hrw31

31
Elektromagnetick· indukce
Kdyûv polovinÏ pades·t˝ch let zaËal rock, vymÏnili z·hy kytaristÈ svÈ
akustickÈ n·stroje za elektrickÈ. Jimi Hendrix jako prvnÌ z nich pojal
elektrickou kytaru jako elektronick˝ n·stroj. Z·¯il na scÈnÏ öedes·t˝ch let
technikou rozezvuËov·nÌ n·stroje, polohou kytary u mikrofonu udrûoval
zpÏtnou vazbu, aby ji pak ve vrcholu ztlumil. Jeho myölenky ovlivÚujÌ rock
dodnes. Co ale vlastnÏ natolik odliöuje elektrickou kytaru od akustickÈ,
ûe Hendrix mohl tak vynalÈzavÏ uûÌvat tento elektronick˝ n·stroj
?
31.3 FARADAYŮV ZÁKON ELEKTROMAGNETICKÉ INDUKCE 799
31.1 DVĚ SYMETRICKÉ SITUACE
Pustíme-li proud do vodivé smyčky v magnetickém poli,
bude na ni magnetické pole působit momentem síly, při-
čemžplatí:
proudovásmyčka+magneticképole ⇒
⇒ momentsíly; (31.1)
to jsme zjistili včl. 29.8. A co když naopak vypneme
proud a budeme otáčet smyčkou ručně: obrátí se šipka ve
vztahu (31.1)? Objeví se nyní ve smyčceproud? Odpovědquoteright
jekladná:
moment síly+magneticképole ⇒
⇒ elektrickýproud. (31.2)
Souvislostivyjádřenévztahy(31.1)a(31.2)jsousymetric-
ké.Fyzikálnízákonvyjadřujícíproces(31.2)senazýváFa-
radayův zákon elektromagnetické indukce. Zatímco podle
procesu (31.1) pracuje elektrický motor, je proces (31.2)
základem činnosti elektrického generátoru. Faradayovým
zákonema jeho důsledkysebudemezabývatv následující
kapitole.
31.2 DVA POKUSY
Zkoumejme dva jednoduché pokusy jako přípravu k vý-
kladuFaradayovazákonaelektromagnetickéindukce.
První pokus. Obr.31.1 ukazuje vodivou smyčku při-
pojenou k citlivému měřidlu elektrického proudu. Obvo-
dem neteče žádný proud, protože vněm není zapojena
J
S
Obr.31.1 Měřidlo
proudu (ampérmetr) uka-
zuje proud ve smyčce,
dokud se magnet vůči
smyčcepohybuje.
baterie ani jiný zdroj elektromotorického napětí. Pokud se
všakpřibližujemetyčovýmmagnetemkesmyčce,vobvodu
se proud objeví. Proud zanikne, když se magnet zastaví.
Vzdalujeme-li se magnetem od smyčky, proud opět ob-
vodemprotéká,aletentokrátvopačnémsměru.Vesmyčce
vznikáproudtakétehdy,pohybujeme-lismyčkouvzhledem
k magnetu. Po chvíli experimentování můžeme učinit tyto
závěry:
1. Vznik proudu je vázán na relativní pohyb mezi smyč-
kouamagnetem(jednosemusípohybovatvůčidruhému);
proud zanikne,ustane-lirelativnípohyb.
2. Rychlejšípohyb způsobívětšíproud.
3. Způsobuje-li pohyb severního pólu magnetu směrem
kesmyčceproudvjednomsměru,potompohybodsmyčky
způsobuje proud ve směru opačném. Pohyb jižního pólu
magnetutéžvytváříproud,atovždyvesměrechopačných,
nežtomubylo upohybu pólu severního.
Proudvytvořenývesmyčcetímtozpůsobemsenazývá
indukovaný proud,prácepřipadajícínajednotkovýnáboj
při vytváření tohoto proudu se nazývá indukované emn
a tento proces vytvoření proudu se nazývá elektromagne-
tická indukce.
Druhý pokus. K tomuto pokusu použijeme aparaturu
znázorněnounaobr.31.2.Skládásezedvousmyček,které
jsoublízkosebe,alenedotýkajíse.Zapneme-lispínačemS
proudvesmyčcenapravéstraně,pakměřidlonalevéstraně
náhleakrátcezaznamenáproud—indukovanýproud.Vy-
pneme-li spínačem proud, měřidlo vlevé smyčce opět na
krátký čas zaznamená proud, tentokrát vobráceném smě-
ru.Indukovanýproud(atedytakéemn)opětvznikápouze
tehdy, když se proud vpravé části mění (budquoteright při zapnutí,
nebovypnutí),nikolivalevpřípadech,kdyjeproudbudící
magneticképolestálý,ikdybydosahovaljakkolivysokých
hodnot.
