hrw33

33
ElektromagnetickÈ kmity
a st¯ÌdavÈ proudy
VyûadujÌ-li vysokonapÏùov· v˝konov· vedenÌ opravu, nemohou je rozvodnÈ
spoleËnosti jednoduöe odpojit, protoûe by se propadla do tmy t¯eba cel·
mÏsta. Opravy se proto musejÌ prov·dÏt na vedenÌch pod napÏtÌm. Muûna
obr·zku pr·vÏ vymÏnil distanËnÌ rozpÏrku na 500kV vedenÌ, coûvyûaduje
znaËnou zkuöenost. ProË je vlastnÏ napÏtÌ v˝konov˝ch p¯enosov˝ch vedenÌ
tak vysokÈ? Proud tekoucÌ vedenÌm je p¯itom vzhledem k p¯en·öenÈmu
v˝konu relativnÏ mal˝. Nemohl by b˝t vÏtöÌ
?
860 KAPITOLA 33 ELEKTROMAGNETICKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY
33.1 NOVÁ FYZIKA — STARÁ
MATEMATIKA
V této kapitole uvidíme, jak se s časem mění elektrický
náboj Qv obvodu sestavenémz cívkyL, kondenzátoruC
a rezistoru R. Z jiného pohledu vzato budeme probírat,
jak se energie přenáší tam a zpět mezi magnetickým po-
lem cívky a elektrickým polem kondenzátoru, přičemž jí
v průběhutěchtooscilacíubývá(arezistorsezahřívá).
Kmity mechanické jsme již probírali dříve. V kap.16
jsmeviděli,jaksesčasemměnívýchylkax vmechanické
kmitajícísoustavěskládajícíseztělesashmotnostím,pru-
žiny s tuhostí k a prvku s výraznou viskozitou (např. olej)
nebostřením.Takovásoustavajeznázorněnanaobr.16.17.
Zobrázkutakévidíme,jakmechanickáenergieprocházípe-
riodickou změnou kinetické energie kmitajícího tělesa na
potenciálníenergiideformovanépružiny,přičemžjeběhem
kmitání postupnědisipována.
Mezi těmito dvěma (idealizovanými) soustavami je
analogieatakédiferenciálnírovnicepopisujícítytoprocesy
jsou stejné. Nemusíme tedy studovat novou matematiku
abudemevěnovatplnoupozornostfyzikálnímuději.
33.2 KVALITATIVNÍ ROZBOR
KMITŮ LC
Ze tří obvodových prvků, rezistoru R, kondenzátoru C
acívkyL, jsme dosud probrali sériové zapojení RC
včl.28.8 a RL včl.31.9. Poznali jsme, že vtěchto dvou
typech obvodů náboj, proud a napětí narůstá a klesá s ča-
semexponenciálně.Časovýprůběhrůstunebopoklesulze
charakterizovatpříslušnoučasovoukonstantouτ
C
neboτ
L
.
Nyní zkoumejme třetí možnost — sériové zapo-
jeníLC.Uvidíme,ževtomtopřípaděnáboj,proudanapětí
neklesají exponenciálně s časem, ale mění se harmonicky
(s dobou kmitu T a úhlovou frekvencí ω). Říkáme, že ob-
vod kmitá neboli osciluje a příslušné změny elektrického
pole kondenzátoru a magnetického pole cívky se nazývají
elektromagnetické kmity. Části (a) až (h) na obr.33.1
ukazujíposobějdoucífázeprůběhukmitůvjednoduchém
kmitavémobvoduLC.
Metoda opravování vysokonapětquoterightových vedení, zobrazená na úvodní
fotografii, je patentována Scottem H. Yenzerem a vlastníkem licence
je výhradně Haverfield Corporation z Miami na Floridě. Jakmile se
opravář přiblíží k vedení pod napětím, elektrické pole okolo vedení
způsobí, že jeho tělo získá potenciál blízký potenciálu vedení. Aby
seobapotenciályvyrovnaly,připojíseopravářvodivoutyčíkvedení.
