hrw39

aprsků
na uhlíku pomocí fotonů jako přenos energie a hybnosti
mezidopadajícímrentgenovýmsvazkemavolněvázanými
elektronyv uhlíkovém terči. Podívejme se nejdříve kvali-
tativněapakkvantitativněnato,jakkvantověmechanické
představyvedoukpochopeníComptonovýchvýsledků.
Předpokládejme, že interakce mezi dopadajícím rent-
genovým svazkem a elektronem v klidu se účastní jediný
1038 KAPITOLA 39 FOTONY A DE BROGLIEHO VLNY
intenzita intenzita
intenzita intenzita
vlnovádélka(pm)
vlnovádélka(pm) vlnovádélka(pm)
vlnovádélka(pm)
70
70 70
70 75
75 75
75
Delta1λ
Delta1λ
Delta1λ
ϕ=0
◦
ϕ=45
◦
ϕ=90
◦
ϕ=135
◦
Obr.39.4 Comptonovyvýsledkypro čtyři hodnotyúhlu roz-
ptylu ϕ.Všimněte si, že hodnota Comptonova posuvu Delta1λ roste
pro rostoucí úhel rozptylu ϕ.
foton o energii E = hf . Směr rentgenového záření se
obecně změní (říkáme, že se rentgenový foton rozptyluje)
aelektronsezačnepohybovat.Elektrontedyzískájistouki-
netickouenergii.Protožeseenergiepřiinterakcizachovává,
musí být energie rozptýleného fotonu E
prime
= hf
prime
menší než
energiedopadajícíhofotonu.Rozptýlenérentgenovézáření
tedymusí mít nižší frekvenci f
prime
, a proto i delší vlnovou
délku λ
prime
,neždopadajícírentgenovézáření;toje vsouladu
sComptonovýmměřenímnaobr.39.4.Tentodruhrozptylu
sposuvemfrekvencenazývámeComptonůvrozptyl.
Při kvantitativním postupu nejprve použijeme zákon
zachování energie. Obr.39.5 znázorňuje „srážku“ mezi
rentgenovým fotonem a volným elektronem, který je na
počátku v klidu. Po srážce vystupuje rentgenové záření
o vlnové délce λ
prime
pod úhlem ϕ a elektron se pohybuje ve
směrudanémúhlemθ.Zákonzachováníenergiepak dává
hf = hf
prime
+E
k
,
kde hf je energie dopadajícího fotonu, hf
prime
je energie roz-
ptýleného fotonu a E
k
je kinetická energie elektronu po
srážce. Protože elektronymohou získat rychlost srovna-
telnou s rychlostí světla, musíme pro kinetickou energii
elektronupoužítrelativistickývzorecpodlerov.(38.33)
E
k
= mc
2
(γ −1),
kdemjehmotnostelektronuaγ jeLorentzůvkoeficient
γ =
1
radicalbig
1−(v/c)
2
.
DosazenímzaE
k
dozákonazachováníenergiedostaneme
hf = hf
prime
+mc
2
(γ −1)
aodtud dosazenímc/λ= f ac/λ
prime
= f
prime
získáme
h
λ
=
h
λ
prime
+mc(γ −1). (39.8)
Dále použijeme (vektorově) zákon zachování hybnosti na
srážku rentgenového fotonu s elektronem podle obr.39.5.
Hybnost dopadajícího a rozptýleného fotonu určuje rov-
nice (39.7) (p = h/λ) a hybnost elektronu po srážce
rov.(38.31) (p = γmv). Napíšeme-li zvláštquoteright rovnice pro
zachovánísložekhybnostivesměrux ay,dostaneme
h
λ
=
h
λ
prime
cosϕ +γmvcosθ (složka x) (39.9)
a
0 =
h
λ
prime
sinϕ −γmvsinθ (složka y). (39.10)
počátečnístav
rentgenové
záření
elektron
výslednýstav
rentgenové
záření
elektron
xx
yy
v
v=0
λ
λ
prime
ϕ
θ
Obr.39.5 Rentgenovézářeníovlnovédélceλinteragujeselek-
tronemvklidu.Rentgenovýsvazekjerozptýlendoúhluϕajeho
vlnová délka vzroste na λ
prime
. Elektron se pohybuje s rychlostí v
pod úhlem θ.
