- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálcké řešení nebo všechna jeho řešení jsou periodická, neli-
neární rovnice může mít periodické řešení jen jedno. Konkrétními případy jsou obecná Lié-
nardova rovnice ()()0yfyygy′′′++= a její důležitý speciální případ van der Polova rov-
nice 2(1)0yyyye′′′−−+= používané při vyšetřování nelineárních kmitů.
Matematika 2 33
33
3.4.2 Obecná lineární rovnice
Obecnou lineární diferenciální rovnicí n-tého řádu rozumíme rovnici tvaru
()(1)
110()().. ()()(),()0
nn
naxyaxyaxyaxyfxax
−
− ′++++=≠ ( 3.8 )
Věta 3.2 zajišťuje, že tato rovnice má jednoznačné řešení na celém intervalu, i nekoneč-
ném, v němž jsou všechny funkce ()iax, ()fx spojité a který obsahuje bod 0x , v němž jsou
zadány počáteční podmínky (1)(1)0000(),...,().nnyxyyxy−−==
Je-li 0)( ≡xf mluvíme o homogenní rovnici, v případě 0)( ≠xf o rovnici nehomogenní.
Při konstrukci obecného řešení homogenní rovnice hraje důležitou roli tzv. fundamentální
systém řešení. Systém n řešení nyy ...,,1 homogenní rovnice nazveme fundamentálním systé-
mem, jsou-li tato řešení lineárně nezávislá, tj. je-li jejich wronskián
1
(1)(1)
1
...
.. .. ...
...
n
nn
n
yy
W
yy−−
=
na intervalu I různý od nuly. Wronskián stačí prověřit v jediném bodě intervalu I, neboť je na
celém intervalu buď různý od nuly nebo identicky nulový. Za fundamentální systém řešení
můžeme vzít libovolnou n-tici lineárně nezávislých řešení homogenní rovnice. V praxi zpra-
vidla vybíráme buď ten formálně nejjednodušší fundamentální systém nebo fundamentální
systém, který popisuje nějakou potřebnou fyzikální či technickou veličinu.
Ukázka 3.26: Za fundamentální systém rovnice 0yy′′ −= můžeme zvolit např. jak
dvojici funkcí 1 exp()yx= , 2 exp()yx=−, tak i dvojici jejich vhodných kombinací, např.
1
1 2sinhexp()exp()()yxxx=≡−−,
1
2 2coshexp()exp()()yxxx=≡+−, neboť všechny čtyři
funkce dané rovnici vyhovují a přitom
jak exp()exp() 20
exp()exp()
xxW
xx
−==−≠
−−
tak i sinhcosh 10
coshsinh
xxW
xx
==−≠ .
Ukázka 3.27: Přesvědčte se, že funkce 1 1y = , 2yx= , 23yx= a 34yx= tvoří fun-
damentální systém řešení rovnice iv 0y = . Uvedené funkce jsou polynomy nejvýše třetího
stupně a tedy jejich čtvrtá derivace je nulová, takže všechny čtyři funkce zadané rovnici vyho-
vují. Musíme ještě prokázat jejich lineární nezávislost. K tomu stačí spočítat wronskián
23
2
1
0123 120
0026
0006
xxx
xxW
x
==≠.
Ukázka 3.28: Ukažme ještě, že funkce 1 sinyx= a 2 cosyx= reprezentují fundamen-
tální systém řešení rovnice 0yy′′ +=. Obě funkce zřejmě této rovnici vyhovují a platí
34 FEKT Vysokého učení technického v Brně
34
22sincos sincos10
cossin
xxWxx
xx
==−−=−≠
−
.
Vyberme nyní nějaký fundamentální systém 1,..., nyy a zvolme libovolně konstanty 1c ,
…, nc . Pak lineární kombinace ∑ =ni ii yc1 představuje obecné řešení rovnice homogenní.
Toto tvrzení podtrhuje důležitost zavedení fundamentálního systému, neboť ze známého fun-
damentálního systému můžeme obecné řešení homogenní rovnice již celkem lehce zkonstruo-
vat. Nalezněme ještě libovolné partikulární řešení *y nehomogenní rovnice, pak obecné
řešení y nehomogenní rovnice můžeme psát ve tvaru
*
1
n
ii
i
yycy
=
=+∑ ( 3.9 )
Ukázka 3.29: Na základě ukázky 3.26 můžeme obecné řešení rovnice 0yy′′ −= psát
jak ve tvaru 12exp()exp()yctct=+−, tak ve tvaru 12sinhcoshycxcx=+ .