Abynebylusmrcenelektrickýmproudem,musíbýtizolovánodvšeho,
cojeelektrickyspojenosezemí.Aabyjehotělobylonakonstantním
potenciálu — potenciálu vedení, má oblečen vodivý oblek s kapucí
a rukavicemi,kteréjsou spojenypomocívodičesvedením.
Podlerov.(26.21)jeenergieuloženávelektrickémpoli
kondenzátoruv libovolnémokamžikurovna
E
el
(t)=
Q
2
(t)
2C
, (33.1)
kde Q(t) je náboj na kondenzátoru včase t. Podle rov-
nice (31.53) je energie uložená vmagnetickém poli cívky
vlibovolném okamžikurovna
E
mg
(t)=
LI
2
(t)
2
, (33.2)
kdeI(t)jeproud protékajícícívkouv časet.
Přijmeme dále dohodu, že k vyjádření okamžitých hodnot
elektrických veličin, které kmitají harmonicky, použijeme malá
písmena (q,i,u,e )aprojejich amplitudy velká písmena(Q,I,
U,E).
Předpokládejme,žepočátečnínábojqnakondenzátoru
jerovenjehoamplituděQapočátečníproudicívkoujenu-
lový.Tentovýchozístavobvodujenaobr.33.1a.Sloupcové
grafy pro energii ukazují, že vtomto okamžiku při nulo-
vémprouduvcívceamaximálnímnapětínakondenzátoru
je energie E
mg
magnetického pole nulová a energie E
el
elektrickéhopolejemaximální.
Kondenzátorsenynízačnevybíjetpřescívku.Kladný
nábojsepohybujeprotisměruotáčeníhodinovýchručiček
(obr.33.1b), což znamená, že vznikne proud i = dq/dt,
kterýnaobrázkusměřujevcívcedolů.Spolusnábojemna
kondenzátoru klesá i jeho energie. Tato energie se přemě-
ňuje na energii magnetického pole cívky tak, jak narůstá
proud i. Energie elektrického pole tedy klesá a mění se
venergiipolemagnetického.
Kondenzátornakonecztratívšechennáboj(obr.33.1c),
a tím také své elektrické pole a energii v tomto poli aku-
mulovanou. Energie je zcela převedena do magnetického
polecívky.Protožemagneticképolemávtomtookamžiku
největšíhodnotu,másvoumaximálníhodnotuI taképroud
tekoucícívkou.
Ačkoli náboj na kondenzátoru je nyní nulový, proud
dále teče proti směru otáčení hodinových ručiček, nebotquoteright
vdůsledkuelektromagnetickéindukcecívkanedovolí,aby
náhle zanikl. To znamená, že proud pokračuje vpřenosu
kladného náboje z horní elektrody kondenzátoru na jeho
dolní elektrodu obvodem (obr.33.1d). Energie nyní pře-
cházízcívkyzpětdokondenzátorutak,jakpostupněznovu
narůstá elektrické pole kondenzátoru. Proud postupně bě-
hempřenosuenergieklesá.Kdyžjenakonecvšechnaener-
gie přenesena zpět do kondenzátoru (obr.33.1e), proud
klesne na okamžik na nulu. Situace na obr.33.1e je stejná
33.2 KVALITATIVNÍ ROZBOR KMITŮLC 861
(a)
i=0
LC
E
mg
E
el
(b)
i
LC
E
mg
E
el
(c)
maxi
LC
E
mg
E
el
(d)
i
LC
E
mg
E
el
(e)
i=0
LC
E
mg
E
el
(f)
i
LC
E
mg
E
el
(g)
maxi
LC
E
mg
E
el
(h)
i
LC
E
mg
E
el
+
−
+
−+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−+
−
+
−
+
−
+
−
Obr.33.1 OsmstavůjednéperiodykmitůvideálnímobvoduLC (bezodporu).Sloupcovégrafyukaždéhoobrázkuukazujívelikost
energieuloženévmagnetickémavelektrickémpoli.Jsoutéžnaznačenyindukčníčárymagnetickéhopolecívkyaelektrickésiločáry
vkondenzátoru.(a)Kondenzátormámaximálnínábojaproudjenulový.(b)Kondenzátorsevybíjí,proudnarůstá.(c)Kondenzátorje
zcelavybitaproudjemaximální.(d)Kondenzátorjenabíjen,alesopačnoupolaritounežv(a).(e)Kondenzátormámaximálnínáboj
opačné polarity než v (a), proud je nulový. (f) Kondenzátor se vybíjí, proud narůstá v opačném směru než v (b). (g) Kondenzátor je
zcelavybit, proud je maximální.(h) Kondenzátor je nabíjen, proud klesá.
