hrw31

že tok pole B
I
vždy brání změně
toku pole B, to ale nemusí znamenat, že B
I
je namířeno
proti B. Táhneme-li například magnet od smyčky, míří B
stáledoleva,alejehotokΦ
B
senynízmenšuje.TokpoleB
I
tedymusíbránitpoklesuΦ
B
,aprotovektoryB
I
aBbudou
nynímít stejnýsměr(obr.31.5b).
Obr.31.5c,dukazujísituace,vnichžsejižnípólmag-
netupřibližujenebovzdalujesmyčce.
Elektrické kytary
Obr.31.6ukazujeFenderůvStratocaster,typelektrickéky-
tary,užívanéJimiHendrixemamnohýmidalšímihudební-
ky. Zatímco klasická kytara vytváří svůj zvuk v duté části
nástrojeakustickourezonancíkmitůstrun,nemáelektrická
kytara dutou část, která by rezonovala. Místo toho jsou
kmitykovovýchstrunsnímányelektrickýmisnímači,které
převádějí mechanický podnět na elektrický signál, ten se
dále zesiluje a konečně převádí na zvuk v soustavě repro-
duktorů.
Obr.31.6 FenderůvStratocaster má tři skupiny po šesti elek-
trických snímačích (vširoké části nástroje). Přepínač snímačů
umožňujehudebníkovivolit,kteráskupinasnímačůbudevysílat
signály do zesilovačů a reproduktorové soustavy.
Základní konstrukce snímače je patrná z obr.31.7. Je
tvořen cívkou navinutou na malý permanentní magnet, je-
hož magnetické pole indukuje severní a jižní pól v části
kovové struny, která je právě nad magnetem. Tato část má
potomsvojevlastnímagneticképole.Brnkneme-linastru-
nu,začnestrunakmitat,jejípohybvůčicívceměníindukční
magnetický tok cívkou a tím se v cívce indukuje proud.
Struna příčně kmitá k cívce a od ní, indukovaný proud
měnísměrsestejnoufrekvencíjakokmitystrunyapřenáší
tytokmity do zesilovačea reproduktoru.
S
S
J
J
kovovákytarovástruna
cívka
magnet
kzesilovači
Obr.31.7 Boční pohled na elektrický kytarový snímač. Roz-
kmitáme-likovovoustrunu(kterápůsobíjakomagnet),indukují
změnymagnetického indukčního toku vcívce proud.
31.4 LENZŮV ZÁKON 803
NaStratocasterujsoutřiskupinysnímačů,umístěných
blízkouchycenístrunnaširokéčástikorpusu.Skupinanej-
blížekobylcelépezachycujekmitysvyššímifrekvencemi,
skupinanejdáleodkobylkyzachycujelépefrekvencenižší.
Přepínačem na kytaře může hudebník volit, které skupiny
snímačů budou vysílat signály do zesilovače a reproduk-
torů.
Dalších efektů dociloval někdy Hendrix převinutím
snímačůsvékytarynajinýpočetzávitů.Měniltakvelikost
emn indukovaného v cívkách a tím i jejich citlivost. I bez
tohoto dodatečného zásahu však nabízí elektrická kytara
mnohem větší možnosti ovládání vytvářeného hudebního
zvukunežkytaraklasická.
K
ONTROLA2:Obrázekukazujetřisituace,vnichžjsou
stejnékruhovévodivésmyčkyvhomogenníchmagne-
tických polích,která rostou nebo klesají stejně rychle.
Přerušovaná čára, vymezující hranici změn pole, pro-
chází vždy středem kruhu. Seřadquoterightte situace sestupně
podlevelikostiproudu indukovanéhove smyčce.
(a)
roste
klesá
(b)
roste
klesá
(c)
roste
roste
PŘÍKLAD 31.2
Obr.31.8 ukazuje vodivou smyčku, kterou tvoří půlkružnice
opoloměrur = 0,20matřipříméúseky.Půlkruhjevhomo-
genním magnetickém poli B vystupujícím kolmo ze stránky
knám;B = 4,0t
2
+2,0t +3,0vjednotkáchSI.Dosmyčky
je zapojena ideální baterie o emnE
bat
= 2,0V.Smyčkamá
odpor 2,0Omega1.
r
+
r/2
E
bat
Obr.31.8 Příklad31.2.Dosmyčkyvloženédohomogenníhomag-
netickéhopolejezapojenabaterie.Polevystupujekolmozestránky
k náma jehovelikostse sčasemmění.
(a) Jaká je velikost a orientace emn E
ind
indukovaného ve
smyčce včase t = 10s?
