- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál4(2)0lllll−+≡−= s jedním jednoduchým kořenem 1 0l = a jedním dvojným
kořenem 2,3 2l = . Proto jsou fundamentální řešení tvaru 1,exp(2),exp(2)xxx
Protože metoda variace konstant je mnohdy technicky velice náročná a vychází ze zna-
losti fundamentálních řešení, můžeme u rovnice s konstantními koeficienty k určení partiku-
lárního řešení s výhodou využít též metodu neurčitých koeficientů. Tato metoda je mnohem
jednodušší a nevyžaduje znalost fundamentálních řešení, ale lze ji použít jen pro některé typy
pravých stran. Spočívá v tom, že pro některé pravé strany lze určit formální tvar partikulární-
ho řešení, který obsahuje volné parametry. Stačí tedy určit hodnoty těchto volných parametrů.
Postup si objasněme na případu poměrně obecné pravé strany
]ωsin)(ωcos)([)αexp()( xxqxxpxxf mm += , ( 3.12 )
kde )(xpm a )(xqm jsou zadané polynomy m-tého stupně a α , ω jsou reálná čísla. Je-li
číslo jaw+ κ-násobným kořenem charakteristické rovnice, pak lze partikulární řešení hledat
ve tvaru
* exp()[()cos()sin]mmyxxrxxsxxk aww=+.
Dosud neurčené koeficienty polynomů )(xr m a )(xsm se po dosazení *y do nehomogen-
ní rovnice určí porovnáním koeficientů u stejných funkcí. Pokud číslo jaw+ není kořenem
charakteristické rovnice, položíme v předchozí relaci 0k = .
Povšimněme si, že v uvedeném poměrně obecném tvaru pravé strany ( 3.12 ) a tedy i odpo-
vídajícího partikulárního řešení je skryto několik v praxi se často vyskytujících speciálních
případů. Uveďme si přehledně některé z nich:
*0,0()(),()mmfxpxyxrxkaw==⇒==,
000,0()exp() exp()mfxpxyrxxkwaa==⇒ ,
0000*0,0()cossin,(cossin)fxpxqxyxrxsxkawwww==⇒=+=+,
kde 00,pq jsou zadané a 00,rs zatím neurčené konstanty. Poznamenejme ještě, že i když
se v pravé straně vyskytuje jen jedna z trigonometrických funkcí, musíme u partikulárního
řešení obecně předpokládat výskyt obou funkcí.
Ukázka 3.42: Určeme partikulární řešení rovnice z ukázky 3.33, tentokrát metodou neur-
čitých koeficientů. V tomto případě 00,,2.01mpqaw===== Protože číslo j2jaw+=
není řešením charakteristické rovnice 2 10l +=, klademe 0k = . Partikulární řešení tedy
můžeme hledat ve tvaru * 00cos2sin2yrxsx=+. Dosazením do zadané diferenciální rovni-
ce a porovnáním koeficientů u stejných trigonometrických funkcí dospějeme k 000,1rs==−
a proto hledaným partikulárním řešením je funkce * sin2yx=− .
Ukázka 3.43: Nalezněme partikulární řešení rovnice 56exp(3)yyyx′′′−+= . Zde
3a = , 00,1mpw===. Číslo j3aw+= je jednoduchým kořenem charakteristické rov-
nice 2 560ll−+= a tudíž 1k = . Partikulární řešení proto předpokládáme ve tvaru
40 FEKT Vysokého učení technického v Brně
40
*
0 exp(3)yrxx= . Dosazením do výchozí diferenciální rovnice pak shledáme, že r0 = 1 a
v důsledku toho * exp(3)yxx= .
Ukázka 3.44: Řešme nyní následující okrajovou úlohu
61286exp(2)yyyyx′′ ′′′−+−= , (0)(0)(1)0yyy′===.
Charakteristická rovnice 3226128(2)0llll−+−≡−= má trojný kořen 2l = a proto se
fundamentální systém skládá z funkcí exp(2)x , exp(2)xx, 2 exp(2)xx. K určení partikulár-
ního řešení uvažme, že 00,2,6mpwa====. Vzhledem k tomu, že číslo j2aw+= je
trojnásobným kořenem charakteristické rovnice, klademe 3k = . Partikulární řešení proto
předpokládáme ve tvaru *30exp(2)yrxx= . Dosazením do zadané rovnice určíme 0 1r = ,
takže obecné řešení výchozí rovnice můžeme psát ve tvaru
23012()exp(2)yccxcxxx=+++ .
