hrw39

1999bylyin-
terferencedemonstroványipromnohemsložitější fulerény
(buckyballs)C
60
aC
70
.(Fulerényjsoumolekuly,kterévy-
padajíjakofotbalovýmíčvytvořenýze60,resp.70atomů
uhlíku.)Takovémaléobjekty,jakojsouelektrony,protony,
atomyamolekuly,sezřejměpohybujíjakodeBrogliehovl-
ny.Kdyžvšakuvažujemevětšíasložitějšíobjekty,musíme
dojít k tomu, že již přestává mít smysl uvažovat vlnovou
podstatu objektu. Pak se dostáváme do našeho známého
nekvantového světa, jehož fyzikálním vlastnostem jsme
1042 KAPITOLA 39 FOTONY A DE BROGLIEHO VLNY
se věnovali v předchozích kapitolách. Krátce, elektron je
de Broglieho vlna a může interferovat sám se sebou, ale
kočka není de Broglieho vlna a nemůže sama se sebou
interferovat(cožmusíbýtpro kočkyvelkáúleva).
Obr.39.9a ukazuje jiný pokus, který můžeme použít
pro demonstraci rozptylu budquoteright elektronů, nebo rentgeno-
vého záření na krystalech. Svazek částic jednoho nebo
druhého druhu dopadá na terč tvořený práškem s malými
krystalky hliníku. Rentgenové záření má jistou vlnovou
délkuλ.Elektronymajíenergiitakovou,abyjejichvlnová
délka λ byla stejná. Po rozptylu na krystalech má vystu-
pující svazek válcovou symetrii kolem počátečního směru
dopadu a v důsledku Braggova rozptylu na atomových ro-
vinách hliníku (viz čl.37.9) vytváří soustředné kroužky
na fotografickém filmu. Obr.39.9b ukazuje výsledkypro
rentgenové záření,obr.39.9c ukazuje výsledkypro svazek
elektronů. Geometrie kroužků je stejná a ukazuje, že jak
rentgenovézáření,takelektronysechovajívtomtopokusu
jako vlny.
Vsoučasnédoběpovažujemevlnovoupodstatuhmoty
za samozřejmou. Difrakce elektronů nebo neutronů se
běžně používá pro studium atomové strukturypevných
látek a kapalin. De Broglieho vlnyjsou při tomto studiu
důležitým doplňkem rentgenového záření. Elektronypro-
nikajídomenšíhloubkynežrentgenovézáření,ajsouproto
užitečné pro studium vlastností povrchů. Rentgenové zá-
řeníinteragujevevzorkuzejménaselektrony,aprotonení
vhodné pro určení polohyatomů o malé hmotnosti (pře-
devším vodíku), které mají málo elektronů. Naproti tomu
neutronyinteragují s jádryatomů v terči, a jsou proto uži-
tečnétam,kdenelzepoužít rentgenovézáření.
Obr.39.10 ukazuje strukturu tuhého benzenu, jak ji
můžeme určit pomocí difrakce neutronů. Každý ze sou-
středných modrých kroužků ukazuje polohu jednoho ze
šestiatomůuhlíku,kterévytvářejíznámýbenzenovýkruh.
Každýčervenýkroužekpakukazujepolohuatomuvodíku
vázanéhok atomuuhlíku.
Vlnyačástice
Obr.39.8,39.9a39.10přesvědčivědokazujívlnovoupod-
statu hmoty. Máme ale nejméně stejně tolik pokusů, které
svědčíočásticovépodstatěhmoty.Vezměmesijakopříklad
stopyvytvořenéelektronyzúvodníhoobrázkuktétokapi-
tole.Tytostopy—řadabublinekvytvořenýchvbublinkové
komořenaplněnékapalnýmvodíkem—naznačujíprůchod
částice.Kdejetedytavlna?
Abychomsizjednodušilisituaci,vypnememagnetické
pole, takže řada bublinek bude ležet na přímce. Každou
bublinku můžeme považovat za bod detekce elektronu.
DeBrogliehovlny,kterésepohybujímezidvěmabody de-
Obr.39.8 Vytváření interferenčního obrazce pomocí svazku
elektronůpřipokusu nadvojštěrbině podobně jakonaobr.39.6.
De Broglieho vlnyjsou stejně jako světelné vlnyvlnami prav-
děpodobnosti. Shoradolůjepřibližnýpočetelektronůvobrazci
7, 100, 3000, 20000 a 70000.