ŘEŠENÍ: Podle rov.(31.6) je velikostE
ind
rovna rychlosti
dΦ
B
/dt, s níž se mění magnetický indukční tok smyčkou.
Protožejepole homogenní akolmé kroviněsmyčky,jejeho
tok dán rov.(31.4), tj. Φ
B
= BS. Použijeme-li tuto rovnici
a uvědomíme-li si, že se mění v čase jen velikost B pole
(nikolivobsahplochy S),můžemepřepsatrov.(31.6)dotvaru
E
ind
=
dΦ
B
dt
=
d(BS)
dt
=S
dB
dt
.
Protože magnetický indukční tok prochází smyčkou jen
uvnitř půlkruhu, je S =
1
2
D4r
2
. Dosazením výrazů pro S
aproB dostaneme
E
ind
=S
dB
dt
=
D4r
2
2
d
dt
(4,0t
2
+2,0t +3,0)=
=
D4r
2
2
(8,0t +2,0) (vSI).
Včaset = 10s platí
E
ind
=
D4(0,20)
2
2
(8,0·10+2,0)V =
= 5,152V
.
= 5,2V. (Odpovědquoteright)
Naobr.31.8vystupuje magnetickáindukcezestránky k nám
a narůstá. Podle Lenzova zákona tedy indukované pole B
I
(způsobené indukovaným proudemI)směřujeod nás.
Užitím pravidla pravé ruky (obr.30.7c) zjistíme, že indu-
kovaný proud teče smyčkou ve směru otáčení hodinových
ručiček,takže orientaceE
ind
je táž.
(b) Jaký proud teče smyčkou včase t = 10s?
ŘEŠENÍ: Zatímco indukované emn o velikostiE
ind
vyvolá
proud smyčkou ve směru otáčení hodinových ručiček, má
emnbaterieE
bat
tendencihnátproudsměremopačným.Pro-
tožeE
ind
>E
bat
,jevýslednéemnE
výs
orientovánovesměru
otáčení hodinových ručiček a stejným směrem teče i proud.
Jeho velikost v čase t = 10s určíme pomocí rov.(28.2)
(I =E/R):
I =
E
výs
R
=
E
ind
−E
bat
R
=
(5,152V)−(2,0V)
(2,0Omega1)
=
= 1,58A
.
= 1,6A. (Odpovědquoteright)
PŘÍKLAD 31.3
Obr.31.9ukazujepravoúhlouvodivousmyčkuvnehomogen-
ním časově proměnném magnetickém poli B(x,t) vstupují-
cím kolmo do stránky od nás. Velikost pole je dána vztahem
B = 4t
2
x
2
, kde B, t, x jsou vjednotkách SI. Smyčka má
šířku d = 3,0m a výšku h = 2,0m. Jaká je velikost a směr
emnindukovaného podél smyčky v časet = 0,10s?
804 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE
ŘEŠENÍ: Velikost indukovaného emn plyne z Faradayova
zákona: E = dΦ
B
/dt. K výpočtu potřebujeme znát tok Φ
B
smyčkou jako funkci času. Protože B není homogenní na
plošeohraničenésmyčkou,nemůžemeužítrov.(31.4)(Φ
B
=
=BS),ale musíme užít rov.(31.3) (Φ
B
=
integraltext
B·dS).
Na obr.31.9 je vektor B kolmý k rovině smyčky (a tedy
rovnoběžné s vektorem plošného elementu dS). Vektor dS
orientujeme souhlasně s vektorem B. Potom skalární součin
vrov.(31.3)jeroven BdS.Protožesemagneticképolemění
podél souřadnice x a nikolivpodél souřadnice y, můžeme
jako element plochy vzít plochu svislého proužku výšky h
ašířkydx (jak ukazuje obr.31.9). Potom dS = hdx atok
smyčkou je
Φ
B
=
integraldisplay
B·dS =
integraldisplay
BdS =
integraldisplay
d
0
Bhdx =
=
integraldisplay
d
0
4t
2
x
2
hdx (vSI).
Při této integraci beremet jako konstantu. Po dosazení inte-
gračníchmezídostáváme
Φ
B
= 4t
2
h
integraldisplay
3,0
0
x
2
dx = 4t
2
h
bracketleftbigg
x
3
3
bracketrightbigg
3,0
0
=(72t
2
),
kdeΦ
B
jeveweberech.NynímůžemeužítFaradayůvzákon
ke zjištění velikostiE vzávislosti na čase
E =
dΦ
B
dt
=
d(72t
2
)
dt
=(144t),
kdeE je ve voltech. Prot = 0,10sje tedy
E =(144V·s
−1
)(0,10s)
.
