- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálMatematick´y semin´aˇr
RNDr. Edita Kol´aˇrov´a
´USTAV MATEMATIKY
Matematick´y semin´aˇr 1
Obsah
1 Pˇrehled pouˇzit´e symboliky 4
2 Z´akladn´ı pojmy matematick´e logiky a teorie mnoˇzin 5
2.1 Elementy matematick´e logiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Z´akladn´ı operace s mnoˇzinami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Axiomy, definice, vˇety a d˚ukazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Vektorov´a algebra a analytick´a geometrie 9
3.1 Z´akladn´ı operace s vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Pˇr´ımka v rovinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Pˇr´ımka v prostoru a rovnice roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Kuˇzeloseˇcky v rovinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 ´Upravy agebraick´ych v´yraz˚u a rovnice 18
4.1 ´Upravy agebraick´ych v´yraz˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Soustavy rovnic 29
5.1 Soustavy line´arn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Gaussova eliminaˇcn´ı metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 ˇReˇsen´ı nerovnic 34
6.1 Operace s nerovnicemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2 Line´arn´ı nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.3 Kvadratick´a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4 Nerovnice s absolutn´ımi hodnotami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.5 Iracion´aln´ı nerovnice a soustavy nerovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7 Element´arn´ı funkce 42
7.1 Line´arn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.2 Kvadratick´a funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3 Mocninn´a funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.4 Exponenci´aln´ı funkce a logaritmick´a funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8 Vlastnosti funkce jedn´e promˇenn´e 53
8.1 Vlastnosti a druhy funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.2 Inverzn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.3 Limita a spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9 Derivace funkce 63
9.1 Geometrick´y a fyzik´aln´ı v´yznam derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2 V´ypoˇcet derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.3 L´Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
10 Goniometrick´e funkce 70
10.1 Obloukov´a m´ıra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.2 Goniometrick´e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.3 Goniometrick´e rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11 Integr´al funkce jedn´e promˇenn´e 78
11.1 Primitivn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.2 Urˇcit´y integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
12 Komplexn´ı ˇc´ısla 86
12.1 Algebraick´y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.2 Goniometrick´y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.3 Moivreova vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
12.4 ˇReˇsen´ı binomick´ych rovnic v C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
13 Posloupnosti a ˇrady 92
13.1 Aritmetick´a a geometrick´a posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.2 Nekoneˇcn´a geometrick´a ˇrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
14 Kombinatorika 98
14.1 Permutace, variace a kombinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
14.2 Binomick´a vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Matematick´y semin´aˇr 3
Seznam tabulek
9.1 Vzorce pro derivace element´arn´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.1 Hodnoty goniometrick´ych funkc´ı pro nˇekter´e d˚uleˇzit´e ´uhly . . . . . . . . . 72
11.1 Vzorce pro integraci element´arn´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
1 Pˇrehled pouˇzit´e symboliky
N = {1,2,3,...} mnoˇzina vˇsech pˇrirozen´ych ˇc´ısel
N0 = N∪{0}
Z = {0,1,−1,2,−2,...} mnoˇzina vˇsech cel´ych ˇc´ısel
Q = {p/q;p,q ∈Z,q negationslash= 0} mnoˇzina vˇsech racion´aln´ıch ˇc´ısel
R mnoˇzina vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel
R+ mnoˇzina vˇsech re´aln´ych kladn´ych ˇc´ısel
C = {x+iy;x,y ∈R} mnoˇzina vˇsech komplexn´ıch ˇc´ısel
{},Ø pr´azdn´a mnoˇzina
a∈M a je prvek mnoˇziny M
anegationslash∈M a nen´ı prvek mnoˇziny M
{x∈M;v(x)} mnoˇzina vˇsech prvk˚u mnoˇziny M s vlastnost´ı v
P ∧Q konjunkce v´yrok˚u P,Q
P ∨Q disjunkce v´yrok˚u P,Q
P ⇒Q P implikuje Q
P ⇔Q ekvivalence v´yrok˚u P a Q
∀ obecn´y kvantifik´ator (kaˇzd´y...)
∃ existenˇcn´ı kvantifik´ator (existuje...)
