hrw31

odivou desku z magne-
tického pole, indukují se vní vířivé proudy. Na obrázku je uza-
vřená křivka charakterizující vířivý proud; ten obíhá ve směru
otáčení hodinových ručiček, stejně jako proud ve smyčce na
obr.31.10. (b) Vodivá deska se kývá kolem čepu jako kyvadlo,
přičemž vstupuje do magnetického pole. Vířivé proudy se in-
dukují během každého vstupu do magnetického pole i výstupu
z něj a tlumí pohyb kyvadla.
opětsevdesceindukujeproud.Opěttedypřemáhámesílu
a konáme práci. Vodivostní elektrony tvořící indukovaný
proudvdescesevšaknynínepohybujípojedinédrázejako
v případě smyčky, ale krouží jako voda ve vířivé pračce.
Takový elektrický proud se nazývá vířivý. Zobrazujeme
ho obvykle schematicky tak, jako kdyby sledoval jedinou
dráhu,např.naobr.31.12a.
Tak jako v případě vodivé smyčky na obr.31.10 vede
indukováníprouduvdescekpřeměněmechanickéenergie
venergii chaotického pohybu atomů desky. Tato disipace
energie je patrnější v uspořádání na obr.31.12b: vodivá
deska,otáčivákolemvodorovnéosyjakokyvadlo,prochází
magnetickýmpolem.Vždyběhemvstupudopoleavýstupu
z něj se část mechanické energie kyvadla disipuje. Po ně-
kolika kmitech mechanická energie klesne na nulu, deska
sepřestanekývat azastavísev dolnírovnovážnépoloze.
PŘÍKLAD 31.4
Obr.31.13aukazujepravoúhlouvodivousmyčkuoodporuR,
šířceLadélceb,kteroutáhnemekonstantní rychlostí v přes
oblast o šířce d, v níž je elektromagnetem vytvořeno ho-
mogenní magnetické pole o indukci B. Nechtquoteright L = 40mm,
b = 10cm,R = 1,6Omega1,B = 2,0Tav = 1,0m·s
−1
.
(a)
b
d
x
B
v
L
(b)
0
4
8
Φ
B
(mW
b
)
(c)
−80
−40
0
40
80
vesměru otáčeníhodinovýchručiček
protisměru otáčeníhodinovýchručiček
E
(mV)
(d)
0
4
0 5 10 15 20 25
x (cm)
P
(mW
)
cívka
mimo
cívka
vstupuje
cívka
uvnitř
cívka
vystupuje
cívka
mimo
Obr.31.13 Příklad 31.4. (a) Uzavřená vodivá smyčka je protaho-
vána stálourychlostímagnetickýmpolem. (b)Indukčnítok smyč-
kou jako funkce polohy x pravé strany smyčky. (c) Indukované
emn jako funkce x. (d) Výkon, s nímž vzniká Joulovo teplo ve
smyčce jakofunkcex.
(a)NakresletezávislosttokuΦ
B
smyčkounapolozex pravé
strany smyčky.
31.6 INDUKOVANÉ ELEKTRICKÉ POLE 807
ŘEŠENÍ: Není-lismyčkavpoli,jemagnetickýtoksmyčkou
nulový. Je-lismyčka zcelavmagnetickém poli, jetok smyč-
kourovenBLb= 8mWb.Vstupuje-lismyčkadopole,jetok
rovenBLxavystupuje-lipakzněj,jerovenBL(b−(x−d)).
Výsledky jsou vyneseny na obr.31.13b; ověřte je.
(b) Nakreslete závislost indukovaného emnna poloze smyč-
ky. Vyznačte směr indukovaného emn.
ŘEŠENÍ: Podle rov.(31.6) je indukované emnrovno
E =−
dΦ
B
dt
=−
dΦ
B
dx
dx
dt
=−
dΦ
B
dx
v,
kde dΦ
B
/dx je směrnice tečny ke křivce na obr.31.13b. Na
obr.31.13c je emnvyneseno jako funkcex.
Vstupuje-lismyčkadopole(obr.31.13a),tečeindukovaný
proud podle Lenzova zákona proti směru otáčení hodino-
vých ručiček; při výstupu z pole má proud směr opačný.
Naobr.31.13cjsmeemnpřiřadilikladnouhodnotupolohám,
vnichžindukovanýproudtečevesměruotáčeníhodinových
ručiček. Žádné emn se neindukuje, je-li smyčka budquoteright zcela
mimo pole, nebo zcela uvnitř pole, protože v obou těchto
případech se magnetický indukční tok smyčkou nemění.
