Distanční studijní opora

Masarykova univerzita
Ekonomicko–spr´avn´ıfakulta
Matematika A
distanˇcn´ı studijn´ıopora
Miloslav Mikul´ık
LuboˇsBauer
Brno 2005
Tento projekt byl realizov´an za finanˇcn´ı podpory Evropsk´e unie v r´amci programu SOCRATES — Grundtvig.
Za obsah produktu odpov´ıd´av´yluˇcnˇe autor, produkt nereprezentuje n´azory Evropsk´e komise a Evropsk´akomise
neodpov´ıd´a za pouˇzit´ı informac´ı, jeˇz jsou obsahem produktu.
This project was realized with financial support of European Union in terms of program SOCRATES — Grundtvig.
Author is exclusively responsible for content of product, product does not represent opinions of European Union
and European Commission is not responsible for any uses of informations, which are content of product
Recenzoval: Doc. RNDr. Jindˇrich Klapka, CSc.
Matematika A
Vydala Masarykova univerzita
Ekonomicko–spr´avn´ı fakulta
Vyd´an´ıdruh´e – pozmˇenˇen´e
Brno, 2005
c© Miloslav Mikul´ık, 2004
ISBN 80-210-3494-7
Identifikace modulu
Znak
KMMATA
N´azev
Matematika A
Urˇcen´ı
kombinovan´e bakal´aˇrsk´e studium
Garant/autor
doc. RNDr. Miloslav Mikul´ık, CSc.
Spoluautor
RNDr. LuboˇsBauer,CSc.
C´ıl
Vymezen´ıc´ıle
Vuˇcebn´ım textu
”
Matematika A“ jsou sledov´any tyto c´ıle:
1. Struˇcnˇepˇripomenout ˇcten´aˇri nˇekter´ad˚uleˇzit´at´emata
”
stˇredoˇskolsk´ema-
tematiky“, jejichˇzznalostjepˇredpokladem ´uspˇeˇsn´emu porozumˇen´ınov´ych
pojm˚u a jejich vz´ajemn´ych vztah˚u.
2. Podat ucelen´yv´yklad line´arn´ıalgebryvrozsahupotˇrebn´em pˇri ˇreˇsen´ı
z´akladn´ıch ´uloh ve statistice a v ˇradˇeekonomick´ych discipl´ın. D˚uraz je kladen
na v´yklad zav´adˇen´ych pojm˚u, na popis v´ypoˇctov´ych metod a na jejich ohod-
nocov´an´ıpˇredevˇs´ım s ohledem na v´ypoˇcetn´ı techniku. Bez pouˇzit´ıv´ypoˇcetn´ı
techniky nelze totiˇzanirozs´ahlejˇs´ı a komplikovanˇejˇs´ı´ulohy praxe ˇreˇsit.
3. Pom´ahat pˇri rozvoji logick´eho myˇslen´ı.
ˇ
Cten´aˇrjenapˇr. veden k tomu, aby
kaˇzd´ypojem,sn´ımˇzsepracuje,bylpˇred pouˇzit´ım plnˇe vymezen a aby byly
vˇzdy uvedeny podm´ınky, za nichˇzuv´adˇen´a tvrzen´ıplat´ı.
Dovednosti a znalosti z´ıskan´epostudiutext˚u
Absolvent tohoto pˇredmˇetu by mˇel z´ıskat dostateˇcnou orientaci v line´arn´ı
algebˇre pro pr´aci v ekonomick´ych aplikac´ıch, v nichˇz se line´arn´ıalgebra
pouˇz´ıv´a. Mˇel by m´ıt schopnost se brzy zorientovat v programech na ˇreˇsen´ı
r˚uzn´ych aplikaˇcn´ıch ´uloh na poˇc´ıtaˇc´ıch a nauˇcit se v´ysledky vyhodnocovat.
Absolvov´an´ı tohoto pˇredmˇetu je dobr´ym z´akladem pro pˇr´ıpadn´enavazuj´ıc´ı
studium ekonometrie a statistick´ych metod.
Znalost pojm˚ustˇredoˇskolsk´e matematiky, uveden´ych v prvn´ıchdvouka-
pitol´ach, je nutn´a pro studium
”
Matematiky B“, kterou budete studovat
vdruh´em semestru.
