hrw38

38
Relativita
DneönÌ d·lkov· navigace soustavnÏ sleduje a aktualizuje p¯esnÈ polohy
a rychlosti letadel.SystÈm navigaËnÌch druûic NAVSTAR dovoluje urËovat
kdekoli na Zemi polohy s p¯esnostÌ asi 16 m a rychlosti s p¯esnostÌ asi 2 cm/s.
Kdyby se vöak nepoËÌtalo s relativistick˝mi jevy, rychlosti by nemohly b˝t
urËeny s vÏtöÌ p¯esnostÌ neû asi 20 cm/s, coû je pro modernÌ navigaËnÌ systÈmy
nedostateËnÈ.Jak m˘ûe nÏco tak abstraktnÌho, jako je Einsteinova speci·lnÌ
teorie relativity, hr·t roli p¯i nÏËem tak praktickÈm, jako je navigace
?
38.2 POSTULÁTY 1007
38.1 COVŠECHNOPATŘÍ
KRELATIVITĚ
Relativitase zabývá měřením událostí (něčeho, co se stalo
nebo stane): kde a kdy se staly a jak jsou libovolné dvě
události vzdáleny v prostoru a v čase. Dále se relativita
stará o to, jak transformovat výsledky takových měření
a jiná data mezi vztažnými soustavami, které se vzájemně
pohybují.(Odtud názevrelativita.)Otakovýchvěcechjsme
diskutovali v čl.4.8 a 4.9.
Transformacím a pohybům vztažných soustav fyzi-
kové roku 1905 dobře rozuměli a byla to pro ně vpodstatě
rutinní záležitost. Tehdy Albert Einstein (obr. 38.1) uve-
řejnil svouspeciálníteoriirelativity. Přívlastek speciální
znamená, že teorie se zabývá pouze inerciálnímivztaž-
nýmisoustavami; ty se navzájem pohybují konstantními
rychlostmi. (Einsteinovaobecnáteorierelativityse zabývá
složitější situací,kdyse vztažné soustavy pohybují zrychle-
ně; v této kapitole se výrazrelativitavztahuje pouze k iner-
ciálním vztažným soustavám.)
Obr.38.1 Einstein na počátku 20. století, za svým stolem v pa-
tentovém úřadu v Bernu ve Švýcarsku. Byl zde zaměstnán v do-
bě, kdy publikoval svou speciální teorii relativity.
Einstein ohromil vědecký svět, když vyšel ze dvou
drtivě prostých postulátů a ukázal, že dosavadní představy
o relativitě byly mylné, ačkoli si na ně každý natolik zvykl,
že působily jako nepochybný požadavek zdravého rozumu.
Tento údajný zdravý rozum však byl odvozen ze zkušenos-
ti, která se týkala pouze věcí, jež se pohybují dosti poma-
lu. Einsteinova relativita, která se ukázala být správná pro
všechny možné rychlosti, předpověděla mnoho jevů, jež
působily na první pohled bizarně, protože je nikdo neza-
kusil.
Einsteinzejménaukázal,žeprostoračasjsouvzájemně
provázány, že tedy čas dělící dvě události závisí na tom, jak
dalekoodsebeproběhly,anaopak.Atotoprovázáníjerůzné
pro různé pozorovatele,kteříse vzájemně pohybují.Jedním
z důsledků je, že čas neběží jediným daným tempem, jako
by s mechanickou pravidelností odtikával na nějakých per-
fektních dědečkových hodinkách, jimiž se řídí celý vesmír.
Čas lze vlastně v jistém smyslu regulovat: relativní pohyb
dokáže změnit tempo, jímž čas běží. Před rokem 1905 by
si na to troufalo pomyslet snad jen několik snílků. Dnes
jsou si tím jisti inženýři a vědci, protože jejich zkušenost se
speciální relativitou nově zformovala jejich zdravý rozum.
Speciální relativita má pověst nesnadného tématu. Ma-
tematicky obtížná není, přinejmenším v podobě, jakou má
v této knize. Její nesnadnost však tkví v tom, že je třeba
velmi pozorně sledovat, kdo danou událost měří, co na ní
měří a jak toto měření provádí. A to může být obtížné,
protože výsledek někdy protiřečí zkušenosti. Než budete
číst dál, může se vám hodit přehled některých poznatků ze
speciální relativity, které už byly v této knize diskutovány.
