŽNÉ VODIČE 779
avypaří,takževmístě,kdesenacházela,vznikneelektricky
vodivýplyn —plazma.
(a)
I
I
střela
vodivápojistka
vodivékolejnice
(b)
F
B I
I
I
vodivý
plyn
Obr.30.9 (a) Elektromagnetické dělo vokamžiku, kdy je za-
pojen proud I. Ten nejprve roztaví a vzápětí vypaří vodivou
pojistku. (b) Elektrický proud vytváří mezi kolejnicemi mag-
netické pole B. To působí na vodivý plyn (vzniklý vypařením
pojistky),kterýječástívodivédráhy,silouF;plynurychlístřelu
ve směrupodél kolejnic a vystřelí ji.
Pravidlo pravé ruky (obr.30.4) ukazuje, že elektrický
proud v kolejnicích na obr.30.9a vytvoří mezi nimi mag-
netické pole, které působí směrem dolů. Toto magnetické
pole působí silou F na vodivý plyn, jímž teče proud I
(obr.30.9b).Zrov.(30.13)apravidlapravérukyprovekto-
rový součin vidíme, že síla F působí vyznačeným směrem
venpodélkolejnic.Plynvypuzenýpodélkolejnictlačístře-
lu,přičemžjíudělízrychlenívětšínež5·10
6
g.Jejírychlost
může dosáhnout velikosti až 10km·s
−1
(to vše proběhne
během1ms).
PŘÍKLAD 30.2
Dvěma dlouhými rovnoběžnými vodiči, vzdálenými od
sebe 2d, protéká stejný proud I vopačných směrech
(obr.30.10a).OdvodquoterighttevýrazproB
z
(x),tj.výslednoumagne-
tickou indukci v bodech ve vzdálenosti x od středu spojnice
obou vodičů.
ŘEŠENÍ: Použitím pravidla pravé ruky lze z obr.30.10a
ukázat,žemagnetickápolevytvořenáproudytekoucímivjed-
notlivých vodičích mají stejný směr ve všech bodech mezi
vodiči. Z principu superpozice a z rov.(30.6) dostaneme pro
libovolný bod mezivodiči:
B
z
(x)=B
a,z
(x)+B
b,z
(x)=
µ
0
I
2D4(d +x)
+
µ
0
I
2D4(d −x)
=
=
µ
0
Id
D4(d
2
−x
2
)
.(Odpovědquoteright) (30.15)
Rozbor tohoto vztahu ukazuje, že (1) závislost B
z
(x) je
symetrická vůči záměněx ↔−x,(2)B
z
(x)má mezivodiči
svouminimálníhodnotuµ
0
I/D4dvbodě x = 0a(3)B
z
(x)→
→∞, když x →±d.Prox =±d by bod P ležel na ose
jednohozvodičů.Našeodvozenírov.(30.6)všakplatípouze
probodyvněvodiče,takžerov.(30.15)platíjenomkpovrchu
vodičů. (Polem uvnitř vodiče se zabýváme v následujícím
článku.)
(a)
ab
dd
x
x
z
PII
B
a
B
b
(b)
x (mm)
B
z
(mT)
−40 −20
0
20 40
−2,0
−1,0
1,0
2,0
Obr.30.10 Příklad 30.2. (a) Dva rovnoběžné vodiče, jimiž proté-
kajíelektricképroudytéževelikostivopačnýchsměrech(tj.kolmo
kroviněobrázku,směremknámaodnás).Vbodechmezivodiči,
např. vbodě P, směřují magnetická pole, vytvořená jednotlivými
proudy,týmžsměrem.(b)ZávislostB
z
(x)proI =25Aavzdálenost
obouvodičů50mm.
Naobr.30.10bjevynesenazávislostdanárov.(30.15)pro
číselnéhodnotyI = 25Aa2d = 50mm.Ponechávámejako
cvičení 31 dokázat, že rov.(30.15) platí i pro všechny body
„zavodiči“, tedy pro body, pro které platí|x|>d.
PŘÍKLAD 30.3
Naobr.30.11ajsoudvadlouhérovnoběžnévodiče,jimižpro-
tékají elektrické proudy I
1
a I
2
vopačných směrech. Určete
velikost asměrvýsledné magnetické indukce vboděP.Do-
sadquoterightte číselné hodnoty I
1
= 15A,I
2
= 32A ad = 5,3cm.
ŘEŠENÍ: Na obr.30.11b jsou magnetické indukce B
1
,
resp. B
2
, polí vytvořených proudy I
1
,resp.I
2
, vbodě P
(pomocí pravidla pravé ruky si ověřte, že jejich směry
780 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU
jsou správné). Velikosti magnetických indukcí těchto polí
vbodě P jsou dány rov.(30.6), tedy
B
1
=
µ
0
I
1
2D4R
=
µ
0
I
1
2D4
parenleftbig
d/
√
2
parenrightbig =
√
2µ
0
2D4d
I
1
a
B
2
=
µ
0
I
2
2D4R
=
µ
0
I
2
2D4
parenleftbig
d/
√
2
parenrightbig =
√
2µ
0
2D4d
I
2
,
kdejsmeRnahradiliveličinoud/
√
2,nebotquoterightR/d = sin45
◦
=
=
√
2/2.
