Distanční studijní opora

l´adejme , ˇze V (n)plat´ıpronˇejak´e n = k,tojest,ˇze pro nˇejak´e k
plat´ı
1
1 ·2
+
1
2· 3
+ ...
1
k ·(k +1)
=1−
1
k +1
. (1.14)
3. Dokaˇzme, ˇze z pravdivosti (1.14) vypl´yv´apravdivostV (k +1).Tojest,ˇze
plat´ı
1
1 · 2
+
1
2 ·3
+ ...+
1
k ·(k +1)
+
1
(k +1)·(k +2)
=1−
1
k +2
. (1.15)
Dokaˇzme to. Levou stranu (1.15) lze uˇzit´ım (1.14) pˇrepsat takto
1 −
1
k +1
+
1
(k +1)·(k +2)
,
coˇzpo´upravˇed´av´a pravou stranu (1.15), to jest
1 −
1
k +2
.
Plat´ıtedyV (k +1).
Odtud vypl´yv´a platnost (1.11) pro vˇsechna n.
Zab´yvejme se nyn´ıvˇetami A (1.10) v nichˇzv´yrokov´aformaV (x)m´a speci´aln´ı
tvar
A(x) ⇒ B(x), (1.16)
kde A(x), B(x)jsouv´yrokov´e formy promˇenn´e x soboremD. Budeme tedy
uvaˇzovat o vˇet´ach, jejichˇz obecn´ytvaroznaˇc´ıme jako Vˇeta B.
Vˇeta B
Necht
’
A(x), B(x) jsou v´yrokov´e formy promˇenn´e x soborem
D. Potom plat´ı
∀x ∈ D : A(x) ⇒ B(x). (1.17)
24
Vt´eto vˇetˇeseA(x)naz´yv´a pˇredpokladem vˇety a B(x)senaz´yv´a tvr-
zen´ım vˇety.
Vˇeta vypov´ıd´aotom,ˇze plat´ı-li A(x)provˇsechna x ∈ D, potom plat´ıiB(x)
pro vˇsechna x ∈ D.
A(x) ⇒ B(x)ˇcteme napˇr. jedn´ım z tˇechto zp˚usob˚u:
”
Jestliˇze A(x), potom B(x).“
”
Kdyˇz A(x), potom B(x).“
”
Z A(x) vypl´yv´a
B(x).“
”
A(x) implikuje B(x).“
”
Necht
’
plat´ı A(x), potom plat´ı B(x)“.
Z (1.2) vypl´yv´a, ˇze ekvivalentem (1.17) je vˇeta, kterou oznaˇc´ıme jako
Vˇeta C anazvemeobmˇenou vˇety B.
Vˇeta C (Obmˇena Vˇety B)
Necht
’
A(x), B(x) jsou v´yrokov´e formy promˇenn´e x soborem
D. Potom plat´ı
∀x ∈ D : ¬B(x) ⇒¬A(x). (1.18)
Struktura Vˇety C je stejn´a jako struktura Vˇety B,avˇsak tyto vˇety maj´ı
odliˇsn´ev´yrokov´eformy.
Kd˚ukazu Vˇety B (1.17) a jej´ıobmˇeny Vˇety C (1.18) popiˇsme dvˇemetody–
metodu pˇr´ımou ametodunepˇr´ımou.
Pˇr´ım´a
metoda
d˚ukazu
a) Pˇr´ım´ametodad˚ukazu Vˇety B (1.17). Vych´az´ısezpˇredpokladu prav-
divosti v´yroku A(x)prokaˇzd´e x ∈ D apouˇzit´ım jiˇzdˇr´ıve dok´azan´ych vˇet,
axiom˚uazaveden´ych pojm˚u se logick´ymi ´uvahami dospˇeje k z´avˇeru, ˇze B(x)
je pro tato x rovnˇeˇzpravdiv´e.
b) Pˇr´ım´ametodad˚ukazu Vˇety C (1.18). Tuto vˇetu tedy dokazujeme tak,
ˇze pˇredpokl´ad´ame pravdivost v´yroku ¬B(x)pro∀x ∈ D apouˇzit´ım jiˇzdˇr´ıve
dok´azan´ych vˇet, axiom˚uazaveden´ych pojm˚udospˇejeme logick´ymi ´uvahami
kz´avˇeru, ˇze i ¬A(x)plat´ıpro∀x ∈ D.
