- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálFAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
Matematika 2
(BMA2 + KMA2)
Autoři textu:
Prof. RNDr. František Melkes, CSc.
Mgr. Martin Řezáč
FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
1 Úvod a zařazení předmětu ve studijním programu
1.1 Úvod
Předložený elektronický text je určen především studentům bakalářského studia na
FEKT VUT v Brně a to jak prezenčního, kombinovaného tak i distančního typu. Obsahuje
nejprve úvod do teorie funkce více proměnných, pakzákladní kapitoly z oblasti řešení diferen-
ciálních rovnic, a poté nezbytné pojednání o funkci komplexní proměnné jako matematickém
základu pro navazující kapitoly o integrálních transformacích. Veškerá látka je vzhledem
k rozsahu a zaměření textů probírána tak, aby jednak v rozumné míře a srozumitelných způ-
sobem popisovala základní problematiku uvedených matematických disciplín a hlavně, aby
umožňovala využití v praxi.
Vážení studenti, omluvte prosím nedostatky tohoto textu, které z časových důvodů nebylo
možné upravit. Jeho autor profesor Melkes zemřel doslova při práci nad úpravami tohoto tex-
tu. Je možné, že některé ukázky, definice nebo odkazy na ně jsou uvedeny s nesprávným čís-
lem kapitoly. Omluvte nepřítomnost shrnutí a otázek v kapitolách 7 a 8. Také některé hyper-
textové úpravy nebyly dokončeny.
Předmět BMA2 je z matematických kursů nejtěžší, ale následující text i tak v některých parti-
ích zdaleka překračuje jeho rámec. Proto pro přípravu ke zkoušce jsou směrodatné pokyny
zkoušejícího. Na procvičení kapitol 3-6 je základním doporučeným textem sbírka příkladů
RNDr. E. Kolářové (viz elektronické texty FEKT). Příklady 1.6 až 1.10 vstupního testu jsou i
se svým vzorovým řešením dobrým úvodem ke kapitole 4 (= do problematiky komplexních
čísel).
1.2 Úvod do předmětu
Předmět Matematika 2 je zařazen do druhého semestru bakalářského studia na FEKT.
K jeho úspěšnému zvládnutí je zapotřebí, aby student byl v dostatečné míře seznámen se zá-
kladními matematické pojmy, se základy lineární algebry a geometrie, s diferenciálním a in-
tegrálním počtem jedné a eventuálně i více proměnných a to v rozsahu prerekvizitního před-
mětu Matematika 1.
Do předmětu Matematika 2 jsou zahrnuty dvě významné matematické disciplíny, které
velice těsně souvisejí s četnými praktickými aplikacemi, a to jak technického tak i netechnic-
kého charakteru. Těmito disciplínami jsou diferenciální rovnice a integrální transformace.
Diferenciální rovnice se vyskytují všude tam, kde modelujeme působení nějaké změny,
pohybu, vývoje či růstu. Setkáme se s nimi např. při navrhování elektrických obvodů, při ana-
lýze fyzikálních polí, při sledování pohybu těles, při vyšetřování koncentrace chemických
reakcí, při studiu ekonomických procesů, při popisu toku zdrojů v tržní ekonomice, při mode-
lování růstu populace, při simulování biologických pochodů a pod. Při řešení každého tako-
vého problému je nutné, a to na základě vlastností uvažované problematiky, příslušnou dife-
renciální rovnici (eventuálně soustavu diferenciálních rovnic) nejprve sestavit a poté vhod-
ným způsobem vyřešit. V tomto předmětu se sestavováním diferenciálních rovnic, až na ně-
2 FEKT Vysokého učení technického v Brně
2
kolik málo výjimek, zabývat nebudeme. Zaměříme se jen na vysvětlení a aplikování někte-
rých základních metod jejich řešení.
V praxi se ukazuje, že mnoho konkrétních úloh, zvláště úloh spojených s lineárními di-
ferenciálními rovnicemi, lze úspěšně řešit také pomocí řady formálních operací. V případě
této tzv. metody integrální transformace postupujeme následovně: zadaný problém nejprve
vhodným způsobem transformujeme, transformovanou a zpravidla jednodušší úlohu vyřešíme
a zpětnou transformací pak získáme řešení původního problému. Uvedený postup se
s výhodou aplikuje např. ve sdělovací technice, automatizaci, teorii systémů, energetice, elek-
trických obvodech apod. Existuje řada rozličných integrální transformací. V těchto skriptech
se zaměříme zejména na Fourierovu a Laplaceovu transformaci a na tzv. (a ne plně integrál-
ní) transformaci Z.