Chceme najít výraz pro Comptonův posuv rozptýle-
néhorentgenovéhozářeníDelta1λ = λ
prime
−λ.Zpětiproměnných
(λ,λ
prime
,v,ϕaθ),kterévystupujívrov.(39.8),(39.9)a(39.10),
vyloučímevaθ,kterésevztahujíjenkelektronuposrážce.
PosložitějšíchúpraváchdostanemezávislostComptonova
posuvunaúhlu rozptyluϕ:
Delta1λ =
h
mc
(1−cosϕ) (Comptonův posuv). (39.11)
Konstantní veličina h/(mc) se nazývá Comptonova vl-
novádélkaelektronu.Rov.(39.11)přesněsouhlasísCom-
ptonovými experimentálnímivýsledky.
39.5 SVĚTLO JAKO VLNA PRAVDĚPODOBNOSTI 1039
Aproúplnost…
Zbývá nám vysvětlit pík na vlnové délce dopadajícího zá-
ření(λ = 71,1pm)naobr.39.4a.Tennevznikápřirozptylu
rentgenových paprsků na velmi volně vázaných elektro-
nech v terči, ale při rozptylu na elektronech, které jsou
těsně vázányk atomům uhlíku, z nichž je terč vyroben.
Každá taková srážka je pak vlastně srážkou mezi dopa-
dajícím rentgenovým fotonem a celým atomem uhlíku.
Dosadíme-li za m v rov.(39.11) hmotnost atomu uhlíku
(která je zhruba 22000krát větší než hmotnost elektronu),
vidíme, že posuv Delta1λ je 22000krát menší než Comptonův
posuv pro elektron, a tedypříliš malý na to, abychom jej
mohli zjistit. Proto pro rentgenové záření rozptýlené při
těchto srážkách naměříme vlnovou délku stejnou, jako má
dopadajícírentgenovézáření.
PŘÍKLAD39.4
Rentgenovézářeníovlnovédélceλ = 22pm(energiefotonu
56keV)serozptylujenauhlíkovémterčipodúhlem85
◦
vůči
dopadajícímu svazku.
(a)Jaký je Comptonův posuv rozptýleného svazku?
ŘEŠENÍ: Zrov.(39.11) máme
Delta1λ =
h
mc
(1−cosϕ)=
=
(6,63·10
−34
J·s)(1−cos85
◦
)
(9,11·10
−31
kg)(3,00·10
8
m·s
−1
)
=
= 2,21·10
−12
m
.
= 2,2pm. (Odpovědquoteright)
(b) Jaká část α z počáteční energie rentgenového fotonu je
při tomto rozptylu předána elektronu?
ŘEŠENÍ: Podíl ztrátyenergie je
α =
E −E
prime
E
=
hf −hf
prime
hf
=
c/λ−c/λ
prime
c/λ
=
λ
prime
−λ
λ
prime
=
=
Delta1λ
λ+Delta1λ
. (39.12)
Dosazením dostaneme
α =
(2,21pm)
(22pm+2,21pm)
= 0,091 neboli 9,1%. (Odpovědquoteright)
Ačkoli Comptonův posuv Delta1λ nezávisí na vlnové délce λ
dopadajícího rentgenového záření (rov.(39.11)), relativní
ztráta energie rentgenového záření závisí na λ. Jak ukazuje
rov.(39.12), relativní ztráta roste, když se vlnová délka do-
padajícího zářenízmenšuje.
K
ONTROLA 3: Srovnejte Comptonův rozptyl pro rent-
genové záření (λ
.
= 20pm) a viditelné světlo (λ
.
=
.
= 500nm) pro daný úhel rozptylu. Kde je větší
(a)Comptonůvposuv,(b)relativníposuvvlnovédélky,
(c)relativnízměnaenergiefotonua(d)energiepředaná
elektronu?
39.5 SVĚTLOJAKOVLNA
PRAVDĚPODOBNOSTI
Může se to zdát podivné, že světlo může být vlna a přesto
vznikáapřiinterakcizanikájakourčitékvantumenergie—
foton.Novýpohlednapokussdvojštěrbinouzčl.36.4nám
pomůže tuto záhadu objasnit. Budeme uvažovat tři verze
tohoto důležitéhopokusu.