Vodítkem je tab.38.1.
Tabulka 38.1 Dřívějšízmínkyorelativitě
ČLÁNEK JMÉNO
4.10 Vzájemný pohyb při vysokých rychlostech
7.8 Kinetická energie při vysokých rychlostech
8.8 Hmotnost a energie
10.6 Jaderné reakce a radioaktivní rozpad
38.2 POSTULÁTY
Nyní probereme dva relativistické postuláty, na nichž je
Einsteinova teorie založena.
Postulátrelativity: Fyzikální zákony jsou stejné pro po-
zorovatele ve všech inerciálních vztažných soustavách.
Žádná soustava není preferována.
Galilei předpokládal, že zákony mechaniky jsou stejné
ve všech inerciálních vztažných soustavách. (Newtonův
první pohybový zákon ve své historické formulaci je jed-
ním z důležitých důsledků.)Einsteinrozšířil tuto myšlenku,
aby obsahovala všechny fyzikální zákony, zejména zákony
elektromagnetismu a optiky. Postulát neříká, že měřené
hodnoty všech fyzikálních veličin jsou stejné pro všechny
1008 KAPITOLA 38 RELATIVITA
inerciální pozorovatele; většinou tomu ani tak není. Stejné
jsou fyzikálnízákony, jimiž jsou výsledky měření vázány.
Postulátrychlostisvětla: Rychlost světla ve vakuu má
stejnou velikost c ve všech směrech a ve všech iner-
ciálních vztažných soustavách, nezávislou na rychlosti
zdroje.
Tento postulát můžeme formulovat také tak, že v pří-
rodě existuje meznírychlostc, jež je stejně velká ve všech
směrech a ve všech inerciálních soustavách. Světlo se po-
hybuje touto mezní rychlostí stejně jako všechny částice
o nulové hmotnosti. Dále žádná částice, která má nenulo-
vou hmotnost,nemůže rychlosticnikdy dosáhnout,i kdyby
byla urychlována jakkoli dlouho. Ba ani žádná informace,
atquoteright už je přenášená jakkoli a čímkoli, nemůže letět rychleji
než světlo. Pokud se něco pohybuje rychleji než světlo —
třeba stín nebo světelná stopa na stínítku — pak na to nikdy
nelze „zavěsit“ nějakou informaci a poslat ji tak dál.
Oba postuláty byly vyčerpávajícím způsobem ověřo-
vány a nebyly nalezeny žádné výjimky z jejich platnosti.
Meznírychlost
To, že opravdu existuje mez pro rychlost urychlovaných
elektronů, ukázal roku 1964 experiment W. Bertozziho.
Elektrony v něm byly urychlovány na různé měřené rych-
losti (obr. 38.2) a byla také — nezávislou metodou — mě-
řena jejich kinetická energie. Bertozzi zjistil, že když síla
působící na velmi rychlý elektron roste, pak i měřená kine-
tická energie roste na velmi vysoké hodnoty, ale rychlost
elektronu již podstatně nevzrůstá. Elektrony byly urychlo-
vány nejméně na 0,999 999 999 95 rychlosti světla — tak
blízko této rychlosti, jak jen bylo možné — ale pořád to
byla rychlost menší než mezní rychlost.
Testovánípostuláturychlostisvětla
Je-li rychlost světla stejná ve všech inerciálních vztažných
soustavách, znamená to, že rychlost světla emitovaného
pohybujícím se zdrojem by měla být stejná jako rychlost
světla, které emituje týž zdroj v klidu vzhledem k dané
laboratoři. Tento požadavek byl přímo ověřován v experi-
mentu, který se vyznačoval vysokou přesností. „Zdrojem
světla“ byl neutrální pion (symbol D4
0
), nestabilní částice
s krátkou dobou života, která může vzniknout v důsledku
srážek v urychlovači částic. Rozpadá se na dvaγ-paprsky
v procesu
D4
0
→γ +γ. (38.1)
Paprskyγ jsou součástí elektromagnetického spektra a spl-
ňují postulát rychlosti světla stejně jako viditelné světlo.
kinetická
ener
gie
(
MeV)
rychlost (10
8
m·s
−1
)
mezní
r
ychlost
Obr.38.2 Tečkamijsouvyznačenynaměřené hodnotykinetické
energie elektronu v závislosti na naměřené rychlosti elektronu.
