hrw39

39
Fotony a de Broglieho vlny
Stopy drobn˝ch bublinek v tomto obr·zku z bublinkovÈ komory ukazujÌ, kudy se pohybovaly
elektrony (stopy vybarveny zelenÏ) a pozitrony (ËervenÈ stopy).Jedna γ-Ë·stice, kter· vletÏla
do komory shora a nezanechala û·dnou stopu, vytrhla elektron z jednoho z atom˘ vodÌku,
kter˝mi je komora naplnÏna, a p¯emÏnila se na p·r elektron-pozitron.DalöÌ γ-Ë·stice vytvo¯ila
jin˝ p·r o trochu nÌû.Tyto dr·hy (zak¯ivenÈ magnetick˝m polem) jasnÏ ukazujÌ, ûe elektrony
a pozitrony jsou Ë·stice, kterÈ se pohybujÌ podÈl urËit˝ch drah.P¯esto tyto Ë·stice mohou
b˝t takÈ interpretov·ny jako vlny.M˘ûe b˝t Ë·stice vlnou
?
1034 KAPITOLA 39 FOTONY A DE BROGLIEHO VLNY
39.1 NOVÝSMĚR
Naše diskuse Einsteinovyteorie relativitynás zavedla do
světadalekoodobvyklézkušenosti,dosvětaobjektůpohy-
bujících se rychlostí blízkou rychlosti světla. Einsteinova
teorie překvapivě předpovídá, že rychlost chodu hodin zá-
leží na tom, jakrychle se hodiny pohybují vzhledemk po-
zorovateli: čím rychleji se pohybují, tím pomalejší je je-
jich chod. Tato i další předpovědi teorie vydržely všechny
možné testy, které se dosud podařilo vymyslet, a teorie
relativityvedla k hlubšímu a uspokojivějšímu pohledu na
podstatuprostoru ačasu.
Nynísechystámeprozkoumatjinýsvět,kterýjemimo
obvyklou zkušenost—subatomovýsvět.Setkámesesce-
lou řadou překvapení, která, i když mohou často vypadat
neuvěřitelně,vedla fyziky krok za krokem k hlubšímu po-
hledu napodstatusvětakolemnás.
Kvantováfyzika, jak se tento nový předmět nazývá,
umíodpovědětnaotázkyjako:Pročsvítíhvězdy?Pročjsou
prvkyseřazenytak, jak se objevují v periodické tabulce
prvků?Jakpracujetranzistorajinémikroelektronicképrv-
ky? Proč mědquoteright vede elektrický proud a sklo ne? Kvantová
fyzika pokrývá celou chemii včetně biochemie.Musíme jí
tedyporozumět,pokudchcemepochopitsamotnýživot.
Některé předpovědi kvantové fyziky se zdají podivné
i fyzikům a filozofům, kteří studují její základy. Nicméně
i tato teorie obstála v každém experimentálním testu —
a bylo jich hodně — bez nejmenších problémů. Její před-
povědi nikdyneselhaly.
39.2 SVĚTELNÉVLNYAFOTONY
Popsali jsme světlo jako vlnu, která má vlnovou délku λ,
frekvencif arychlostc spojenévztahem
c = λf. (39.1)
V kap.34 jsme na základě Maxwellových rovnic ukázali,
že světelná vlna je vzájemně provázaná kombinace elek-
trickéhoamagnetickéhopole,znichžkaždéseměnísfrek-
vencí f. Dále jsme ukázali, že viditelné světlo je součástí
elektromagnetickéhospektra,kteréserozprostírávespoji-
témrozsahuvlnovýchdélekodγ-zářenípodlouhérádiové
vlny.
V roce 1905 Einstein navrhl hypotézu, která neplyne
z Maxwellových rovnic a přináší první z našich kvanto-
vých překvapení: při emisi nebo absorpci světla atomem
senepředáváenergiespojitě,alediskrétně,tedypomalých
„kouscích“ energie,kvantech. Toto kvantum světla nazý-
vámeod roku1926foton.
Má-lisvětelnávlnafrekvencif,pakpodleEinsteinovy
hypotézyjeenergieE předanájednímfotonemrovna
E = hf (energie fotonu). (39.2)
Zde hjePlanckovakonstanta, kterámáhodnotu
h = 6,63·10
−34
J·s = 4,14·10
−15
eV·s. (39.3)
Vedlení(aještěčastěji)sepoužívátzv.redukovanáPlanc-
kovakonstanta,kterámáhodnotu
h =
h
2D4
= 1,054·10
−34
J·s.