ˇ
Casov´ypl´an
prezenˇcn´ıˇc´ast 12 hodin
samostudium 78 hodin
elabor´aty 12 hodin
Celkov´y studijn´ıˇcas: 102 hodin
Zp˚usob studia
Studijn´ı pom˚ucky
doporuˇcen´a literatura:
Josef Pol
´
ak: Pˇrehled stˇredoˇskolsk´e matematiky. ISBN 80-85849-78-X
Jan Coufal, Jind
ˇ
rich Kl
˚
ufa, Milo
ˇ
sKa
ˇ
nka, Ji
ˇ
r
´
ı Henzler:
Uˇcebnice Matematiky pro ekonomick´efakulty. ISBN 80-7187-1484
Vybaven´ı
–internet
N´avod pr´ace se studijn´ımi texty
Text je rozdˇelen do ˇsesti kapitol. Kaˇzd´a kapitola je rozdˇelena do nˇekolika
sekc´ı. Nˇekter´e z nich jsou d´ale rozdˇeleny do podsekc´ı. Rozdˇelen´ıkaˇzd´eka-
pitoly do sekc´ı, resp. i do podsekc´ı, je uvedeno na zaˇc´atku kaˇzd´e kapitoly a
rovnˇeˇz v obsahu tohoto studijn´ıho textu.
Prvn´ıdvˇe kapitoly jsou vˇenov´any opakov´an´ı
”
stˇredoˇskolsk´e matematiky“.
Ne kaˇzd´yzV´as prob´ıral stˇredoˇskolskou matematiku do hloubky, kter´aje
vpˇredloˇzen´em textu uvedena. Je tomu obzvl´aˇstˇeuabsolvent˚ur˚uzn´ych od-
born´ych ˇskol, na nichˇz byl kladen d˚uraz na jin´e – nematematick´epˇredmˇety.
Mnoz´ızV´as se sice s l´atkou uvedenou v prvn´ıch dvou kapitol´ach setkali,
avˇsak s ohledem na vˇetˇs´ı odstup od maturity ji jiˇz neznaj´ı. Ti pak mus´ı
tuto l´atku nastudovat a to bud
’
z tohoto textu, anebo z jin´ych studijn´ıch
pom˚ucek, napˇr. z [1], nebo z uˇcebnic, kter´ejstepouˇz´ıvali na stˇredn´ıˇskole.
Kromˇel´atky uveden´evtˇechto dvou kapitol´ach si prostudujte z´aklady ana-
lytick´e geometrie v rovinˇeavprostoru.Na soustˇredˇen´ıch stˇredoˇskolsk´al´atka
nebude soustavnˇeprob´ır´ana,jej´ı prostudov´an´ız´avis´ıjennaVaˇs´ıiniciativˇe.
Jde o porozumˇen´ı zde zaveden´ych pojm˚u a o sezn´amen´ısesez´akladn´ımi
vztahy mezi nimi. Nauˇcte se dobˇre rozliˇsovat mezi definic´ı, j´ıˇzsenov´ypo-
jem zav´ad´ı, a vˇetou, kter´avypov´ıd´a o vztahu mezi zaveden´ymi pojmy. D˚ukazy
jednotliv´ych vˇet se nezkouˇsej´ı. Tyto dvˇe kapitoly byste mˇeli samostatnˇena-
studovat do konce semestru a pr˚ubˇeˇznˇe studovat prob´ıran´e partie line´arn´ı
algebry obsaˇzen´evdalˇs´ıch ˇctyˇrech kapitol´ach. Pln´aznalostt´eto l´atky je totiˇz
bezpodm´ıneˇcnˇe nutn´a pro studium
”
Matematiky B“.
V kapitol´ach 3 — 6 se prob´ıraj´ız´aklady line´arn´ıalgebry.Nejd˚uleˇzitˇejˇs´ıin-
formace, uveden´e v jednotliv´ych kapitol´ach, jsou uvedeny vˇetˇs´ım p´ısmem
vr´ameˇcc´ıch. Nˇekter´e informace, kter´e jsou uvedeny jako rozˇsiˇruj´ıc´ı, jsou uve-
deny mal´ym p´ısmem. Tyto ˇc´asti nen´ı bezpodm´ıneˇcnˇe nutno studovat.
Kaˇzd´a kapitola zaˇc´ın´a s uveden´ım znalost´ı, kter´ebystemˇeli nab´yt studiem
kapitoly. Kaˇzdou kapitolu, resp. podkapitolu, si napˇred informativˇepˇreˇctˇete
tak, abyste nabyli alespoˇn
”
mlhav´ypˇrehled“ o v n´ıuveden´el´atce. Teprve
potom zaˇcnˇete s podrobn´ym studiem. Vˇenujte pozornost pochopen´ızav´adˇen´ı
nov´ych pojm˚u. V textu, kde to je potˇrebn´e, jsou uvedeny pˇr´ıklady. Ty si
pozornˇeprojdˇete. Posledn´ı sekce kaˇzd´e kapitoly obsahuje souhrn nejd˚uleˇzi-
tˇejˇs´ıch poznatk˚uformouv´yˇctu bod˚u. D´ale jsou uvedeny pˇr´ıklady. Upozorˇnuji,
ˇze d˚ukazy vˇet nejsou pˇredmˇetem zkouˇsky.
Nˇekolik pozn´amek ke studiu.
Bylo by ide´aln´ı, abyste na kaˇzd´esoustˇredˇen´ıbylipˇripraveni, to znamen´a,
abyste studovali l´atku dopˇredu. Na soustˇredˇen´ıch byste se mohli pak zamˇeˇrit
na ˇc´ast nepochopen´eho textu.
Bˇehem semestru mus´ıte vypracovat tˇri elebor´aty, jejichˇzzad´an´ı dostanete od
sv´eho tutora s term´ınem odevzd´an´ı. Tutor m´apr´avo tento term´ın posunout.
Elabor´at se stˇredoˇskolskou l´atkou m˚uˇze b´yt odevzd´an aˇz koncem semestru.
Dovoluji si V´as upozornit, ˇze tato forma studia vyˇzaduje pravidelnost a sou-
stavnost. Bylo by v´ıtan´e, kdyby Vaˇsi bl´ızc´ıV´am mohli pomoc k vytvoˇren´ı
ˇcasov´eho prostoru pro studium. Bud
’
te si vˇedomi, ˇze studium vyˇzaduje i od
nich velkou d´avku obˇeti. KoneˇcnˇebychV´as r´ad ujistil, ˇze kdo skuteˇcnˇechce
am´aalespoˇntrochusnesiteln´e podm´ınky ke studiu, m˚uˇze studium zd´arnˇe do-
konˇcit.
Informace o zkouˇsce. Kaˇzd´ymus´ısloˇzit zkouˇsku v term´ınu, kter´yjesta-
noven studijn´ım ˇr´adem. Zkouˇska sest´av´azedvouˇc´ast´ı: z p´ısemn´eaz´ustn´ı.
P´ısemn´azkouˇska obsahuje 4–6 ot´azek, v´ypoˇcet pˇr´ıklad˚uapˇr´ıpadnˇe teoretick´e
ot´azky. Obt´ıˇznost pˇr´ıklad˚ujestejn´ajakoupˇr´ıklad˚unakoncikaˇzd´e kapitoly,
resp. u pˇr´ıklad˚uvtextu.Uzkouˇsky m˚uˇzete pouˇz´ıvat kalkulaˇcku a seznam
vzorc˚u, kter´esivlastnoruˇcnˇenap´ıˇsete.
´
Ustn´ızkouˇska je zamˇeˇrena pˇrev´aˇznˇe na teorii. Upozorˇnuji, ˇze d˚ukazy vˇet se
nezkouˇsej´ı. Definice a vˇety se neuˇcte doslova. Uv´adˇejte je vlastn´ımi slovy.

Obsah
Obsah
Struˇcn´y obsah
Kapitola 1
Pˇripomenut´ız´akladn´ıch znalost´ı z matematiky
Kapitola se zamˇeˇruje na opakov´an´ınˇekter´ych parti´ıstˇredoˇskolsk´el´atky z matematiky a to z ob-
lasti mnoˇzin, v´yrokov´eho poˇctu, zav´adˇen´ı matematick´ych pojm˚u a struktuˇre matematick´ych vˇet a
zaveden´ıre´aln´ych a komplexn´ıch ˇc´ısel.
Kapitola 2
Funkce a jejich vlastnosti
Opakuje se pojem zobrazen´ı, pojem funkce. Zav´ad´ı se i pojem funkce inverzn´ı a funkce sloˇzen´e. Je
zaveden pojem spojitosti funkce. Zav´adˇej´ıseelement´arn´ı funkce.
Kapitola 3
Z´akladn´ı pojmy line´arn´ıalgebry
V kapitole se zav´adˇej´ı pojmy line´arn´ı algebry jako je matice, operace s maticemi, z´apis syst´emu
line´arn´ıch rovnic v maticov´e notaci a pojem matice inverzn´ı.
Kapitola 4
Line´arn´ıprostor
Vt´eto kapitole se zav´ad´ıpojemvektorov´eho prostoru, line´arn´ınez´avislosti a line´arn´ız´avislosti
vektor˚u, pojem hodnosti skupiny vektor˚u, b´aze vektorov´eho prostoru, skal´arn´ıho souˇcinu a normy
ve vektorov´em prostoru.
Kapitola 5
Determinanty
Vt´eto kapitole se zav´ad´ı pojem determinantu ˇctvercov´ematiceazp˚usoby jeho vyˇc´ıslen´ı. Odvozuje
se Cramerovo pravidlo na ˇreˇsen´ısyst´emu line´arn´ıch rovnic pomoc´ı determinant˚uapˇr´ım´yv´ypoˇcet
inverzn´ı matice.
Kapitola 6
Metody ˇreˇsen´ı syst´emu line´arn´ıch algebraick´ych rovnic
Tato kapitola je vˇenov´ana problematice existence a metod ˇreˇsen´ısyst´emu line´arn´ıch rovnic. Vy-
svˇetluje se i podstata ˇreˇsen´ısyst´emu line´arn´ıch algebraick´ych rovnic metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u.
´
Upln´y obsah
1. Pˇripomenut´ız´akladn´ıch znalost´ızmatematiky....................................13
1.1. Mnoˇzina, konstanta, promˇenn´a14
1.2. V´yrokov´ypoˇcet 16
1.3. Zav´adˇen´ıpojm˚u v matematice, matematick´evˇety 21
1.4. Mnoˇzinov´e operace 30
1.5.
ˇ
C´ısla 33
Re´aln´a ˇc´ısla 34
Z´apis re´aln´ych ˇc´ısel v nˇekter´ych ˇc´ıseln´ych soustav´ach 42
Mnoˇziny re´aln´ych ˇc´ısel 46
Komplexn´ı ˇc´ısla 51
2. Funkceajejichvlastnosti..........................................................59
2.1. Zaveden´ı pojmu zobrazen´ı a pojmu funkce 60
2.2. Re´aln´a funkce re´aln´epromˇenn´e6
2.3. Spojitost funkce 75
2.4. Polynom a racion´aln´ılomen´a funkce 83
2.5. Funkce sloˇzen´a a funkce inverzn´ı. Element´arn´ı funkce 98
3. Z´akladn´ı pojmy line´arn´ıalgebry..................................................125
3.1.
´
Uvod do maticov´eho poˇctu 126
Relace mezi maticemi 129
Z´akladn´ı operace s maticemi 130
Speci´aln´ı matice a pravidla pro poˇc´ıt´an´ı s maticemi 139
3.2. Syst´emy line´arn´ıch algebraick´ych rovnic, ´uvod 141
3.3. Zaveden´ı pojmu inverzn´ı matice 145
3.4. Z´akladn´ıpoznatkyzkapitoly3a´ulohy k procviˇcen´ı 149
4. Line´arn´ıprostor...................................................................153
4.1. Line´arn´ı prostor, zaveden´ı pojmu 154
Pˇr´ıklady line´arn´ıch prostor˚u 155
4.2. Line´arn´ı kombinace vektor˚u 163
4.3. Element´arn´ı transformace 166
4.4. Symbolika pouˇzit´apropopisnˇekter´ych v´ypoˇctov´ych postup˚u 177
4.5. Urˇcen´ı hodnosti matice 178
4.6. B´aze vektorov´eho prostoru 184
4.7. Skal´arn´ısouˇcin, norma a vzd´alenost ve vektorov´em prostoru 189
4.8.
´
Uvod do analytick´egeometrievn-rozmˇern´em prostoru E
n
200
4.9. Z´akladn´ıpoznatkyzkapitoly4a´ulohy k procviˇcen´ı 204
Obsah
5. Determinanty......................................................................209
5.1. Zaveden´ı pojmu determinantu matice 210
5.2. Vlastnosti determinant˚u 225
5.3. Pouˇzit´ı determinant˚u 243
Cramerovo pravidlo 243
5.4. Pˇr´ım´yv´ypoˇcet inverzn´ı matice pomoc´ı determinant˚u 246
5.5. Z´akladn´ı poznatky z kapitoly 4 a ´ulohy k procviˇcen´ı 248
6. Metody ˇreˇsen´ı syst´emu line´arn´ıch algebraick´ychrovnic.........................251
6.1. Ekvivalentn´ı syst´emy rovnic 252
Pˇrevod syst´emu line´arn´ıch rovnic na syst´em line´arn´ıch rovnic s horn´ı schodovitou matic´ı soustavy 253
6.2. Metody ˇreˇsen´ı syst´emu line´arn´ıch rovnic uˇzit´ım rozkladu matice soustavy, qr–rozklad 273
6.3.
ˇ
Reˇsen´ı syst´emu line´arn´ıch rovnic metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u 277
ˇ
Reˇsen´ı syst´emu Ap = y metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u–uˇzit´ım syst´emu norm´aln´ıch rovnic 280
qr–metoda na ˇreˇsen´ı syst´emu line´arn´ıch rovnic metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u 283
6.4. Vlastn´ı ˇc´ısla matice 286
6.5. Normy matic 289
6.6. Iteraˇcn´ımetodyˇreˇsen´ı syst´emu line´arn´ıch rovnic 292
6.7. Z´akladn´ı poznatky z kapitoly 6 a ´ulohy k procviˇcen´ı 294
´
Uvod
´
Uvod
Line´arn´ı algebra je jednou z nejd˚uleˇzitˇejˇs´ıch matematick´ych discipl´ın. Je tak´ed˚uleˇzit´ym n´astrojem
pˇri ˇreˇsen´ıekonomick´ych probl´em˚u. Jej´ıvelk´y rozmach je ovlivnˇen bouˇrliv´ym v´yvojem v´ypoˇcetn´ı
techniky. V dneˇsn´ıdobˇe jsou k dispozici velmi dobr´e softwarov´e produkty, jimiˇzlzeˇreˇsit nejen
´ulohy line´arn´ı algebry, ale i mnoho aplikaˇcn´ıch ´uloh, vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch line´arn´ıalgebru.Kvyuˇz´ıv´an´ı
tˇechto produkt˚u je zapotˇreb´ıb´yt dobˇre sezn´amen se z´aklady line´arn´ıalgebry.Skuteˇcn´eprobl´emy
praxe je moˇzno ˇreˇsit jen s pouˇzit´ım v´ypoˇcetn´ıtechniky.
Tento studijn´ıtextjerozdˇelen do ˇsesti kapitol. Prvn´ıdvˇe kapitoly jsou vˇenov´any opakov´an´ı
stˇredoˇskolsk´e matematiky. Dalˇs´ıˇctyˇri kapitoly pojedn´avaj´ı o line´arn´ıalgebˇre.
Ukazuje se, ˇze stˇredoˇskolsk´a matematika je u ˇrady student˚uvelk´ym probl´emem – zˇrejmˇevzhledem
kvˇetˇs´ımu odstupu od maturity. Vˇenujte t´eto problematice dostateˇcnou pozornost. Pojm˚um zde
zaveden´ym mus´ıte rozumˇet, neuˇcte se definice a vˇety zpamˇeti bez porozumˇen´ı. Je d˚uleˇzit´e, abyste
dovedli rozezn´avat mezi definic´ı, kterou se pojem zav´ad´ı, a vˇetou, kter´a vypov´ıd´aovz´ajemn´ych
vztaz´ıch mezi jiˇz zaveden´ymi pojmy. Nauˇcte se v matematick´ych vˇet´ach dobˇre rozpozn´avat mezi
pˇredpoklady vˇety a tvrzen´ım vˇety. Doporuˇcuji, abyste si prvn´ıdvˇe kapitoly dobˇre prostudovali
bˇehem cel´eho semestru. Tuto l´atku budete nutnˇepotˇrebovat pˇredevˇs´ım v Matematice B ve druh´em
semestru.
Ve tˇret´ıaˇzvˇsest´e kapitole se prob´ıraj´ız´aklady line´arn´ıalgebry.Vˇety zde uv´adˇen´ejsouvˇetˇsinou
dokazovan´e. D˚ukaz slouˇz´ı k jejich lepˇs´ımu porozumˇen´ı. L´atce zde uveden´emus´ıte dobˇre porozumˇet.
Dobr´e porozumˇen´ıjed˚uleˇzitˇejˇs´ıneˇzv´ypoˇct´aˇrsk´azruˇcnost,obzvl´aˇstˇe proto, ˇze praktick´ev´ypoˇcty
je nutno v aplikac´ıch ˇreˇsit pomoc´ıv´ypoˇcetn´ı techniky. Upozorˇnuji vˇsak, ˇze znalost d˚ukaz˚usepˇri
zkouˇsce nevyˇzaduje. Na konci ˇsest´e kapitoly se pojedn´av´aoˇreˇsen´ısyst´em˚u line´arn´ıch algebraick´ych
rovnic uˇzit´ım qr–rozkladu matice soustavy a o iteraˇcn´ımetodˇeˇreˇsen´ısyst´emu line´arn´ıch rovnic.
Tyto metody se nezkouˇsej´ı.
Tento uˇcebn´ı text vych´az´ıvedruh´em vyd´an´ı jako Matematika A. Od prvn´ıho vyd´an´ısejen
nepatrnˇeodliˇsuje. Nˇekter´epas´aˇze z pilotn´ı verze byly pˇrepracovan´e. Douf´am, ˇze to pˇrispˇelo ke
zv´yˇsen´ı srozumitelnosti v´ykladu. Pˇresto se m˚uˇze st´at, ˇze pˇri studiu naraz´ıte na pˇreklep. Pˇredem
se za kaˇzd´ypˇr´ıpadn´ypˇreklep omlouv´am. Pros´ım, abyste mne informovali o Vaˇsich pot´ıˇz´ıch pˇri
studiu tohoto textu. (Tel. 601 305677).
R´ad bych podˇekoval panu Mgr. Davidu Holcovi, kter´y text nejen peˇclivˇe vys´azel, ale i vytvoˇril
vˇsechny obr´azky uveden´evtextu.Jimipˇrispˇel nemalou m´ırou k jeho ˇcitelnosti. Z´aroveˇnmudˇekuji
za tv˚urˇc´ıpˇr´ıstup pˇri psan´ıtextu.
Autor
Mnoˇzina, konstanta, promˇenn´a
V´yrokov´ypoˇcet
Zav´adˇen´ı pojm˚u v matematice, matematick´e
vˇety
Mnoˇzinov´e operace
ˇ
C´ısla
Pˇripomenut´ız´akladn´ıch
znalost´ı z matematiky
1
1. Pˇripomenut´ız´akladn´ıch znalost´ı z matematiky
C´ıl kapitoly
Zopakovat si pojem mnoˇziny, konstanty a promˇenn´e.
Zopakovat si z´aklady v´yrokov´eho poˇctu s c´ılem sezn´amit se s pojmy
axiom, definice a vˇeta.
Zopakovat si mnoˇzinov´eoperace∪, ∩, −, komplement. Zopakovat si
pojem kart´ezsk´eho souˇcinu mnoˇzin.
Zopakovat si rozdˇelen´ıˇc´ısel a pravidel pro poˇc´ıt´an´ısnimi.
Zopakovat si pojem absolutn´ı hodnoty re´aln´eho i komplexn´ıho ˇc´ısla.
Zopakovat si pravidla pro pr´aci s nerovnicemi re´aln´ych ˇc´ısel.
Sezn´amit se s problematikou aproximace ˇc´ısel, s relativn´ıasabso-
lutn´ıchybou.Uvˇedomit si vliv zaokrouhlov´an´ıˇc´ısel pˇri v´ypoˇctech na
poˇc´ıtaˇci.