jako původní (obr.33.1a), s tím rozdílem, že kondenzátor
jenynínabitopačně.
Kondenzátor se potom začíná znovu vybíjet, avšak
nyníproudemvesměruotáčeníhodinovýchručiček.Zdů-
vodůprávěuvedenýchvidíme,žeproudvzrůstákmaximu
(obr.33.1g) a pak klesá (obr.33.1h), až se obvod nakonec
dostane do původního stavu (obr.33.1a). Celý proces se
opakujeskmitočtemf atedyúhlovoufrekvencíω = 2D4f.
V ideálním obvodu bez odporu neprobíhá jiná přeměna
energie než mezi elektrickým polem kondenzátoru a mag-
netickýmpolemcívky.Podlezákonazachováníenergieby
kmitypokračovalynekonečnědlouho.Kmitynemusejíza-
čínat s veškerou energií v elektrickém poli — počátečním
stavemmůžebýtkterýkolijiný stavběhemkmitu.
Abychom nalezli časový průběh náboje q na kon-
denzátoru, budeme na něm měřit voltmetrem napětí u
C
.
Zrov.(26.1) plyne
u
C
=
parenleftbigg
1
C
parenrightbigg
q,
odkud můžeme vyjádřit q. Abychom změřili proud, zapo-
jíme do série s kondenzátorem a cívkou malý rezistor R
a změříme časově proměnné napětí u
R
na rezistoru; to je
úměrnéi podlevztahu
u
R
=iR.
Přitom předpokládáme, že odpor R je tak malý, že jeho
vliv na chování obvodu je zanedbatelný. Časový průběh
u
C
au
R
,atedytakéq ai jenaznačenvobr.33.2.Všechny
čtyřiveličinyseměnísčasemharmonicky.
(a)
t
u
C
acegacegac
(b) u
R
t
Obr.33.2 (a) Napětí u
C
na kondenzátoru vobvodu z obr.33.1
jako funkce času t. Napětí u
C
je úměrné náboji q na konden-
zátoru. (b) Napětí u
R
na malém rezistoru je úměrné proudu i
v obvodu z obr.33.1. Písmena se vztahují ke stejně označeným
stavům kmitajícího obvodu zobr.33.1.
862 KAPITOLA 33 ELEKTROMAGNETICKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY
Ve skutečném obvodu LC nebudou kmity trvat neko-
nečně dlouho, protože obvod má vždy jistý odpor, který
odčerpá energii z elektrického a magnetického pole a roz-
ptýlí ji (obvod se zahřeje). Vybuzené kmity postupně za-
niknou, jak je vidět z obr.33.3. Porovnejte tento obrázek
sobr.16.18,kterýukazujeútlummechanickýchkmitů,způ-
sobenýtřenímvsoustavěpružina +těleso.
Obr.33.3 Stopa na stínítku osciloskopu ukazuje útlum oscilací
vobvodu RLC vdůsledku disipace energie vrezistoru.
K
ONTROLA1:Nabitýkondenzátoracívkajsouspojeny
do série včase t = 0. Určete vnásobcích periody T
kmitů obvodu LC, kdy poprvé pro t>0 dosáhne
maximálníhodnotu(a)nábojnakondenzátoru,(b)na-
pětí na kondenzátoru s původní polaritou, (c) energie
akumulovanáv elektrickémpoli,(d)proud.
PŘÍKLAD 33.1
Kondenzátorokapacitě1,5D1Fjenabitnanapětí57V.Potom
jeodpojenodzdrojeapřipojenkcívcesindukčností 12mH.