Planckovakonstantajezákladníkonstantakvantovéfyziky,
stejnějakorychlostsvětlacjezákladníkonstantarelativis-
tickéfyziky.Rychlostsvětlacjevelká,alekonečná;kdyby
byla nekonečná, nebyla by potřeba teorie relativity. Po-
dobněPlanckovakonstantahjemalá,alenenulová;kdyby
bylanulová,nebylaby potřebakvantováteorie.
K
ONTROLA 1: Seřadquoterightte následující záření podle jemu
příslušné energie fotonu od nejvyšší po nejnižší:
(a) žluté světlo sodíkové výbojky, (b) γ-částice emi-
tovanáradioaktivnímjádrem,(c)rádiovávlnavyslaná
anténourozhlasovéstanice,(d)mikrovlnnýsvazekvy-
sílanýradaremprořízeníletovéhoprovozu.
PŘÍKLAD39.1
100W sodíková výbojka je umístěna ve středu velké koule
absorbujícíveškerésvětlo,kterénanidopadá.Sjakoučetností
dopadajífotonynakouli?Vlnovádélkasodíkového světlaje
590nm.
ŘEŠENÍ: Zrov.(39.2)jeenergiefotonuprosodíkovésvětlo
E = hf =
hc
λ
=
=
(6,63·10
−34
J·s)(3,00·10
8
m·s
−1
)
(590·10
−9
m)
=
= 3,37·10
−19
J.
Pokaždé, když atom sodíku vyzáří foton, ztrácí energii
3,37·10
−19
J, tedyenergii 2 ,1eV. Kdykoli koule pohlcuje
světlo, přebírá energii jen po „kvantech“ této velikosti.
AbychomnašličetnostR,sjakoujsoufotonyabsorbovány
na kouli, vydělíme rychlost, s níž výbojka vyzařuje energii
(výkon P), hodnotou E:
R =
P
E
=
(100W)
(3,37·10
−19
J/foton)
=
= 2,97·10
20
fotonů/s. (Odpovědquoteright)
39.3 FOTOELEKTRICKÝ JEV 1035
To je opravdu hodně! Pokud bychom mohli číst slova (jako
jakési „fotony“ informace) tímto tempem, pak přečteme
všechnyknihyvknihovně KongresuUSAasizananosekun-
du.
39.3 FOTOELEKTRICKÝJEV
Ozařujeme-li svazkem světla s dostatečně krátkou vlno-
vou délkou čistý kovový povrch, vyráží světlo z tohoto
povrchu elektrony. Tentofotoelektrickýjev, stručně také
fotoefekt, se využívá v mnoha zařízeních včetně televiz-
ních kamer, snímacích elektronek a převaděčů obrazu pro
noční vidění — noktovizorů. Einstein použil svou hypo-
tézu fotonu při vysvětlení tohoto jevu, který nemůže být
jednodušepochopenpomocíklasickéfyziky.
Rozebereme nyní dva fotoelektrické pokusy, z nichž
každý používá zařízení z obr.39.1. V něm světlo o frek-
venci f vyráží při dopadu na terč T elektrony. Napětí U
mezi terčem T a kolektorem K volíme tak, abyse tyto
elektrony(kterýmříkáme fotoelektrony)odsály.Taktovy-
tváříme fotoelektrickýproud I (stručně též fotoproud),
kterýměřímeampérmetremA.
vakuum
křemenné
okénko
dopadající
světlo
potenciometr
K
V
A
I
I
T
+−
Obr.39.1 Zařízeníprostudium fotoelektrickéhojevu.Dopada-
jícísvětloosvětlujeterčTaemitujeelektrony,kterédopadajína
kolektorK.Elektronysepohybujívobvoduvesměruopačném,
nežpodlekonvenceukazujíšipkyproproud.Bateriíapotencio-
metremse nastaví potřebné napětí meziterčema kolektorem.