Určení fundamentálního systému u obecné lineární rovnice n-tého řádu je zatím otevřený
problém. Jak uvidíme v následujícím odstavci, je nalezení fundamentálních řešení plně po-
psáno u lineárních rovnic s konstantními koeficienty. U lineárních rovnic s nekonstantními
koeficienty se k určení jednotlivých fundamentálních řešení často využívá mocninných řad.
Tyto řady konvergují v oboru konvergence stejnoměrně a proto mohou být derivovány i inte-
grovány člen po členu, aniž by se změnil obor jejich konvergence. Jsou tedy vhodným nástro-
jem k vyšetřování zejména lineárních rovnic s polynomiálními koeficienty.
Ukázka 3.30: Při řešení rotačně symetrických úloh dospějeme zpravidla k Besselově
diferenciální rovnici 0)( 222 =−+′+′ ynxyxyx , kde n ∈ R . Bez odvození uveďme, že
fundamentální systém této rovnice tvoří Besselova funkce ()nJx n-tého řádu a Neumannova
funkce ()nNx n-tého řádu, přičemž (symbol Γ označuje tzv. gama funkci, viz např. [ 1 ])
0
2(1)()
!(1)2()
i
n
i
nixJx
ini
∞
=
+−=
Γ++∑ ,
()cos()()lim
sinn n
JxJxNx nnpn
pn
−
→
−= .
Uvedená řada konverguje pro všechna reálná x. Průběh obou funkcí pro n = 0, 1, 2, 3 a 4
je uveden na Obr. 3.8.
Přicházíme tedy k důležitému závěru, že obecné řešení nehomogenní lineární rovnice je
součtem obecného řešení homogenní rovnice a partikulárního řešení rovnice nehomogenní.
Matematika 2 35
35
Obr. 3.8: Průběh Besselových a Neumannových funkcí
K určení partikulárního řešení můžeme opět využít metodu variace konstant. Předpoklá-
dáme, že jsme již nějakým způsobem určili fundamentální systém (),1,...,iiyyxin== a
tedy i obecné řešení homogenní rovnice. Řešení nehomogenní rovnice hledáme ve stejném
tvaru s tím, že integrační konstanty považujeme za funkce nezávisle proměnné, tj. partikulární
řešení předpokládáme ve tvaru
*
1
()
n
ii
i
ycxy
=
= ∑ .
Ukazuje se , že tento předpoklad je oprávněný vyhovují-li derivace )(1 xc′ , …, )(xcn′ nezná-
mých funkcí soustavě lineárních algebraických rovnic
() ,1
1
()(),0,...,1, (Kronecker)
n
i
jjin
j
cxyfxind−
=
′ ==−∑
Pro názornost uveďme tuto soustavu též v explicitním tvaru
1 22
1 22
(2)(2)(2)
1 22
(1)(1 (1)
1 22
...0
..
.......
...0
...
nn
nn
nnn
nn
nn
cycycy
cyc cy
cycycy
cyc cyf
−−−
′′′+++=
′ ′ ′′+
′′′+++=
+
( 3.10 )
Uvedená soustava má vždy právě jedno řešení, neboť determinant matice soustavy je wron-
skián, který je podle předpokladu nenulový. Vyřešením této soustavy a výpočtem n integrálů
pak získáme hledané partikulární řešení *y , které dosadíme do ( 3.9 ) .
Metoda variace konstant je na jedné straně velice obecná, neboť se týká obecné lineární
rovnice n-tého řádu. Na druhé straně se však jedná o technicky poměrně komplikovanou zá-
ležitost, která reprezentuje vyřešení soustavy n lineárních rovnic a poté provedení n kvadra-
tur.
Ukázka 3.31: Ve formě ukázky provedeme princip zdůvodnění metody variace konstant
na případu lineární rovnice druhého řádu yaybyf′′′++=, v níž ()aax= , ()bbx= ,
()ffx= jsou zadané koeficienty. Nechť 12,yy je fundamentální systém homogenní rovni-
36 FEKT Vysokého učení technického v Brně
36
ce a hledejme partikulární řešení ve tvaru 1122ycycy=+, přičemž 11()ccx= , 22()ccx= .
Pak 11221122ycycycycy′′′′′=+++. Uvažme nyní, že hledáme dvě neznámé funkce 12,cc, ale
k dispozici máme zatím jen jednu podmínku a tou je výchozí rovnice. Jednu nezávislou pod-
mínku tedy můžeme přidat. Pro maximální zjednodušení dalšího postupu budeme navíc poža-
dovat, aby 1122 0ycyc′′+=. V důsledku takto zvolené podmínky se tvar první derivace redu-
kuje na 1122yycyc′′′=+ a proto 11112222ycycycycy′ ′′′ ′′′′=+++. Dosazením posledních
dvou relací do výchozí rovnice dostaneme
111122221122()()cyaybycyaybycycyf′ ′′ ′′′′′+++++++=
Vzhledem k tomu, že 12,yy představují fundamentální řešení, jsou oba výrazy v závorkách
předchozí relace nulové. Pro veličiny 12,cc′′ tak získáme nakonec soustavu rovnic
1122 0ycyc′′+=, 1122cycyf′′′′+=,
což je speciální případ ( 3.10 ) pro n = 2.
Ukázka 3.32: Nalezněme obecné řešení rovnice 2322xyxyyx′′′−+=, jejíž fundamen-
tální systém tvoří funkce 1yx= a 22yx= . Rovnici upravíme na 222x xyyyx′′′−+=, ne-
boť, jak také ukazuje předchozí ukázka, metoda variace konstant je odvozena pro tento typ
rovnice. Partikulární řešení předpokládáme ve tvaru 212ycxcx=+ , přičemž hledané funkce
11()ccx= , 22()ccx= musí vyhovovat soustavě dvou lineárních rovnic
2
120xcxc′′+=,
122cxcx′′+=. Řešení této soustavy vede na relace 1cx′ =− , 2 1c′ = , z nichž vyplývá
2
1
12cx=− ,
2cx= . Partikulární řešení je tedy
*31
2yx= , takže obecné řešení zadané rovnice
má konečný tvar 2312yaxbxx=++, kde a, b jsou integrační konstanty. .
Ukázka 3.33: Určeme obecné řešení rovnice 3sin2yyx′′ += . Z ukázky 3.28 víme, že
fundamentální systém odpovídající homogenní rovnice tvoří funkce sin x a cos x . Partiku-
lární řešení tedy budeme hledat ve tvaru 12*()sin()cosycxxcxx=+ . Pro derivace proza-
tím neurčených funkcí 11()ccx= , 22()ccx= platí
1212sincos0,cossin3sin2cxcxcxcxx′′′′+ −= .
Vyřešením této soustavy lineárních rovnic obdržíme 226sincos,6sincoscxxcxx==− ,
odkud integrací 33122cos,2sinxcx=−=− . Dosazením do předpokládaného tvaru parti-
kulárního řešení pak dostaneme
33*2cossin2sincos2sincossin2yxxxxxxx=−−=−=− .
Sečtením partikulárního řešení s obecným řešením homogenní rovnice tak dospějeme ke ko-
nečnému tvaru obecného řešení zadané rovnice
sincossin2,, .yaxbxxabkonst=+−
Zmínili jsme, že obecný postup pro určení fundamentálního systému u lineárních rovnic
s nekonstantními koeficienty není prozatím znám. Ve formě dvou ukázek uvedeme, že i dopo-
sud probraná a ne příliš rozsáhlá látka spolu s jistou intuicí umožňuje některé speciální lineár-
ní rovnice s nekonstantními koeficienty úspěšně vyřešit a to bez pomoci nekonečných řad.
Matematika 2 37
37
Ukázka 3.34: Zabývejme se okrajovou úlohou 2,(0)(3)1xyyxyy′′′−===. Vyšet-
řeme nejprve homogenní rovnici, kterou postupně upravme takto:
1yyx′′ =′ 11dyydxx′⇒=′ dydxyx′⇒=
Obdrželi jsme rovnici se separovanými proměnnými xay′ , takže můžeme obě strany inte-
grovat. Získáme tím postupně
1ln||l |n||ln|2yxc′ =+ 12ycx′⇒= 212ycxc⇒=+
Poslední relace vyjadřuje obecné řešení homogenní rovnice; za fundamentální soustavu tak
můžeme považovat dvojici funkcí 21, x . K určení partikulárního řešení *y tedy stačí podle
metody variace konstant předpokládat, že veličiny 12cac jsou funkcemi proměnné x, tu-
díž *212()()ycxxcx=+. Derivace neurčených funkcí 1122(),()ccxccx≡≡ musí vyhovo-
vat soustavě rovnic 2 1210,2xccxcx′′′+== (nezapomeňme, že podle ukázky 3.31 je soustava
odvozena za předpokladu, že koeficient u nejvyšší derivace je roven jedné). Vyřešením této
soustavy a následnou integrací získáme 3121126(),()cxxcxx==− , takže partikulárním řeše-
ním je funkce *333111263yxxx=−=. Obecné řešení zadané rovnice má tedy tvar
231
3yabxx=++. Určením integračních konstant a, b z počátečních podmínek pak dospě-
jeme k výslednému řešení
23131yxx=−+
Ukázka 3.35: Druhá ukázka je mnohem komplikovanější, neboť máme nalézt obecné ře-
šení rovnice cos2(cossin)2sin0xxyxxxyxy′′′+−−=. Pomocí pravidla pro derivování
součinu ()xyyxy′ ′′′=+ zadanou rovnici postupně upravíme na separovaný tvar
[()]cos2(cossin)2sin0xyyxxxxyxy′ −+−−=,
()cos2()sinxyyxxyyx′′′+=+ ,
()2tanxyy xxyy′′+ =′+ ,
jehož obě strany můžeme přímo integrovat. Po integraci dostaneme
2 11 2ln||ln||lncos coscxyycxxyy x′′+=−⇒+= .
Přitom jsme absolutní hodnotu opět zahrnuli do integrační konstanty. Jak zjistíme separací
proměnných, je obecné řešení homogenní rovnice tvaru cxy = . Pomocí variace konstanty
()ccx= dospějeme k
12122 tantancos cxcccxcyxx +′ =⇒=+⇒=
a to je hledané obecné řešení.
3.4.3 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Lineární rovnice s konstantními koeficienty má tvar
38 FEKT Vysokého učení technického v Brně
38
()(1)
110.. (),0
nn
nayayayayfxa
−
− ′++++=≠. ( 3.11 )
Pro tuto rovnice je znám exaktní postup, jak určit systém fundamentálních řešení její homo-
genní rovnice. Za tím účelem přiřadíme rovnici ( 3.11 ) tzv. charakteristickou rovnici
0λ...λλ 01
1
1 =++++
−
− aaaa
n
n
n
n .
Povšimněme si podobnosti této rovnice s vyšetřovanou diferenciální rovnicí. Charakteristická
rovnice představuje algebraickou rovnici n-tého stupně a ta má právě n kořenů, počítáme-li je
i s násobností. Tyto kořeny mohou být reálné i komplexní. Má-li charakteristická rovnice
komplexní kořen, pak má i komplexně sdružený kořen, tj. komplexní kořeny se vyskytují
v komplexně sdružených dvojicích. Podle tvaru kořene můžeme určit příslušné fundamentální
řešení.
Je-li λ jednoduchý reálný kořen, pak příslušné fundamentální řešení je )λexp( xy = .
Obdržíme-li dvojici jednoduchých komplexně sdružených kořenů βjαλ 21, ±= , pak přísluš-
ná dvojice fundamentálních řešení má tvar xxy βcos)αexp(1 = a xxy βα sin)exp(2 = . Jed-
ná-li se o p-násobný kořen (ať již reálný či komplexní), pak obdržíme p fundamentálních
řešení yy ~1 = , yxy ~2 = , …, yxy pp ~1−= , přičemž y~ je řešení, které by odpovídalo jedno-
duchému kořenu.
Ukázka 3.36: Rovnici 0yy′′ −= přísluší charakteristická rovnice 2 10l −= , která má
dvě jednoduchá reálná řešení 121,1ll==− a proto fundamentálními řešeními jsou funkce
exp(),exp()xx− .
Ukázka 3. 37: Rovnice 0yy′′ += má charakteristickou rovnici 2 10l +=, jež má dvo-
jici komplexně sdružených kořenů 12j,jll==− a proto jsou fundamentálními řešeními
funkce sin,cosxx.
Ukázka 3. 38: Rovnice ()0yyyabab′′′−++=, kde α, β označují navzájem různá
reálná čísla, má kvadratickou charakteristickou rovnici 2 ()0lablab−++= se dvěma
reálnými kořeny 12,lalb== a tudíž funkce exp(),exp()xxab reprezentují její fun-
damentální systém.