39.6 ELEKTRONY A DE BROGLIEHO VLNY 1043
(a)
dopadajícísvazek
(rentgenovézáření
neboelektrony)
terč
(práškový
hliník)
difrakční
kroužek
fotografický
film
(b)
(c)
Obr.39.9 (a)Experimentálníuspořádáníprodemonstracivlno-
véhocharakterudopadajícíhosvazku.(b)Difrakčníobrazecpro
dopadající rentgenový svazek (elektromagnetická vlna). (c) Di-
frakčníobrazecprodopadajícísvazekelektronů(„vlnahmoty“).
Základní geometrie obou obrazcůje shodná.
Obr.39.10 Atomová struktura benzenu zobrazená pomocí di-
frakce neutronů. Uzavřené křivkyukazují hustotu elektronů
v pevném terči. Můžeme snadno vidět známý benzenový kruh
se šesti atomyuhlíku (modře) a k nim vázané atomyvodíku
(červeně).
tekce,jakojsouI aF naobr.39.11,prozkoumávajívšechny
možnédráhy,znichžněkteréjsouznázorněny.
Obecně pro každou dráhu spojující body I a F bude
existovat blízká dráha taková, že vlnysledující obě dráhy
se vyruší interferencí. To ale neplatí pro přímku spojující
body I a F; v tomto případě vlnyna sousedních drahách
zesilují vlnu postupující po přímce. Bublinkyvytvářející
stopu částice pak můžeme považovat za sérii detekčních
bodů,vekterýchčásticovávlnaprodělalakonstruktivníin-
terferenci.
IF
Obr.39.11 Několik z mnoha drah spojujících body I a F,ve
kterých jsou částice detegovány. Pouze ty částicové vlny, které
sledují dráhyblízké přímce spojující oba body, interferují tak,
že se sčítají. Pro všechnydalší dráhyse vlnysledující sousední
dráhyinterferencí vyruší. Proto částicová vlna sleduje přímko-
vou dráhu.
PŘÍKLAD39.5
Jaká je vlnová délka de Broglieho vlnyelektronu, jehož ki-
netická energie je 120eV?
ŘEŠENÍ: De Broglieho vlnovou délku najdeme z rov-
nice (39.13) ze známé hybnosti elektronu. Z nerelativistic-
kého vztahu E
k
=
1
2
mv
2
můžeme ukázat, že pro E
k
=
= 120eV je v = 6,5·10
6
m·s
−1
, což je velikost dostatečně
malá vzhledem k rychlosti světla. To nám dovoluje použí-
1044 KAPITOLA 39 FOTONY A DE BROGLIEHO VLNY
vatnerelativistickévztahyjakprokinetickouenergii,takpro
hybnost(p = mv).Vyloučíme-lirychlostvvobouvýrazech,
dostaneme
p =
radicalbig
2mE
k
=
=
radicalBig
2(9,11·10
−31
kg)(120eV)(1,60·10
−19
J/eV) =
= 5,91·10
−24
kg·m·s
−1
.
Zrov.(39.13) pak je
λ =
h
p
=
(6,63·10
−34
J·s)
(5,91·10
−24
kg·m·s
−1
)
=
= 1,12·10
−10
m = 112pm. (Odpovědquoteright)
To odpovídá typické velikosti atomu.
K
ONTROLA 4: Elektron a proton majístejnou(a) kine-
tickou energii,(b) hybnost, (c) rychlost.Kteráz částic
má v každém vyjmenovaném případě kratší de Bro-
gliehovlnovou délku?
39.7 SCHRÖDINGEROVAROVNICE
Jednoduchávlnalibovolnéhotypu,atquoterightužjetovlnanastruně,
zvukovávlnanebosvětelnávlna,jepopsánapomocínějaké
veličiny, která se mění v prostoru a čase způsobem typic-
kým pro vlnu. Například pro světelné vlnyje takovouto
veličinou E(x,y,z,t), elektrická složka vlny. Pozorovaná
hodnota v libovolném bodě pak záleží na souřadnicích to-
hoto bodu anačase,vekterémseprovádípozorování.