S ohledem na aplikační zaměření textů budeme většinu tvrzení formulovat bez přísluš-
ného důkazu. V několika málo případech si však stručně naznačíme, jak by se uvedené tvrzení
dokazovalo. Přitom, pokud to bude možné, se budeme vyhýbat složitým teoretickým úvahám.
Zaměříme se spíše na využití formulovaných vět při řešení rozmanitých úloh. Proto text dopl-
ňuje velké množství řešených úloh umístěných bezprostředně za probranou látkou, které se
týkají. Tyto úlohy jsou dvojího druhu. Úlohy s titulkem Ukázka mají ilustrovat využití právě
probírané problematiky a proto nejsou obvykle příliš složité. Je u nich uveden dostatečně po-
drobný postup řešení. Některé z těchto úloh budeme řešit více způsoby a to proto, abychom
zdůraznili rozmanitost přístupu k řešení zadaného problému, což se může v praxi projevit jako
velice užitečné. Úlohy s titulkem Ukázka naznačují, že se jedná o poněkud obtížnější úlohu,
kterou je možné při prvním čtení pominout. Protože se však i tyto úlohy týkají probírané lát-
ky, je vhodné je při dalším čtení alespoň zběžně projít. Další řešené i neřešené příklady určené
k samostatné práci studentů jsou uvedeny v [ 17 ] (eventuelně pro náročné čtenáře i v [ 7 ]) a
příslušná počítačová cvičení v [ 10 ]. Pokud se některým čtenářům budou zdát jisté partie
těchto textů poněkud abstraktní, je to jen proto, abychom si připravili základ pro případné
prohloubení látky vzhledem k aplikacím.
Před vlastním čtením skript bychom rádi upozornili na některou užitou symboliku, kte-
rá by mohla vést k nedorozumění. Symbolem C budeme v dalším rozumět prostor všech spo-
jitých funkcí, přičemž za tento symbol uvedeme, eventuelně v závorkách, definiční obor těch-
to funkcí. Tedy např. C označuje prostor všech spojitých funkcí jedné proměnné defi-
novaných na intervalu nebo C(Ω) je prostor spojitých funkcí definovaných na oblasti
Ω. Podobně je to se symbolem Cn, který označuje prostor všech funkcí, jejichž derivace n-
tého řádu jsou v příslušné oblasti spojité. Na rozdíl od tohoto označení budeme symbolem C
označovat množinu všech komplexních čísel.
Pro zjednodušení zápisu některých vztahů budeme využívat tzv. Kroneckerova symbolu.
Jedná se o dvouhodnotovou veličinu, která je rovna jedné, pokud ij= a vymizí, pokud
ij≠ . Dá se také vyjádřit pomocí jedné z relací
max(1||,0)1min(||,1)ij i ijd =−−=−−.
Z hlediska úpravy textu se při práci s exponenciální funkcí přidržíme novějšího zápisu
exp()x místo původního ex .
Matematika 2 3
3
Vstupní test
Příklad 1.1 Vysvětlete význam symbolů ∀, ∃, ∃!, ⇒, ⇔, ×, ∪, ∩, ⊂, ∈, ∉, →.
výsledek
Příklad 1.2 Negujte následující složený výrok a rozhodněte o jeho pravdivosti:
22(:2)(,,,:0).xRxabcRxRaxbxc∀∈≠−⇒∀∈∃∈++= výsledek
Příklad 1.3 Vysvětlete význam označení číselných tříd N, I, Q, R, C a C.
výsledek
Příklad 1.4 Vyjádřete množinu {:}Mxaxb=∈ . Přechodem k původní
neznámé získáme nakonec obecné řešení ve tvaru 1ln()(1)cxyx=− . Během úprav jsme dělili
dvojčlenem z - 1, který nabývá nulové hodnoty pro z = 1 a to odpovídá funkci yx=% . Tato
funkce zadané rovnici též vyhovuje, avšak není obsažena v obecném řešení pro žádnou hodno-
tu integrační konstanty c. Jednoparametrický systém funkcí y a funkce y% představují všechna
řešení výchozí rovnice. Průběh integrálních křivek znázorňuje Obr. 3.7 upro-
střed. Jedině funkce y% , znázorněná červeně, je definována na celé číselné ose. Jednotlivá
partikulární řešení jsou při c > 0 či při c < 0 definována jen na poloose (0, ∞), případně (
- ∞, 0). Tato řešení jsou nespojitá v bodě 1/xc= .