Ukázka 3.39: Rovnice 222()0yyyaab′′′−++=, přičemž α, β jsou obecná reálná
čísla, má charakteristickou rovnici 22220lalab−++=, s dvojicí komplexně sdruže-
ných kořenů 1 jlab=+ , 2 jlab=− , což vede na fundamentální řešení exp()sinxxab
a exp()cosxxab. Vidíme, že reálná část komplexního kořene charakteristické rovnice
ovlivňuje vzrůst či tlumení řešení dané diferenciální rovnice, zatímco imaginární část tohoto
kořene má vliv na periodičnost řešení.
Ukázka 3.40: Rovnici iv2222()0yyybaab′′+−−=, kde α, β jsou obecná reálná
čísla, přísluší charakteristická rovnice 422222()0lbalab+−−= s kořeny 1,2la=± a
3,4 jlb=± . Fundamentální systém tvoří funkce exp()xa , exp()xa− , sin xb a cos xb .
Matematika 2 39
39
Ukázka 3 .41: Rovnici 440yyy′′ ′′′−+= je přiřazena kubická charakteristická rovni-
ce 3224
Vloženo: 28.05.2009
Velikost: 2,03 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BMA2 - Matematika 2
Reference vyučujících předmětu BMA2 - Matematika 2
Podobné materiály
- BFSL - Finanční služby - Skripta
- BPC1 - Počítače a programování 1 - Skripta Počítače a programování
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analaogové el.obvody-lab.cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody- počítačová a laboratorní cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody-počítačová cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody
- BASS - Analýza signálů a soustav - Signály a systémy skripta
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Dskrétní signály a diskrétní systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy 2.část
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a testování el.systémů
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a zkušebnictví
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Speciální diagnostika
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnický seminář
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1 - Laboratorní a počítačová cvičení
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Technická dokumentace
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta elektrotechnika II
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2006
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2008
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta počítačové cvičení 200
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Analýza el. obvodů programem
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Elektrické filtry
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektotechnické materiály a výrobní procesy
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - lab. cvičení
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Materiály v elektrotechncie
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky - Laboratorní cvičení
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2002
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2007
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Fyzikální seminář
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Průvodce studia předmětu Fyzika 1
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta kmity
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Optika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta termofyzika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Vlny
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematický seminář
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1 Počítačová cvičení Maple
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 3
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta matematický seminář
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika I
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Matematika 3
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Sbírka Matematika 3
- BMFV - Měření fyzikálních veličin - Skripta Měření fyz.veličin - návody do lab.cvičení
- BMPS - Modelování a počítačová simulace - Skripta Modelování a počítačová simulace- Počítačová cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD Laboratorní cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část materiály v elektrotechnice
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část Technická dokumentace - počítačová a konstrukční cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část technická dokumentace
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Měření v elektrotechnice - Lab.cviceni -skripta
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Meření v elektrotechnice- návody k lab. cvič.
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - lab.cvičení II
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - laboratorní cvičení
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Skripta 2008
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Stará skripta
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - Skripta
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Blažek 1975
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Elektr.přístroje část II
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Lab.cv. Vysoké napětí
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napěti el.stroje
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napětí část I.
- BVPA - Vybrané partie z matematiky - Skripta Vybrané partie z matematiky
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta laboratoře
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - skripta
- BESO - Elektronické součástky - nová skripta
- AMA2 - Matematika 2 - skripta
- BEKE - Ekologie v elektrotechnice - Něco ze zkoušek, skripta atd..
- BRR2 - Řízení a regulace 2 - Skripta Řízení a regulace 2
- BVPM - Vybrané partie z matematiky - BVPM - skripta k předmětu
- BEPO - Etika podnikání - BEPO (XEPO) - Skripta
- BNAO - Návrh analogových integrovaných obvodů - Skripta BNAO 2010
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - BEVA 2 skripta - přednášky a sbírka úloh.zip
- BMPT - Mikroprocesorová technika - BMPT 2011 zadani PC cviceni + skripta s ucivem
- ABSN - Biosenzory - Skripta
- ALDT - Lékařská diagnostická technika - Skripta
- BMVA - Měření v elektrotechnice - Skripta BMVA
- MTOC - Theory of Communication - Teorie sdělování-skripta
- BMA1 - Matematika 1 - Matematika 1 cvičení
- BMA2 - Matematika 2 - Matematika zápisky
- BMA1 - Matematika 1 - Matematika 1 - příklady
Copyright 2024 unium.cz