M⊂N M je podmnoˇzina N
M = N (M⊂N)∧(N ⊂M) ; M se rovn´a N
M∪N {x;x∈M∨x∈N} – sjednocen´ı mnoˇzin
M∩N {x;x∈M∧x∈N} – pr˚unik mnoˇzin
M−N {x;x∈M∧xnegationslash∈N}
A[a1;a2;a3] bod o souˇradnic´ıch a1,a2,a3
vectoru = (u1;u2) vektor o sloˇzk´ach u1,u2
|AB| vzd´alenost bod˚u A,B; velikost ´useˇcky AB
|a|,|z| absolutn´ı hodnota re´aln´eho resp. komplexn´ıho ˇc´ısla
Matematick´y semin´aˇr 5
2 Z´akladn´ı pojmy matematick´e logiky a teorie mnoˇzin
2.1 Elementy matematick´e logiky
V´yrok je vysloven´a nebo napsan´a myˇslenka, kter´a sdˇeluje nˇeco, co m˚uˇze b´yt pouze prav-
div´e nebo nepravdiv´e. Jednoduch´e v´yroky oznaˇcujeme velk´ymi p´ısmeny, napˇr.A,B,V,... .
Pomoc´ı logick´ych spojek dost´av´ame sloˇzen´e v´yroky.
Nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı jsou:
A (nonA; Aprime; ¬A;...) negace v´yroku A (nen´ı pravda, ˇze A)
A∧B konjunkce (A a z´aroveˇn B)
A∨B disjunkce (A nebo B; plat´ı alespoˇn jeden)
A⇒B implikace (jestliˇze A, pak B; z A plyne B)
A⇔B ekvivalence (A plat´ı tehdy a jen tehdy, kdyˇz plat´ı B;
A plat´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz plat´ı B)
Kvantifikovan´e v´yroky jsou v´yroky, ud´avaj´ıc´ı poˇcet:
∀ obecn´y kvantifik´ator (ˇcteme: ke kaˇzd´emu, pro kaˇzd´e, pro vˇsechna) vyjadˇruj´ıc´ı, ˇze
kaˇzd´y (vˇsichni, libovoln´y, kter´ykoliv) uvaˇzovan´y objekt m´a - nebo nem´a - poˇzadovanou
vlastnost.
∃ existenˇcn´ı kvantifik´ator (ˇcteme: existuje alespoˇn jeden) vyjadˇruje, ˇze nˇekter´e (ale-
spoˇn jeden, nˇekteˇr´ı, lze nal´ezt, existuje,...) objekty maj´ı vlastnost, o kterou jde.
Pˇr´ıklad 2.1 V´yrok A je ”rok m´a 13 mˇes´ıc˚u” a v´yrok B je ”2×2 = 4.” Utvoˇrte A,A∨
B,A∧B,A⇒B,A⇔B a rozhodnˇete, jsou-li pravdiv´e nebo nepravdiv´e.
ˇReˇsen´ı:
A : ”rok nem´a 13 mˇes´ıc˚u” - pravdiv´y v´yrok
A∨B : ”rok m´a 13 mˇes´ıc˚u nebo 2×2 = 4” - pravdiv´y v´yrok
A∧B : ”rok m´a 13 mˇes´ıc˚u a 2×2 = 4” - nepravdiv´y v´yrok
A⇒B : ” m´a-li rok 13 mˇes´ıc˚u, pak 2×2 = 4” - pravdiv´y
A⇔B : ”rok m´a 13 mˇes´ıc˚u pr´avˇe tehdy, je-li 2×2 = 4” - nepravdiv´y v´yrok
Pˇr´ıklad 2.2 Vyslovte negaci v´yroku A:
a) Vˇsechny koˇreny mnohoˇclenu jsou rovny nule.
b) Ne vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla jsou kladn´a.
c) 2 0, pak pro libovoln´a re´aln´a ˇc´ısla a,x plat´ı:
a−ε 0 ⇒t2 > 16 ⇒|t|> 4 ⇒
t∈ (−∞,−4)∪(4,∞)
Algebraick´e rovnice vyˇsˇs´ıho stupnˇe ˇreˇs´ıme pˇrevodem na souˇcinov´y tvar, nˇekdy jako
rovnice binomick´e.