Ukázka 3.21: V RL obvodu je zapojena nelineární cívka s charakteristikou i = k Φ2,
kde k je zadaná konstanta. Stanovte proudovou odezvu i = i(t), je-li v čase t = 0 sepnut vypí-
nač. Uvedený obvod je popsán počáteční úlohou 0ddt RiUΦ +=, i(0) = 0. Po dosazení za
proud dospějeme k rovnici 2 0ddt kRUΦ +Φ= . Jejím separováním dostaneme
0
0
221 ,kde
d kRUdt
Uk
kΦ
−Φ
==.
30 FEKT Vysokého učení technického v Brně
30
Integrací získáme 0argtanh() UtckkΦ=+. Z počáteční podmínky pro proud vyplývá, že
také Φ(0) = 0, což implikuje c = 0. Proto 0tanh()/UtkkΦ= a dosazením do charakteristi-
ky 0
0
2tanh()UiUt
R k= . Průběh proudové odezvy v případě U0 = R prezentuje pro některé
hodnoty k Obr. 3.7 vpravo..
Obr. 3.7: Průběhy integrálních křivek ukázek 3.19, 3.20 a 3.21
3.3.3 Lineární rovnice
Lineární rovnice se v praxi velice často vyskytuje. Má tvar
)()( xgyxfy =+′ , x ∈ I . ( 3.5 )
Platí-li f, g ∈ C(I), tj. jsou-li obě funkce f(x) a g(x) na intervalu I spojité, pak v důsledku
věty (3.4) má lineární rovnice pro každou počáteční podmínku y(x0) = y0, x0 ∈ I právě jed-
no řešení, které existuje na celém intervalu I.
V případě homogenní rovnice, kdy ()0gx= , lze ( 3.5 ) snadno vyřešit separací proměn-
ných, neboť dyy fdx=− . Označíme-li integrační konstantu symbolem c, dostaneme
exp(())/(), kde ()exp(())ycfxdxcFxFFxfxdx=−=≡=∫∫( 3.6 )
V případě rovnice nehomogenní, kdy ()0gx≠ , nalezneme řešení pomocí metody variace
konstanty. Tato metoda spočívá v tom, že zmíněné řešení hledáme ve tvaru ( 3.6 ) jen s tím
rozdílem, že veličina c není konstantní, ale závisí nějakým způsobem na proměnné x, tj. že
je vlastně funkcí ()ccx= . Předpokládáme tedy ()/()ycxFx= . Abychom funkci ()cx
určili dosaďme předpokládané řešení do ( 3.5 ). Obdržíme
2 ()ccFcFfgcfcgFFFFF′′′′−+=⇒+−=.
Vzhledem k definici funkce F je výraz v závorce poslední rovnosti nulový a proto
0cgFcgFdxc′ =⇒=+∫ .
Obecné řešení lineární rovnice je pak dáno relací
3.19
1
3.20
2
3.21
Matematika 2 31
31
0[()()]/()ygxFxdxcFx=+∫ ( 3.7 )
Řešení lineární rovnice tedy vyžaduje v obecném případě provedení dvou kvadratur.
Souhrnně řečeno postup řešení lineární rovnice spočívá v tom, že pomocí separace pro-
měnných nalezneme nejprve obecné řešení rovnice homogenní. V takto získaném řešení po-
važujeme integrační konstantu za funkci nezávisle proměnné x a dosadíme do výchozí ne-
homogenní lineární rovnice. Po úpravě získáme jednoduchou rovnici, z níž integrací obdržíme
funkci ()cx. Dosazením do předpokládaného tvaru pak dospějeme k výslednému řešení ne-
homogenní lineární rovnice.
Ukázka 3.22: Máme nalézt všechna řešení rovnice 324yxyx′ −=. Vidíme ihned, že
obě funkce f(x) = -2 x a g(x) = 4 x3 jsou na celé číselné ose spojité. Řešení příslušné homo-
genní rovnice 20yxy′ −= je 2exp()ycx= . Řešení nehomogenní rovnice tedy předpoklá-
dejme ve tvaru 2()exp()ycxx= a dosaďme do zadané rovnice. Získáme postupně
2223
2332
exp()2exp()2exp()4
exp()44exp()
cxxcxxcxx
cxxcxxdx
′ +−=⇒
′=⇒=−∫
Pro určení integrálu nejprve zavedeme substituci t = x2 a transformovaný integrál vypočte-
me metodou per partes. Po menších úpravách získáme nakonec jednoparametrický systém
funkcí y = c exp(x2) – 2 x2 – 2 který obsahuje všechna řešení dané rovnice.