(c) Vyneste do grafu výkon, s nímž se ve smyčce vyvíjí Jou-
lovo teplo, jako funkci polohy smyčky.
ŘEŠENÍ: Dosazením I = E/R do rov.(31.16) dostáváme
výkon
P =I
2
R =
E
2
R
.
Tak z obr.31.13c odvodíme obr.31.13d. Všimněme si, že
seteplovyvíjíjentehdy,kdyžsmyčkavstupujedomagnetic-
kého pole nebo z nějvystupuje.
V praxi nemá magnetické pole B ostrou hranici, kde by
náhle kleslo na nulu, ale blíží se k nule spojitě a hladce.
Na křivkách vynesených na obr.31.13 by tedy byly rohy
zaobleny.
K
ONTROLA 3: Obrázek ukazuje čtyři vodivé smyčky
s délkami stran L nebo 2L. Všechny smyčky budou
vnikatstejnoustálourychlostídooblastihomogenního
magnetickéhopoleB(vystupujícíhokolmozestránky).
Seřadquoterightte tyto čtyři smyčky podle velikosti emn, indu-
kovaného během vstupu do pole, největší uvedquoterightte jako
první.
ab
cd
B
31.6 INDUKOVANÉ ELEKTRICKÉ POLE
Umístěmeměděnýprstenecopoloměrur dohomogenního
magnetického pole, které vyplňuje válcový objem o po-
loměru R (obr.31.14a). Předpokládejme, že rovnoměrně
zvětšujeme magnetickou indukci pole, např. zvětšováním
proudu ve vinutí elektromagnetu, jímž pole vytváříme.
Magnetický indukční tok prstencem potom rovnoměrně
porosteapodleFaradayovazákonavznikávprstenciindu-
kované emn a tím i indukovaný proud. Z Lenzova zákona
plyne,žeindukovanýproudI naobr.31.14asměřujeproti
směruotáčeníhodinovýchručiček.
(a)
I
R r
B
měděný
prstenec
(b)
kruhová
dráha
R r
B
E
E
E
E
(c)
elektrické
siločáry
R
B
(d)
1
2
3
4
R
B
E
Obr.31.14 (a) Narůstá-li magnetické pole s časem rovnoměr-
ně, indukuje se vměděném prstenci o poloměru r stálý proud.
(b) Elektrické pole se vprostoru indukuje, i když je prstenec
odstraněn.(c)Úplnýobrazindukovanéhoelektrickéhopolezob-
razenéhosiločárami.(d)Čtyřistejnéuzavřenékřivkyohraničují
plochyostejnémobsahu.Vkřivkách1a2ležícíchzcelavoblasti
měnícího se magnetického pole se indukuje stejné emn. Menší
emn se indukuje podél křivky 3, která leží v této oblasti jen
zčásti.Žádnéemnseneindukuje podélkřivky4,kteráležízcela
mimomagnetické pole.
Teče-li měděným prstencem proud, musí být podél
prstence elektrické pole, které zajistí pohyb vodivostních
elektronů. Toto indukované elektrické pole E je zřejmě
vyvoláno měnícím se magnetickým indukčním tokem a je
právě tak reálné jako elektrické pole vytvořené statickými
náboji. Obě pole působí silou Q
0
E na částici o náboji Q
0
.
Tato úvaha nás přivádí k užitečnému a poučnému přefor-
mulováníFaradayovazákonaelektromagnetickéindukce:
808 KAPITOLA 31 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE
Měnícísemagneticképolevytvářípoleelektrické.
Pozoruhodné je, že podle této formulace se elektrické
pole indukuje i tehdy, když vněm žádný měděný prstenec
není.
K upevnění těchto poznatků uvažujme obr.31.14b,
kterýjeshodnýsobr.31.14ajenstímrozdílem,žeměděný
prstenecjenahrazenmyšlenoukružnicíopoloměrur.Před-
pokládáme opět, že velikost magnetického pole B vzrůstá
stálou rychlostí dB/dt. Intenzita E elektrického pole in-
dukovaného v různých bodech podél kružnice musí —
z důvodů symetrie — ležet v tečně* ke kružnici, jak
ukazuje obr.31.14b. Tato kružnice je tedy také siločárou.
Zvolený poloměr r není ničím zvláštní, takže elektrické
siločáry pole vyvolaného proměnným magnetickým po-
lem vytvářejí zřejmě svazek soustředných kružnic jako na
obr.31.14c.