Velikost výsledné magnetické indukce B je
B =
radicalBig
B
2
1
+B
2
2
=
√
2µ
0
2D4d
radicalBig
I
2
1
+I
2
2
=
=
√
2(4D4·10
−7
T·m·A
−1
)
radicalbig
(15A)
2
+(32A)
2
2D4(5,3·10
−2
m)
=
= 1,89·10
−4
T
.
= 190D1T. (Odpovědquoteright)
Proúhelϕ mezivektory B a B
2
podle obr.30.11b platí
tgϕ =
B
1
B
2
.
Dosadíme-li zaB
1
aB
2
, dostaneme
tgϕ =
I
1
I
2
=
(15A)
(32A)
= 0,469, odkud ϕ = 25
◦
.
Úhel mezivektorem B aosoux je potom
ϕ+45
◦
= 25
◦
+45
◦
= 70
◦
. (Odpovědquoteright)
(a)
d
RR
P
I
1
I
2
(b)
x
y
P
d
I
1
I
2
B
B
1
B
2
45
◦
45
◦
ϕ
Obr.30.11 Příklad 30.3. (a) Dvěma vodiči na obrázku protékají
proudyI
1
aI
2
vopačnýchsměrech(kolmokroviněobrázku,smě-
remkpozorovateliaodněho).VšimnětesipravýchúhlůvboděP.
(b) Dílčí pole s magnetickými indukcemi B
1
a B
2
se sčítají vekto-
rově.
K
ONTROLA2:Naobrázkujsoutřidlouhé,přímé,navzá-
jemrovnoběžnévodiče,kterýmiprotékástejnýproud.
Vodičbležíuprostředmezivodičiaac(obrázek).Směr
elektrického proudu je vyznačen křížkem a tečkami.
Seřadquoterighttevodičesestupněpodlevelikostisíly,kterouna
každýznichpůsobíostatnídvavodiče.
(a)(b)(c)
30.3 AMPÉRŮV ZÁKON
Elektrické pole E libovolně rozložených nábojů lze vypo-
čítat z rov.(30.2). Ta plyne z Coulombova zákona, vyja-
dřujícíhosílypůsobícímezibodovýmináboji.Coulombův
zákon však má i svou polní paralelu: je to Gaussův zákon
elektrostatiky(24.7),spojujícítok intenzity E elektrického
polesnáboji,kterépole vytvářejí.
PodobněmůžemevypočítatužitímBiotova-Savartova
zákona (30.5) magnetickou indukci B libovolně rozlože-
ných proudů. I tento zákon má však svou polní paralelu:
jetoAmpérůvzákon,spojujícícirkulacivektoru B sprou-
dy, které pole vytvářejí. A podobně jako Gaussův zákon
elektrostatiky nám i Ampérůvzákon pomůže také zcela
praktickypřiřešeníúlohsjistousymetrií(rovinnou,válco-
vounebo kulovou)v rozloženíproudů.
Ampérůvzákon (nebo též zákon celkového proudu)
mátvar
contintegraldisplay
B·ds =µ
0
I
c
(Ampérůvzákon). (30.16)
Kroužek na znaménku integrálu značí, že integrujeme po
uzavřenéorientovanékřivce(libovolnéhotvaru);vevztahu
kAmpérovuzákonujinazývámeAmpérova křivka.Jejíin-
finitezimální element značíme ds; leží vtečně ke křivce
ajeorientovánsouhlasněsní.Integrálnalevéstraněnazý-
vámecirkulací vektoruB.ProudI
c
napravéstraněrovnice
jesoučtemvšechproudůobepnutýchkřivkou.(Uvažujeme
všechny proudy,tedy celkový proudprotékajícíplochou li-
bovolnéhotvaru,kterájeohraničenáAmpérovoukřivkou.)
Pro ilustraci použijeme nejprve Ampérůvzákon vsi-
tuaci na obr.30.12. Jsou na něm znázorněny průřezy tří
dlouhých přímých vodičů, jimiž protékají proudy I
1
, I
2
,
a I
3
kolmo k rovině obrázku budquoteright směrem k nám, nebo od
nás.ZakreslenáAmpérovakřivka,ležícívroviněobrázku,
obepíná dva z proudů, ale nikoliv třetí. Orientaci křivky
pro integraci vrov.(30.16) zvolíme proti směru otáčení
hodinovýchručiček.
30.3 AMPÉRŮV ZÁKON 781
Abychom mohli použít Ampérova zákona, rozdělíme
myšleněkřivku(obr.30.12)nainfinitezimálníelementyds.
V místěelementuds je indukcevýslednéhomagnetického
pole,kteréjevytvořenétřemiproudy,rovnaB.Protoževo-
dičejsoukolmékroviněobrázku,budoujejichmagnetická
pole vmístě elementu d s ležet vrovině obrázku. Proto
také výsledná magnetická indukce B vmístě elementu d s
musíležetvtétorovině.Naobr.30.12jevektorBzakreslen
vobecnémsměrusvírajícímúhel θ sesměremds.