Atquoteright dodáme elektronu (anebo libovolné jiné hmotné částici) ko-
lik chceme energie, jeho rychlost nikdy nedosáhne ani nepřevýší
mezní rychlost — rychlost světla. (Spojitá křivka ukazuje závis-
lost podle Einsteinovy teorie relativity.)
V experimentu z roku 1964 fyzikové z CERNu,labora-
toře částicové fyziky poblíž Ženevy, vytvořili svazek pionů
pohybující se rychlostí 0,999 75c vzhledem k laboratoři.
Pak experimentátoři měřili rychlost γ-paprsků emitova-
ných těmito velmi rychle se pohybujícími zdroji. Zjistili,
že rychlost světla emitovaného piony je stejně velká, jako
byla v případě, kdy byly piony v laboratoři v klidu.
PŘÍKLAD38.1
Lze ukázat, že elektron s kinetickou energií 20 GeV (mluvívá
se o 20 GeV-elektronu) má rychlost v = 0,999 999 999 67c.
Zúčastní-li se takový elektron závodu se světelným pulzem
se startem v okolí Slunce a s cílem u nejbližší hvězdy (Pro-
xima Centauri, vzdálenost 4,3 světelné roky čili 4,0·10
16
m),
s jakým časovým náskokem světelný pulz zvítězí?
ŘEŠENÍ: Je-liLvzdálenost hvězdy, je rozdíl časů putování
Delta1t =
L
v
−
L
c
=L
c−v
vc
.
Zde v je natolik blízkéc, že můžeme ve jmenovateli výrazu
(ne však v čitateli!) položitv=c. Pak dostaneme
Delta1t =
L
c
parenleftBig
1−
v
c
parenrightBig
=
=
(4,0·10
16
m)(1−0,999 999 999 67)
(3,0·10
8
m·s
−1
)
=
= 0,044 s = 44 ms. (Odpovědquoteright)
38.3 MĚŘENÍ UDÁLOSTÍ 1009
38.3 MĚŘENÍUDÁLOSTÍ
Událost je něco, co se stalo nebo stane a čemu pozorovatel
může připsat tři prostorové souřadnice (x,y,z) a jednu sou-
řadnici časovou (t). Z ohromného počtu možných událostí
uvedquoterightme (1) rozsvícení a zhasnutí malé žárovky, (2) srážku
dvou částic, (3) průchod světelného pulzu vyznačeným bo-
dem, (4) výbuch, (5) průchod hodinové ručičky přes rysku
na obvodu hodin. Pozorovatel, který je vázán na jistou iner-
ciální vztažnou soustavu, může události A připsat následu-
jící souřadnice:
ZÁZNAM UDÁLOSTI A
SOUŘADNICE HODNOTA
x 3,58 m
y 1,29 m
z 0m
t 34,5 s
Protože v relativitě jsou prostor a čas vzájemně provázány,
nazýváme tyto souřadnice společným názvemprostoroča-
sovésouřadnice. Souřadnicová soustava je dána v rámci
vztažné soustavy pozorovatele.
Daná událost může být zaznamenána libovolným po-
čtem pozorovatelů, kteří jsou spojeni s různými inerciál-
ními vztažnými soustavami. Obecně vzato, různí pozoro-
vatelé připíší téže události různé prostoročasové souřadni-
ce. Upozorněme, že v žádném slova smyslu nelze říci, že
událost „patří“ do určité vztažné inerciální soustavy. Udá-
lost je prostě něco, co se událo nebo udá, a kdokoli se na
ni může v kterékoli vztažné soustavě dívat a připisovat jí
prostoročasové souřadnice.
Takové připsání může ovšem narazit na praktickou po-
tíž. Dejme tomu, že například 1km od vás napravo praskne
balon a 2km od vás nalevo je odpálena raketa, přičemž
obojí se stane v 9:00 dopoledne. Vy ale nezaznamenáte
obě události přesně v 9:00 dopoledne, protože v tu dobu
vás světlo od nich se šířící ještě nedostihlo. Protože světlo
z odpálení rakety má delší cestu, dospěje k vašim očím
později než světlo z prasknutí balonu, a tak se vám bude
zdát, že k odpálení došlo později než k prasknutí. Chcete-li
se dostat ke skutečnému času a připsat oběma událostem
čas 9:00 dopoledne, musíte vypočítat doby putování světla
a odečíst je od časů příchodu.