Nepˇr´ım´a
metoda
d˚ukazu
α) Nepˇr´ım´ametodad˚ukazu (d˚ukaz sporem) Vˇety B (1.17) vych´az´ı
zpˇredpokladu, ˇze vˇeta neplat´ıauˇzit´ım dˇr´ıve dok´azan´ych vˇet, axiom˚ua
spouˇzit´ım jiˇz zaveden´ych pojm˚udospˇejeme k rozporu. Tento rozpor vˇsak
vznikl z nespr´avn´eho pˇredpokladu, ˇze vˇeta neplat´ı. Vˇeta tedy plat´ı.
Vyj´adˇreme pˇredpoklad, ˇze vˇeta tvaru B neplat´ı. Negac´ı (1.17) dost´av´ame
∃x ∈ D : ¬(A(x) ⇒ B(x)). (1.19)
Odtud dost´av´ame (viz (1.1))
∃x ∈ D : A(x) ∧¬B(x). (1.20)
25
1. Pˇripomenut´ız´akladn´ıch znalost´ı z matematiky
Vˇetu B tedy dokazujeme tak, ˇze pˇredpokl´ad´ame, ˇze existuje x ∈ D pro nˇeˇz
souˇcasnˇeplat´ı A(x)a¬B(x). Jestliˇze uˇzit´ım tohoto pˇredpokladu, axiom˚u
ajiˇzdok´azan´ych vˇet dojdeme logick´ymi ´uvahami ke sporu, znamen´ato,ˇze
pˇredpoklad o nespr´avnosti Vˇety A byl chybn´y, takˇze tato vˇeta je spr´avn´a.
β) Nepˇr´ım´ametodad˚ukazu (d˚ukaz sporem) Vˇety C (1.18) vych´az´ı
zpˇredpokladu, ˇze vˇeta neplat´ıauˇzit´ım dˇr´ıve dok´azan´ych vˇet, axiom˚ua
spouˇzit´ım jiˇz zaveden´ych pojm˚udospˇejeme k rozporu. Tento rozpor vˇsak
vznikl z nespr´avn´eho pˇredpokladu, ˇze vˇeta neplat´ı. Vˇeta tedy plat´ı.
Vyj´adˇreme pˇredpoklad, ˇze Vˇeta C neplat´ı. Negac´ı (1.18) dost´av´ame
∃x ∈ D : ¬(¬B(x) ⇒¬A(x)). (1.21)
Odtud dost´av´ame
∃x ∈ D : ¬B(x) ∧ A(x). (1.22)
Nepˇr´ım´yd˚ukaz Vˇety C provedeme tedy tak, ˇze pˇredpokl´ad´ame, ˇze existuje
takov´e x ∈ D,pronˇeˇzsouˇcasnˇeplat´ı ¬B(x)a A(x). Jestliˇze uˇzit´ım tohoto
pˇredpokladu, axiom˚uajiˇzdok´azan´ych vˇet dojdeme logick´ymi ´uvahami ke
sporu, znamen´ato,ˇze pˇredpoklad o nespr´avnosti Vˇety B byl chybn´y, takˇze
Vˇeta B je spr´avn´a.
Pˇr´ıklad 1.15. Uved
’
me si d˚ukazy n´asleduj´ıc´ıvˇety.
Vˇeta 1.1.
Jestliˇze kvadr´at pˇrirozen´eho ˇc´ısla n je sud´eˇc´ıslo, je i ˇc´ıslo n
sud´e.
Jde o vˇetu, kterou jsme oznaˇcili jako Vˇeta B,vn´ıˇz D,A(x),B(x)maj´ı
n´asleduj´ıc´ıv´yznam :
D ... N
A(n) ...