Prvnífotoelektrickýpokus
Posuvným kontaktem z obr.39.1 nastavíme napětí U tak,
že kolektor K je záporný vzhledem k terči T. Působením
tohoto napětí zpomalujeme vyražené elektrony. Napětí U
pak měníme tak dlouho, dokud nedosáhne hodnotu, které
říkámebrzdnénapětíU
b
;fotoproudI přiněmprávěklesne
nanulu.ProU = U
b
jsouielektronyemitovanésnejvyšší
energiízastaveny,atotěsněpředdopademnakolektor.Pak
kinetickáenergieE
k,max
těchtoelektronů snejvyššíenergií
je
E
k,max
= eU
b
, (39.4)
kdee jeelementárnínáboj.
Měřeníukazuje,žeprosvětlodanéfrekvencenezávisí
E
k,max
naintenzitězdrojesvětla. Atquoteright je zdroj oslnivě jasný
nebo tak slabý, že jej stěží pozorujeme (nebo cokoli mezi
tím),nejvyššíkinetickáenergieemitovanýchelektronůmá
vždystejnouhodnotu.
Tento jev nedokážemevysvětlit pomocí klasické fyzi-
ky. Považujeme-li dopadající světlo za klasickou elektro-
magnetickouvlnu,budouelektronyterčekmitatpodvlivem
střídavého elektrického pole dopadající světelné vlny. Za
jistýchpodmínekzískákmitajícíelektrondostenergiekto-
mu,abyuniklzpovrchuterče.Kdyžzvýšímeintenzitudo-
padajícíhosvazkusvětla,zvýšímetímamplitudustřídavého
elektrického pole a zdá se rozumné předpokládat, že toto
silnější střídavé pole dodá větší „kopanec“ emitovaným
elektronům. To je ale v protikladu s tím, co pozorujeme.
Pro danou frekvenci dávají jak intenzívní, tak slabý svě-
telný svazek stejně velký maximální kopanec unikajícím
elektronům.
Naprotitomu pozorovanývýsledekpřirozeněvyplyne
z představysvětla jako toku fotonů. Maximální energie,
kterouelektronvterčiTzobr.39.1můžezískatoddopada-
jícího světla,jepak energiejednotlivéhofotonu.Zvyšová-
ním intenzitysvětla se zvyšuje počet fotonů dopadajících
napovrchterče,aleenergiekaždéhofotonudanárov.(39.2)
zůstává stejná. Maximální kinetická energie dodaná elek-
tronu setedynemění.
Druhýfotoelektrickýpokus
V tomto pokusu měníme frekvenci f dopadajícího světla
a měříme s ním spojený brzdný potenciál U
b
. Obr.39.2
ukazujezávislostU
b
naf.Všimněmesi,žefotoelektrický
jevnenastane,jestližejefrekvencenižšínežjistáprahová
frekvence f
0
; ukazuje se, že tomu tak je nezávislenain-
tenzitědopadajícíhosvětla.
To je další záhada pro klasickou fyziku. Pokud světlo
považujeme za elektromagnetickou vlnu, musíme předpo-
kládat, že nezávisle na tom, jak nízká je její frekvence,
mohou být elektronyemitoványvždy, pokud jim dodáme
dost energie — tedypokud použijeme dostatečně inten-
zívní zdroj.Tosealenestane. Pro světlo s frekvencí nižší
než prahovou fotoelektrický jev nenastane, atquoteright už je světlo
jakkoliintenzívní.
1036 KAPITOLA 39 FOTONY A DE BROGLIEHO VLNY
viditelnésvětlo ultrafialovésvětlo
U
b
(V)
f (10
14
Hz)
A
B
C
f
0
24681012
0
1,0
2,0
3,0
Obr.39.2 Brzdný potenciál U
b
jako funkce frekvence f dopa-
dajícího světla pro sodíkový terč T v zařízení z obr.39.1 (data
změřilR.A.Millikan v roce1916).
Existenciprahovéfrekvencealemůžemeočekávat,po-
kud je energie předávána fotony. Elektrony jsou v terči
drženyelektrostatickýmisilami.(Pokudbytomutakneby-
lo,vypadávalybyzterčeužvlastnívahou.)Abyelektrony
právěuniklyzterče,musízískatjistouminimálníenergii Φ,
kde Φ je vlastnost materiálu terče, které říkámevýstupní
práce. Pokud energie hf předaná elektronu přesahuje vý-
stupní práci materiálu (tedypokud platí hf > Φ), může
elektron uniknout z povrchu terče. Pokud předaná energie
nepřesahuje výstupní práci (tedypokud platí hf < Φ),
elektronyuniknout nemohou. To je přesně to, co obr.39.2
ukazuje.