V složitějších případech může být tento postup velmi
pracný a potřebovali bychom prostší metodu,která by auto-
maticky vyloučila jakoukoli potřebu starat se o dobu cesty
od události k pozorovateli. K tomu stačí si představit myš-
lenou mříž z měřicích tyčí osazenou hodinami a prostupu-
jící pozorovatelovu inerciální soustavu (mříž se pohybuje
s pozorovatelem,jako by byla tuhým tělesem).Takovákon-
strukce může vypadat uměle, ale ušetří nás mnoha zmatků
a výpočtů a dovolí nám nalézt prostorové souřadnice, ča-
sovou souřadnici a tím prostoročasové souřadnice, jak dále
vyložíme.
1. Prostorovésouřadnice. Představme si, že pozorova-
telova souřadnicová soustava je prostoupena hustou troj-
rozměrnou mříží z měřicích tyčí, v níž každý soubor tyčí
je rovnoběžný s jednou ze tří souřadnicových os. Tyto tyče
umožňují určit souřadnice ve směru os. Je-li měřenou udá-
lostí například zapnutí malé žárovky, pak pozorovateli pro
označení polohy této události stačí zaznamenat tři prosto-
rové souřadnice v místě vzplanutí žárovky.
2. Časovásouřadnice. Pro určení časové souřadnice si
představme,že každý průsečík mříže měřicích tyčí je vyba-
ven malými hodinami, na nichž může pozorovatel odečítat
údaj ve chvíli, kdy byly osvětleny danou událostí.Obr. 38.3
zviditelňuje „prolézačku“ hodin a měřicích tyčí, jak jsme ji
popsali.
Soubor hodin musí být správně synchronizován. Ne-
stačípřipravit soubor stejnýchhodin,nastavitna nich stejný
čas a pak je roznést na určená místa. Nevíme například,
zda pohybující se hodiny nezmění tempo svého chodu. (Ve
skutečnosti je změní.) Musíme hodiny nejprve rozmístit
a potom je synchronizovat.
x
y
z
A
Obr.38.3 Řez trojrozměrným polem hodin a měřicích tyčí,
kterými pozorovatel může přiřadit události její prostoroča-
sové souřadnice. Záblesk světla (bod A) má souřadnice zhruba
x= 3,7tyčí,y= 1,2tyčí,z= 0. Časovou souřadnici udávají ty
hodiny,kteréjsouvdanémokamžikuvtěsnéblízkostiudálostiA.
Kdybychom znali způsob, jak posílat signály nekoneč-
nou rychlostí,byla by synchronizacejednoduchá.Neznáme
však signál,který by měl tuto vlastnost.Užijemeproto k na-
šim synchronizujícím signálům světlo (které chápeme šíře
tak, že zahrnuje celé elektromagnetické spektrum), protože
víme, že ve vakuu se světlo šíří největší možnou rychlostí,
mezní rychlostíc.
Uvedeme jeden z mnoha způsobů, jímž lze synchro-
nizovat soubor hodin pomocí světelných signálů. Pozoro-
vateli pomáhá velký počet spolupracovníků, z nichž každý
1010 KAPITOLA 38 RELATIVITA
se stará o jedny hodiny. Pozorovatel stojí v bodě, který byl
zvolen jako počátek, a posílá světelný pulz v okamžiku,
kdy na hodinách v počátku je údaj t = 0. Když světelný
pulz dospěje ke kterémukoli pomocníkovi, ten nastaví na
svých hodinách údajt =r/c, kder je vzdálenost mezi ním
a počátkem. Tím jsou hodiny synchronizovány.