K určení integračních konstant 012,,ccc využijeme počátečních podmínek. To vede na sou-
stavu lineárních algebraických rovnic 0010120,20,10ccccc=+=+++=, jejímž řešením
je 0120,1ccc===− . Výsledným řešením zadané okrajové úlohy je tedy funkce
32()exp(2)yxxx=− .
Ukázka 3.45: Zabývejme se nyní úlohou, kdy se pravá strana skládá z více členů různého
typu. Postup vysvětlíme na počáteční úloze
24exp(2)10sinyyyxx′′′+−=−, (0)0,(0)1yy′==.
Charakteristická rovnice 2 20ll+−= má dva různé reálné kořeny 121,2ll==− a pro-
to fundamentální systém tvoří funkce exp()exp(2)xax− . Vzhledem k lineárnosti rovnice
můžeme na základě předchozích ukázek hledat partikulární řešení ve tvaru lineární kombina-
ce partikulárních řešení, která by odpovídala jednotlivým členům pravé strany. V našem pří-
padě tedy položíme * exp(2)sincosyaxbxcx=++ . Abychom vypočetli neurčené parametry
a, b, c, dosadíme do výchozí rovnice a porovnáme koeficienty u stejných funkcí. Dospějeme
k soustavě rovnic 44,310,30abcbc=+=−= s řešením a = 1, b = 3, c = 1. Nyní již
můžeme pro vyšetřovanou rovnici sestavit obecné řešení
12exp()exp(2)exp(2)3sincosycxcxxxx=+−+++.
Aby byly splněny i počáteční podmínky, musíme položit 123,1cc=−=, takže celkem
3exp()exp(2)exp(2)3sincos3exp()2cosh(2)3sincosy xxxx xxx=−+−+++≡−+++.
Ukázka 3.46: Proveďme si analýzu seriového elektrického RLC obvodu, jehož proudová
odezva )(tii= vyhovuje diferenciální rovnici ()LCiRCiiCut′ ′′++= druhého řádu.
Omezme se jen na homogenní rovnici. Její charakteristická rovnice 01λλ2 =++ CRCL
má dva kořeny
2212112,,RLCLCLp pppll=−−−=−+−= .
V závislosti na velikosti parametrů R , L a C analyzovaného obvodu můžeme rozeznat tři
případy:
Matematika 2 41
41
ao LRC 42 > ⇒ Charakteristická rovnice má dva reálné různé záporné kořeny,
takže )λexp()λexp( 2211 tctci += . Jedná se tedy o silně tlumený neperiodický děj.
bo LRC 42 = ⇒ Charakteristická rovnice má dvojný reálný záporný kořen a proto
)()exp( 21 tcctpi +−= . Jedná se o kriticky tlumený děj.
co LRC 42 > ⇒ Charakteristická rovnice má dva komplexně sdružené kořeny
ωjλ 1 −−= p a ωλ j2 +−= p , 21ω pCL −= , se zápornou reálnou složkou. Tedy
12exp()(sincos)iptctctww=−+. Tento děj je tedy slabě tlumený.
Ukázka 3.47: V praxi se často vyskytuje požadavek na výpočet neurčitého integrálu
exp()sinIaxxdxw= ∫ . Tento integrál se zpravidla určuje pomocí dvojí integrace per partes
a vyřešením takto získané lineární rovnice. Ukážeme, jak lze tento integrál získat jako řešení
lineární diferenciální rovnice exp()sinIaxxw′ = metodou neurčitých koeficientů. Vzhledem
k typu pravé strany můžeme podle ( 3.12 ) řešení uvedené rovnice předpokládat ve tvaru
12exp()(sincos)Iaxcxcxww=+. Dosazením do diferenciální rovnice a porovnáním koefi-
cientů u stejných trigonometrických funkcí dospějeme k soustavě dvou rovnic 121accw−=
a 120cacw +=. Vyřešením této soustavy získáme 2 2212/(),/()ca cawww=+=−+.
Výsledný integrál má proto tvar 22sincosexp()sinexp()axxaxxdxax awwww w−= +∫ .