Pˇr´ıklad 4.10 V oboru re´aln´ych ˇc´ısel ˇreˇste rovnice:
a) x4 = 16 b) x4 + 2x2 + 1 = 0
ˇReˇsen´ı:
a) x4 −16 = 0, uprav´ıme na souˇcinov´y tvar (x−2)(x+ 2)(x2 + 4) = 0 ⇒ re´aln´e koˇreny
jsou x1 = 2,x2 = −2
b) x4 + 2x2 + 1 = 0 ⇒ (x2 + 1)2 = 0 ⇒x∈{}
Iracion´aln´ı rovniceobsahuj´ı odmocniny z v´yraz˚u s nezn´amou. Odmocniny odstraˇnujeme
neekvivalentn´ı ´upravou - umocnˇen´ım, proto je nutnˇe souˇcast´ı ˇreˇsen´ı zkouˇska.
Pˇr´ıklad 4.11 V oboru re´aln´ych ˇc´ısel ˇreˇste iracion´aln´ı rovnici:
a) x−4 = √2x b) √x−7−√5−x = 3
ˇReˇsen´ı:
a) ˇReˇs´ıme za pˇredpokladu x−4 ≥ 0∧2x≥ 0 ⇒ x≥ 4
Umocnˇen´ım dostaneme
(x−4)2 = 2x⇒x2 −10x+ 16 = 0 ⇒x1,2 = 10±
√100−64
2 =
10±6
2
Podm´ınce ˇreˇsitelnosti vyhovuje pouze x = 8.
Umocnˇen´ı je neekvivalentn´ı operace, provedeme zkouˇsku:
L(8) = 8−4 = 4
P(8) = √16 = 4
bracerightbigg
⇒x = 8
b) ˇReˇs´ıme za pˇredpokladu x−7 ≥ 0∧5−x≥ 0 ⇒x∈{}
⇒ rovnice nem´a ˇreˇsen´ı.
Matematick´y semin´aˇr 25
Logaritmick´e rovnice jsou rovnice, v nichˇz se vyskytuj´ı logaritmy v´yraz˚u s nezn´amou
x ∈ R. Jestliˇze stanov´ıme podm´ınky ˇreˇsitelnosti a ˇreˇs´ıme ekvivalentn´ımi ´upravami, pak
zkouˇska nen´ı nutn´a.
Pˇr´ıklad 4.12 ˇReˇste v R logaritmick´e rovnice:
a) logx+ 3logx = 4 b) 12 log(2x−3) = log(x−3)
ˇReˇsen´ı:
a) Podm´ınky: x> 0∧logxnegationslash= 0 ⇒x∈ (0,1)∪(1,∞).
Rovnici vyn´asob´ıme logx, dostaneme
log2x−4logx+ 3 = 0
Odtud logx1 = 3∨logx2 = 1, je tedy x1 = 103 ∨x2 = 101.
Obˇe ˇreˇsen´ı patˇr´ı do oboru ˇreˇsitelnosti.
b) Podm´ınky x> 32 ∧x> 3 ⇒x> 3.
´Upravou log(2x−3) = 2log(x−3).
Pak 2x−3 = (x−3)2, neboli 2x−3 = x2 −6x+ 9.
Z toho 0 = x2 −8x+ 6 ⇒x1 = 4,x2 = 2.
Podm´ınk´am vyhovuje pouze x1 = 4.
Exponenci´aln´ı rovnice jsou rovnice, kde nezn´am´a x ∈ R se vyskytuje v exponentu
nˇejak´e mocniny. Rovnice ˇreˇs´ıme bud’ logaritmov´an´ım, nebo porovn´an´ım exponentu pˇri
stejn´em z´akladu, ˇcasto aˇz po ´uprav´ach.
Pˇr´ıklad 4.13 ˇReˇste v R exponenci´aln´ı rovnice.
a) ( 425)
x+3
·(1258 )
4x−1
= 52 b) 3·2x + 23−x = 10 c) 9x + 2·3x −3 = 0
ˇReˇsen´ı:
a) Uprav´ıme vˇse na mocniny o z´akladu a = 52.
(52)
−2(x+3)
·(52)
3(4x−1)
= 52 ⇒
−2x−6 + 12x−3 = 1 ⇒ 10x = 10 ⇒ x = 1
b) Poloˇz´ıme 2x = y, pak 3y+ 8· 1y = 10, neboli 3y2 −10y+ 8 = 0.
Koˇreny
y1,2 = 10±
√100−96
2 =
angbracketleftBigg 2
4
3
26 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Pak je 2x1 = 2 ⇒x1 = 1.
Druh´y koˇren 2x2 = 43 a logaritmov´an´ım x2 = 2−log2 3.
c) Poloˇz´ıme 3x = y, pak y2 + 2y−3 = 0 ⇒ (y−1)(y+ 3) = 0.
y1 = 1 ⇒ 3x1 = 1 ⇒x1 = 0
y2 = −3 nen´ı moˇzn´e, nebot’ 3x > 0 ∀x∈R.
Z˚ust´av´a x = 0.
Pˇr´ıklad 4.14 Uˇzit´ım rozkladu kvadratick´eho trojˇclenu pˇreved’te na souˇcin:
a) x5 −x4 −56 x3 b) x4 + 2 x2 −3 c) x4 −13 x2 + 40
[a) x3(x−8)(x+ 7); b) (x−1)(x+ 1)(x2 + 3); c) (x+√5)(x−√5)(x+√8)(x−√8)]
Pˇr´ıklad 4.15 Zjednoduˇste n´asleduj´ıc´ı v´yrazy:
a) x−2yx+y − 2x−yy−x − 2x
2
x2 −y2 b)
a2 −x2
a+b ·
a2 −b2
ax+x2 ·
parenleftbigg
a+ axa−x
parenrightbigg
c)
parenleftbigg 2x
x+y +
y
x−y −
y2
x2 −y2
parenrightbigg
:
parenleftbigg 1
x+y +
x
x2 −y2
parenrightbigg
d)
parenleftbiga
b +
b
a −1
parenrightbigparenleftbiga
b +
b
a + 1
parenrightbig
parenleftbiga4
b2 −
b4
a2
parenrightbig: (a2 −b2)
e) 1 + (4−a
2)−12 −(2−a)−12
(2 +a)−12 + (4−a2)−12 ·
1−a
1−√2−a
f)
parenleftbiggx2 +y2
x +y
parenrightbigg
:
bracketleftbiggparenleftbigg 1
x2 +
1
y2
parenrightbigg
· x
3 −y3
x2 +y2
bracketrightbigg
g)
parenleftbigg
v+ u−v1 +uv
parenrightbigg
:
parenleftbigg
1− v(u−v)1 +uv
parenrightbigg
h)
x+1
x2+x+1 −
x−1
x2−x+1
x+1
x2+x+1 +
x−1
x2−x+1
: x−
x−1
x+1
1 + x2−xx+1
[a)x−yx+y, xnegationslash= ±y; b)a2(a−b)x , xnegationslash= 0∧xnegationslash= −a∧anegationslash= −b; c) x, xnegationslash= ±y∧2xnegationslash= y;
d) 1, anegationslash= 0∧bnegationslash= 0∧anegationslash= ±b; e) √a+ 2, a∈ (−2;1)∪(1;2);
f) xy2x−y, xnegationslash= y∧xnegationslash= 0∧y negationslash= 0; g) u, uv negationslash= −1; h) 1x3, xnegationslash= 0∧xnegationslash= −1]
Pˇr´ıklad 4.16 Usmˇernˇete zlomky:
a) 3
√2 + 2√3
3√2−2√3 b)
√x+ 2 +√x−2
√x+ 2−√x−2
[a) 5 + 2√6; b) x+
√x2−4
2 ,x> 2]
Matematick´y semin´aˇr 27
Pˇr´ıklad 4.17 Na z´akladˇe vˇet o absolutn´ı hodnotˇe re´aln´eho ˇc´ısla zjistˇete, pro kter´a ˇc´ısla
x plat´ı rovnosti:
a)|(x−2)(x−4)| = (x−2)(x−4) b)|(x−4)(x−3)| = |x−4||x−3|
c) |(x−2)(x−5)| = −(x−2)(x−5)
d)
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsinglex−0,5
x−1,2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle= |x−0,5|
|x−1,2| e) |
3−x
x−2| =
3−x
x−2
[a) x≥ 4∨x≤ 2 b) ∀x∈R c) x∈〈2,5〉; d) ∀x∈R−{1,2} e) x∈ (2,3〉]
Pˇr´ıklad 4.18 Rozhodnˇete, kter´y z v´yrok˚u je pravdiv´y:
a) −2 0,a∈ (−∞,2)∪(52,∞)]
28 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Pˇr´ıklad 4.23 Pro kter´e re´aln´e hodnoty parametru m´a rovnice
a) x2 −tx+ 1−2t2 = 0 re´aln´e r˚uzn´e koˇreny?
b) x2 −x+m2 −m = 12 jeden koˇren roven nule?
[a) t∈ (−∞,−23)∪(23,∞); b) m = −3∨m = 4; x1 = 0,x2 = 1]
Pˇr´ıklad 4.24 Najdˇete kvadratickou rovnici, jej´ıˇz koˇreny jsou x1 = 12,x2 = 3.
[2x2 −7x+ 3 = 0]
Pˇr´ıklad 4.25 ˇReˇste v R iracion´aln´ı rovnice:
a) √1 +x−√4−x = 1 b) √x+ 2 +√x−2 = √2x+ 3
c) x−3√x−4 = 0 d) √5 +x+√5−x = 2
e)
radicalbiggx+ 1
x−1 −
radicalbiggx−1
x+ 1 =
3
2
[a) x = 3; b) x = 52; c) x = 16 d) x∈{}; e) x = 53]
Pˇr´ıklad 4.26 ˇReˇste v R logaritmick´e rovnice:
a) log(4x+ 6)−log(2x−1) = 1 b) 2log(x−2) = log(14−x)
c) log(x+ 1) + log(x−1) = logx+ log(x+ 2) d) 12 log(2x−3) = log(x−3)
[a) x = 1; b) x = 5; c) x∈{}; d) x = 6]
Pˇr´ıklad 4.27 ˇReˇste v R exponenci´aln´ı rovnice:
a) 5x + 1−3·5x = −49
b) 3x+1 + 3x = 4x−1 + 4x
c) 3·22x+1 + 2·32x+3 = 3·22x+4 −32x+2
d) 6425 ·
parenleftbigg8
5
parenrightbigg 3
x−1
=
parenleftbigg125
512
parenrightbigg3−x
[a) x = 2; b) x = 4,0408; c) x = −12; d) x = 4∨x = 23]
Matematick´y semin´aˇr 29
5 Soustavy rovnic
5.1 Soustavy line´arn´ıch rovnic
Nˇekolik rovnic o dvou a v´ıce nezn´am´ych, kter´e maj´ı b´yt souˇcasnˇe splnˇeny, tvoˇr´ı soustavu
rovnic. ˇReˇsen´ım soustavy je pr˚unik ˇreˇsen´ı jednotliv´ych rovnic.
Pˇri ˇreˇsen´ı soustavy se pouˇz´ıvaj´ı ekvivalentn´ı ´upravy soustavy rovnic, tj. takov´e
´upravy, jimiˇz se nemˇen´ı ˇreˇsen´ı soustavy. V takov´em pˇr´ıpadˇe nen´ı nutn´a zkouˇska, ale je
vhodn´a pro kontrolu.
Pˇrehled ekvivalentn´ıch ´uprav soustavy rovnic:
Nahrazen´ı libovoln´e rovnice soustavy rovnic´ı, kter´a je s n´ı ekvivalentn´ı, tj.m´a tot´eˇz ˇreˇsen´ı.
Nahrazen´ı libovoln´e rovnice soustavy souˇctem t´eto rovnice a libovoln´e jin´e rovnice sou-
stavy.
Dosazen´ı nezn´am´e nebo v´yrazu s nezn´amou z jedn´e rovnice soustavy do jin´e jej´ı rovnice.
My se budeme zab´yvat soustavou line´arn´ıch rovnic. Z´akladn´ım typem metod ˇreˇsen´ı
line´arn´ıch algebraick´ych rovnic jsou eliminaˇcn´ı metody, jejichˇz podstatou je postupn´a eli-
minace (vyluˇcov´an´ı) nezn´am´ych z rovnic soustavy. Podle zp˚usobu, jimˇz eliminujeme jednu
nezn´amou, rozliˇsujeme nˇekolik metod ˇreˇsen´ı:
Metoda sˇc´ıtac´ı - rovnice soustavy n´asob´ıme ˇc´ısly zvolen´ymi tak, aby se po seˇcten´ı
vyn´asoben´ych rovnic jedna nezn´am´a vylouˇcila.
Pˇr´ıklad 5.1 Metodou sˇc´ıtac´ı ˇreˇste v R×R soustavu rovnic.
2x−y = 1
x+ 3y = 11.
ˇReˇsen´ı:
Prvn´ı rovnici vyn´asob´ıme tˇremi, dost´avame rovnici 6x − 3y = 31. Z´ıskali jsme t´ımto
zp˚usobem ekvivalentn´ı soustavu
6x−3y = 3
x+ 3y = 11.
Rovnice ted’ seˇcteme, t´ım vylouˇc´ıme nezn´amou y a pro nezn´amou x dost´av´ame rovnici
7x = 14, x = 2.
Obdobnˇe lze vylouˇcit nezn´amou x vyn´asoben´ım druh´e rovnice minus dvˇema a seˇcten´ım s
prvn´ı rovnic´ı. Dost´av´ame rovnici
−7y = −21, y = 3.
ˇReˇsen´ım soustavy je uspoˇr´adan´a dvojice [x,y], x = 2, y = 3.
30 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Metoda dosazovac´ı - vyj´adˇr´ıme jednu nezn´amou z jedn´e rovnice soustavy a dosad´ıme
ji do dalˇs´ıch rovnic, ˇc´ımˇz se jedna nezn´am´a ze soustavy vylouˇc´ı.
Pˇr´ıklad 5.2 Metodou dosazovac´ı ˇreˇste v R×R soustavu rovnic.
2x−y = 5
3x+ 4y = −9.
ˇReˇsen´ı:
Z prvn´ı rovnice vyj´adˇr´ıme y = 2x−5, a dosad´ıme do druh´e rovnice. Dost´av´ame
3x+ 4(2x−5) = −9, 11x = −9 + 20, x = 1.
Potom y = 2x−5 = 2−5 = −3. Dostali jsme ˇreˇsen´ı x = 1, y = −3.
Metodu sˇc´ıtac´ı a dosazovac´ı m˚uˇzeme tak´e kombinovat.
Pˇr´ıklad 5.3 V R×R ˇreˇste soustavy rovnic:
a) x+y = 4 b) 14x+ 4y = 13 c) 2x−3y = 5
2x+ 3y = 7 7x+ 2y = 12 4x−6y = 10
ˇReˇsen´ı:
a) x+y = 4 /·(−3) ⇒ −3x−3y = −12 ⇒ x = 5, y = −1
2x+ 3y = 7 2x+ 3y = 7
b) 14x+ 4y = 13 ⇒ 14x+ 4y = 13 ⇒ soustava nem´a
7x+ 2y = 12 /·2 14x+ 4y = 24 ˇreˇsen´ı
c) 2x−3y = 5 /·2 ⇒ 4x−6y = 10
4x−6y = 10 4x−6y = 10
⇒ soustava m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı x = t, y = 13(2t−5),t∈R
5.2 Gaussova eliminaˇcn´ı metoda
Pˇri ˇreˇsen´ı v´ıce neˇz dvou rovnic je nejv´yhodnˇejˇs´ı pouˇzit´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody,
kter´a spoˇc´ıv´a v postupn´em pˇreveden´ı dan´e soustavy rovnic ekvivalentn´ımi ´upravami na
tzv. troj´uheln´ıkov´y tvar.
Pˇr´ıklad 5.4 Uˇzit´ım Gaussovy eliminaˇcn´ı metody ˇreˇste v R×R×R soustavu rovnic.
9x+ 5y−2z = 15 (1)
8x+ 6y+ 3z = 15 (2)
3x−7y+ 4z = 27 (3)
ˇReˇsen´ı:
Matematick´y semin´aˇr 31
Nejprve soustavu uprav´ıme tak aby v prvn´ı rovnici koeficient u nezn´am´e x byl 1. Bylo
by moˇzn´e toho dos´ahnout dˇelen´ım prvn´ı rovnice ˇc´ıslem 9, t´ım bychom ovˇsem dostali v
prvn´ı rovnici desetinn´a ˇc´ısla. Radˇeji od prvn´ı rovnice odeˇcteme druhou, ˇc´ımˇz dostaneme
soustavu rovnic:
x−y−5z = 0 (1)
8x+ 6y+ 3z = 15 (2)
3x−7y+ 4z = 27 (3)
D´ale v z´ıskan´e soustavˇe od druh´e rovnice odeˇcteme 8-kr´at prvn´ı, a od tˇret´ı rovnice odeˇcteme
3-kr´at prvn´ı. T´ım eliminujeme nezn´amou x v tˇechto rovnic´ıch a dost´av´ame tuto ekviva-
lentn´ı soustavu:
x−y−5z = 0 (1)
14y+ 43z = 15 (2)
−4y+ 19z = 27 (3)
Nyn´ı druhou rovnici dˇel´ıme ˇctrn´acti, abychom u nezn´am´e y z´ıskali koeficient 1. D´ale k
tˇret´ı rovnici pˇriˇcteme 4-kr´at druhou, ˇc´ımˇz v n´ı eliminujeme nezn´amou y. T´ım pˇrech´az´ıme
k t´eto soustavˇe rovnic:
x − y − 5z = 0 (1)
y + 4314z = 4315 (2)
219z = 219 (3)
Tato soustava m´a troj´uheln´ıkov´y tvar a jej´ı ˇreˇsen´ı urˇc´ıme snadno takto: Z tˇret´ı rovnice
po dˇelen´ı ˇc´ıslem 219 dost´av´ame: z = 1. Dosazen´ım do druh´e rovnice vypoˇcteme
y = 114(15−43) = −2
a po dosazen´ı do prvn´ı rovnice vych´az´ı x = −2 + 5 = 3.
Dostali jsme ˇreˇsen´ı x = 3, y = −2, z = 1.
Pˇr´ıklad 5.5 V R3 ˇreˇste soustavy rovnic:
a) x+ 2y+ 3z = 7 b) x+ 2y+ 3z = 1 c) x+ 2y+ 3z = 1
3x−y+z = 6 x+ 3y+ 5z = 2 2x+ 4y+ 6z = 2
x+y+z = 4 2x+ 5y+ 8z = 12 x−y+z = 4
ˇReˇsen´ı:
Soustavy budeme ˇreˇsit Gaussovou eliminaˇcn´ı metodou.
a) x+ 2y+ 3z = 7 x+ 2y+ 3z = 7 x+ 2y+ 3z = 7
3x−y+z = 6 ⇒ −7y−8z = −15 ⇒ y+ 2z = 3
x+y+z = 4 y+ 2z = 3 6z = 6
32 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Tato soustava m´a troj´uheln´ıkov´y tvar a m˚uˇzeme jej snadno vyˇreˇsit.
Postupnˇe dost´av´ame z = 1, y = 3−2z = 1, x = 7−2y−3z = 7−2−3 = 2.
Dostali jsme tedy ˇreˇsen´ı x = 2, y = 1, z = 1.
b) x+ 2y+ 3z = 1 x+ 2y+ 3z = 1 x+ 2y+ 3z = 1
x+ 3y+ 5z = 2 ⇒ y+ 2z = 1 ⇒ y+ 2z = 1
2x+ 5y+ 8z = 12 y+ 2z = 10 0 = 9
Z trojuheln´ıkov´eho tvaru vid´ıme, ˇze soustava nem´a ˇreˇsen´ı.
c) x+ 2y+ 3z = 1 x+ 2y+ 3z = 1 x+ 2y+ 3z = 1
2x+ 4y+ 6z = 2 ⇒ 0 = 0 ⇒ 3y+ 2z = −3
x−y+z = 4 3y+ 2z = −3
⇒ soustava m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı.
Zvol´ıme-li z = t, pak postupnˇe m´ame
y = −23t−1 a x = 1 + 43t+ 2−3t = 3− 53t.
ˇReˇsen´ım soustavy potom bude uspoˇr´adan´a trojice x = 3− 5
3t, y = −1−
2
3t, z = t, t∈R.
Pˇr´ıklad 5.6 ˇReˇste v R×R soustavy line´arn´ıch rovnic:
a) 8x−3y+ 12 = 0 b) 2x−6y = −2 c) x+ 2y = 4
3x+ 2y−33 = 0 x−3y = 4 2x+ 4y = 8
[a) x = 3,y = 12; b) nem´a ˇreˇsen´ı; c) x = 4−2a,y = a,a∈R]
Pˇr´ıklad 5.7 Pˇreveden´ım na troj´uheln´ıkov´y tvar ˇreˇste v R3 soustavy rovnic:
a) 2x−3y+ 4z = 8 b) x+ 4y−3z = 0
Vloženo: 28.05.2009
Velikost: 707,18 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BMA2 - Matematika 2
Reference vyučujících předmětu BMA2 - Matematika 2
Podobné materiály
- BFSL - Finanční služby - Skripta
- BPC1 - Počítače a programování 1 - Skripta Počítače a programování
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analaogové el.obvody-lab.cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody- počítačová a laboratorní cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody-počítačová cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody
- BASS - Analýza signálů a soustav - Signály a systémy skripta
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Dskrétní signály a diskrétní systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy 2.část
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a testování el.systémů
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a zkušebnictví
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Speciální diagnostika
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnický seminář
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1 - Laboratorní a počítačová cvičení
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Technická dokumentace
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta elektrotechnika II
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2006
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2008
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta počítačové cvičení 200
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Analýza el. obvodů programem
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Elektrické filtry
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektotechnické materiály a výrobní procesy
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - lab. cvičení
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Materiály v elektrotechncie
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky - Laboratorní cvičení
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2002
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2007
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Fyzikální seminář
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Průvodce studia předmětu Fyzika 1
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta kmity
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Optika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta termofyzika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Vlny
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematický seminář
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1 Počítačová cvičení Maple
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 3
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika I
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika II
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Matematika 3
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Sbírka Matematika 3
- BMFV - Měření fyzikálních veličin - Skripta Měření fyz.veličin - návody do lab.cvičení
- BMPS - Modelování a počítačová simulace - Skripta Modelování a počítačová simulace- Počítačová cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD Laboratorní cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část materiály v elektrotechnice
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část Technická dokumentace - počítačová a konstrukční cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část technická dokumentace
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Měření v elektrotechnice - Lab.cviceni -skripta
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Meření v elektrotechnice- návody k lab. cvič.
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - lab.cvičení II
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - laboratorní cvičení
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Skripta 2008
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Stará skripta
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - Skripta
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Blažek 1975
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Elektr.přístroje část II
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Lab.cv. Vysoké napětí
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napěti el.stroje
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napětí část I.
- BVPA - Vybrané partie z matematiky - Skripta Vybrané partie z matematiky
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta laboratoře
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - skripta
- BESO - Elektronické součástky - nová skripta
- AMA2 - Matematika 2 - skripta
- BEKE - Ekologie v elektrotechnice - Něco ze zkoušek, skripta atd..
- BRR2 - Řízení a regulace 2 - Skripta Řízení a regulace 2
- BVPM - Vybrané partie z matematiky - BVPM - skripta k předmětu
- BEPO - Etika podnikání - BEPO (XEPO) - Skripta
- BNAO - Návrh analogových integrovaných obvodů - Skripta BNAO 2010
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - BEVA 2 skripta - přednášky a sbírka úloh.zip
- BMPT - Mikroprocesorová technika - BMPT 2011 zadani PC cviceni + skripta s ucivem
- ABSN - Biosenzory - Skripta
- ALDT - Lékařská diagnostická technika - Skripta
- BMVA - Měření v elektrotechnice - Skripta BMVA
- MTOC - Theory of Communication - Teorie sdělování-skripta
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Elektrotechnický seminář
Copyright 2024 unium.cz