Takto vzniklý obvod LC bude kmitat. Jaký bude největší
proud vcívce?Předpokládejte, žeodpor obvodu jezanedba-
telný.
ŘEŠENÍ: Zezákonazachováníenergieplyne,žemaximální
energie vkondenzátoru je rovna maximální energii vcívce.
To podle rov.(33.1) a (33.2) znamená,že
Q
2
2C
=
LI
2
2
,
kde I je maximální proud a Q je maximální náboj. (Maxi-
mální proud a maximální náboj se nevyskytnou ve stejném
okamžiku,alejsou posunuty včaseočtvrtinu periody,jakje
zřejméizobr.33.1a33.2.)ZuvedenéhovztahuvypočtemeI
(zaQdosadímeCU) a tím dostaneme
I =U
radicalbigg
C
L
=(57V)
radicalBigg
(1,5·10
−6
F)
(12·10
−3
H)
=
= 0,637A
.
= 640mA. (Odpovědquoteright)
33.3 ELEKTRO-MECHANICKÁ
ANALOGIE
Podívejme se poněkud blíže na analogii mezi kmitajícím
obvodem LC z obr.33.1 a kmitající soustavou tvořenou
tělesemapružinou.Vmechanickésoustavětěleso+pružina
sevyskytují dva druhy energie:jednak potenciálníenergie
stlačené nebo napnuté pružiny, jednak kinetická energie
pohybujícího se tělesa. Oba druhy energie jsou popsány
známýmivztahyv tab.33.1vlevo.
Tabulka také ukazuje dva druhy energie v kmitajícím
obvodu LC. Můžeme vidět analogii mezi dvojicemi: po-
tenciální+kinetická energie mechanické soustavy a mag-
netická + elektrická energie obvodu LC. Rovnice pro v
a i na konci tabulky pomáhají lépe pochopit tuto analogii.
Říkají nám, že náboji q odpovídá výchylka x a proudu i
odpovídá rychlost v (v obou rovnicích se druhá veličina
získá derivací veličiny první). Tato obdoba nás vede k to-
mu,abychomseskupilienergiedodvojicvřádcíchtak,jak
jsouvtabulce.Ztabulkyvyplývá,ževeličině1/Codpovídá
tuhostk aindukčnostiLodpovídáhmotnostm:
q odpovídáx, 1/Codpovídák,
i odpovídáv, Lodpovídám.
PodlematematickéhopopisujetedyobvodLC analogický
soustavě těleso+ pružina, kondenzátor odpovídá pružině
acívkatělesu.
Tabulka33.1 Energie prvků kmitajících soustav
TĚLESO+PRUŽINA CÍVKA+KONDENZÁTOR
PRVEK ENERGIE PRVEK ENERGIE
pružina E
p
=
1
2
kx
2
kondenzátor E
el
=
1
2
(1/C)q
2
těleso E
k
=
1
2
mv
2
cívka E
mg
=
1
2
Li
2
v = dx/dti= dq/dt
Z čl.16.3 víme, že úhlová frekvence kmitů soustavy
těleso+pružinapřizanedbánítřeníje
ω =
radicalbigg
k
m
(soustava těleso+pružina). (33.3)
33.4 KMITYLC KVANTITATIVNĚ 863
Uvedená analogie nás vede k tomu, abychom pro stano-
vení úhlové frekvence kmitů v obvodu LC (bez odporu)
nahradilik veličinou1/CamveličinouL.Tímdostaneme
ω =
1
√
LC
(obvodLC). (33.4)
Tento výsledekodvodímev následujícímčlánku.
33.4 KMITY LC KVANTITATIVNĚ
Nyní potvrdíme platnost rov.(33.4) pro úhlovou frekvenci
kmitůLC.Současněbudemepodrobnějizkoumatanalogii
mezikmityobvoduLC akmitysoustavytěleso+pružina.
Začneme tak, že rozšíříme naše dřívější studium kmitající
soustavytěleso+pružina.
Oscilátor těleso+pružina
Kmity soustavy těleso+pružina jsme studovali v kap.16
z hlediska přenosu energie. Tehdy jsme si však neodvo-
dili základnírovnici,kterámechanickékmity popisuje.To
provedemenyní.
ProcelkovouenergiiEoscilátorutěleso+pružinavli-
bovolnémokamžikumůžemepsát
E =E
k
+E
p
=
1
2
mv
2
+
1
2
kx
2
, (33.5)
kde E
k
je kinetická energie pohybujícího se tělesa a E
p
je
potenciální energie napnuté nebo stlačené pružiny. Přitom
zanedbávámetření,takžesecelkováenergieE sčasemne-
mění,ikdyžsevax mění.PlatítedydE/dt = 0.Derivace
rov.(33.5) podlečasudává
dE
dt
=
d
dt
parenleftbigg
1
2
mv
2
+
1
2
kx
2
parenrightbigg
=
=mv
dv
dt
+kx
dx
dt
= 0. (33.6)
Avšak v = dx/dt,atedydv/dt = d
2
x/dt
2
.Dosazenímdo
rov.(33.6) pakdostaneme
m
d
2
x
dt
2
+kx = 0 (kmity tělesa na pružině). (33.7)
Diferenciální rovnice (33.7) je základní diferenciální rov-
nicí popisující kmity vsoustavětěleso +pružina při zane-
dbánítření.Vystupujevnívýchylkazrovnovážnépolohyx
ajejídruháderivacepodlečasu.
Obecnéřešenírov.(33.7),tj.funkcex(t),kterápopisuje
kmitysoustavytěleso+pružina,je,jakvímezrov.(16.3),
x(t)=Xcos(ωt +ϕ) (výchylka), (33.8)
kde X je amplituda výchylky mechanických kmitů (v ka-
pitole 16 značenáx
m
),ω je úhlová frekvence kmitů a ϕ je
počátečnífáze.
Oscilátor LC
Studujmenyníkmityvobvodu LC bezeztrát.Postupujme
přitom stejně jako vpřípadě soustavy těleso + pružina.
CelkováenergieE,kteroumávkaždémokamžikukmitající
obvodLC,je
E =E
mg
+E
el
=
Li
2
2
+
q
2
2C
, (33.9)
kdeE
mg
jeenergiemagnetickéhopolecívkyaE
el
jeenergie
elektrickéhopolekondenzátoru.Protožejsmepředpokláda-
li,žeodporobvodujenulový,energienenídisipována,takže
E zůstávávčasekonstantní.Jinakřečeno,změnadE/dt je
rovnanule.To vedekevztahu:
dE
dt
=
d
dt
parenleftbigg
Li
2
2
+
q
2
2C
parenrightbigg
=
=Li
di
dt
+
q
C
dq
dt
= 0. (33.10)
Avšak i = dq/dt adi/dt = d
2
q/dt
2
. Dosazením do
rov.(33.10)dostaneme
L
d
2
q
dt
2
+
1
C
q = 0 (kmity obvoduLC), (33.11)
což je diferenciální rovnice, která popisuje kmity vob-
vodu LC beze ztrát. Při porovnání rov.(33.11) a (33.7)
vidíme, že mají stejný matematický tvar a liší se pouze
jiným pojmenovánímproměnnýchakonstant.
Protože tyto diferenciální rovnice jsou matematicky
stejné, jejich řešení musí být také stejná. Protože q odpo-
vídá x, můžeme napsat obecné řešení rov.(33.11) pro q
analogickysrov.(33.8):
q =Qcos(ωt +ϕ)
(časovýprůběh náboje), (33.12)
kdeQ je amplituda proměnného náboje,ω je úhlová frek-
venceelektromagnetickýchkmitů aϕ jepočátečnífáze.
První derivace rov.(33.12) podle času dává proud te-
koucívobvodu LC:
i =
dq
dt
=−ωQsin(ωt +ϕ)
(časovýprůběh proudu). (33.13)
AmplitudaI tohotoharmonickyproměnnéhoproudu je
I =ωQ, (33.14)
takžerov.(33.13)můžemepřepsatdo tvaru
i =−I sin(ωt +ϕ). (33.15)
864 KAPITOLA 33 ELEKTROMAGNETICKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY
Vztah (33.12) je řešením rov.(33.11). Ověříme to tak,
že ho dosadíme spolu s jeho druhou derivací podle času
do rov.(33.11). První derivací rov.(33.12) je rov.(33.13).
