- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálFAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKA CN ICH TECHNOLOGI I
VYSOK E U CEN I TECHNICK E V BRN E
Matematick y semin a r
Garant p redm etu:
RNDr. Petr Fuchs, Ph.D.
Auto ri textu:
RNDr. Edita Kol a rov a
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 1
Obsah
1 P rehled pou zit e symboliky 4
2 Z akladn pojmy matematick e logiky a teorie mno zin 5
2.1 Elementy matematick e logiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Z akladn operace s mno zinami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Axiomy, de nice, v ety a d ukazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Vektorov a algebra a analytick a geometrie 9
3.1 Z akladn operace s vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 P r mka v rovin e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 P r mka v prostoru a rovnice roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Ku zelose cky v rovin e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Upravy agebraick ych v yraz u a rovnice 18
4.1 Upravy agebraick ych v yraz u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Soustavy rovnic 29
5.1 Soustavy line arn ch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Gaussova elimina cn metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 Re sen nerovnic 34
6.1 Operace s nerovnicemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2 Line arn nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.3 Kvadratick a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4 Nerovnice s absolutn mi hodnotami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.5 Iracion aln nerovnice a soustavy nerovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7 Element arn funkce 42
7.1 Line arn funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.2 Kvadratick a funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3 Mocninn a funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.4 Exponenci aln funkce a logaritmick a funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8 Vlastnosti funkce jedn e prom enn e 53
8.1 Vlastnosti a druhy funkc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.2 Inverzn funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.3 Limita a spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9 Derivace funkce 63
9.1 Geometrick y a fyzik aln v yznam derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2 V ypo cet derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.3 L Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Matematick y semin a r 2
10 Goniometrick e funkce 70
10.1 Obloukov a m ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.2 Goniometrick e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.3 Goniometrick e rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11 Integr al funkce jedn e prom enn e 78
11.1 Primitivn funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.2 Ur cit y integr al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
12 Komplexn c sla 86
12.1 Algebraick y tvar komplexn ho c sla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.2 Goniometrick y tvar komplexn ho c sla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.3 Moivreova v eta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
12.4 Re sen binomick ych rovnic v C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
13 Posloupnosti a rady 92
13.1 Aritmetick a a geometrick a posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.2 Nekone cn a geometrick a rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
14 Kombinatorika 98
14.1 Permutace, variace a kombinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
14.2 Binomick a v eta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 3
Seznam tabulek
9.1 Vzorce pro derivace element arn ch funkc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.1 Hodnoty goniometrick ych funkc pro n ekter e d ule zit e uhly . . . . . . . . . 72
11.1 Vzorce pro integraci element arn ch funkc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Matematick y semin a r 4
1 P rehled pou zit e symboliky
N =f1;2;3;:::g mno zina v sech p rirozen ych c sel
N0 = N[f0g
Z =f0;1; 1;2; 2;:::g mno zina v sech cel ych c sel
Q =fp=q;p;q2Z;q6= 0g mno zina v sech racion aln ch c sel
R mno zina v sech re aln ych c sel
R+ mno zina v sech re aln ych kladn ych c sel
C =fx+iy;x;y2Rg mno zina v sech komplexn ch c sel
fg, pr azdn a mno zina
a2M a je prvek mno ziny M
a62M a nen prvek mno ziny M
fx2M;v(x)g mno zina v sech prvk u mno ziny M s vlastnost v
P^Q konjunkce v yrok u P;Q
P_Q disjunkce v yrok u P;Q
P )Q P implikuje Q
P ,Q ekvivalence v yrok u P a Q
8 obecn y kvanti k ator (ka zd y...)
9 existen cn kvanti k ator (existuje...)