Pokudmagneticképolesčasemvzrůstá,trváelektrické
pole zobrazené kruhovými siločarami. Je-li však magne-
ticképolevčaseneproměnné,nevznikážádnéindukované
elektrické pole (na obrázku by žádné elektrické siločáry
nebyly).Naopak,jestližesemagneticképolesčasemzmen-
šuje, vzniká elektrické pole, jehož siločáry jsou opět sou-
střednými kružnicemi jako na obr.31.14c, ale nyní mají
opačný směr. To vše máme na mysli, když říkáme, že mě-
nícímsemagnetickýmpolem sevytváříelektricképole.
Přeformulování Faradayova zákona
Uvažujme částici o (kladném) náboji Q
0
pohybující se
po kružnici podle obr.31.14b. Práce na náboji Q
0
vyko-
nanáindukovanýmelektrickýmpolempřijednomoběhuje
W = Q
0
E, kde E je indukované emn představující práci
připadající na jednotkový náboj, který se pohybuje po této
dráze.Obecnělzetuto prácivyjádřit vztahem
W =
contintegraldisplay
F ·ds =(Q
0
E)(2D4r). (31.18)
(Kroužek značí, že integrál bereme po uzavřené křivce;
připomeňme, že jde o cirkulaci vektoru F.) Zde Q
0
E je
velikost síly působící na náboj Q
0
a2D4r je dráha, na níž
tatosílapůsobí.PorovnánímobouvýrazůproW dostáváme
E = 2D4rE. (31.19)
* Symetrie úlohy nevylučuje, že by siločáry pole E mohly mít podél
kružnice radiální směr a nikolivtečný. Takové radiální siločáry by
však znamenaly, že kolem osy symetrie jsou symetricky rozloženy
volné náboje, na nichž siločáry začínají nebo končí; zde však žádné
takovénábojenejsou.
Rov.(31.18) můžeme zobecnit pro libovolnou uzavřenou
dráhu:
W =
contintegraldisplay
F ·ds =Q
0
contintegraldisplay
E·ds. (31.20)
DosazenímEQ
0
zaW získámevztah
E =
contintegraldisplay
E·ds. (31.21)
Pomocírov.(31.21)můžemerozšířitfyzikálnívýznam
emn.Dosudjsmespojovaliemnsprací,kteroubylo nutno
dodatkzajištěnípohybunáboje,atquoterightužsamostatnéhoanebo
tvořícíhoelektrickýproud.Rov.(31.21)všakumožňujeza-
vést indukované emn, aniž bychom k tomu potřebovali
elektrickýproudnebočástici.Indukovanéemnjesoučet—
vyjádřenýintegrací—veličinE·dspodélorientovanéuza-
vřené křivky, kde E je intenzita elektrického pole induko-
vaného měnícím se magnetickým indukčním tokem a ds
je vektor infinitezimálního délkového elementu uzavřené
dráhy.
Dosadíme-li (31.21) do rov.(31.6) (E =−dΦ
B
/dt),
dostávámeFaradayůvzákonvetvaru
contintegraldisplay
E·ds =−
dΦ
B
dt
(Faradayůvzákon). (31.22)
Tatorovnicevyjadřuje,žeměnícímsemagnetickýmpolem
je indukováno elektrické pole. Měnící se magnetický tok
vystupuje na pravé straně této rovnice, cirkulace elektric-
kéhopolenalevé.
Faradayův zákonve tvaru rov.(31.22) můžemepoužít
najakoukoliuzavřenoukřivku,kterouvedememěnícímse
magnetickým polem. Obr.31.14d například ukazuje čtyři
stejnékřivky,kteréjsourůzněumístěnyvměnícímsepoli.
Podél křivek 1 a 2 se indukuje stejné emn (E =
contintegraltext
E ·ds),
protože obě zcela leží vmagnetickém poli a odpovídá jim
tedystejnáhodnotadΦ
B
/dt.Takjetomu,ikdyžjeprůběh
elektrickéhopolepodéltěchtokřivekrozdílný,jakjepatrno
zprůběhuelektrickýchsiločár.Vkřivce3seindukujeemn
menší, protože jí prochází menší tok Φ
B
, a proto je menší
idΦ
B
/dt. Pro křivku 4 je indukované emn nulové, i když
jeelektricképolevevšechbodechkřivky nenulové.