”
n
2
je sud´eˇc´ıslo.“
B(n) ...
”
n je sud´eˇc´ıslo.“
Tuto vˇetu lze tedy pˇri zaveden´em oznaˇcen´ı zapsat jako
Vˇeta. (Pˇrepis (1.1) do tvaru vˇety B)
∀n ∈ N : A(n) ⇒ B(n). (1.23)
Slovy vyj´adˇreno:
”
Pro kaˇzd´epˇrirozen´eˇc´ıslo n plat´ı: Jestliˇze
n
2
je sud´eˇc´ıslo, potom i n je sud´eˇc´ıslo.“
26
Obmˇenou t´eto vˇety pˇri nahoˇre uveden´em v´yznamu D,A(x),B(x)jevˇeta
Obmˇena vˇety (1.1)
∀n ∈ N : ¬B(n) ⇒¬A(n). (1.24)
Slovy vyj´adˇreno :
”
Pro kaˇzd´epˇrirozen´ıˇc´ıslo n plat´ı: Jestliˇze
n nen´ısud´eˇc´ıslo, potom ani n
2
nen´ısud´eˇc´ıslo.“
Abychom uk´azali, ˇze se jedn´askuteˇcnˇeovˇetu, je nutno dok´azat, ˇze (1.23),
resp. (1.24) je pravdiv´yv´yrok. Dokaˇzme to. D˚ukaz provedeme metodou pˇr´ı-
mou i metodou nepˇr´ımou.
D˚ukaz – metoda pˇr´ım´a.
Pouˇzijeme d˚ukaz pˇr´ım´ynaobmˇenu vˇety (1.24), to jest na vˇetu:
”
Jestliˇze n
nen´ısud´eˇc´ıslo, potom ani n
2
nen´ısud´eˇc´ıslo.“
Pˇredpokl´adejme tedy, ˇze n nen´ısud´eˇc´ıslo, jin´ymi slovy ˇreˇceno, ˇze n je lich´e.
Dokaˇzme, ˇze je-li n lich´e, je i n
2
lich´e. Lich´eˇc´ıslo n se d´anapsatvetvaru
n =2k − 1, kde k ∈ N.
Potom n
2
=(2k − 1)
2
.
´
Upravou dost´av´ame n
2
=4k
2
− 4k +1,coˇzjeˇc´ıslo
lich´e, tedy nen´ısud´e. Tedy vˇeta plat´ı.
Proved
’
me nyn´ıd˚ukaz uveden´evˇety nepˇr´ımou metodou (metodou sporu).
D˚ukaz – metoda nepˇr´ım´a. Negac´ı dokazovan´evˇety (1.23) dost´av´ame
∃n ∈ N : A(n) ∧¬B(n). (1.25)
Tuto negaci lze slovnˇe vyj´adˇrit takto. Existuje takov´epˇrirozen´eˇc´ıslo n,ˇze
n
2
je sud´eaz´aroveˇn n je lich´e.
Vˇeta bude dok´az´ana, dok´aˇzeme-li, ˇze v´yrok (1.25) je nepravdiv´y. Skuteˇcnˇe,
pˇredpokl´adejme, ˇze takov´eˇc´ıslo n existuje. Toto lich´eˇc´ıslo n m˚uˇzeme vyj´adˇrit
ve tvaru n =2k−1, kde k je pˇrirozen´eˇc´ıslo. Jeho kvadr´at je n
2
=4k
2
−4k+1,
takˇze n
2
je lich´eˇc´ıslo. To je spor s pˇredpokladem, ˇze n je lich´ean
2
je sud´e.
Dospˇeli jsme tedy ke sporu. Ten vznikl nespr´avn´ym pˇredpokladem (1.25), ˇze
dokazovan´avˇeta neplat´ı. Tedy vˇeta plat´ı.