M N M je podmno zina N
M=N (M N)^(N M) ; M se rovn a N
M[N fx;x2M_x2Ng { sjednocen mno zin
M\N fx;x2M^x2Ng { pr unik mno zin
M N fx;x2M^x62Ng
A[a1;a2;a3] bod o sou radnic ch a1;a2;a3
~u = (u1;u2) vektor o slo zk ach u1;u2
jABj vzd alenost bod u A;B; velikost use cky AB
jaj;jzj absolutn hodnota re aln eho resp. komplexn ho c sla
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 5
2 Z akladn pojmy matematick e logiky a teorie mno zin
2.1 Elementy matematick e logiky
V yrok je vysloven a nebo napsan a my slenka, kter a sd eluje n eco, co m u ze b yt pouze prav-
div e, nebo nepravdiv e. Jednoduch e v yroky ozna cujeme velk ymi p smeny, nap r.A;B;V;::: .
Pomoc logick ych spojek dost av ame slo zen e v yroky.
Nejd ule zit ej s jsou:
A (nonA; A0; :A;:::) negace v yroku A (nen pravda, ze A)
A^B konjunkce (A a z arove n B)
A_B disjunkce (A nebo B; plat alespo n jeden)
A)B implikace (jestli ze A; pak B; z A plyne B)
A,B ekvivalence (A plat tehdy a jen tehdy, kdy z plat B;
A plat pr av e tehdy, kdy z plat B)
Kvanti kovan e v yroky jsou v yroky, ud avaj c po cet:
8 obecn y kvanti k ator ( cteme: ke ka zd emu, pro ka zd e, pro v sechna) vyjad ruj c , ze
ka zd y (v sichni, libovoln y, kter ykoliv) uva zovan y objekt m a - nebo nem a - po zadovanou
vlastnost.
9 existen cn kvanti k ator ( cteme: existuje alespo n jeden) vyjad ruje, ze n ekter e (ale-
spo n jeden, n ekte r , lze nal ezt, existuje,...) objekty maj vlastnost, o kterou jde.
P r klad 2.1 V yrok A je "rok m a 13 m es c u" a v yrok B je "2 2 = 4:" Utvo rte A;A_
B;A^B;A)B;A,B a rozhodn ete, jsou - li pravdiv e nebo nepravdiv e.
Re sen :
A : "rok nem a 13 m es c u", pravdiv y v yrok
A_B : "rok m a 13 m es c u nebo 2 2 = 4" , pravdiv y v yrok
A^B : "rok m a 13 m es c u a 2 2 = 4" , nepravdiv y v yrok
A)B : " m a-li rok 13 m es c u, pak 2 2 = 4" , pravdiv y
A,B : "rok m a 13 m es c u, pr av e tehdy, je-li 2 2 = 4; nepravdiv y v yrok
P r klad 2.2 Vyslovte negaci v yroku A:
a) V sechny ko reny mnoho clenu jsou rovny nule.
b) Ne v sechna re aln a c sla jsou kladn a.
c) 2 < 7
d) Levn a v yroba proudu.
Re sen :
a) Alespo n jeden ko ren mnoho clenu je nenulov y;
b) V sechna re aln a c sla jsou kladn a;
c) 2 7;
d) nen v yrok
Matematick y semin a r 6
P r klad 2.3 V yrok A " c slo a je d eliteln e osmi", v yrok B " c slo a je d eliteln e dv ema".
Formulujte A)B, a rozhodn ete zda je pravdiv y.