Fotoelektrickýzákon
Einstein shrnul výsledkyobou fotoelektrickýchpokusůdo
jedinérovnice
hf = E
k,max
+Φ (fotoelektrický zákon), (39.5)
která vyjadřuje zákon zachování energie pro jednotlivou
interakcimezifotonem o frekvencif aelektronemz terče
o výstupní práci Φ. Zbývající energie (hf − Φ), kterou
elektron získá při interakci, se projeví jako jeho kinetická
energie. Za nejvýhodnějších podmínek může elektron vy-
stoupitzpovrchubezúbytkutétokinetickéenergieaocitne
sepakmimo terčs maximálnímožnouenergiíE
k,max
.
Přepišmerov.(39.5)dosazenímzaE
k,max
zrov.(39.4).
Po malýchúpraváchdostaneme
U
b
=
h
e
f −
Φ
e
. (39.6)
Podíly h/e a Φ/e jsou konstantní, a tak očekáváme li-
neárnízávislostzměřenéhobrzdnéhopotenciáluU
b
nafrek-
venci f, jak ukazuje obr.39.2. Dále pak směrnice přímky
byměla být rovna h/e. Pro kontrolu změříme na obr.39.2
vzdálenosti|AB|a|BC|apíšeme
h
e
=
|AB|
|BC|
=
(2,35−0,72)V
(11,2·10
14
−7,2·10
14
)Hz
=
= 4,1·10
−15
V·s.
Vynásobením výsledku elementárním nábojem e dosta-
neme
h = (4,1·10
−15
V·s)(1,6·10
−19
C) =
= 6,6·10
−34
J·s.
Tato hodnota Planckovykonstantysouhlasí s hodnotami
měřenýmipomocíjinýchmetod.
K
ONTROLA2:Obrázekukazujedatapodobnáobr.39.2
proterčezcesia,draslíku,sodíkualithia.Přímkyzob-
razující závislosti jsou rovnoběžné. (a) Seřadquoterightte terče
sestupně podle jejich výstupní práce. (b) Seřadquoterightte zá-
vislostisestupněpodlehodnoty h,kterouurčují.
U
b
cesium
draslík
sodík lithium
5,05,25,45,65,86,06,2
f (10
14
Hz)
PŘÍKLAD39.2
Fólie z draslíku je ve vzdálenosti r = 3,5m od izotropního
zdroje světla, který má výkon P = 1,5W. Výstupní práce
pro draslík je Φ = 2,2eV. Předpokládejte, že energie je
přenášena dopadajícím světelným svazkem spojitě a plynule
(tedyjako byplatila klasická fyzika a fotonyneexistovaly).
Jak dlouho potrvá, než fólie vstřebá dostatek energie, aby
mohla emitovat elektron? Předpokládejte, že fólie absorbuje
všechnu dopadající energii a že elektron, který bude emito-
ván, absorbuje energii dopadající na kruhovou plošku o po-
loměru 5,0·10
−11
m,daném typickým poloměrem atomu.
ŘEŠENÍ: Spočtěme si intenzitu I (výkon/plocha) světelné
energie, dopadající na vzorek. Z ní můžeme snadno určit, za
jak dlouho absorbuje studovaná ploška energii 2,2eV.
Předpokládejme,žeenergieemitovaná zezdrojejerozlo-
ženastejnoměrněvrozšiřujícísekulovévlnoplošesestředem
ve zdroji. Zrov.(34.27) je intenzita světla v místě fólie
I =
P
4D4r
2
=
(1,5W)
4D4(3,5m)
2
= 9,74·10
−3
W·m
−2
.
39.4 FOTONY MAJÍ HYBNOST 1037
Dopadá-li na plochu S = D4(5,0·10
−11
m)
2
= 7,85·10
−21
m
2
světlo sintenzitou I podobu t,pohltí seenergie E = ISt=
= Rt.TokR energie ploškou „průřezuatomu“ je
R = IS= (9,74·10
−3
W·m
−2
)(7,85·10
−21
m
2
) =
= 7,65·10
−23
W.
Jestližetutoenergiibude„nasávat“jedinýelektron,potřebuje
k získání 2,2eVdobu
t =
Φ
R
=
(2,2eV)
(7,65·10
−23
J·s
−1
)
parenleftbigg
1,60·10
−19
J
1eV
parenrightbigg
=
= 4600s
.