3. Prostoročasovésouřadnice. Pozorovatel nyní může
připsat každé události prostoročasové souřadnice, když
prostě zaznamená čas na hodinách u dané události a polo-
hu, jak ji udávají nejbližší měřicí tyče. Jde-li o dvě události,
pozorovatel vypočte jejich časový rozdíl jako rozdíl časů
na hodinách u daných událostí, a rozdílnost jejich poloh
v prostoru určí pomocí rozdílů souřadnic na tyčích u těchto
událostí. Tak se vyhneme nesnázím, které by v praxi při-
neslo čekání, až k pozorovateli dospějí signály od událostí,
a následné počítání dob, po které tyto signály putovaly.
38.4 RELATIVITASOUČASNOSTI
Předpokládejme, že jeden pozorovatel (Slávek) zjištquoterightuje, že
dvě nezávislé události (Rudá a Modrá) nastávají ve stejném
čase. Dejme tomu, že další pozorovatel (Sylva), který se
pohybuje konstantní rychlostí v vzhledem ke Slávkovi, za-
znamenává tytéž události. Zjistí i Sylva, že události nastaly
ve stejném čase?
Odpovědquoteright je v obecném případě záporná.
Pokud se dva pozorovatelé vzájemně pohybují, pak se
nebudou obecně shodovat v tom,které události jsou sou-
časné.Kdyžjejedenpozorovateloznačízasoučasné,pro
druhého obecně současné nebudou, a opačně.
Nemůžeme říci, že jeden pozorovatel má pravdu
a druhý se mýlí. Jejich pozorování mají stejnou platnost
a není důvodu dávat některému z nich přednost.
Konstatování, že dva protichůdné výroky o téže věci
mohou být správné, se zdá být podivným důsledkem Ein-
steinovy teorie. Ale již v kap.18 jsme probírali jiný případ,
kdy pohyb může ovlivnit měření, aniž to vede k rozporným
výsledkům: u Dopplerova jevu závisí frekvence zvukové
vlny na relativním pohybu pozorovatele a zdroje. Dva po-
zorovatelé, kteří se navzájem pohybují, mohou tedy namě-
řit rozdílné frekvence pro tutéž vlnu. A obě měření jsou
správná.
Uzavřeme:
Současnost není absolutním pojmem, ale pojmem rela-
tivním, který závisí na vztažné soustavě, v níž pozoro-
vatel stojí.
Je-lirelativnírychlostpozorovatelemnohemmenšínež
rychlost světla, pak měřené rozdíly současnosti pro různé
pozorovatele jsou příliš malé, než abychom je zaznamena-
li. Tak je tomu ve všech zkušenostech z našeho běžného
života, a proto působí relativita současnosti tak neobvykle.
Bližšípohlednasoučasnost
Objasněme relativitu současnosti na příkladu, který je za-
ložen na postulátu relativity a netýká se přímo hodin či
měřicích tyčí. Obr.38.4 ukazuje dvě dlouhé kosmické lodě
(KLSylvaaKLSlávek),kterémohousloužitjakoinerciální
vztažné soustavy pro pozorovatele Sylvu a Slávka. Oba po-
zorovatelé stojí uprostřed svých lodí. Lodě jsou situovány
podélspolečnéosyx,relativnírychlostSylvyvůčiSlávkovi
je v. Obr.38.4a ukazuje lodě se dvěma pozorovateli, kteří
se právě míjejí.
(a)
Slávek
Sylva
Modrá událost
R
R
R
R
M
M
M
M
M
prime
Rudá událost
R
prime
(b)
v
v
v
v
Sylva zjištquoterightuje Rudou událost
(c)
Slávek zjištquoterightuje obě události
(d)
Sylva zjištquoterightuje Modrou událost
Obr.38.4 Kosmické lodi Sylvy a Slávka a události ze Slávkova
pohledu. Sylvina lodquoteright letí napravo rychlostí v. (a) Rudá událost
nastává v místech R, R
prime
aModrávmístechM,M
prime
. Každá z nich
vysílá svou světelnou vlnu. (b) Sylva zjištquoterightuje vlnu od Rudé udá-
losti.(c)Slávekzjištquoterightujevlnyodobouudálostísoučasně.(d)Sylva
zjištquoterightuje vlnu od Modré události.
Do lodí narazí dva velké meteority, jeden z nich vyvolá
červenou záři (událost Rudá) a druhý modrou záři (událost
Modrá).Tyto události nebudou nutně současné.Každáudá-
38.5 RELATIVITA ČASU 1011
lost zanechá trvalou stopu na obou lodích v místech R, R
prime
aM,M
prime
.