Re sen :
Je-li c slo a d eliteln e osmi, pak je d eliteln e dv ema. Pravdiv a implikace
2.2 Z akladn operace s mno zinami
Mno zinou rozum me souhrn libovoln ych, navz ajem r uzn ych objekt u, kter e maj ur citou
vlastnost. Z akladn operace s mno zinami :
A B inkluze mno zin A;B
A=B rovnost mno zin A;B
A[B sjednocen mno zin
A\B pr unik mno zin
A B rozd l mno zin (AnB)
A0B dopln ek mno ziny A v mno zin e B
P ripom n ame je ste intervaly, jejich n azvy, zn azorn en na c seln e ose:
uzav ren y interval ha;bi=fx2R;a x bg a b
otev ren y interval (a;b) =fx2R;a 0
( npa)m = npam = amn; a 0
m
p
npa = mnpa; a 0
Rozklady nejjednodu s s ch mnoho clen u:
(a b)2 = a2 2ab+b2
(a b)3 = a3 3a2b+ 3ab2 b3
a2 b2 = (a b)(a+b)
a3 b3 = (a b)(a2 +ab+b2)
a3 +b3 = (a+b)(a2 ab+b2)
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 19
Rozklad kvadratick eho troj clenu na sou cin ko renov ych cinitel u:
Jsou-li x1;x2 ko reny kvadratick eho troj clenu ax2 +bx+c, kde a6= 0; pak plat :
ax2 +bx+c = a(x x1)(x x2)
P ripom n ame de nici absolutn hodnoty:
Ka zd emu re aln emu c slu a p ri razujeme pr av e jedno nez aporn e c slo jaj takto:
jaj=
* a pro a 0
a pro a< 0:
Jestli ze a;b jsou re aln a c sla, pak absolutn hodnota m a tyto vlastnosti:
1)jaj= maxfa; ag 5)jabj=jaj jbj
2)jaj=j aj 6)janj=jajn; pro ka zd e p rirozen e n
3) a jaj 7)
ab
= jajjbj; pro ka zd e b6= 0
4)jaj=pa2 8)ja+bj jaj+jbj; (trojuheln kov a nerovnost)
9) Necht’ "> 0, pak pro libovoln a re aln a c sla a;x plat :
a " 0 dostaneme dva re aln e r uzn e ko reny x1;2 = b
pD
2a :
Pro D = 0 dostaneme jeden dvojn asobn y ko ren x1;2 = b2a:
Pro D< 0 nem a rovnice v R re sen .
Gra cky ko reny ur c me jako pr use c ky paraboly y = ax2 +bx+c s osou x:
Matematick y semin a r 22
P r klad 4.4 Re ste v R n asleduj c kvadratick e rovnice:
a) x2 + 4x 5 = 0)x1;2 = 4
p16 + 20
2 =
4 6
2 )x1 = 1_x2 = 5
b) x2 6x+ 9 = 0)x1;2 = 6
p36 36
2 = 3 dvojn asobn y ko ren
c) 5x2 4x+ 8 = 0)x1;2 = 4
p16 160
10 v R nem a rovnice re sen
d) x2 + 6x = 0)x(x+ 6) = 0)x1 = 0_x2 = 6
e) 5x2 4 = 0)(p5x 2)(p5x+ 2) = 0)x1 = 2
p5
5 _x2 =
2p5
5
f) x2 + 16 = 0 v R ne re siteln a rovnice
P r klad 4.5 Napi ste kvadratickou rovnici, jej z ko reny jsou x1 = 3p3 a
x2 = 2p3:
Re sen :
(x x1)(x x2) = 0)(x+ 3p3)(x 2p3) = 0)x2 +p3x 18 = 0
Nebo podle vztah u mezi ko reny x1;x2 a koe cienty p;q kvadratick e rovnice
x2 +px+q = 0 kde x1 +x2 = p; x1 x2 = q
pak
x2 + (+3p3 2p3)x 3p3 2p3 = 0
a upravou dostaneme
x2 +p3x 18 = 0:
P ri re sen rovnic s absolutn hodnotou vych az me z de nice absolutn hodnoty a re s me
rovnice v intervalech, kter e dostaneme pomoc tzv. kritick ych bod u.
P r klad 4.6 V oboru re aln ych c sel re ste rovnice s absolutn mi hodnotami:
a) 3 + 4jx 2j= 5x b)j2x 7j+jx 2j= 3
c) 3x j2x 1j= x+ 1 d)j3x 2j+ 4 = 2x+ 3
Re sen :
a) Pro x2( 1;2); rovnice p rejde v rovnici 3 4(x 2) = 5x:
Tato m a re sen x = 119 ; kter e pat r do dan eho intervalu.
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 23
Pro x2h2;1) : 3 + 4(x 2) = 5x)x = 562h2;1)
Sjednocen re sen pak je x = 119 :
b) x2( 1;2) : 2x+ 7 x+ 2 = 3)x = 262( 1;2)
x2h2; 72) : 2x+ 7 +x 2 = 3)x = 22h2; 72)
x2h72;1) : 2x 7 +x 2 = 3)x = 42h72;1)
Z av er: x2f2;4g
c) x2( 1; 12) : 3x+ 2x 1 = x+ 1)x = 12 62( 1; 12)
x2h12;1) : 3x 2x+ 1 = x+ 1)0 = 0
Z av er: x2h12;1)
d) x2( 1; 23) : 3x+ 2 + 4 = 2x+ 3)x = 35 2( 1; 23)
Z av er: x2f1; 35g
Rovnice s parametrem jsou rovnice, kter e krom e nezn am ych obsahuj je st e dal s prom enn e
- parametry.
Re sen rovnic s parametry spo c v a v ur cen ko ren u v z avislosti na parametrech a v upln em
rozboru v sech mo znost parametr u.
P r klad 4.7 Re ste v R rovnici x+ 1 2x+a+ 1a = a xa ; kde a2R je parametr.
Re sen :
Pro a = 0 rovnice nem a smysl.
Pro a6= 0 dostaneme ax+a 2x a 1 = a x)
(a 1)x = a+ 1 =
* pro a = 1 : 0 x = 2; spor
pro a6= 1 : x = a+1a 1
Z av er: a = 0 rovnice nem a smysl
a = 1 rovnice nem a re sen
a6= 0^a6= 1 rovnice m a jedin e re sen x = a+ 1a 1
P r klad 4.8 Pro kter e hodnoty re aln eho parametru m m a kvadratick a rovnice
x2 + 3x 2m2 +m+ 3 = 0 o nezn am e x2R jeden ko ren rovn y nule?
Najd ete druh y ko ren.
Re sen :
Matematick y semin a r 24
Absolutn clen 2m2 +m+ 3 = 0)m1;2 = 1
p1 + 24
4 )m = 1_m =
3
2:
Druh y ko ren x = 3:
P r klad 4.9 Pro kter e hodnoty parametru t m a kvadratick a rovnice 2x2 + tx + 2 = 0
re aln e r uzn e ko reny?
Re sen :
Re aln e r uzn e ko reny )D = t2 16 > 0)t2 > 16)jtj> 4)
t2( 1; 4)[(4;1)
Algebraick e rovnice vy s s ho stupn e re s me p revodem na sou cinov y tvar, n ekdy jako
rovnice binomick e.
P r klad 4.10 V oboru re aln ych c sel re ste rovnice:
a) x4 = 16 b) x4 + 2x2 + 1 = 0
Re sen :
a) x4 16 = 0; uprav me na sou cinov y tvar (x 2)(x + 2)(x2 + 4) = 0) re aln e ko reny
jsou x1 = 2;x2 = 2
b) x4 + 2x2 + 1 = 0)(x2 + 1)2 = 0)x2fg
Iracion aln rovnice obsahuj odmocniny z v yraz u s nezn amou. Odmocniny odstra nujeme
neekvivalentn upravou - umocn en m, proto je nutn e sou cast re sen zkou ska.
P r klad 4.11 V oboru re aln ych c sel re ste iracion aln rovnici:
a) x 4 =p2x b)px 7 p5 x = 3
Re sen :
a) Re s me za p redpokladu x 4 0^2x 0 ) x 4
Umocn en m dostaneme
(x 4)2 = 2x)x2 10x+ 16 = 0)x1;2 = 10
p100 64
2 =
10 6
2
Podm nce re sitelnosti vyhovuje pouze x = 8:
Umocn en je neekvivalentn operace, provedeme zkou sku:
L(8) = 8 4 = 4
P(8) = p16 = 4
)x = 8
b) Re s me za p redpokladu x 7 0^5 x 0)x2fg
) rovnice nem a re sen .