Standardníverze
Obr.39.6 nám připomene původní pokus prováděný Tho-
masemYoungemvroce1801,kterýjsmevidělinaobr.36.6.
Světlo dopadá na stínítko B se dvěma úzkými rovnoběž-
nými štěrbinami. Světelné vlnyvycházejí z obou štěrbin,
původně jediný směr šíření se rozšíří difrakcí, takže se po
dopadu na stínítko C překrývají. Interferencí vzniká obra-
zec, kde se střídají minima a maxima intenzity. V čl.36.4
jsme brali existenci těchto interferenčních proužků jako
důkazvlnovépodstatysvětla.
dopadající
světlo
světlo
difraktované
naštěrbinách
interferenční
proužky
BC
D
Obr.39.6 Světlo dopadá na stínítko B, které obsahuje dvě rov-
noběžné štěrbiny. Světlo na nich difraktuje. Obě difraktované
vlnydopadají na stínítko C, skládají se a vytvářejí interferenční
proužky. Malý detektor fotonů D v rovině stínítka C klapne
pokaždé, když absorbuje foton.
1040 KAPITOLA 39 FOTONY A DE BROGLIEHO VLNY
Do jednoho bodu v rovině stínítka umístíme malý de-
tektor fotonů D — například fotoelektrické zařízení, které
klapne, když pohltí foton. Detektor bude v náhodné oka-
mžikyklapat a každé klapnutí signalizuje přenos energie
od světelnévlnynastínítko —dopadjednohofotonu.
Posouváme-livelmipomaludetektornahoruadolů,jak
jeznázorněnonaobr.39.6,budesečetnostklapánízvětšo-
vat azmenšovattak,jakbudedetektorpostupněprocházet
maximya minimy, která přesně odpovídají poloze maxim
aminim v interferenčníchproužcích.
Co je podstatou tohoto myšleného experimentu? Ne-
dokážemepředpovědět,kdybudefotondetegovánvdaném
boděnastínítkuC;fotonyjsoudetegoványvkaždémbodě
vnáhodnýchčasovýchokamžicích.Můžemevšakpředpo-
vědět,žepravděpodobnost,žefoton bude detegovánv da-
némboděvzadanémčasovémintervalu,jeúměrnáintenzitě
světladopadajícíhonastínítkoC.
V čl.34.4 jsme viděli, že intenzita I světelné vlnyje
vkaždémboděúměrnáčtverciamplitudyE
m
proměnného
elektrickéhopole.
Pravděpodobnost,žefotonbudedetegován(zajednotku
času) v malém objemu se středem v daném bodě svě-
telnévlny,jeúměrnáčtverciamplitudyvektoruintenzity
elektrickéhopolevlnyv tomto bodě.
Tím jsme vytvořili pravděpodobnostní popis světelné
vlny, a tedy jiný způsob, jak se dívat na světlo. Je to nejen
elektromagnetická vlna, ale ivlna!pravděpodobnosti.To
znamená,žekaždémubodusvětelnévlnymůžemepřiřadit
číslo–pravděpodobnost(zajednotkučasu),žefotonmůže
být detegovánv malémobjemu kolemtohotobodu.
Jednofotonováverze
Jednofotonovou verzi pokusu s dvojštěrbinou poprvé pro-
vedl G.I. Taylor v roce 1909 a pokus byl od té doby mno-
hokrátzopakován.Odstandardníverzeselišítím,žezdroj
světlajenatolikslabý,žedalšífotonjenáhodněemitovánaž
poté,copředcházejícífotondopadlnastínítko.Překvapivě
se na stínítku C stále vytvářejí interferenční proužky, po-
kudpokusprobíhádostatečnědlouho(vTaylorověprvním
pokusu tobylo podobu několikaměsíců).
Jak můžeme tento jednofotonový dvojštěrbinový po-
kus vysvětlit? Dříve, než se vůbec pustíme do interpre-
tace výsledků, měli bychom si položit otázky jako: Když
se v aparatuře pohybuje jediný foton, kterou štěrbinou ve
stínítku B prochází? Jak tento foton „ví“, že se někde vy-
skytuje další štěrbina, a že tedy může interferovat? Může
jediný foton nějak projít oběma štěrbinami a interferovat
sámsesebou?
Mějme na paměti, že fotonyse projevují jen při in-
terakci světla s hmotou. Víme tedy, že fotonyvznikají ve
zdroji,kterývytvářídopadajícísvětlonaobr.39.6,ažeza-
nikají nastínítkuC,kdesvětlointeragujespevnoulátkou,
ze které je stínítko složeno. Mezi zdrojem a detektorem
všakpostulujeme,žesesvětlopohybujenejakotokfotonů,
alejakovlnapravděpodobnosti.Tatovlnamůžedifraktovat
na každé cloně nezávisle na tom, jak slabý je zdroj světla.
Obědifraktovanévlny,každáodjednéštěrbiny,spolumo-
hou interferovat, když se setkají v daném bodě stínítka C,
kde pak na stínítku vytvářejí maxima a minima „proužků
pravděpodobnosti“. Fotonypak budeme přednostně dete-
govat v oblastech maximální pravděpodobnosti. V oblas-
tech minima, kde je pravděpodobnost nulová, detegovány
nebudou.
Toto vypadá jako uspokojivé vysvětlení jednofotono-
vého pokusu, nebotquoteright klasická fyzika nenabízí vůbec žádné
vysvětlení. Podle známého fyzika Richarda Feynmana je
jednofotonový pokus na dvojštěrbině jev, který není mož-
né, absolutně není možné, vysvětlit klasickým způsobem
akterýjevlastnípovazekvantovéfyziky.
Jednofotonováširokoúhláverze
Obr.39.7 ukazuje uspořádání v další verzi dvojštěrbino-
véhopokusu,kterýprovedliMingLaiaJean-ClaudeDiels
naUniverzitěvNovémMexikuvroce1992.ZdrojSobsa-
huje molekuly, které emitují jednotlivé fotony dostatečně
dlouho po sobě. Zrcadla M
1
aM
2
odrážejí světlo emito-
vanézezdrojetak,žeprocházípodvourůznýchdrahách1
a 2 svírajících úhel θ blízký 180
◦
. Toto uspořádání se liší
odstandardníhodvojštěrbinovéhopokusu,uněhožjevelmi
malýúhelmezioběmadrahamisvětelnýchvlndopadajících
naoběštěrbiny.
dráha1
jedinámolekula
dráha2
S
B
D
M
1
M
2
θ
Obr.39.7 Světlo jediného fotonu emitované ze zdroje S se po-
hybuje po dvou vzdálených drahách a interferuje samo se se-
bou na detektoru D po spojení na děliči svazku B. (Ming Lai
and Jean-Claude Diels,JournaloftheOpticalSocietyofAme-
ricaB, 9,2290–2294, December1992.)
39.6 ELEKTRONY A DE BROGLIEHO VLNY 1041
Po odrazu od zrcadel M
1
aM
2
se světelné vlny, po-
hybující se podél drah 1 a 2, setkávají na děliči svazku B.
(Děličsvazkuje optickézařízení,kterépropouští polovinu
dopadajícího světla a odráží druhou polovinu.) Na pravé
straně děliče z obr.39.7 se světelná vlna, která se pohybo-
valapodráze2aodrazilaodB,spojujesesvětelnouvlnou,
která se pohybovala po dráze 1 a prošla děličem B. Obě
tyto vlny pak spolu interferují při dopadu na detektor D
(fotonásobič detegujícíjednotlivéfotony).
Výstupzdetektorujesérienáhodněrozloženýchelek-
trických pulzů; každý pulz signalizuje detekci jednoho fo-
tonu.VpokususeděličBpomalupohybujevevodorovném
směru (zde maximálně jen asi o 50D1m) a výstup z detek-
toru se zaznamenává na zapisovači. Posun děliče B mění
délku dráhy1 a 2 a vytváří fázový rozdíl mezi světelnými
vlnami,kterédopadajínadetektorD.Navýstupnímsignálu
zdetektoruseobjevujíinterferenčnímaximaaminima.
Tento pokus se dá těžko pochopit pomocí tradičních
pojmů. Například emituje-li molekula jediný foton, pohy-
bujesefotonpodráze1nebopodráze2vobr.39.7(nebopo
nějakézcelajinédráze)?Můžesesnadsoučasněpohybovat
po obou drahách? Abychom našli odpovědquoteright, předpokládá-
me,žeemitujícímolekulapřikvantovémpřechodunanižší
hladinu energie vyzařuje vlnu pravděpodobnosti do všech
směrů. Pokus vzorkuje tuto vlnu ve dvou směrech, zvole-
nýchtak,žejsoupraktickyprotilehlé.