S
+
Obr.31.2 Měřidloprouduukazuje proudvlevésmyčcejednak
po zapnutí proudu spínačem vpravé smyčce, jednak po násled-
ném vypnutí proudu. Smyčky se nepohybují.
Indukované emn a indukovaný proud v těchto poku-
sech zřejmě vznikají tehdy, když se něco mění. Co ale je
ono „něco“?Faradaytopoznaljakoprvní.
31.3 FARADAYŮV ZÁKON
ELEKTROMAGNETICKÉ INDUKCE
Faradaypřišelnato,žeemnaproudmohoubýtvesmyčce
indukovány (tak jako tomu bylo v našich dvou pokusech)
měnícím se magnetickým polem procházejícím smyčkou.
Dálepřišelnato,žemagneticképolelzeznázornitpomocí
800 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE
magnetickýchindukčníchčarprocházejícíchsmyčkou.Fa-
radayůvzákon elektromagnetické indukce, vyjádřený na
základěnašichpokusů,zní:
Ve smyčce znázorněné na obr.31.1 a 31.2 se indukuje
emn, když se mění počet indukčních čar procházejících
plochousmyčky.
Velmi důležité je, že nezáleží na počtu indukčních čar
procházejících plochou* smyčky; velikost emn a induko-
vaného proudu závisí na rychlosti změny tohoto počtu.
V našem prvním pokusu (obr.31.1) vycházejí indukční
čáry ze severního pólu magnetu. Když tedy přibližujeme
severní pól ke smyčce, roste počet indukčních čar prochá-
zejících smyčkou. Tímto nárůstem se zjevně vyvolá po-
hybvodivostníchelektronůvesmyčce(indukovanýproud)
a poskytuje se energie (indukované emn) k jejich pohy-
bu. Zastaví-li se magnet, nemění se počet indukčních čar
procházejícíchsmyčkouaindukovanýproudiindukované
napětízaniknou.
Pokud je vnašem druhém pokusu (obr.31.2) spínač
vypnut, pak neteče elektrický proud, není žádné magne-
ticképoleatedyanižádnéindukčníčáry.Kdyžvšakzapo-
jímeelektrickýprouddopravésmyčky,vytvořívzrůstající
elektrický proud kolem ní, a tedy i vokolí levé smyčky,
rostoucí magnetické pole. Tak jako vprvním pokusu i zde
polenarůstá,tedyindukčníchčarpřibýváavlevésmyčcese
indukuje emn, které v ní vyvolá proud. Dosáhne-li proud
vpravé smyčce ustálené hodnoty, přestane se již měnit
počet indukčních čar procházejících plochou levé smyčky
aindukovanéemni indukovanýproud vní vymizí.
Kvantitativní pojednání
AbychommohliFaradayovazákonaužívatkvýpočtům,po-
třebujeme stanovit vhodnou míru magnetického pole pro-
cházejícího smyčkou. V čl.24.3 jsme vpodobné situaci
ke stanovení míry elektrického pole procházejícího plo-
chou definovali tok elektrické intenzity Φ
E
=
integraltext
S
E ·dS.
Nyní definujeme magnetický tok. Uvažujme orientovanou
smyčku C ohraničující plochu S, vloženou do magnetic-
kého pole B. Magnetický indukční tok smyčkoupakje:
Φ
B
=
integraldisplay
S
B·dS
(magnetický tok
plochouS).
(31.3)
Tak jako vkap.24 značí d S vektor o velikosti dS, který je
kolmýkplošce;jehosměrjesvázánsorientacísmyčkypra-
vidlem pravé ruky. (Ohneme-li prsty pravé ruky ve směru
* Připomeňme, že podobnějako včl. 30.3 lze použítplochu libovol-
néhotvaru,má-li zasvou hraniciuvažovanousmyčku.
orientovanékřivky,kteráobepínáploškudS ajejížorien-
tace je vsouladu s orientací celé smyčky C, pak vztyčený
palecukazujesměrdS.)