Ukázka 3.23: Lineární RL obvod se střídavým buzením je popsán diferenciální rovnicí
0
sindidtLRiEtw+=
,
v níž všechny koeficienty jsou kladné. Máme určit proudovou odezvu ()iit= , platí-li
(0)0i = . Obě funkce 0() a ()sinERLLftgttw== v dané rovnici jsou spojité na celé čísel-
né ose. Řešením homogenní rovnice získáme exp()RLict=−. Řešení nehomogenní rovnice
tedy budeme předpokládat ve tvaru ()exp()RLictt=−. Dosazením do zadané rovnice dosta-
neme po vyloučení členů s opačným znaménkem a úpravě
0 exp()sinRLEcttdtL w= ∫ .
Po dvojí integraci per partes dospějeme k relaci
0 010222exp()(sincos)exp()sin()RRLLEtRtLtcEttcRL ww wdw=−+=−++ ,
kde 01
222
tan,LR EE
RL
wd
w
==
+
.
Obecné řešení má tvar 10sin()exp()RLiEtctwd=−+−. Integrační konstantu určíme z počá-
teční podmínky, neboť 0 = c0 – E1 sin d. Proudová odezva
11()sin()exp()sinRLiitEtEtwdd≡=−+−
32 FEKT Vysokého učení technického v Brně
32
tedy obsahuje periodickou složku a tlumenou složku, která po určitém čase prakticky zanikne.
Veličina LRt = se nazývá časovou konstantou.
Ukázka 3.24: Jako ukázku si uveďme ještě jeden, formálně mírně odlišný postup při ře-
šení lineární rovnice. Vynásobením ( 3.5 ) zatím blíže neurčenou funkcí F získáme
FyFfyFg′ +=. K úpravě této relace využijme známého pravidla pro výpočet derivace
součinu ()FyFyFy′′′=+. Po malé úpravě dostaneme ()()FyFfFyFg′′+−=. Nyní
zvolme F tak, aby se poslední rovnice maximálně zjednodušila. K tomu stačí, aby výraz
v závorce vymizel, tj. aby pro funkci F platilo ex() p() Ffxdx= ∫ . Tato volba F implikuje
rovnici ()FyFg′ = a tudíž 0FygFdxc=+∫ , což je v podstatě ( 3.7 ).
V kapitole 3.3 jsme popsali jen dvě základní metody exaktního řešení obyčejné diferenci-
ální rovnice prvního řádu. Metody pro řešení některých dalších typů rovnic lze nalézt např. v
[ 9 ], [ 16 ], [ 27 ], [ 28 ]. Zvláště [ 16 ] je vhodná pro použití v praxi, neboť obsahuje velké
množství konkrétních diferenciálních rovnic (a to nejen prvního řádu), které jsou buď přímo
vyřešeny nebo je zde uveden podrobný postup, jak řešení získat.
3.4 Rovnice n-tého řádu
3.4.1 Obecný tvar rovnice
Obecný tvar rovnice n-tého řádu, a to jak v implicitní tak i explicitní formě, jsme uvedli
již v kapitole 3.1. Pro některé typy obecných rovnic existují postupy, jak tyto rovnice vyřešit
nebo alespoň zjednodušit, např. pomocí snížení řádu vyšetřované rovnice. Těmito postupy se
nebudeme blíže zabývat. Případné zájemce odkazujeme např. na [ 28 ].
Nejpodrobněji je propracována problematika lineárních rovnic. Protože se tyto rovnice
v praxi vyskytují nejčastěji, omezíme další úvahy jen na ně. Poznamenejme, že vzhledem
k výhodným vlastnostem lze pomocí lineárních rovnic s výhodou aproximovat i mnohou neli-
neární rovnici. V technické praxi je linearizace nelineárních rovnic aplikována mnohdy po-
měrně nepřesně a to může vést k nesprávným závěrům. Je třeba si zejména uvědomit, že ne
všechny vlastnosti nelineárních rovnic se dají přenést na příslušné linearizované rovnice. Před
vlastním použitím principu linearizace je proto zapotřebí prostudovat vlastnosti diferenciál-
ních rovnic podrobněji, specielně se to týká závislosti řešení na počátečních podmínkách, viz
např. [ 18 ], [ 20 ].