3.5 Shrnutí
Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním a explicitním tvaru:
0),...,,,( )( =′ nyyyxf , ),...,,,( )1()( −′= nn yyyxfy
Počáteční úloha rovnice n-tého řádu:
()(1)(1)(1)
0000(,,,...,),(),...,()
nnnyfxyyyyxyyxy−−−′===
() existence řešenífC∈Ω⇒
1() jednoznačná existence řešenífC∈Ω⇒
Počáteční úloha diferenciální rovnice prvního řádu:
(,)yfxy′ =
separace proměnných: ()( ()konst.()dyyfxg fxdxgy′=⇒=+∫∫
lineární rovnice:
()()[()()]/(),()exp(())yfxygxygxFxdxcFxFxfxdx′+=⇒=+=∫∫
Lineární rovnice n-tého řádu:
()(1)110()()...()()(),()0nnnaxyaxyaxyaxyfxax−− ′++++=≠
42 FEKT Vysokého učení technického v Brně
42
obecné řešení nehom. r. = obecné řešení hom. r. + part. řešení nehom. r.
variace konstant: () ,1
1
()(),0,...,1, (Kronecker)
n
i
jjin
j
cxyfxind−
=
′==−∑
Lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty:
()(1)110.. (),0nnnayayayayfxa−− ′++++=≠
charakteristická rovnice: 0λ...λλ 0111 =++++ −− aaaa nnnn
fundamentální řešení:
1,212
reálné exp()
j exp()sin, exp()cos
yx
yxxyxx
ll
lababab
⇒=
=±⇒==
metoda neurčitých koeficientů: ]ωsin)(ωcos)([)αexp()( xxqxxpxxf mm +=
* exp()[()cos()sin]mmyxxrxxsxxk aww=+
Matematika 2 43
43
3.6 Kontrolní otázky
18) Musí diferenciální rovnice n-tého řádu obsahovat všechny derivace nižšího řádu?
19) Vysvětlete rozdíl mezi implicitním a explicitním tvarem řešení.
20) Stačí u diferenciálních rovnic nalézt nekonečně mnoho řešení?
21) Může být singulární řešení obsaženo v obecném řešení?
22) Vysvětlete rozdíl mezi existencí a jednoznačnou existencí řešení.
23) Čím se liší počáteční a okrajové úlohy?
24) Jaký je vztah mezi integrálními křivkami a izoklinami?
25) Lze provést separaci proměnných u každé diferenciální rovnice prvního řádu?
26) Co je typické pro lineární diferenciální rovnice?
27) Jak se sestrojí a k čemu slouží charakteristická rovnice?
28) Co je to fundamentální systém řešení?
29) Jak je definován wronskián?
30) V kolika bodech musíme spočítat wronskián, abychom určili fundamentální systém?
31) Musíme určit fundamentální systém vždy před nalezením partikulárního řešení?
32) Jaké metody výpočtu partikulárního řešení znáte?
3.7 Příklady ke kapitole 3
Příklad 3.1: Znázorněte směrové pole diferenciální rovnice )sin( zxy +=′ .
Příklad 3.2: Ukažte, že funkce )(xu , určená rovnicí 0ln 22 =+− uxxuarctg ,
vyhovuje diferenciální rovnici ( ) ( ) 0=−−+ dyyxdxyx .
Příklad 3.3: Řešte Cauchyovu úlohu pro rovnici xy 2cos=′ při počáteční podmínce
84 pp =y .
Příklad 3.4: Řešte rovnici 222 xxexyy =−′ s počáteční podmínkou 4)0( =y .
Příklad 3.5: Najděte obecné řešení rovnice xxyyy sin2 2 +=′+′′+′′′ .
Výsledky viz kap. 9
44 FEKT Vysokého učení technického v Brně
44
4 Diferenciální počet v komplexním oboru
Cíle kapitoly: Kapitola obsahuje základy diferenciálního počtu komplexní funkce
komplexní proměnné. Nejprve si připomeneme některé nezbytné pojmy a potřebná
označení. Poté se seznámíme s komplexní funkcí komplexní proměnné a zavedeme po-
jem její derivace. Zde budou hrát důležitou roli Cauchyovy-Riemannovy podmínky.
Zaměříme se hlavně na důležitou množinu komplexních funkcí a to na tzv. holomorfní
funkce. Budeme jimi rozumět funkce, které mají derivaci i v okolí každého bodu defi-
ničního oboru. Zařadíme zde též krátkou zmínku o geometrické interpretaci holomorf-
ních funkcí - o konformním zobrazení. Kapitolu zakončíme rozsáhlejším přehledem
nejužívanějších racionálních a transcendentních komplexních funkcí. V souvislosti s tím
uvedeme také řadu, zejména elektrotechnických, aplikací.
4.1 Úvod
Analýza komplexní funkce komplexní proměnné představuje mocný teoretický aparát.
Tento aparát lze s úspěchem aplikovat jak v matematice samotné, např. v diferenciálních a
integrálních rovnicích, integrálních transformacích, funkcionální analýze apod., tak i
v praktických aplikacích, jako je elektrotechnika, hydrodynamika, aerodynamika, vedení tep-
la, teoretická fyzika apod. Studium funkce komplexní proměnné umožňuje též hlubší pohled
na funkce a na jejich vzájemné, a v mnoha případech velmi těsné, souvislosti.
Prvním, kdo zavedl pojem ryze imaginárního čísla byl, a to již asi v polovině 16. stole-
tí, Ital Raffael Bombelli. Základy teorie komplexní analýzy položil v první polovině 18. sto-
letí Švýcar Leonhard Euler. Hlavní výsledky však byly formulovány až v průběhu 19. století a
jsou spojeny se jmény význačných matematiků, jako je Francouz Augustin Louis Cauchy,
Němci Carl Friedrich Gauss, Karl Weierstrass a Georg Friedrich Bernard Riemann a Angli-
čan sir William Rowan Hamilton.
V elektrotechnice samotné jsou komplexní veličiny využívány až od konce 19. století,
kdy rychle se rozvíjející elektrotechnická praxe si hlubší studium funkce komplexní proměnné
postupně vynutila. To pak mimo jiné přispělo i k zavedení symbolického vyjadřování střída-
vých veličin pomocí komplexních čísel. V současnosti je používání komplexní analýzy
v elektrotechnice zcela běžné.
Pro čtení dalších kapitol se předpokládá, že čtenář je dostatečně seznámen s pojmem
komplexního čísla, s jeho geometrickým významem, s tvary jeho zápisu, se způsobem počítá-
ní s komplexními čísly a některými dalšími pojmy. Přesto bude užitečné, zopakujeme-li nej-
prve alespoň některé základní pojmy a sjednotíme terminologii.
4.2 Množiny komplexních čísel
Označme 0, >∈ δδ R reálné číslo, C∈cz, komplexní čísla a C⊂M množinu
komplexních čísel. Při ∞′+′ tytx . Křivka je po částech hladká, jestliže je
sestavena z konečného počtu hladkých křivek.
Ukázka 4.2: Kružnice, elipsa, obvod mnohoúhelníka a asteroida jsou uzavřené spojité
prosté křivky. Kružnice a elipsa jsou přitom hladké křivky, obvod mnohoúhelníka a asteroida
jsou jen po částech hladké. Příkladem křivky, která není prostá je „osmička“ či „nekonečno“.
Přímka, úsečka, kruhový oblouk a spirála jsou prosté hladké spojité křivky, které nejsou uza-
vřené.
Ukázka 4.3: Vyjádřeme si nyní rovnici přímky 0=++ DyCxB v komplexní Gausso-
vě rovině. Za tím účelem vyřešme soustavu rovnic yxz j+= , yxz j−= pro neznámé x a
y . Výsledné relace )(21 zzx += a )(j21 zzy −= dosaďme do rovnice přímky. Po úpravě do-
staneme
0=++ DzEzE , kde )j(21 CBE += .
Zdůrazněme, že koeficient D je reálný a povšimněme si charakteristického postavení kom-
plexního koeficientu E.
Ukázka 4.4: Podobně nalezneme vyjádření kružnice 0)( 22 =++++ DyCxByxA ,
0≠A , DACB 422 >+ . Po jednoduchých úpravách dospějeme k
0=+++ DzEzEzzA ,
přičemž koeficient E je stejný jako v předchozí ukázce. Pro úplnost poznamenejme, že jiné
vyjádření téže kružnice je 0||zzr−=, kde střed se určí z relace AEz −=0 a pro poloměr
platí DAEEr A −= 1 .
46 FEKT Vysokého učení technického v Brně
46
Vzhledem k velké podobě rovnice přímky a kružnice v komplexní rovině, si zavedeme
pojem zobecněné kružnice
R∈=+++ DADzEzEzzA ,,0 , E ∈C
která pro 0=A přejde v klasickou přímku a pro 0≠A v klasickou kružnici.