Zopakovat pojem maxima a minima ˇc´ıseln´emnoˇziny a zaveden´ıpojmu
suprema a infima ˇc´ıseln´emnoˇziny.
ˇ
Casov´az´atˇeˇz
Silnˇez´avis´ı na znalostech s nimiˇzpˇrich´az´ıte na ˇskolu. Pˇri pr˚umˇern´ych zna-
lostech do 10 hodin.
´
Uvod. Tato kapitola je vˇenov´ana opakov´an´ınˇekter´ych t´emat stˇredoˇskolsk´eho
studia. Kapitola je rozdˇelena do 6 podkapitol. V´yrokov´ypoˇcet se opakuje
sc´ılem abyste dovedli rozeznat definici od matematick´evˇety. V kaˇzd´ema-
tematick´evˇetˇemus´ıte umˇet rozliˇsit mezi pˇredpoklady vˇety a tvrzen´ım.
ˇ
Cas
potˇrebn´ykprostudov´an´ıt´eto kapitoly z´avis´ı na znalostech, s kter´ymi pˇrich´a-
z´ıte na vysokou ˇskolu. Kdo m´avˇetˇs´ı mezery, at
’
si pˇr´ısluˇsn´at´emata zopakuje
ze sv´ych stˇredoˇskolsk´ych uˇcebnic.
1.1 Mnoˇzina, konstanta, promˇenn´a
V matematice se pracuje s r˚uzn´ymi objekty. Tˇemto objekt˚um se vedle n´azvu
pˇriˇrazuje tak´esymbol.
Zaveden´ı
pojmu
mnoˇzina
Mnoˇzina. Jedn´ım ze z´akladn´ıch objekt˚u, s nimiˇz se v matematice pracuje,
je mnoˇzina.
Mnoˇzinou rozum´ıme soubor nˇejak´ych pˇresnˇe vymezen´ych objekt˚u, kter´ym
ˇr´ık´ame prvky,neboelementy mnoˇziny. Pˇri tom o kaˇzd´em objektu se mus´ı
d´at rozhodnout, zda patˇr´ı nebo nepatˇr´ı do tohoto souboru. Mezi mnoˇziny
poˇc´ıt´ame i soubor, kter´y neobsahuje ˇz´adn´yprvek–t´eto mnoˇzinˇe budeme
ˇr´ıkat pr´azdn´amnoˇzina a budeme ji znaˇcit ∅.Jakopˇr´ıklad mnoˇziny je moˇzno
uv´est mnoˇzinu pˇrirozen´ych ˇc´ısel. Do t´eto mnoˇziny patˇr´ınapˇr. ˇc´ıslo 2. Nepatˇr´ı
do n´ınapˇr. komplexn´ıˇc´ıslo i.
Vˇsimnˇeme si, ˇze zde pojem mnoˇzina nebyl plnˇe vymezen. K jeho vysvˇetlen´ı
jsme pouˇzili pˇr´ıbuzn´y pojem soubor. O zav´adˇen´ıpojm˚u v matematice po-
jedn´ame podrobnˇeji pozdˇeji.
14
Oznaˇc´ıme-li uvaˇzovanou mnoˇzinu napˇr. A, potom okolnost, ˇze objekt x patˇr´ı
do mnoˇziny A, budeme znaˇcit x ∈ A aokolnost,ˇze objekt y nepatˇr´ıdo
mnoˇziny A, budeme znaˇcit y negationslash∈ A.
Mnoˇziny m˚uˇzeme zad´avat r˚uzn´ym zp˚usobem. Je-li koneˇcn´a, to jest m´a-li
koneˇcn´ypoˇcet prvk˚u, lze ji zadat v´yˇctem. Tak napˇr´ıklad, jestliˇze mnoˇzina A
obsahuje prvky a,b,c aˇz´adn´ejin´e, b´yv´a zvykem ji zapisovat takto
A = {a, b, c}.
ˇ
Z´adn´e dva prvky mnoˇziny se sobˇenerovnaj´ı.
Pˇr´ıklad 1.1. Necht
’
M je mnoˇzina p´ısmen obsaˇzen´ych ve slovˇe PRAHA.
Zˇrejmˇe
M = {P, R, A, H}.
Potom napˇr. R ∈ M, unegationslash∈ M.
Zaveden´ı
pojmu
pod