Jako zvláštní případ uvažujme smyčku ležící v rovině
kolmékhomogennímumagnetickémupoli.Orientujeme-li
dS souhlasně s B, je skalární součin vrov.(31.3) roven
BdScos0
◦
=BdS.Protožemagneticképolejehomogen-
ní,lzeB vytknoutpředintegrál.Integrál
integraltext
dS potomudává
obsah S rovinné plochy ohraničené smyčkou. Rov.(31.3)
setakredukujena vztah
Φ
B
=BS (B⊥S,pole B je homogenní). (31.4)
Z rov.(31.3) i (31.4) vidíme, že jednotkou magnetického
indukčníhotoku jeT·m
2
.Nazývámeji weber (Wb):
1weber = 1Wb= 1T·m
2
. (31.5)
Použitímmagnetickéhoindukčníhotokumůžemevyslovit
Faradayůvzákontakto:
Velikost emn indukovaného ve vodivé smyčce je rovna
rychlostizměnymagnetickéhoindukčníhotokuprochá-
zejícíhotoutosmyčkou.
Matematickýzápistohoto zákonaje
E =−
dΦ
B
dt
(Faradayůvindukční zákon). (31.6)
Zdůrazněme, že rov.(31.6) vyjadřuje indukované emn
nejen pro uvedené dva pokusy, ale pro všechny procesy
při nichž dochází ke vzniku emn. V příštím odstavci na-
víc uvidíme, že indukované emn brání změně magnetic-
kéhoindukčníhotoku,cožvyjadřujemeznaménkemminus
v rov.(31.6). (Zajímáme-li se jen o velikost indukovaného
emn,není zápornéznaménkopodstatné.)
Jestližeměnímemagnetickýindukčnítokprocházející
cívkouoN závitech,pakindukovanéemnvznikávkaždém
závituacelkovéemnindukovanévcívcejesoučtemtěchto
jednotlivých indukovaných napětí.Je-li cívka vinuta těsně
(hustě vinutá),jetokkaždýmzN závitůtýž,takžecelkový
tokjeNΦ
B
aindukovanéemnnacelémvinutí je
E =−N
dΦ
B
dt
(cívka oN závitech). (31.7)
Magnetickýindukčnítokcívkoumůžememěnitrůzně:
1. MěnímevelikostB magnetickéhopolevcívce.
2. Měnímeobsahprůřezucívky,resp.téčástiplochy,která
ležívmagnetickémpoli(atquoterightužnapř.rozpínánímcívkynebo
vysouvánímcívkyzmagnetickéhopole).
3. MěnímeúhelmezisměremmagnetickéhopoleBaplo-
chou cívky (například otáčením cívky) tak, aby se měnil
početindukčníchčarprocházejícíchplochoucívky.
31.4 LENZŮV ZÁKON 801
PŘÍKLAD 31.1
Dlouhý solenoid Sna obr.31.3 má 220 závitů na 1cm a teče
jím proud I = 1,5A;jehoprůměrjeD = 3,2cm.Vjeho
středu umístíme hustě vinutou cívku Co130 závitecha prů-
měru d = 2,1cm. Proud solenoidem poklesne rovnoměrně
na nulu za 25ms.Jaké emnse tím indukuje vcívce C?
ŘEŠENÍ: Cívka C je umístěna v magnetickém poli B vy-
tvořeném proudem v solenoidu S. Klesá-li proud, klesá i B.
Tím klesá i magnetický indukční tok cívkou. Během tohoto
poklesu se v cívce indukuje emn podle Faradayova zákona.
Abychomurčilivelikostemn,zjistímenejdřívepočátečníve-
likost magnetické indukce B
i
pole vsolenoidu dosazením
zadaných hodnot do rov.(30.25)
B
i
=µ
0
In=
=(4D4·10
−7
T·m·A
−1
)·
·(1,5A)(220cm
−1
)(100cm/m)=
= 4,15·10
−2
T.
ObsahplochyzávitucívkyCje
1
4
D4d
2
= 3,46·10
−4
m
2
.Mag-
neticképolesolenoidujekolméktétoplošeapředpokládáme,
že je na této ploše homogenní. Můžeme tedy najít počáteční
magnetický indukční tok Φ
B,i
každým závitem cívky C do-
sazením do rov.(31.4):
Φ
B,i
=B
i
S =(4,15·10
−2
T)(3,46·10
−4
m
2
)=
= 1,44·10
−5
Wb = 14,4D1Wb.