Druhou derivacíje
d
2
q
dt
2
=−ω
2
Qcos(ωt +ϕ).
Dosazenímzaq azad
2
q/dt
2
dorov.(33.11) dostaneme
−Lω
2
Qcos(ωt +ϕ)+
1
C
Qcos(ωt +ϕ)= 0.
Má-li toto platit vlibovolném okamžiku t, musí být
−Lω
2
Q+Q/C = 0,odkud
ω =
1
√
LC
.
Za této podmínky je tedy rov.(33.12) opravdu řešením
rov.(33.11). Všimněme si, že tento výraz proω je stejný
jako vztah (33.4), získaný na základě elektromechanické
analogie.
Amplitudu Q i počáteční fázi ϕ určíme z počátečních
podmínek. Jestliže včase t = 0 neteče obvodem proud,
tj. i(0) = 0, musí být ϕ = 0 a okamžitý náboj q(0) musí
nabývatsvémaximálníhodnotyQ.Těmtopočátečnímpod-
mínkám odpovídáobr.33.1a.
Energii uloženou velektrickém poli obvodu LC vli-
bovolném časet dostanemezrov.(33.1)a(33.12):
E
el
=
q
2
2C
=
Q
2
2C
cos
2
(ωt +ϕ), (33.16)
energii uloženou vmagnetickém poli dostaneme z rov-
nic(33.2) a(33.13):
E
mg
=
1
2
Li
2
=
1
2
Lω
2
Q
2
sin
2
(ωt +ϕ).
Když zaω dosadímezrov.(33.4),dostaneme
E
mg
=
Q
2
2C
sin
2
(ωt +ϕ). (33.17)
čas
ener
gie
0 T/2 T
Q
2
2C
E
el
(t)
E
mg
(t)
E=E
mg
+E
el
Obr.33.4 Energie elektrického a magnetického pole vkmita-
vém obvodu LC (obr.33.1) vyjádřená jako funkce času. Po-
všimněmesi,žeúhrnnáenergiezůstávákonstantní.T jeperioda
kmitů.
Obr.33.4 znázorňuje časové průběhy E
el
(t) a E
mg
(t)
pro případϕ = 0.Poznamenejme,že:
1. Maximální hodnota jak E
el
,takiE
mg
je rovna
Q
2
/(2C).
2. Součet E
el
a E
mg
je roven v každém okamžiku
Q
2
/(2C).
3. V okamžiku, kdy je energie E
el
maximální, je E
mg
minimální(nulová)anaopak.
K
ONTROLA 2: Kondenzátor vobvodu LC má maxi-
málnínapětí17Vamaximálníenergii160D1J.Stanovte
(a)emnnacívcea(b)energiiakumulovanouvmagne-
tickémpolivokamžiku,kdyjenakondenzátorunapětí
5V aenergie10D1J.
PŘÍKLAD 33.2
(a) Vyjádřeme pomocí maximálního náboje Q náboj q na
kondenzátoru kmitavého obvodu LC vokamžiku, kdy je
energie rozdělena stejným dílem mezi elektrické a magne-
tické pole. Předpokládejme, žeL= 12mH aC = 1,7D1F.
ŘEŠENÍ: Podle zadání je E
el
=
1
2
E
el,max
.Okamžitáama-
ximální energie akumulovaná v kondenzátoru jsou
E
el
=
q
2
2C
a E
el,max
=
Q
2
2C
.
Zadání vyžaduje, aby
q
2
2C
=
1
2
Q
2
2C
,
a odtud
q =
1
√
2
Q
.
= 0,707Q. (Odpovědquoteright)
(b)Kdyjetatopodmínkasplněna,má-likondenzátornejvětší
náboj včase t = 0?
ŘEŠENÍ: Rov.(33.12) vyjadřuje, jak se q mění s časem.