Jiný pohled na elektrický potenciál
Indukovaná elektrická pole nejsou vytvářena statickými
elektrickými náboji, ale měnícím se magnetickým polem.
Ačkoli elektrická pole vytvořená jedním i druhým způso-
bem působí na nabité částice úplně stejně, existuje mezi
nimi významný rozdíl. Patrný projev tohoto rozdílu je, že
siločáryindukovanýchelektrickýchpolívytvářejíuzavřené
31.6 INDUKOVANÉ ELEKTRICKÉ POLE 809
křivkyjakonaobr.31.14c,zatímcosiločáryvytvořenésta-
tickýmináboji vždy začínajína kladnýchnábojícha končí
nazáporných.
Rozdíl mezi elektrickým polem vytvořeným elektro-
magnetickou indukcí a polem statických nábojů můžeme
vyjádřittěmitoslovy:
Elektrický potenciál má smysl jen pro pole statických
nábojů.Nelzehozavéstproelektrickápolevznikláelek-
tromagnetickouindukcí.
Kvalitativněmůžemeporozuměttomutovýroku,kdyžuvá-
žíme, co se stane s částicí s jednotkovým nábojem po
jednom oběhu kruhové dráhy (obr.31.14b). Částice vyšla
zurčitéhoboduavrátilasedoněj;běhemcestynanipůso-
bila síla, která vykonala práci odpovídající emn, řekněme,
E = 5V.Jejípotenciálbybylmuselvzrůstotutohodnotu.
To však není možné, protože by týž bod v prostoru musel
mítdvěrozdílnéhodnotypotenciálu.Docházímekzávěru,
že pro elektrická pole vyvolaná měnícím se magnetickým
polemnelzezavéstpotenciáljednoznačně.
Matematický náhled získáme, vzpomeneme-li si na
rov.(25.18) definující potenciální rozdíl mezi počátečním
(i)akoncovým (f) bodem:
ϕ
i
−ϕ
f
=−
integraldisplay
f
i
E·ds. (31.23)
V kap.25 jsmeseještěnezabývaliFaradayovým zákonem
elektromagnetické indukce, takže elektrická pole uvažo-
vaná při odvození rov.(25.18) byla výhradně pole static-
kých nábojů. Splyne-li vrov.(31.23) počáteční bod s kon-
covým, je integrační cesta uzavřená, ϕ
i
a ϕ
f
jsou totožné
arov.(31.23) seredukujenatvar
contintegraldisplay
E·ds = 0. (31.24)
Když se však mění magnetický indukční tok, není tento
integrál roven nule, ale je roven −dΦ
B
/dt, jak plyne
z rov.(31.22). Přicházíme tak k závěru, že elektrický po-
tenciál nelze zavést pro elektrická pole vyvolaná elektro-
magnetickouindukcí.
PŘÍKLAD 31.5
Na obr.31.14b jeR = 8,5cmadB/dt = 0,13T·s
−1
.
(a)NajdětevztahprovelikostEintenzityindukovanéhoelek-
trickéhopolevbodechvevzdálenostir odosymagnetického
pole. VypočtěteE pror = 5,2cm.
ŘEŠENÍ: Závislost E(r) můžeme najít, užijeme-li Fara-
dayův zákon ve tvaru rov.(31.22) pro uzavřenou integrační
křivkutvarukružniceopoloměrur(obr.31.14b).Zesymetrie
jsme usoudili, že E na obr.31.14b má směr tečny k uvažo-
vané kružnici v kterémkoli jejím bodě. Element ds je tečný
kekružniciaorientovánsouhlasně s E,takžeskalárnísoučin
E·dsvrov.(31.22)jeroven Eds vevšechbodechkřivky.Ze
symetrie můžeme též usoudit, žeE má podél křivky stejnou
hodnotu. Platítedy
contintegraldisplay
E·ds =
contintegraldisplay
Eds =E
contintegraldisplay
ds =
=E(2D4r)=−
dΦ
B
dt
. (31.25)
Podlerov.(31.3)jemagnetickýindukčnítokplochouohrani-
čenouuvažovanou kružnicí
Φ
B
=BScos180
◦
=−B(D4r
2
). (31.26)
Dosazením tohoto výsledku do rov.(31.25) zjistíme, že
E(2D4r)=(D4r
2
)
dB
dt
,
odkud
E =
r
2
dB
dt
.(Odpovědquoteright) (31.27)
Rov.(31.27)udávávelikostelektrickéintenzityvlibovolném
bodě pro