Množinu M nazveme otevřenou, je-li každý její bod vnitřní. Množinu M doplněnou o
všechny její hromadné body nazveme uzávěrem množiny M a označíme M . Množina je
uzavřená, platí-li MM = . Množina M je ohraničená, existuje-li kruh konečného polomě-
ru, který tuto množinu obsahuje. Otevřená množina M se nazývá souvislá, lze-li každé její
dva body spojit lomenou čarou, která celá leží v M . Ohraničená oblast se nazývá k-násobně
souvislá, je-li její hranice tvořena k uzavřenými křivkami. Souvislou otevřenou množinu bu-
deme nazývat oblastí.
Ukázka 4.5: 1) 12{:0||}Mzrzcr=∈∀ leží body nz v ε-okolí bodu c, tj. platí ε||
Vloženo: 28.05.2009
Velikost: 2,03 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BMA2 - Matematika 2
Reference vyučujících předmětu BMA2 - Matematika 2
Podobné materiály
- BFSL - Finanční služby - Skripta
- BPC1 - Počítače a programování 1 - Skripta Počítače a programování
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analaogové el.obvody-lab.cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody- počítačová a laboratorní cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody-počítačová cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody
- BASS - Analýza signálů a soustav - Signály a systémy skripta
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Dskrétní signály a diskrétní systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy 2.část
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a testování el.systémů
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a zkušebnictví
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Speciální diagnostika
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnický seminář
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1 - Laboratorní a počítačová cvičení
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Technická dokumentace
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta elektrotechnika II
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2006
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2008
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta počítačové cvičení 200
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Analýza el. obvodů programem
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Elektrické filtry
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektotechnické materiály a výrobní procesy
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - lab. cvičení
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Materiály v elektrotechncie
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky - Laboratorní cvičení
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2002
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2007
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Fyzikální seminář
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Průvodce studia předmětu Fyzika 1
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta kmity
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Optika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta termofyzika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Vlny
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematický seminář
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1 Počítačová cvičení Maple
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 3
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta matematický seminář
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika I
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Matematika 3
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Sbírka Matematika 3
- BMFV - Měření fyzikálních veličin - Skripta Měření fyz.veličin - návody do lab.cvičení
- BMPS - Modelování a počítačová simulace - Skripta Modelování a počítačová simulace- Počítačová cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD Laboratorní cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část materiály v elektrotechnice
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část Technická dokumentace - počítačová a konstrukční cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část technická dokumentace
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Měření v elektrotechnice - Lab.cviceni -skripta
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Meření v elektrotechnice- návody k lab. cvič.
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - lab.cvičení II
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - laboratorní cvičení
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Skripta 2008
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Stará skripta
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - Skripta
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Blažek 1975
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Elektr.přístroje část II
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Lab.cv. Vysoké napětí
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napěti el.stroje
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napětí část I.
- BVPA - Vybrané partie z matematiky - Skripta Vybrané partie z matematiky
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta laboratoře
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - skripta
- BESO - Elektronické součástky - nová skripta
- AMA2 - Matematika 2 - skripta
- BEKE - Ekologie v elektrotechnice - Něco ze zkoušek, skripta atd..
- BRR2 - Řízení a regulace 2 - Skripta Řízení a regulace 2
- BVPM - Vybrané partie z matematiky - BVPM - skripta k předmětu
- BEPO - Etika podnikání - BEPO (XEPO) - Skripta
- BNAO - Návrh analogových integrovaných obvodů - Skripta BNAO 2010
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - BEVA 2 skripta - přednášky a sbírka úloh.zip
- BMPT - Mikroprocesorová technika - BMPT 2011 zadani PC cviceni + skripta s ucivem
- ABSN - Biosenzory - Skripta
- ALDT - Lékařská diagnostická technika - Skripta
- BMVA - Měření v elektrotechnice - Skripta BMVA
- MTOC - Theory of Communication - Teorie sdělování-skripta
- BMA1 - Matematika 1 - Matematika 1 cvičení
- BMA2 - Matematika 2 - Matematika zápisky
- BMA1 - Matematika 1 - Matematika 1 - příklady
Copyright 2024 unium.cz