Ukázka 3.25: Příkladem nepřenositelných vlastností mezi nelineárními a lineárními rov-
nicemi mohou posloužit již rovnice druhého řádu. Zatímco lineární rovnice s konstantními
koeficienty nemá buď žádné periodi
Vloženo: 28.05.2009
Velikost: 2,03 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BMA2 - Matematika 2
Reference vyučujících předmětu BMA2 - Matematika 2
Podobné materiály
- BFSL - Finanční služby - Skripta
- BPC1 - Počítače a programování 1 - Skripta Počítače a programování
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analaogové el.obvody-lab.cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody- počítačová a laboratorní cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody-počítačová cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody
- BASS - Analýza signálů a soustav - Signály a systémy skripta
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Dskrétní signály a diskrétní systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy 2.část
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a testování el.systémů
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a zkušebnictví
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Speciální diagnostika
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnický seminář
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1 - Laboratorní a počítačová cvičení
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Technická dokumentace
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta elektrotechnika II
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2006
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2008
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta počítačové cvičení 200
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Analýza el. obvodů programem
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Elektrické filtry
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektotechnické materiály a výrobní procesy
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - lab. cvičení
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Materiály v elektrotechncie
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky - Laboratorní cvičení
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2002
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2007
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Fyzikální seminář
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Průvodce studia předmětu Fyzika 1
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta kmity
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Optika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta termofyzika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Vlny
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematický seminář
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1 Počítačová cvičení Maple
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 3
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta matematický seminář
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika I
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Matematika 3
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Sbírka Matematika 3
- BMFV - Měření fyzikálních veličin - Skripta Měření fyz.veličin - návody do lab.cvičení
- BMPS - Modelování a počítačová simulace - Skripta Modelování a počítačová simulace- Počítačová cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD Laboratorní cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část materiály v elektrotechnice
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část Technická dokumentace - počítačová a konstrukční cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část technická dokumentace
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Měření v elektrotechnice - Lab.cviceni -skripta
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Meření v elektrotechnice- návody k lab. cvič.
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - lab.cvičení II
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - laboratorní cvičení
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Skripta 2008
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Stará skripta
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - Skripta
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Blažek 1975
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Elektr.přístroje část II
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Lab.cv. Vysoké napětí
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napěti el.stroje
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napětí část I.
- BVPA - Vybrané partie z matematiky - Skripta Vybrané partie z matematiky
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta laboratoře
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - skripta
- BESO - Elektronické součástky - nová skripta
- AMA2 - Matematika 2 - skripta
- BEKE - Ekologie v elektrotechnice - Něco ze zkoušek, skripta atd..
- BRR2 - Řízení a regulace 2 - Skripta Řízení a regulace 2
- BVPM - Vybrané partie z matematiky - BVPM - skripta k předmětu
- BEPO - Etika podnikání - BEPO (XEPO) - Skripta
- BNAO - Návrh analogových integrovaných obvodů - Skripta BNAO 2010
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - BEVA 2 skripta - přednášky a sbírka úloh.zip
- BMPT - Mikroprocesorová technika - BMPT 2011 zadani PC cviceni + skripta s ucivem
- ABSN - Biosenzory - Skripta
- ALDT - Lékařská diagnostická technika - Skripta
- BMVA - Měření v elektrotechnice - Skripta BMVA
- MTOC - Theory of Communication - Teorie sdělování-skripta
- BMA1 - Matematika 1 - Matematika 1 cvičení
- BMA2 - Matematika 2 - Matematika zápisky
- BMA1 - Matematika 1 - Matematika 1 - příklady
Copyright 2023 unium.cz. Abychom mohli web rozvíjet a dále vylepšovat podle preferencí uživatelů, shromažďujeme statistiky o návštěvnosti, a to pomocí Google Analytics a Netmonitor. Tyto systémy pro unium.cz zaznamenávají, které stránky uživatel na webové stránce navštívil, odkud se na stránku dostal, kam z ní odešel, jaké používá zařízení, operační systém či prohlížeč, či jaký má preferenční jazyk. Statistiky jsou anonymní, takže unium.cz nezná identitu návštěvníka a spravuje cookies tak, že neumožňuje identifikovat konkrétní osoby. Používáním webu vyjadřujete souhlas použitím cookies a následujících služeb: