- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálMatematika 3
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.
Mgr. Irena Růžičková
ÚSTAV MATEMATIKY
Matematika 3 1
Obsah
1 Vstupní test 8
I NUMERICKÉ METODY 10
2 Chyby při numerických výpočtech 10
2.1 Zdroje a typy chyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Definice chyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Zaokrouhlování. Šíření chyb při výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Podmíněnost numerických úloh a numerická stabilita algoritmů . . . . . . 13
2.5 Otázky a příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Exkurze do funkcionální analýzy 15
3.1 Metrický prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Úplný metrický prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Pevný bod zobrazení, iterační proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Normovaný vektorový prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5 Otázky a příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Numerické řešení soustavy lineárních rovnic 24
4.1 Přímé metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.1 Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.2 Gaussova eliminační metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.3 Eliminace s výběrem hlavního prvku . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Iterační metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.1 Jacobiho metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.2 Gauss-Seidelova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Otázky a příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Numerické metody řešení nelineárních rovnic 39
5.1 Numerické metody řešení jedné nelineární rovnice . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.1 Metoda půlení intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.2 Metoda regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.3 Metoda sečen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1.4 Newtonova metoda (metoda tečen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.5 Metoda prosté iterace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Numerické metody řešení soustav nelineárních rovnic . . . . . . . . . . . . 51
5.2.1 Metoda prosté iterace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.2 Newtonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3 Otázky a příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
6 Aproximace funkcí 61
6.1 Interpolace algebraickými polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.1 Existence a jednoznačnost interpolačního polynomu . . . . . . . . . 61
6.1.2 Konstrukce interpolačního polynomu, Lagrangeův interpolační po-
lynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1.3 Newtonův interpolační polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.4 Odhad chyby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2 Interpolace pomocí splajnů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 Metoda nejmenších čtverců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4 Otázky a příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7 Numerické derivování a integrování 85
7.1 Numerické derivování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.1.1 Některé často používané vzorce pro numerické derivování . . . . . . 85
7.2 Numerické integrování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2.1 Newton-Cotesovy vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2.2 Složené kvadraturní vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.3 Otázky a příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8 Numerické řešení diferenciálních rovnic 97
8.1 Počáteční úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.1.1 Eulerova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.1.2 Typy a vlastnosti metod pro řešení počátečních úloh, lokální a glo-
bální chyba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.1.3 Modifikace Eulerovy metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.1.4 Rungovy-Kuttovy metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.1.5 Odhad chyby. Řízení délky kroku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.1.6 Vícekrokové metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.1.7 Vícekrokové metody založené na numerické integraci . . . . . . . . 108
8.1.8 Metody prediktor-korektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.1.9 Řešení soustav diferenciálních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.1.10 Řešení diferenciálních rovnic vyššího řádu . . . . . . . . . . . . . . 112
8.2 Okrajové úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2.1 Metoda konečných diferencí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2.2 Metoda střelby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.3 Otázky a příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
II PRAVDĚPODOBNOST 124
9 Pravděpodobnostní modely 124
9.1 Klasická pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2 Geometrická pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.3 Diskrétní pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.4 Spojitá pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Matematika 3 3
9.5 Otázky a příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10 Střední hodnota a rozptyl 147
10.1 Empirické a teoretické rozdělení pravděpodobnosti . . . . . . . . . . . . . . 147
10.2 Empirické charakteristiky popisu dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.3 Teoretické charakteristiky popisu dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.4 Otázky a příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11 Binomické rozdělení pravděpodobnosti 168
11.1 Vlastnosti binomického rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.2 Generování binomického rozdělení na počítači . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.3 Základní principy statistického testu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
11.4 Znaménkový test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.5 Otázky a příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12 Poissonovo a exponenciální rozdělení pravděpodobnosti 186
12.1 Odvození . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
12.2 Příklady užití . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
12.3 Teorie front . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.3.1 Fronty typu (M|M|1) : (GD|∞|∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12.3.2 Fronty typu (M|M|1) : (GD|N|∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.3.3 Fronty typu (M|M|c) : (GD|∞|∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
12.3.4 Fronty typu (M|M|c) : (GD|N|∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
12.4 Náhodné generování hodnot Po a Exp na počítači . . . . . . . . . . . . . . 202
12.5 Otázky a příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13 Rovnoměrné a normální rozdělení pravděpodobnosti 207
13.1 Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
13.2 Normální rozdělení pravděpodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
13.3 U-rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
13.4 Generování hodnot rovnoměrného a normálního rozdělení na počítači . . . 220
13.5 U-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.5.1 Jednostranný test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
13.5.2 Oboustranný test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
13.6 Otázky a příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
14 Statistický test střední hodnoty průměru měření normálního rozdělení
při známém rozptylu 230
14.1 Teoretické rozdělení parametru empirického rozdělení . . . . . . . . . . . . 230
14.2 Teoretické rozdělení průměru X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
14.3 Testy o střední hodnotě průměru při známém rozptylu . . . . . . . . . . . 234
14.3.1 Test „µ =konstcsquotedblright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
14.3.2 Test „µ1 = µ2csquotedblright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
14.4 Otázky a příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
15 Odpovědi na otázky a výsledky příkladů ke cvičení 240
15.1 Výsledky vstupního testu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
16 Odpovědi na otázky a výsledky příkladů ke cvičení 242
16.1 Výsledky cvičení ke kapitole 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
16.2 Výsledky cvičení ke kapitole 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
16.3 Výsledky cvičení ke kapitole 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
16.4 Výsledky cvičení ke kapitole 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
16.5 Výsledky cvičení ke kapitole 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
16.6 Výsledky cvičení ke kapitole 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
16.7 Výsledky cvičení ke kapitole 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
16.8 Výsledky cvičení z kapitoly 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
16.9 Výsledky cvičení z kapitoly 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
16.10Výsledky cvičení z kapitoly 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
16.11Výsledky cvičení z kapitoly 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
16.12Výsledky cvičení z kapitoly 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
16.13Výsledky cvičení z kapitoly 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Matematika 3 5
Seznam tabulek
10.1 K př. 10.1: Naměřené hodnoty veličiny X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.2 K př. 10.1: Tabulka empirických četností hodnot veličiny X. . . . . . . . . 148
10.3 K př. 10.1: Funkce p(x) empirického rozdělení pravděpodobnosti veličiny X.148
10.4 K př. 10.2: přehled všech možných výsledků při čtyřech hodech mincí. . . . 151
10.5 K př. 10.2: Tabulka teoretických četností hodnot veličiny X. . . . . . . . . 152
10.6 K př. 10.2: Funkce p(x) teoretického rozdělení pravděpodobnosti veličiny X.152
10.7 K příkladu 10.6: Soubor měření získaných v experimentu. . . . . . . . . . . 155
10.8 K příkladu 10.7: Různé typy odchylek od průměru. . . . . . . . . . . . . . 156
10.9 K příkladu 10.8: Tabulka četností souboru měření veličiny X. . . . . . . . 158
10.10K příkladu 10.8: Tabulka empirických pravděpodobností. . . . . . . . . . . 159
11.11Čtyři možné výsledky statistického testu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.12K příkladu 11.6: Data získaná testovým měřením. . . . . . . . . . . . . . . 179
11.13K příkladu 11.6: hodnoty funkce p(r) a kumulativní pravděpodobnostní
funkce P(X ≥ r) zaokrouhleny na tři des. místa. . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.14Hodnoty distribuční funkce Φ(u) - 1.část. . . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.15Hodnoty distribuční funkce Φ(u) - 2.část. . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Úvod
Tato skripta jsou napsána jako doplňující text do předmětu MATEMATIKA 3 pro 2.
ročník bakalářského studia FEKT. Daný předmět se skládá ze dvou odlišných oblastí
matematiky - numerických metod, jejichž cílem je představit základy numerického řešení
úloh praxe, a pravděpodobnosti, jejichž úkolem je seznámit studenty s pravděpodob-
nostními modely popisujícími konkrétní situace. Autorkou první části je Mgr. Irena
Růžičková, autorem druhé RNDr. Břetislav Fajmon, PhD.
Studenti by po absolvování kursu měli být schopni numericky řešit rovnice a
systémy rovnic, aproximovat hodnoty pomocí metody nejmenších čtverců a interpolač-
ních polynomů, používat vzorce numerického derivování a numerické integrace a řešit
numericky některé diferenciální rovnice. Dále v oblasti pravděpodobnostních modelů se
studenti seznámí s tím, jaké situace daný model popisuje, a použijí jej v konkrétních
úlohách. V rámci úvodu do statistiky se setkají s některými základními statistickými testy.
Ad numerické metody
V praxi má velký význam matematické modelování a simulace nejrůznějších procesů.
Při tom je potřeba řešit různé matematické úlohy, mnoho dějů je např. popsáno
diferenciálními rovnicemi. Nalezení přesného řešení takovýchto problémů bývá často
náročné, někdy i úplně nemožné. Často je lepší nehledat řešení v uzavřeném tvaru, ale
pomocí konečného počtu kroků určitého postupu najít řešení přibližné. K tomu právě
slouží numerické metody.
I hledání přibližného řešení bývá ovšem dosti pracné a jen málo úloh lze s uspokojivou
přesností vyřešit „ručněcsquotedblright. Proto jsou numerické metody těsně spjaty s programováním a
rozkvět některých oblastí numerických metod přišel teprve s rozvojem výpočetní techniky.
V první části těchto skript se studenti mohou seznámit se základními a nejjed-
noduššími numerickými metodami pro řešení lineárních a nelineárních rovnic, aproximaci
funkcí, numerické derivování a integrování a pro řešení diferenciálních rovnic.
Některé kapitoly by si zasloužily mnohem obsáhlejší teoretický úvod. Na ten
však zde bohužel není prostor. Pokusila jsem se všude alespoň naznačit, proč uvedené
metody fungují.
Snažila jsem se o srozumitelnost a současně o zachování matematické přesnosti.
Pokud se někomu (zvláště případnému zkušenějšímu čtenáři) bude zdát, že se občas
příliš věnuji trivialitám, prosím jej, aby mi odpustil. Věřím, že někteří současní studenti
bakalářského studia tento fakt naopak ocení.
Matematika 3 7
Poznámka k řešeným příkladům
Všechny mezivýsledky v příkladech řešených v těchto skriptech jsou zapisovány po za-
okrouhlení. Při dalším výpočtu však byly použity původní, přesnější hodnoty. Proto se
může stát, že bude-li někdo tyto příklady přepočítávat a použije k tomu mezivýsledky zde
uvedené, může dojít k výsledkům poněkud odlišným.
Poděkování
Děkuji doc. RNDr. Liboru Čermákovi, CSc., z FSI VUT za pečlivé přečtení původní
verze těchto skript z roku 2002 – části o numerických metodách. Na základě jeho
připomínek jsem odstranila některé chyby a opravila některá, dnes již poněkud zastaralá
tvrzení. Všechny chyby, které kdo najde v nynější verzi, připadají zcela na můj vrub.
Irena Růžičková, Brno 2005
Ad pravděpodobnost
Co je pravda? Tuto otázku se zeptal Pilát chvíli předtím, než vydal příkaz k
ukřižování Ježíše Krista (viz Bible). Nevěděl, že Ježíš o sobě prohlásil: Já jsem ta
cesta, pravda i život. Pilát neměl dost trpělivosti hledat odpověď na svou otázku,
a tak vydal příkaz k popravě nevinného, protože byl pro něj pohodlnější vlastní
klid než spravedlnost. Možná že i dnes si nedáváme dost času k hledání odpovědi,
a tak je možné, že ve svém životě křižujeme to dobré ve prospěch určitého dočasného klidu.
Jiná odpověď na naši otázku: Pravda je soubor mýtů, které se lidem ještě nepo-
dařilo vyvrátit. Toto humorné prohlášení trochu představuje historii vědy, protože
například při fyzikálním popisu skutečnosti se setkáváme s tím, že model sloužící k
popisu jisté situace se v jiné situaci ukázal nevhodným, což vedlo ke hledání nových
souvislostí.
Zkrátka a dobře, ve svém poznání světa máme jisté rezervy, a tak nám místo
pravdy zůstává spíše pravděpodobnost - jakási míra víry, že určitá věc je skutečností.
Všichni jsme odkázáni k tomu, že musíme věřit.
Text je založen na uvádění příkladů - v průběhu příkladů jsou nově uváděny
matematické pojmy. A proto příklady nelze při studiu přeskakovat - respektive kdo bude
přeskakovat příklady, tomu toho ke studiu moc nezbyde.
Po prvních dvou letech fungování textu bylo učiněno několik úprav.
Břetislav Fajmon, Brno 2005
8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
1 Vstupní test
Následující test prověřuje nebo připomíná některé pojmy, které se probíraly v prvním
ročníku bakalářského studia nebo jejichž zvládnutí bude dále prohlubováno a využíváno
v tomto textu.
Příklad 1.1 Je dána funkce f(x) = x2x+1. Vypočtěte a) f(2) b) f(a), je-li a = −3 c) f(b)
d) f(c2).
(Pokud někomu tento příklad dělá potíže, měl by na sobě začít urychleně pracovat.)
Příklad 1.2 Posloupnost {an}∞n=1 je dána předpisem an = 2n−1n+1 . Vypočtěte první tři členy
této posloupnosti a najděte limn→∞ an.
Příklad 1.3 Posloupnost {bn}∞n=1 je dána rekurentně předpisem bn+1 = b2n − bn2 , b1 = 1.
Vypočtěte b2,b3 a b4.
Příklad 1.4 Eliminační metodou vyřešte zadanou soustavu rovnic. Proveďte zkoušku.
2y − 5z = 1
x − y = −5
3x + y + 2z = −1
Příklad 1.5 Jaký je geometrický význam derivace funkce f v určitém bodě x0?
Příklad 1.6 Najděte lokální extrémy funkce f(x) = xe−2x a zjistěte, kde tato funkce roste
a kde klesá. Najděte minimum a maximum zadané funkce na intervalu 〈−1,1〉.
Příklad 1.7 Vypočtěte integrál integraltext pi20 sinxdx. Co se pomocí tohoto integrálu vypočítalo?
Příklad 1.8 Ověřte, že funkce y = 11+x2 je řešením diferenciální rovnice yprime = −2xy2
vyhovujícím počáteční podmínce y(0) = 1. Vypočtěte hodnoty tohoto řešení v bodech
x1 = 0,5 a x2 = 1.
Příklad 1.9 Ověřte, že funkce y = 2x + c1 cos2x + c2 sin2x je řešením diferenciální
rovnice yprimeprime + 4y = 8x pro libovolné hodnoty c1 a c2. Najděte řešení zadané rovnice, které
vyhovuje podmínkám y(0) = 0, y(pi4) = 1.
Příklad 1.10 Kolik existuje různých sedmiznakových řetězců složených pouze ze znaků 0
a 1 ?
Příklad 1.11 Probíhá závod 10 lidí v běhu na 3.5 km. Kolik teoreticky může nastat mož-
ných výsledkových listin, pokud předpokládáme, že všichni doběhnou do cíle a že žádné dva
časy nebudou stejné?
Příklad 1.12 Ve tmavé komoře je 6 párů bílých a 8 párů černých ponožek. Kolik ponožek
musím vzít v té tmě, abych měl jistotu, že jsem vzal aspoň dvě ponožky stejné barvy?
Matematika 3 9
Příklad 1.13 Kolika způsoby je možné vybrat tříčlenný tým z 10 lidí?
Příklad 1.14 V misce jsou 4 banány, 4 pomeranče a 4 broskve. Vybírám si 4 kusy ovoce
na cestu. Kolik různých variant kombinací ovoce mám na výběr? (kusy ovoce téhož typu
považujte za stejné - např. nerozlišujte mezi broskví A a broskví B, apod.)
Příklad 1.15 Kolik různých řetězců lze vytvořit přeházením znaků řetězce AAAA-
BBBBCCCC ?
Příklad 1.16 Čemu je roven součet n + 1 členů geometrické posloupnosti 1 + q + q2 +
q3 +···+qn ?
Příklad 1.17 Součet geometrické řady 1 +q +q2 +q3 +... je pro |q| < 1 roven ...
Příklad 1.18 Funkci ex lze rozvinout v nekonečnou řadu jako ...
Příklad 1.19 Co říká Taylorova věta?
Správné odpovědi testu lze najít v oddílu 15.1.
10 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Část I
NUMERICKÉ METODY
2 Chyby při numerických výpočtech
Cíl kapitoly
Protože základem numerických metod je získávání přibližných výsledků, je nutné mít vždy
představu, jaký rozdíl může být mezi přesným řešením dané úlohy a řešením získaným
použitou numerickou metodou.
Cílem této kapitoly je ukázat, kde všude se při převodu nějakého problému z praxe na
úlohu numerickou dopouštíme nepřesností. Dále se seznámíme s veličinami, k
Vloženo: 28.05.2009
Velikost: 2,11 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BMA1 - Matematika 1
Reference vyučujících předmětu BMA1 - Matematika 1
Podobné materiály
- BFSL - Finanční služby - Skripta
- BPC1 - Počítače a programování 1 - Skripta Počítače a programování
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analaogové el.obvody-lab.cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody- počítačová a laboratorní cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody-počítačová cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody
- BASS - Analýza signálů a soustav - Signály a systémy skripta
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Dskrétní signály a diskrétní systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy 2.část
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a testování el.systémů
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a zkušebnictví
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Speciální diagnostika
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnický seminář
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1 - Laboratorní a počítačová cvičení
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Technická dokumentace
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta elektrotechnika II
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2006
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2008
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta počítačové cvičení 200
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Analýza el. obvodů programem
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Elektrické filtry
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektotechnické materiály a výrobní procesy
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - lab. cvičení
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Materiály v elektrotechncie
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky - Laboratorní cvičení
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2002
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2007
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Fyzikální seminář
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Průvodce studia předmětu Fyzika 1
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta kmity
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Optika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta termofyzika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Vlny
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematický seminář
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1 Počítačová cvičení Maple
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta matematický seminář
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika I
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika II
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Matematika 3
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Sbírka Matematika 3
- BMFV - Měření fyzikálních veličin - Skripta Měření fyz.veličin - návody do lab.cvičení
- BMPS - Modelování a počítačová simulace - Skripta Modelování a počítačová simulace- Počítačová cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD Laboratorní cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část materiály v elektrotechnice
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část Technická dokumentace - počítačová a konstrukční cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část technická dokumentace
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Měření v elektrotechnice - Lab.cviceni -skripta
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Meření v elektrotechnice- návody k lab. cvič.
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - lab.cvičení II
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - laboratorní cvičení
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Skripta 2008
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Stará skripta
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - Skripta
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Blažek 1975
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Elektr.přístroje část II
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Lab.cv. Vysoké napětí
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napěti el.stroje
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napětí část I.
- BVPA - Vybrané partie z matematiky - Skripta Vybrané partie z matematiky
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta laboratoře
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - skripta
- BESO - Elektronické součástky - nová skripta
- AMA2 - Matematika 2 - skripta
- BEKE - Ekologie v elektrotechnice - Něco ze zkoušek, skripta atd..
- BRR2 - Řízení a regulace 2 - Skripta Řízení a regulace 2
- BVPM - Vybrané partie z matematiky - BVPM - skripta k předmětu
- BEPO - Etika podnikání - BEPO (XEPO) - Skripta
- BNAO - Návrh analogových integrovaných obvodů - Skripta BNAO 2010
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - BEVA 2 skripta - přednášky a sbírka úloh.zip
- BMPT - Mikroprocesorová technika - BMPT 2011 zadani PC cviceni + skripta s ucivem
- ABSN - Biosenzory - Skripta
- ALDT - Lékařská diagnostická technika - Skripta
- BMVA - Měření v elektrotechnice - Skripta BMVA
- MTOC - Theory of Communication - Teorie sdělování-skripta
- BMA1 - Matematika 1 - Matematika 1 cvičení
- BMA2 - Matematika 2 - Matematika zápisky
- BMA1 - Matematika 1 - Matematika 1 - příklady
Copyright 2024 unium.cz