Protoževčase t = 0jeq =Q,jepočátečnífázeϕrovnanule.
Dosazenímϕ = 0aq = 0,707Qdo rov.(33.12) dostaneme
0,707Q=Qcosωt,
odkud
ωt = 45
◦
=
D4
4
rad.
To odpovídá jedné osmině kmitu. Dosadíme-li za ω zrov-
nice (33.4), dostaneme hledaný čas
t =
D4
4ω
=
D4
√
LC
4
=
D4
radicalbig
(12·10
−3
H)(1,7·10
−6
F)
4
=
= 1,12·10
−4
s
.
= 110D1s. (Odpovědquoteright)
33.5 TLUMENÉ KMITY V OBVODURLC 865
33.5 TLUMENÉ KMITY
VOBVODURLC
Obvod skládající se z rezistoru, cívky a kondenzátoru se
nazývá obvod RLC. Probereme zde pouze sériový ob-
vod RLC, který je na obr.33.5. Je-li přítomen rezistor R,
potom celková elektromagnetická energie E obvodu (sou-
četenergieelektrickéhoamagnetickéhopole)jižnezůstává
konstantní, ale klesá s časem tak, jak je energie postupně
disipována v rezistoru. Proto také postupně klesá ampli-
tuda kmitů náboje, proudu a napětí; říkáme, že kmity jsou
tlumené.Jakuvidíme,jsoukmityvobvoduRLCtlumeny
stejně jako je tomu vtlumené soustavě těleso + pružina
(čl.16.8).
R
CL
Obr.33.5 Sériový obvod RLC. Protože proud vobvodu pro-
chází(střídavě)rezistorem,docházíkdisipacielektromagnetické
energie a kmity se tlumí (zmenšuje se jejich amplituda).
Abychomtytokmityanalyzovali,napíšemerovnicipro
celkovouenergiiEelektromagnetickéhopoletohotoobvo-
du, a to pro libovolný okamžik. Tato energie se ukládá jen
vcívceakondenzátorupodlerov.(33.9):
E =E
mg
+E
el
=
Li
2
2
+
q
2
2C
. (33.18)
Nynívšakjižcelkováenergieneníkonstantní,aleklesátak,
jakjepostupnědisipována.Rychlosttétodisipace(tj.ztrá-
tovývýkon) jepodlerov.(27.22)
dE
dt
=−Ri
2
, (33.19)
kde znaménko minus říká, že E s časem klesá. Derivací
rov.(33.18) podle času a dosazením výsledku do rov-
nice(33.19) dostaneme
Li
di
dt
+
q
C
dq
dt
=−i
2
R.
Dosadíme-li dq/dt za i ad
2
q/dt
2
za di/dt, dostaneme po
vykráceníi
L
d
2
q
dt
2
+R
dq
dt
+
1
C
q = 0 (obvodRLC), (33.20)
cožje diferenciálnírovnice popisujícítlumené kmity v sé-
riovémobvoduRLC.
Tatorovnicemářešení
q =Qe
−Rt/(2L)
cos(ω
prime
t +ϕ), (33.21)
kde
ω
prime
=
radicalBig
ω
2
−(R/2L)
2
(33.22)
a ω = 1/
√
LC je stejné jako vpřípadě netlumených kmi-
tů. Rov.(33.21) vyjadřuje, jak se v čase mění nábojQ na
kondenzátoru vtlumeném obvodu RLC. Tato rovnice je
elektromagnetickým protějškem rov.(16.40), která určuje
časový průběh výchylky tlumeného mechanického oscilá-
toru těleso+pružina.
Rov.(33.21) popisuje kmity (kosinový člen) s expo-
nenciálně klesající amplitudou Qe
−Rt/(2L)
. Úhlová frek-
vence ω
prime
tlumených kmitů je tedy vždy menší než úhlová
frekvence ω netlumených kmitů; pokud je odpor R dosta-
tečněmalý,lzeω
prime
nahradithodnotouω.
Vyjádřeme dále celkovou elektromagnetickou ener-
gii E obvodu jako funkci času. Jeden způsob, jak toho
dosáhnout,jesledo