Předpokládejme, že čela světelných vln šířících se
z obou událostí dostihnou Slávka ve stejném čase, jak to
ukazuje obr.38.4c. Předpokládejme dále, že Slávek pak
zjistí měřením, že se vskutku nacházel přesně uprostřed
mezi stopami M a R na své lodi, když k oběma událostem
došlo.
SLÁVEKřekne: Světlo z události Rudá a světlo z události
Modrá mě dostihlo ve stejném čase.Ze stop na své lodi
jsem zjistil, že jsem stál uprostřed mezi oběma místy,
z nichž světlo vyšlo. Události Rudá a Modrá jsou tedy
současnými událostmi.
Jak ale ukazuje zamyšlení nad obr.38.4b, rozšiřující se čelo
vlny z události Rudá dostihne Sylvu dříve než rozšiřující
se čelo vlny z události Modrá.
SYLVA řekne: Světlo z události Rudá mě dostihlo dříve
než světlo z události Modrá. Ze stop na své lodi jsem
zjistila, že i já jsem stála uprostřed mezi oběma zdroji
světla. Události tedy nebyly současné, událost Rudá
předcházela události Modrá.
Tato hlášení spolu nesouhlasí. Přesto oba pozorovatelé
mluví pravdu.
Dobře si povšimněme, že je pouze jedno čelo vlny,
které se šíří z místa každé události, a že toto čelo vlny se
pohybujestejnourychlostícvobouvztažnýchsoustavách,
přesně tak, jak si to žádá postulát rychlosti světla.
Mohlo by se stát, že meteority by narazily do lodí ta-
kovým způsobem, že obě vzplanutí by pro Sylvu nastala
současně. Kdyby tomu tak bylo, Slávek by je prohlásil za
nesoučasná. Zkušenosti obou pozorovatelů jsou naprosto
symetrické.
38.5 RELATIVITAČASU
Jestliže pozorovatelé, kteří se vzájemně pohybují, měří ča-
sový interval (čili časovouodlehlost) mezi dvěma událost-
mi, dojdou obecně k rozdílným výsledkům. Proč? Protože
prostorová odlehlost událostí může ovlivnit časový inter-
val, který pozorovatelé měří.
Časovýintervalmezidvěmaudálostmizávisína tom,jak
jsou od sebe prostorově vzdáleny, tj. jejich prostorové
a časové odlehlosti jsou provázány.
V tomto odstavci diskutujeme uvedenou provázanost
na speciálním příkladu, kdy pro jednoho z obou pozoro-
vatelů jsou obě události soumístné, tj. nastávají ve stej-
ném místě. Obecnějšími příklady se budeme zabývat až
v čl.38.7.
Obr.38.5a ukazuje podstatu experimentu, který pro-
vádí Sylva, jež se svým vybavením jede vlakem konstantní
rychlostí v vzhledem k nádraží. Světelný pulz opouští svě-
telný zdroj B (událost 1), pohybuje se svisle vzhůru, zrca-
dlo jej odráží svisle dolů a nakonec je pulz opět zachycen
Obr.38.5 (a) Sylva, sedící ve
vlaku, měří dobu Delta1t
0
mezi
událostmi 1 a 2 jedinými
hodinami C ve vlaku. Údaj
hodin je ukázán dvakrát:
nejprve pro událost 1, pak
pro 2. (b) Slávek, pozorující
děj ze stanice, potřebuje dvoje
synchronizované hodiny — C
1
pro událost 1 a C
2
pro udá-
lost 2. Naměří jimi dobu Delta1t.
(a)
zrcadlo
D
událost 1 událost 2
B
C
C
Delta1t
0
Sylva
(b)
zrcadlo
D
událost 1 událost 2
LL
POHYB
BB
vDelta1t
Delta1t
C
1
C
2
Slávek
1012 KAPITOLA 38 RELATIVITA
uzdroje(událost2).SylvanaměříurčitýčasovýintervalDelta1t
0
mezi dvěma událostmi, který je spojen se vzdálenostíDod
zdroje k zrcadlu vztahem
Delta1t
0
=
2D
c
(Sylva). (38.2)
V Sylvině vzt