= 14V. (Odpovědquoteright)
Magnetickáindukce B(obr.31.9)vstupuje kolmodostránky
a její velikost roste sčasem.
x
y
h
d
B
dx
dS
Obr.31.9 Příklad 31.3. Uzavřená vodivá smyčka o šířce d
avýšceh leží v nehomogenním, časově proměnném poli vstu-
pujícím do stránky. Pro výpočet toku Φ
B
plochu rozdělíme na
svisléproužkyovýšceh,šířcedx aplošedS.
Podle Lenzova zákona vystupuje pole B
I
indukovaného
proudu,kterébránítomutovzrůstu,zestránky.Protojeproud
vesmyčceindukovánprotisměruotáčeníhodinovýchručiček
a stejně je tomu sindukovaným emn.
31.5 INDUKCE A PŘENOSY ENERGIE
Atquoteright pohybujeme magnetem na obr.31.1 ke smyčce nebo
od ní, brání podle Lenzova zákona tomuto pohybu síla,
při jejímž přemáhání konáme práci. Současně vmateriálu
smyčky,kterouprotékáindukovanýproud,vznikáJoulovo
teplo,protožemateriálsmyčkymáurčitýelektrickýodpor.
Energie, kterou do uzavřené soustavy smyčka + magnet
zvnějškudodávámepracíkonanounašísilou,jevesmyčce
disipována. (Prozatím zanedbáme energii, která se v prů-
běhu procesu vyzáří jako elektromagnetické vlny.) Čím
rychleji pohybujeme magnetem, tím větší je výkon naší
(vnější) síly a tím rychleji se ve smyčce vyvíjí Joulovo
teplo.
K uvedenépřeměněenergiedocházíbez ohledu nato,
jak je proud ve smyčce indukován. Když např. v obr.31.2
sepnemespínačSakrátcesevlevésmyčceindukujeproud,
přeneseseenergiezbateriedolevésmyčky,kdejevmate-
riálusmyčky(pokud nenísupravodivý)disipována.
Obr.31.10 ukazuje jinou situaci, při níž vzniká indu-
kovaný proud. Obdélníková drátěná smyčka šířky L má
jednu stranu vhomogenním magnetickém poli kolmém
kroviněsmyčky.(Totopolemůžemevytvořitnapř.velkým
elektromagnetemsvhodnýmipólovýminástavci.)Smyčku
vytahujeme stálou rychlostí v z magnetického pole ven.
Všimněme si rozdílu mezi situací na obr.31.10 a 31.1. Na
obr.31.1semagnetickýindukčnítokměníproto,žesemění
pole B, zatímco na obr.31.10 se mění plocha smyčky zů-
stávajícívmagnetickémpoli,kteréjeneproměnné.
b
F
1
F
2
F
3
L
v
I
B
x
Obr.31.10 Uzavřenouvodivousmyčkuvytahujemekonstantní
rychlostív zmagnetickéhopoleB.Běhempohybusevesmyčce
indukuje proud I ve směru otáčení hodinových ručiček a na
části smyčky vmagnetickém poli působí síly F
1
, F
2
a F
3
.Hra-
nicemagnetickéhopolejevyznačenačárkovaně;rozptylpolena
hranici zanedbáme.
Vypočítejme nyní výkon potřebný pro vytahování
smyčky(vnížprotékáindukovanýproud).
31.5 INDUKCE A PŘENOSY ENERGIE 805
Ukážeme, že pokud chceme táhnout smyčku stálou
rychlostí v, musíme na ni působit stálou silou F.Tamá
stejnouvelikostjakosíla,kteroupřemáháme,alemáopačný
směr.Podlerov.(7.49)je potomvýkon roven
P =Fv, (31.8)
kde F je velikost naší síly. Chceme najít výkon P jako
funkci velikosti B magnetické indukce a charakteristik
smyčky, tedy jejího elektrického odporu R ašířkyL.Po-
hybujeme-li smyčkou na obr.31.10 doprava, zmenšuje se
obsah S plochy smyčky vnořené do magnetického pole.
Tím se zmenšuje i magnetický tok smyčkou a podle Fara-
dayova zákona vzniká ve smyčce proud. Právě přítomnost
tohotoprouduzpůsobujesílu(Ampérovusílu),kteroumu-
símesvýmtahempřemáhat.
ProudurčímezFaradayovaindukčníhozákona(31.6).
Je-lixdélkačástismyčkyvmagnetickémpoli,je Lxplocha
této části. Potom podle rov.(31.4) je magnetický indukční
toksmyčkou
Φ
B
=BS=BLx. (31.9)
Zmenšuje-li se x, zmenšuje se tok. Podle Faradayova zá-
kona se při tomto zmenšování toku indukuje ve smyčce
emn.Dosadíme-lizrov.(31.9) do(31.6),dostaneme
E =−
dΦ
B
dt
=−
d
dt
(BLx)=−BL
dx
dt
=BLv, (31.10)
kde velikost v rychlosti, s níž vytahujeme smyčku z mag-
netického pole, je rovna −dx/dt,protožex(t)se s časem
zmenšuje.
Obr.31.11 ukazuje obvod, jímž indukovaný proud te-
če: emn E je znázorněno na levé straně, celkový odpor R
smyčky je znázorněn na straně pravé. Směr indukovaného
proudu plyne z Lenzova zákona; magnetické pole jím vy-
tvořenébrání poklesumagnetickéhotoku.
E
I
I
R
Obr.31.11 Schémaobvodunaobr.31.10propřípadpohybující
se smyčky.
Velikostindukovanéhoproudunemůžemenajítpomocí
Kirchhoffovazákonapronapětípodélsmyčky,protožepro
indukované emn nemůžeme definovat potenciál, jak uvi-
díme v čl.31.6. Můžeme však užít vztahu I = E/R,jako
jsmetoudělalivpř.31.2.Pomocí rov.(31.10)dostáváme
I =
BLv
R
. (31.11)
Tři části proudem protékané smyčky leží vmagnetic-
kémpoli.Nakaždouznichpůsobísílapodlerov.(29.26):
F =IL×B. (31.12)
Tytosílyjsouvobr.31.10značeny F
1
,F
2
aF
3
.Všimnětesi,
žedíkysymetriijsousílyF
2
aF
3
soběrovnycodovelikosti
a vzájemně se ruší. Zůstává pouze síla F
1
namířená proti
síleF,tj.protisíle,kteroutáhnemesmyčku.Posunujeme-li
smyčkubezzrychlení,musíplatit F =−F
1
.
Použijeme-lirov.(31.12)a uvážíme-li,žeúhel meziB
avektoremLdélkyLlevéstranyobdélníkaje90
◦
,můžeme
psát
F =F
1
=ILBsin90
◦
=ILB. (31.13)
Dosazenímrov.(31.11)do (31.13)dostaneme
F =
B
2
L
2
v
R
. (31.14)
HodnotyB,LiRjsoukonstantní.Protoževelikostvrych-
losti pohybu smyčky je také konstantní, musíme smyčku
táhnoutsiloustálévelikostiF,a tojsmechtělidokázat.
Dosazením rov.(31.14) do rov.(31.8) dostaneme vý-
konpotřebnýprovytahovánísmyčkyzmagnetickéhopole:
P =vF =
B
2
L
2
v
2
R
(výkon). (31.15)
K dokončení naší úvahy určíme, s jakým výkonem se
ve smyčce vyvíjí Joulovo teplo, když ji vytahujeme stálou
rychlostí.To vypočtemezrov.(27.22),
P =I
2
R. (31.16)
DosazenímzaI zrov.(31.11)dostáváme
P =
parenleftbigg
BLv
R
parenrightbigg
2
R =
B
2
L
2
v
2
R
(tepelný výkon), (31.17)
což je přesně rovno výkonu vnější síly při vytahování
smyčky podle rov.(31.15). Práce vynaložená při vyta-
hování smyčky se tedy projeví nárůstem vnitřní energie
smyčkyatími zvýšenímjejíteploty.
806 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE
Přivařenína indukčních kamnech je cívka,umístěná přímopod
varnou plochou, napájena vysokofrekvenčním střídavým prou-
dem. Magnetické pole vytvořené tímto proudem se periodicky
mění a indukuje proud ve vodivé pánvi. Protože má materiál
pánvenenulovýodpor,vyvíjísevníteploatímdocházíkohřevu
jídla, které se na ní připravuje. Sama varná plocha se přitom
nezahřívá.
Vířivé proudy
Představmesi,ženahradímevodivousmyčkunaobr.31.10
tuhou vodivou deskou. Vytahujeme-li desku z magnetic-
kého pole tak, jako jsme vytahovali smyčku (obr.31.12a),
(a)
B
vířivý
proud
(schematicky)
(b)
B
čep
Obr.31.12 (a) Vytahujeme-li pevnou v