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 25
Logaritmick e rovnice jsou rovnice, v nich z se vyskytuj logaritmy v yraz u s nezn amou
x2R: Jestli ze stanov me podm nky re sitelnosti a re s me ekvivalentn mi upravami, pak
zkou ska nen nutn a.
P r klad 4.12 Re ste v R logaritmick e rovnice:
a) logx+ 3logx = 4 b) 12 log(2x 3) = log(x 3)
Re sen :
a) Podm nky: x> 0^logx6= 0)x2(0;1)[(1;1):
Rovnici vyn asob me logx, dostaneme
log2x 4 logx+ 3 = 0
Odtud logx1 = 3_logx2 = 1; je tedy x1 = 103_x2 = 101:
Ob e re sen pat r do oboru re sitelnosti.
b) Podm nky x> 32 ^x> 3)x> 3:
Upravou log(2x 3) = 2 log(x 3):
Pak 2x 3 = (x 3)2; neboli 2x 3 = x2 6x+ 9.
Z toho 0 = x2 8x+ 6)x1 = 4;x2 = 2:
Podm nk am vyhovuje pouze x1 = 4:
Exponenci aln rovnice jsou rovnice, kde nezn am a x 2 R se vyskytuje v exponentu
n ejak e mocniny. Rovnice re s me bud’ logaritmov an m, nebo porovn an m exponentu p ri
stejn em z akladu, casto a z po uprav ach.
P r klad 4.13 Re ste v R exponenci aln rovnice.
a) ( 425)
x+3
(1258 )
4x 1
= 52 b) 3 2x + 23 x = 10 c) 9x + 2 3x 3 = 0
Re sen :
a) Uprav me v se na mocniny o z akladu a = 52:
(52)
2(x+3)
(52)
3(4x 1)
= 52 )
2x 6 + 12x 3 = 1 ) 10x = 10 ) x = 1
b) Polo z me 2x = y; pak 3y + 8 1y = 10; neboli 3y2 10y + 8 = 0:
Ko reny
y1;2 = 10
p100 96
2 =
* 2
4
3
Matematick y semin a r 26
Pak je 2x1 = 2)x1 = 1:
Druh y ko ren 2x2 = 43 a logaritmov an m x2 = 2 log2 3:
c) Polo z me 3x = y; pak y2 + 2y 3 = 0)(y 1)(y + 3) = 0:
y1 = 1)3x1 = 1)x1 = 0
y2 = 3 nen mo zn e, nebot’ 3x > 08x2R:
Z ust av a x = 0:
P r klad 4.14 U zit m rozkladu kvadratick eho troj clenu p reved’te na sou cin:
a) x5 x4 56 x3 b) x4 + 2 x2 3 c) x4 13 x2 + 40
[a) x3(x 8)(x+ 7); b) (x 1)(x+ 1)(x2 + 3); c) (x+p5)(x p5)(x+p8)(x p8)]
P r klad 4.15 Zjednodu ste n asleduj c v yrazy:
a) x 2yx+y 2x yy x 2x
2
x2 y2 b)
a2 x2
a+b
a2 b2
ax+x2
a+ axa x
c)
2x
x+y +
y
x y
y2
x2 y2
:
1
x+y +
x
x2 y2
d)
a
b +
b
a 1
a
b +
b
a + 1
a4
b2
b4
a2
: (a2 b2)
e) 1 + (4 a
2) 12 (2 a) 12
(2 +a) 12 + (4 a2) 12
1 a
1 p2 a
f)
x2 +y2
x +y
:
1
x2 +
1
y2
x
3 y3
x2 +y2
g)
v + u v1 +uv
:
1 v(u v)1 +uv
h)
x+1
x2+x+1
x 1
x2 x+1
x+1
x2+x+1 +
x 1
x2 x+1
: x
x 1
x+1
1 + x2 xx+1
[a)x yx+y; x6= y; b)a2(a b)x ; x6= 0^x6= a^a6= b; c) x; x6= y^2x6= y;
d) 1; a6= 0^b6= 0^a6= b; e)pa+ 2; a2( 2; 1)[(1; 2);
f) xy2x y; x6= y^x6= 0^y6= 0; g) u; uv6= 1; h) 1x3; x6= 0^x6= 1]
P r klad 4.16 Usm ern ete zlomky:
a) 3
p2 + 2p3
3p2 2p3 b)
px+ 2 +px 2
px+ 2 px 2
[a) 5 + 2p6; b) x+
px2 4
2 ;x> 2]
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 27
P r klad 4.17 Na z aklad e v et o absolutn hodnot e re aln eho c sla zjist ete, pro kter a c sla
x plat rovnosti:
a)j(x 2)(x 4)j= (x 2)(x 4) b)j(x 4)(x 3)j=jx 4jjx 3j
c)j(x 2)(x 5)j= (x 2)(x 5)
d)
x 0;5
x 1;2
= jx 0;5j
jx 1;2j e)j
3 x
x 2j=
3 x
x 2
[a) x 4_x 2 b)8x2Rc) x2h2;5i; d)8x2R f1;2ge) x2(2;3i]
P r klad 4.18 Rozhodn ete, kter y z v yrok u je pravdiv y:
a) 2 0;a2( 1;2)[(52;1)]
Matematick y semin a r 28
P r klad 4.23 Pro kter e re aln e hodnoty parametru m a rovnice
a) x2 tx+ 1 2t2 = 0 re aln e r uzn e ko reny?
b) x2 x+m2 m = 1 jeden ko ren roven nule?
[a) t2( 1; 23)[(23;1); b) m = 3_m = 4; x1 = 0;x2 = 1]
P r klad 4.24 Najd ete kvadratickou rovnici, jej z ko reny jsou x1 = 12;x2 = 3:
[2x2 7x+ 3 = 0]
P r klad 4.25 Re ste v R iracion aln rovnice:
a)p1 +x p4 x = 1 b)px+ 2 +px 2 =p2x+ 3
c) x 3px 4 = 0 d)p5 +x+p5 x = 2
e)
rx+ 1
x 1
rx 1
x+ 1 =
3
2
[a) x = 3; b) x = 52; c) x = 16 d) x2fg; e) x = 53]
P r klad 4.26 Re ste v R logaritmick e rovnice:
a) log (4x+ 6) log (2x 1) = 1 b) 2 log (x 2) = log (14 x)
c) log (x+ 1) + log (x 1) = logx+ log (x+ 2) d) 12 log (2x 3) = log (x 3)
[a) x = 1; b) x = 5; c) x2fg; d) x = 6]
P r klad 4.27 Re ste v R exponenci aln rovnice:
a) 5x + 1 3 5x = 49
b) 3x+1 + 3x = 4x 1 + 4x
c) 3 22x+1 + 2 32x+3 = 3 22x+4 32x+2
d) 6425
8
5
3
x 1
=
125
512
3 x
[a) x = 2; b) x = 4;0408; c) x = 12; d) x = 4_x = 23]
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 29
5 Soustavy rovnic
5.1 Soustavy line arn ch rovnic
N ekolik rovnic o dvou a v ce nezn am ych, kter e maj b yt sou casn e spln eny, tvo r soustavu
rovnic. Re sen m soustavy je pr unik re sen jednotliv ych rovnic.
P ri re sen soustavy se pou z vaj ekvivalentn upravy soustavy rovnic, tj. takov e
upravy, jimi z se nem en re sen soustavy. V takov em p r pad e nen nutn a zkou ska, ale je
vhodn a pro kontrolu.
P rehled ekvivalentn ch uprav soustavy rovnic:
Nahrazen libovoln e rovnice soustavy rovnic , kter a je s n ekvivalentn , tj.m a tot e z re sen .
Nahrazen libovoln e rovnice soustavy sou ctem t eto rovnice a libovoln e jin e rovnice sous-
tavy.
Dosazen nezn am e nebo v yrazu s nezn amou z jedn e rovnice soustavy do jin e jej rovnice.
My se budeme zab yvat soustavou line arn ch rovnic. Z akladn m typem metod re sen
line arn ch algebraick ych rovnic jsou elimina cn metody, jejich z podstatou je postupn a
eliminace (vylu cov an ) nezn am ych z rovnic soustavy. Podle zp usobu, jim z eliminujeme
jednu nezn amou, rozli sujeme n ekolik metod re sen :
Metoda s c tac - rovnice soustavy n asob me c sly zvolen ymi tak, aby se po se cten
vyn asoben ych rovnic jedna nezn am a vylou cila.
P r klad 5.1 Metodou s c tac re ste v R R soustavu rovnic.
2x y = 1
x+ 3y = 11:
Re sen :
Prvn rovnici vyn asob me t remi, dost avame rovnici 6x 3y = 31: Z skali jsme t mto
zp usobem ekvivalentn soustavu
6x 3y = 3
x+ 3y = 11:
Rovnice ted’ se cteme, t m vylou c me nezn amou y a pro nezn amou x dost av ame rovnici
7x = 14; x = 2:
Obdobn e lze vylou cit nezn amou x vyn asoben m druh e rovnice minus dv ema a se cten m s
prvn rovnic . Dost av ame rovnici
7y = 21; y = 3:
Re sen m soustavy je uspo r adan a dvojice [x;y]; x = 2; y = 3:
Matematick y semin a r 30
Metoda dosazovac - vyj ad r me jednu nezn amou z jedn e rovnice soustavy a dosad me
ji do dal s ch rovnic, c m z se jedna nezn am a ze soustavy vylou c .
P r klad 5.2 Metodou dosazovac re ste v R R soustavu rovnic.
2x y = 5
3x+ 4y = 9:
Re sen :
Z prvn rovnice vyj ad r me y = 2x 5; a dosad me do druh e rovnice. Dost av ame
3x+ 4(2x 5) = 9; 11x = 9 + 20; x = 1:
Potom y = 2x 5 = 2 5 = 3: Dostali jsme re sen x = 1; y = 3:
Metodu s c tac a dosazovac m u zeme tak e kombinovat.
P r klad 5.3 V R R re ste soustavy rovnic:
a) x+y = 4 b) 14x+ 4y = 13 c) 2x 3y = 5
2x+ 3y = 7 7x+ 2y = 12 4x 6y = 10
Re sen :
a) x+y = 4 = ( 3) ) 3x 3y = 12 ) x = 5; y = 1
2x+ 3y = 7 2x+ 3y = 7
b) 14x+ 4y = 13 ) 14x+ 4y = 13 ) soustava nem a
7x+ 2y = 12 = 2 14x+ 4y = 24 re sen
c) 2x 3y = 5 = 2 ) 4x 6y = 10
4x 6y = 10 4x 6y = 10
) soustava m a nekone cn e mnoho re sen x = t; y = 13(2t 5);t2R
5.2 Gaussova elimina cn metoda
P ri re sen v ce ne z dvou rovnic je nejv yhodn ej s pou zit Gaussovy elimina cn metody,
kter a spo c v a v postupn em p reveden dan e soustavy rovnic ekvivalentn mi upravami na
tzv. troj uheln kov y tvar.
P r klad 5.4 U zit m Gaussovy elimina cn metody re ste v R R R soustavu rovnic.