Ampérova
křivka
I
1
I
2
I
3
B
θ
ds
Obr.30.12 Ampérůvzákonaplikovanýna(libovolnězvolenou)
Ampérovukřivku,kteráobepínádvadlouhépřímévodiče,nikoli
však vodič třetí. Všimněte si různých směrůproudů.
Skalární součin B · ds na levé straně rov.(30.16) je
rovenBcosθ ds.Platítedy
contintegraldisplay
B·ds =
contintegraldisplay
Bcosθ ds.
Integrovaný výraz můžeme také chápat jako součin infi-
nitezimální délky ds Ampérovy křivky se složkouBcosθ
magnetickéindukceB vesměrutečnykAmpérověkřivce.
Integrace potom vyjadřuje součet všech takových součinů
podélcelékřivky. Rov.(30.16)mápak tvar
contintegraldisplay
Bcosθ ds =µ
0
I
c
. (30.17)
Znaménkokaždéhozproudů,kterévytvářejíproudI
c
obe-
pnutýkřivkou,určujepravidlo pravéruky:
Ohněte prsty pravé ruky kolem Ampérovy křivky tak,
aby ukazovaly ve směru její orientace. Potom prou-
du, který teče ve směru vztyčeného palce, přiřadíme
kladnéznaménkoaproudutekoucímuopačněznaménko
záporné.
Pravidlo pravé ruky použijeme k určení celkového
proudu I
c
vsituaci na obr.30.13. Při zvolené orientaci na
křivce(protisměruotáčeníhodinovýchručiček)jecelkový
proudobepnutý smyčkou
I
c
=I
1
−I
2
.
(Proud I
3
není obepnut křivkou). Rov.(30.17) můžeme
protopřepsatdotvaru
contintegraldisplay
Bcosθ ds =µ
0
(I
1
−I
2
). (30.18)
+I
1
−I
2
Obr.30.13 Ampérův zákon a pravidlo pravé ruky pro určení
znaménkaproudůobepnutých Ampérovoukřivkou.Situaceod-
povídá obr.30.12.
ProudI
3
sicetaképřispívákmagnetickéindukciB,alene-
vystupujenapravéstraněrov.(30.18).Lzetotiždokázat,že
příspěvektakovéhoproudu,kterýneníobepnutAmpérovou
křivkou,kcirkulaciB(tj.kekřivkovémuintegrálunapravé
straněrov.(30.16)),jevždynulový.(Jetosituacepříbuzná
situacizGaussovazákona,kdyžnábojležel vně Gaussovy
plochy.) K cirkulaci B přispívají tedy pouze proudy obe-
pnutéAmpérovou křivkou.
Integrál vrov.(30.18) by byl vsituaci znázorněné na
obr.30.12dostisložitý,výsledekintegracevšakznáme:in-
tegrál musí být roven hodnotě µ
0
(I
1
−I
2
), která je dána
součtemvšechproudůobepnutýchkřivkou.
NynípoužijemeAmpérovazákonaprodvěsituace,ve
kterýchnámsymetrieúlohyumožňujejednoduševypočítat
integrál vrov.(30.16), resp. (30.17) a z něj určit indukci
magnetickéhopole.
Magnetické pole vně
dlouhého přímého vodiče
Na obr.30.14 je znázorněn dlouhý přímý vodič kolmý
k rovině obrázku protékaný proudem I směrem k nám.
Podle rov.(30.6) má magnetická indukce B pole vytvoře-
néhoproudemstejnouvelikostvevšechbodech,kteréjsou
ve stejné vzdálenosti od vodiče a indukční čáry mají tvar
soustředných kružnic se středem ve vodiči. Jinými slovy,
povrch
vodiče
Ampérova
křivka
r
I
B
θ=0
ds
Obr.30.14 Použití Ampérova zákona k určení magnetického
polekolemdlouhéhopříméhovodiče,kterýmtečeproudI.Am-
pérova křivka má tvar kružnice se středem uprostřed vodiče
(a spoloměrem větším, nežje poloměr vodiče).
782 KAPITOLA 30 MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU
magnetické pole B má válcovou symetrii kolem vodiče.
Této symetrie můžeme využít ke zjednodušení integrálu
v Ampérově zákoně (rov.(30.16)) tak, že obklopíme vo-
dič soustřednou kruhovou Ampérovou křivkou o polo-
měru r. Magnetická indukce B má potom stejnou veli-
kostB vkaždémboděkřivky.Chceme-liprovéstintegraci
vrov.(30.16),nemusímepředemznátsměrvektoru B.Mů-
žeme například předpokládat, že B má směr souhlasný se
zvolenou orientací uzavřené křivky. Tato orientace určuje
znaménka proudů na pravé straně rov.(30.16) v souladu
spravidlempravéruky.JestližepřivýpočtuBvyjdekladná
hodnota,zvolilijsmesměrvektoru B správně.Vyjde-lizá-
porná,má B směropačný,nežjsmezvolili.
Poněvadž B ads mají stejný směr, je