Vidíme, že všechnytři verze pokusu na dvojštěr-
biněmůžemeinterpretovat,předpokládáme-li,že(1)světlo
vezdrojivznikájakojednotlivéfotony,(2)světlosevdetek-
torupohlcujejakojednotlivéfotonya(3)světlosepohybuje
mezizdrojemadetektoremjakovlnapravděpodobnosti.
39.6 ELEKTRONY
ADEBROGLIEHOVLNY
Fyzikové jen zřídkakdy udělali chybu, když předpokládali
symetrii v přírodě. Zjistíme-li, že proměnné magnetické
pole vytváří elektrické pole, můžeme usuzovat jako Fara-
daya Maxwell, že proměnné elektrické pole vytváří pole
magnetické.Aono ho takévytváří.
V roce 1924 se francouzský fyzik Louis de Broglie
rovněž dovolával symetrie. Svazek světla je vlna, ale pře-
dáváenergiiahybnosthmotěvkvantech—fotonech.Proč
nemohoumítsvazkyčásticpodobnévlastnosti?Pročnemů-
žeme považovat pohybující se elektron — nebo jakoukoli
jinoučástici—zavlnuhmoty?
DeBroglienavrhl,žerov.(39.7)(p = h/λ)neplatíjen
pro fotony, ale také pro hmotné částice — například pro
elektrony. V čl.39.4 jsme použili tuto rovnici, abychom
přiřadili fotonu hybnost p, známe-li vlnovou délku λ vlny
příslušnéfotonu.Nynítentovztahpoužijemevetvaru
λ =
h
p
(de Broglieho vlnová délka) (39.13)
kpřiřazenívlnovédélkyλčástici,kterámáhybnostoveli-
kostip.Vlnovádélkaurčenárov.(39.13)senazývádeBro-
gliehovlnovádélkapohybujícísečástice.
DeBrogliehohypotézuoexistencivlnovýchvlastností
hmotypoprvéexperimentálněověřilivroce1927C.J.Da-
visson a L.H. Germer z Bellových laboratoří a George
P. Thomson z Aberdeenské univerzityve Skotsku. V roce
1989bylavlnovápodstataelektronůdemonstrovánaipoku-
semsdvojštěrbinou,kteroujsmepoužiliprodiskusivlnové
podstatysvětla.
Obr.39.8 je fotografický důkaz existence vln hmoty,
de Broglieho vln, v nedávno provedeném experimentu.
V tomto experimentu byl vytvářen interferenční obrazec
elektrony, posílanýmijedenzadruhým zařízením s dvoj-
štěrbinou.Totozařízeníbylopodobné,jakéjsmepoužívali
dříve pro demonstrování optické interference, až na to, že
pozorovacístínítkopracovalostejnějakoobvyklátelevizní
obrazovka.Kdyželektrondopadnenastínítko,vyvolásvě-
telnýzábleskajehopolohajezaznamenána.
Prvních několik elektronů neodhalilo nic zajímavého;
zdánlivě dopadalyna stínítko v náhodných bodech (dva
horní obrázky). Po dopadu několika tisíc elektronů se na
obrazovceobjevujeobrazecsesvětlýmiproužkyvmístech,
kam dopadlomnoho elektronů,as tmavými,kamdopadlo
elektronůmálo.Tentoobrazecjepřesněto,cobychomoče-
kávali při interferenci vln. To znamená, žekaždýelektron
prošel zařízenímjako de Broglieho vlna; část,která prošla
jednou štěrbinou,interferovala s částí,která prošla druhou
štěrbinou.Tatointerferencepakurčilapravděpodobnost,že
seelektronpřidopaduobjevívdanémboděstínítka.Mnoho
elektronůdopadlodooblastíodpovídajícíchjasnýmprouž-
kům při optické interferenci, málo elektronů dopadlo do
oblastíodpovídajícíchtmavýmproužkům.
Podobnéinterferencebylypozoroványproprotony,ne-
utronyařaduatomů.Vroce1994bylyprokázányipromo-
lekulyjodu I
2
, které jsou nejen 500000krát hmotnější než
elektrony,alejsouimnohemsložitější.Vroce