JakouproměnnouveličinoumámepopsatdeBroglieho
vlnu? Můžeme čekat, že tato veličina, které budeme říkat
vlnováfunkceΨ(x,y,z,t),budesložitějšínežodpovída-
jící veličina pro světlo, protože de Broglieho vlna kromě
energieahybnostitaképřenášíhmotnostačastoielektrický
náboj. Ukazuje se, že funkce Ψ (velké řecké písmenopsí)
jevmatematickémsmyslukomplexnífunkce;toznamená,
že její hodnotymůžeme psát jako a + ib, kde a a b jsou
reálnáčíslaai
2
=−1.
Ve všech případech, se kterými se v dalším setkáme,
mohou být prostorovéačasovéproměnnéseparoványa Ψ
můžemepsátvetvaru součinu
Ψ(x,y,z,t)= ψ(x,y,z)e
−iωt
, (39.14)
kde ω = 2D4f je úhlová frekvence de Broglieho vlny.
Funkceψ (maléřecképísmenopsí)představujejenprosto-
rovězávisloučástúplné,inačasezávisléfunkceΨ.Vdal-
ším se takřka výlučně budeme zabývat funkcí ψ. Vznikají
pakdvěotázky:coznamenávlnováfunkceajakjinajdeme?
Coznamenávlnováfunkce?De Broglieho vlna je po-
dobně jako světelná vlna vlnou pravděpodobnosti. Před-
pokládejme například, že hmota dopadá na malý detektor
částic;potompravděpodobnost,žečásticebudedetegována
v určitém časovém intervalu, je úměrná |ψ|
2
, kde |ψ| je
absolutní hodnota vlnové funkce v místědetektoru. I když
ψ je obvykle komplexní veličina, |ψ|
2
je vždycky reálná,
atonezáporná.Fyzikálnísmyslmátedynikolisamotné ψ,
aleveličina|ψ|
2
,kteréříkámehustotapravděpodobnosti.
Volněřečeno:
Pravděpodobnost detekce částice (za jednotku času)
vmalémobjemusestředemvdanémbodějeprodeBro-
gliehovlnyúměrnáhodnotě |ψ|
2
vtomto bodě.
Protožefunkceψjeobvyklekomplexní,čtverecjejíab-
solutníhodnotynajdemevzájemnýmvynásobenímfunkce
ψ a funkce ψ
∗
,komplexněsdružené k funkci ψ.(Prona-
lezení ψ
∗
nahradíme imaginární jednotku „i“ při každém
výskytuv ψ výrazem−i.)
Jak najdeme vlnovou funkci? Zvukové vlnya vlny
na struně jsou popsányrovnicemi newtonovské mecha-
niky. Světelné vlny jsou popsány Maxwellovými rovni-
cemi. De Broglieho vlnyjsou popsány Schrödingerovou
rovnicí, kterou zavedl v roce 1926 rakouský fyzik Erwin
Schrödinger.
V mnoha případech, které budeme diskutovat, se bu-
deme zabývat pohybem částice podél osy x v oblasti, ve
kterépůsobenísílynačásticilzepopsatzměnoupotenciální
energieE
p
(x) částice.Schrödingerovarovnicesepakzjed-
nodušínatvar
d
2
ψ
dx
2
+
2m
h
2
[E −E
p
(x)]ψ = 0
(Schrödingerova rovnice
pro pohyb v jednom rozměru),
(39.15)
kde E je celková mechanická energie (součet potenciální
a kinetickéenergie) pohybujícíse částice.Schrödingerovu
rovnici nemůžeme odvodit ze základnějších principů; je
samazákladníprincip. Sostatními principyovšem souvisí
(problém86).
Je-li E
p
(x) v rov.(39.15) rovna nule, pak tato rovnice
popisujevolnoučástici, tedytakovou pohybující se části-
ci, na kterou nepůsobí žádné síly. Celková energie částice
je v tomto případě rovna její kinetické energii, a tedy E
vrov.(39.15)je
1
2
mv
2
.Rovnicepakmátvar
d
2
ψ
dx
2
+
2m
h
2
parenleftbigg
mv
2
2
parenrightbigg
ψ = 0.
39.8 HEISENBERGŮV PRINCIP NEURČITOSTI 1045
Po dosazeníp = mv ji můžemepřepsatdo tvaru
d
2
ψ
dx
2
+
parenleftBig
p
h
parenrightBig
2
ψ = 0.
Podlerov.(39.13)jevýrazp/hroven1/λ,kdeλjede
Broglieho vlnová délka pohybující se částice. Dále víme,
že 2D4/λ je úhlový vlnočet* k, definovaný v rov.(17.5). Po
dosazenído předchozírovnicedostaneme
d
2
ψ
dx
2
+k
2
ψ = 0
(Schrödingerova rovnice
provolnou částici).
(39.16)
Rov.(39.16)má obecnéřešení
ψ(x)= Ae
ikx
+Be
−ikx
, (39.17)
kde A a B jsou libovolné konstanty. Snadno ukážeme, že
toto je skutečně řešením rov.(39.16), protože dosazením
ψ(x)ajejídruhéderivacedostanemeidentitu.
Dosazenímrov.(39.17)dorov.(39.14)najdeme,žeča-
sově závislá vlnová funkce Ψ volné částice pohybující se
podélosyx je
Ψ(x,t)= ψ(x)e
−iωt
=
= (Ae
ikx
+Be
−ikx
)e
−iωt
=
= Ae
i(kx−ωt)
+Be
−i(kx+ωt)
. (39.18)
Nalezeníhustotypravděpodobnosti |ψ|
2
Zčl.17.5víme,žekaždáfunkcetvaruF(kx±ωt)předsta-
vujepostupnouvlnu.Toplatíjakproexponenciálnífunkci
vrov.(39.18),takprosinusovouzávislost,kteroujsmedo-
sudpoužívalipropopisvlněnístruny.Oběvyjádřeníspolu
souvisípomocí vztahů
e
iθ
= cosθ +isinθ ae
−iθ
= cosθ −isinθ,
kdeθ jelibovolný úhel.
První člen na pravé straně rov.(39.18) představuje
vlnu pohybující se v kladném směru osy x a druhý člen
vlnu pohybující se v záporném směru osy x. Obecné ře-
šení(rov.(39.18))převedemenapřípadpohybuvkladném
směru osy x tak, že položíme konstantu B v rov.(39.18)
a (39.17) rovnu nule, a současně označíme konstantu A
jakoψ
0
.Rov.(39.17)pakdostanetvar
ψ(x)= ψ
0
e
ikx
. (39.19)
Pro spočteníhustotypravděpodobnostimusíme určitčtve-
recabsolutníhodnoty ψ(x).Dostaneme
|ψ|
2
=|ψ
0
e
ikx
|
2
= (ψ
2
0
)|e
ikx
|
2
.
* V kvantovéfyzicese úhlovývlnočetk častonazývávlnovéčíslo.
Protože
|e
ikx
|
2
= (e
ikx
)(e
ikx
)
∗
= e
ikx−ikx
= e
0
= 1,
dostaneme
|ψ|
2
= (ψ
2
0
)(1)
2
= ψ
2
0
.
Obr.39.12 znázorňuje závislost hustotypravděpodobnosti
|ψ|
2
na x pro volnou částici — je to přímka rovnoběžná
sosoux od−∞do+∞.Vidíme,žehustotapravděpodob-
nosti |ψ|
2
je stejná pro všechnyhodnoty x, což znamená,
že částice má stejnou pravděpodobnost být kdekoli podél
osyx.Žádnápoloha částicetedynenípreferována.
Významtohoto tvrzenísiozřejmímev dalšíčásti.
|ψ(x)|
2
0
x
Obr.39.12 Grafhustotypravděpodobnosti |ψ|
2
provolnoučás-
tici pohybující se v kladném směru osy x.Protože|ψ|
2
má
stejnou konstantní hodnotu pro všechnyhodnoty x, částice má
v každémbodě stejnou pravděpodobnost, že bude detegována.
39.8 HEISENBERGŮVPRINCIP
NEURČITOSTI
To,ževolnáčásticevobr.39.12nemážádnoupreferovanou
polohu, je náš první příklad použitíHeisenbergovaprin-
cipu neurčitosti, který postuloval v roce 1927 německý
fyzikWernerHeisenberg.Tentoprincipříká,žečásticinelze
současněpřiřaditpolohur ahybnostpsneomezenoupřes-
ností.
Heisenbergův princip neurčitosti stanoví pro složky r
a p tyto meze:
Delta1xDelta1p
x
greaterdblequalh,
Delta1yDelta1p
y
greaterdblequalh,
(Heisenbergův
princip neurčitosti).
(39.20)
Delta1zDelta1p
z
greaterdblequalh
Zde např. Delta1x a Delta1p
x
jsou neurčitosti pro měření
x-ových složek r a p. I s těmi nejlepšími měřicími za-
řízeními, která nám může poskytnout moderní technika,
budekaždýsoučinneurčitostipolohyaneurčitostihybnosti
v rov.(39.20) většínežh;nikdynemůžebýtmenší.
1046 KAPITOLA 39 FOTONY A DE BROGLIEHO VLNY
Částice, jejíž hustota pravděpodobnosti je znázorněna
na obr.39.12,je volná částice.To znamená,že na ni nepů-
sobí žádná síla, takže její hybnost p musí být konstantní.
Přitom jsme předpokládali,aniž jsme to výslovně řekli, že
p můžeme určit absolutně přesně. Tím jsme ovšem před-
pokládali, že v rov.(39.20) je Delta1p
x
= Delta1p
y
= Delta1p
z
= 0.
Tentopředpokladvšakvyžaduje,abyDelta1x →∞,Delta1y →∞
a Delta1z →∞. S touto nekonečně velkou neurčitostí je
pak nemožné určit polohu částice, jak to také ukazuje
obr.39.12.
Nemůžemesitedymyslet,žečástice máveskutečnosti
nějakou přesně určenou polohu, která je před námi z ně-
jakého důvodu skryta. Jestliže je hybnost částice určena
s absolutní přesností, slova jako „poloha částice“ jedno-
dušeztrácejíjakýkolismysl.Částicezobr.39.12můžebýt
nalezenasestejnoupravděpodobnostíkdekolipodélosyx.
PŘÍKLAD39.6
Snadno ukážeme, že elektron s kinetickou energií 12,0eV
má rychlost 2,05·10
6
m·s
−1
. Předpokládejme, že se elektron
pohybuje ve směru osy x a že můžeme měřit jeho rychlost
s přesností 0,50%. Jaká je nejmenší neurčitost (podle Hei-
senbergovaprincipuneurčitosti),sekteroumůžemesoučasně
měřitpolohu elektronu podél osy x?
ŘEŠENÍ: Rychlostelektronujemnohemmenšínežrychlost
světla,aprotomůžemejehohybnosturčitznerelativistického
vztahu jako
p = p
x
= mv = (9,11·10
−31
kg)(2,05·10
6
m·s
−1
) =
= 1,87·10
−24
kg·m·s
−1
.
Neurčitost Delta1p
x
při měření hybnosti je 0,50% této hodno-
ty, tedy 9,35·10
−27
kg·m·s
−1
.Podle Heisenbergova principu
neurčitosti (rov.(39.20)) je minimální neurčitost pro měření
polohy
Delta1x ≈
h
Delta1p
x
=
(6,63·10
−34
J·s)/2D4
(9,35·10
−27
kg·m·s
−1
)
=
= 1,13·10
−8
m
.
= 11nm, (Odpovědquoteright)
to je asi 100 průměrů atomu. S danou neurčitostí měření
hybnosti nemá smysl snažit se určit polohu elektronu s větší
přesností.
39.9 TUNELOVÁNÍ
Představte si, že házíte lentilkypo stole, na kterém ně-
kde v jejich dráze leží kniha. Byli byste velice překvape-
ni, kdyby lentilka prošla knihou místo toho, aby se od ní
odrazila. Něco takového od lentilek očekávat nemůžeme.
Ale pro elektronya jiné částice s malou hmotností takový
jev, kterému se říká tunelování bariérou nebo prostě jen
tunelování,nastatmůže.
(a)
(b)
elektron
ener
gie
E
p0
|ψ(x)|
2
E
R
0 L
x
T
0 L
x
Obr.39.13 (a) Průběh závislosti energie v prostoru vytváří po-
tenciálovoubariéruovýšceE
p0
atlouštquoterightceL.Elektronocelkové
energii E se přibližuje k bariéře zleva. (b) Hustota pravděpo-
dobnosti|ψ|
2
deBrogliehovlnyreprezentujícíelektronukazuje
tunelování elektronu bariérou. Vlevo od bariérydostaneme sto-
jatouvlnuvdůsledkusuperpozicedopadajícíaodraženédeBro-
glieho vlny.
Obr.39.13a ukazuje elektron o energii E,kterýse
pohybuje ve směru osy x. Působí na něj takové síly, že
jeho potenciální energie E
p
je nulová všude kromě oblasti
0