9x+ 5y 2z = 15 (1)
8x+ 6y + 3z = 15 (2)
3x 7y + 4z = 27 (3)
Re sen :
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 31
Nejprve soustavu uprav me tak aby v prvn rovnici koe cient u nezn am e x byl 1. Bylo
by mo zn e toho dos ahnout d elen m prvn rovnice c slem 9, t m bychom ov sem dostali v
prvn rovnici desetinn a c sla. Rad eji od prvn rovnice ode cteme druhou, c m z dostaneme
soustavu rovnic:
x y 5z = 0 (1)
8x+ 6y + 3z = 15 (2)
3x 7y + 4z = 27 (3)
D ale v z skan e soustav e od druh e rovnice ode cteme 8-kr at prvn , a od t ret rovnice ode cteme
3-kr at prvn . T m eliminujeme nezn amou x v t echto rovnic ch a dost av ame tuto ekviva-
lentn soustavu:
x y 5z = 0 (1)
14y + 43z = 15 (2)
4y + 19z = 27 (3)
Nyn druhou rovnici d el me ctrn acti, abychom u nezn am e y z skali koe cient 1. D ale k
t ret rovnici p ri cteme 4-kr at druhou, c m z v n eliminujeme nezn amou y: T m p rech az me
k t eto soustav
Vloženo: 28.05.2009
Velikost: 733,88 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BMA1 - Matematika 1
Reference vyučujících předmětu BMA1 - Matematika 1
Podobné materiály
- BFSL - Finanční služby - Skripta
- BPC1 - Počítače a programování 1 - Skripta Počítače a programování
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analaogové el.obvody-lab.cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody- počítačová a laboratorní cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody-počítačová cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody
- BASS - Analýza signálů a soustav - Signály a systémy skripta
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Dskrétní signály a diskrétní systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy 2.část
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a testování el.systémů
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a zkušebnictví
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Speciální diagnostika
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnický seminář
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1 - Laboratorní a počítačová cvičení
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Technická dokumentace
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta elektrotechnika II
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2006
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2008
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta počítačové cvičení 200
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Analýza el. obvodů programem
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Elektrické filtry
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektotechnické materiály a výrobní procesy
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - lab. cvičení
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Materiály v elektrotechncie
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky - Laboratorní cvičení
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2002
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2007
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Fyzikální seminář
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Průvodce studia předmětu Fyzika 1
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta kmity
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Optika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta termofyzika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Vlny
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1 Počítačová cvičení Maple
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 3
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta matematický seminář
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika I
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika II
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Matematika 3
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Sbírka Matematika 3
- BMFV - Měření fyzikálních veličin - Skripta Měření fyz.veličin - návody do lab.cvičení
- BMPS - Modelování a počítačová simulace - Skripta Modelování a počítačová simulace- Počítačová cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD Laboratorní cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část materiály v elektrotechnice
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část Technická dokumentace - počítačová a konstrukční cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část technická dokumentace
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Měření v elektrotechnice - Lab.cviceni -skripta
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Meření v elektrotechnice- návody k lab. cvič.
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - lab.cvičení II
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - laboratorní cvičení
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Skripta 2008
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Stará skripta
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - Skripta
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Blažek 1975
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Elektr.přístroje část II
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Lab.cv. Vysoké napětí
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napěti el.stroje
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napětí část I.
- BVPA - Vybrané partie z matematiky - Skripta Vybrané partie z matematiky
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta laboratoře
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - skripta
- BESO - Elektronické součástky - nová skripta
- AMA2 - Matematika 2 - skripta
- BEKE - Ekologie v elektrotechnice - Něco ze zkoušek, skripta atd..
- BRR2 - Řízení a regulace 2 - Skripta Řízení a regulace 2
- BVPM - Vybrané partie z matematiky - BVPM - skripta k předmětu
- BEPO - Etika podnikání - BEPO (XEPO) - Skripta
- BNAO - Návrh analogových integrovaných obvodů - Skripta BNAO 2010
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - BEVA 2 skripta - přednášky a sbírka úloh.zip
- BMPT - Mikroprocesorová technika - BMPT 2011 zadani PC cviceni + skripta s ucivem
- ABSN - Biosenzory - Skripta
- ALDT - Lékařská diagnostická technika - Skripta
- BMVA - Měření v elektrotechnice - Skripta BMVA
- MTOC - Theory of Communication - Teorie sdělování-skripta
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Elektrotechnický seminář
Copyright 2024 unium.cz