KoncovémagneticképoleB
f
amagnetickýindukčnítokΦ
B,f
jsounulové.Změnamagnetickéhoindukčníhotokuvkaždém
závitu cívky C byla Delta1Φ
B
= 14,4D1Wb. Protože se proud
vsolenoidu, a tím i magnetický indukční tok, zmenšovaly
rovnoměrně,můžemezapsatFaradayůvzákon(31.7)vetvaru
E =N
Delta1Φ
B
Delta1t
,
kdeN jepočetzávitůcívky.(Vrov.(31.7)neuvažujemezna-
ménko minus, protože hledáme pouze velikost E). Dosaze-
ním dostáváme
E =(130)
(14,4·10
−6
Wb)
(25·10
−3
s)
=
= 7,5·10
−2
V = 75mV. (Odpovědquoteright)
osa
I
I
C
S
Obr.31.3 Příklad 31.1. Cívka C je umístěna uvnitř solenoidu S,
kterýmtečeproudI.
K
ONTROLA 1: Graf udává velikost B(t) homogen-
níhomagnetickéhopoleprocházejícíhokolmokrovině
smyčky. Uspořádejte pět úseků grafu vzestupně podle
velikostiemnindukovanéhovesmyčce.
abcde
t
B(t)
31.4 LENZŮV ZÁKON
Krátcepoté,coFaradayobjevilaformulovalzákonelektro-
magnetické indukce, vyslovil Emil Lenz pravidlo — nyní
většinou nazývané Lenzův zákon — k určování směru
indukovanéhoproudu vesmyčce:
Indukovaný proud má takový směr,žemagneticképole
tímto proudem vzbuzené působí proti změně magnetic-
kéhopole,kteráproud indukovala.
Abychom získali dobrou představu o použití Lenzova
zákona,užijemehodvěmarůznýmiapřitomrovnocennými
způsoby vsituaci na obr.31.4,kdy se severní pól magnetu
přibližujekvodivé smyčce.
I
µ
JS JS
Obr.31.4 Použití Lenzova zákona. Pohybujeme-li magnetem
ke smyčce, indukuje se ve smyčce proud I proti směru otáčení
hodinovýchručiček;tentoproudvytvářívlastnímagneticképole
smagnetickým dipólovým momentem µ takovým,žebránípři-
bližování magnetu.
1. Působení proti pohybu pólu. Přibližujeme-li severní
pól magnetu ke smyčce (obr.31.4), roste magnetické pole
vploše smyčky a tím se ve smyčce indukuje proud.
Z obr.30.22 víme, že smyčce protékané proudem odpo-
vídá magnetický dipól s jižním a severním pólem a že
magnetický dipólový moment µ směřuje od jihu k se-
veru. Aby byl magnet podle Lenzova zákona odpuzován
(obr.31.4), a tak se působilo proti narůstání magnetického
polezpůsobenéhopřibližujícímsemagnetem,musíseverní
802 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE
pól smyčky (a tedy i µ) směřovat k přibližujícímu se se-
vernímu pólu magnetu. Podle pravidla pravé ruky pro µ
(obr.30.22) proud I indukovaný ve smyčce teče ve směru
vyznačenémnaobr.31.4.
Táhneme-li naopak magnet od smyčky, indukuje se
znovu ve smyčce proud. Nyní však bude jižní pól smyčky
přivrácen vzdalujícímu se severnímu pólu magnetu, takže
brání vzdalování. Proud tedy bude indukován v opačném
směrunežnaobr.31.4.
2. Působení proti změně magnetického indukčního to-
ku. Podle obr.31.4 neprochází smyčkou prakticky žádný
magnetický indukční tok, pokud je magnet daleko. Když
sesevernípólmagnetublížíkesmyčce,jejehomagnetické
pole B namířeno doleva a tok smyčkou roste. Aby se brá-
nilo růstu magnetického toku, musí indukovaný proud I
vytvořit vlastní pole B
I
uvnitř smyčky namířené doprava,
jak ukazuje obr.31.5a; potom tok pole B
I
zeslabuje ros-
toucí tok pole B. Podle pravidla pravé ruky z obr.30.22
musíproudI técivsituacinaobr.31.5aprotisměruoběhu
hodinových ručiček.
(a)
vzrůstající B B
I
I
(b)
klesající B
B
I
I
(c)
vzrůstající BB
I
I
(d)
klesající B
B
I
I
Obr.31.5 Proud I indukovaný ve smyčce má takový směr, že
magnetické pole B
I
tohoto proudu brání změně magnetického
pole B indukujícího I.PoleB
I
je namířeno proti vzrůstajícímu
poliBvobr.(a),(c),alemástejnýsměrjakoklesajícíBvobr.(b),
(d).
Dobře si všimněme,