= 1,3h. (Odpovědquoteright)
Muselibychomtedyčekatvícenežhodinuodzapnutízdroje
světla na to, abyzačalybýt emitoványelektrony. Skutečná
čekacídobajeméněnež10
−9
s.Elektronzřejměnemusíčekat
apostupně„sát“energiizdopadajícívlny;pohltítutoenergii
celounarázvjediné interakci fotonu selektronem.
PŘÍKLAD39.3
Naleznětevýstupníprácisodíkuzdatvynesenýchvobr.39.2.
ŘEŠENÍ: Prahová frekvence f
0
, při které graf v obr.39.2
protíná osu frekvence, je přibližně 5,5·10
14
Hz. Fotonypři
tétofrekvencimajíenergiipřesněrovnouvýstupnípráci,atak
můžemerov.(39.2) psát jako
E = hf
0
= Φ,
což dává
Φ = hf
0
= (6,63·10
−34
J·s)(5,5·10
14
Hz) =
= 3,6·10
−19
J = 2,3eV. (Odpovědquoteright)
39.4 FOTONYMAJÍHYBNOST
V roce 1916 rozšířil Einstein svou hypotézu o fotonech
o předpoklad, že při interakci světla s hmotou předávají
fotonynejen energii, ale i hybnost. Stejně jako energie se
ihybnostpředávápodiskrétníchkvantechavjednotlivých
bodechnamístorozměrnějšíchoblastíprostoru.
Velikost hybnosti p fotonu spojeného s vlnou o frek-
vencif je
p =
hf
c
=
h
λ
(hybnost fotonu). (39.7)
Rov.(39.2) (E = hf = hc/λ) a rov.(39.7) nám říkají
napříkladto,žefotonyvesvazkurentgenovéhozáření (λ ≈
≈ 0,05nm) mají mnohem větší hodnotu jak energie, tak
hybnostinežfotony viditelnéhosvětla(λ ≈ 500nm).
O několik let později, v roce 1923, prováděl Arthur
Compton z Washingtonovyuniverzityv St. Louis pokus,
kterýpodpořilnázor,žejakhybnost,takenergiesvětlajsou
předáványfotony. V tomto pokusu dopadal svazek rent-
genového záření o vlnové délce λ na uhlíkový terč, jak
ukazuje obr.39.3. Compton měřil vlnové délkya intenzity
rentgenových paprsků rozptýlených tímto terčem do růz-
nýchsměrů.
dopadající
rentgenové
záření
kolimační
štěrbiny
rozptýlené
rentgenové
záření
detektor
ϕλ
λ
prime
T
Obr.39.3 Comptonovo zařízení. Svazek rentgenového záření
o vlnové délce λ = 71,1pm dopadá na uhlíkový terč T. Rent-
genové záření rozptýlené na terči pozorujeme pro různé úhly ϕ
vůčisměrudopadajícíhozáření.Detektorměříjakintenzituroz-
ptýleného rentgenového záření,takjeho vlnovou délku.
Obr.39.4ukazujejehovýsledky.Ikdyžvdopadajícím
svazku byla prakticky jediná vlnová délka (λ = 71,1pm),
vidíme, že rozptýlený svazek obsahuje velký rozsah vl-
nových délek se dvěma výraznými píkyv intenzitě. Jeden
píkmástředkolemdopadajícívlnovédélkyλ,druhýkolem
jinéhodnotyλ
prime
;rozdílDelta1λ = λ
prime
−λnazývámeComptonův
posuv.HodnotaComptonovaposuvuseměnísúhlem,pod
kterýmjerozptýlenérentgenovézářenídetegováno.
Obr.39.4 je z pohledu klasické fyziky další záhada.
Pokudpovažujemedopadajícísvazekrentgenovéhozáření
za elektromagnetickou vlnu, musíme si představit elek-
tronyvuhlíkovémterči,jakkmitajípodvlivemstřídavého
elektrického pole dopadající vlny. Elektron bude kmitat
sfrekvencístřídavéhoelektrickéhopolea—podobnějako
maličká anténa rádiového vysílače — bude vyzařovat na
stejnéfrekvenci.Rozptýlenérentgenovézářeníbymělomít
stejnou frekvenci, a tedyi stejnou vlnovou délku jako do-
padajícísvazek.Alenemá.
Compton interpretoval rozptyl rentgenových p