Zab´yvejme se nyn´ıVˇetami A (1.10), v nichˇzv´yrokov´aformaV (x)m´a speci-
´aln´ıtvar
A(x) ⇔ B(x), (1.26)
kde A(x), B(x)jsouv´yrokov´e formy promˇenn´e x soboremD. Budeme tedy
uvaˇzovat o vˇet´ach, kter´eoznaˇc´ıme jako vˇety tvaru D. Jde tedy o vˇetu
27
1. Pˇripomenut´ız´akladn´ıch znalost´ı z matematiky
Vˇeta D
Necht
’
A(x), B(x) jsou v´yrokov´e formy promˇenn´e x soborem
D. Potom plat´ı
∀x ∈ D : A(x) ⇔ B(x). (1.27)
A(x) ⇔ B(x)m˚uˇzeme ˇc´ıst napˇr. jedn´ım z tˇechto zp˚usob˚u:
Pro vˇsechna x ∈ D : A(x)plat´ı, kdyˇz a jenom kdyˇzplat´ı B(x).
Pro vˇsechna x ∈ D : A(x)plat´ı tehdy a jenom tehdy, kdyˇzplat´ı B(x).
Pro vˇsechna x ∈ D : A(x)plat´ıpr´avˇe tehdy, kdyˇzplat´ı B(x).
Vˇeta tohoto typu je vlastnˇesloˇzen´ıdvouvˇet a to:
a) vˇety ∀x ∈ D : A(x) ⇒ B(x).
Vt´eto vˇetˇejeA(x)pˇredpokladem a B(x)jetvrzen´ım.
b) a vˇety ∀x ∈ D : B(x) ⇒ A(x).
Vt´eto vˇetˇejeB(x)pˇredpokladem a A(x) je tvrzen´ım. O vˇet´ach tohoto tvaru
jsme jiˇz pojednali.
Jako pˇr´ıklad uved
’
me n´asleduj´ıc´ızn´amou vˇetu.
Vˇeta. Kvadratick´arovnicem´advojn´asobn´ykoˇren pr´avˇe tehdy, jestliˇze jej´ı
diskriminant je roven 0.
Tuto vˇetu zapiˇsmevev´yˇse zaveden´e symbolice.
Budeme uvaˇzovat kvadratickou rovnici ve tvaru ax
2
+ bx + c =0,kdea, b, c
jsou ˇc´ısla, a negationslash=0.Pˇripomeˇnme, ˇze diskriminantem t´eto rovnice je ˇc´ıslo Δ =
b
2
− 4ac.
Oznaˇcme
D ... mnoˇzina uspoˇr´adan´ach trojic ˇc´ısel (a, b, c),anegationslash=0
A(a,b,c) ... v´yrokov´aforma
”
rovnice ax
2
+ bx + c =0m´advojn´asobn´y
koˇren“
B(a, b, c) ... v´yrokov´aforma
”
b
2
− 4ac =0“
Potom uvedenou vˇetu lze zapsat takto
Veta.
∀(a, b, c) ∈ D : A(a,b,c) ⇔ B(a,b,c).
Jako dalˇs´ıtypvˇet si uved
’
me vˇety, kter´eoznaˇc´ıme jako Vˇety E n´asleduj´ıc´ıho
tvaru
Vˇeta E
∃x ∈ D : A(x), (1.28)
kde A(x) je v´yrokov´a forma s promˇennou x soboremD.
28
Tuto vˇetu m˚uˇzeme ˇc´ıst takto:
”
existuje x ∈ D,pronˇeˇzplat´ı A(x).“
Pˇr´ıklad 1.16.
Vˇeta. Existuje prvoˇc´ıslo vˇetˇs´ıneˇz 15.
Napiˇsme tuto vˇetu ve tvaru (1.28). Plat´ı
Vˇeta. Necht
’
D je mnoˇzinu vˇsech pˇrirozen´ych ˇc´ısel > 15 a V (n)jev´yrokovou
formu
”
n je prvoˇc´ıslo“. Potom plat´ı
∃n ∈ D : V (n).
Tato vˇeta je pravdiv´a. Hledan´ym ˇc´ıslem je napˇr. n = 17.
Jin´ym pˇr´ıkladem je vˇeta
Pˇr´ıklad 1.17.
Vˇeta. Necht
’
n ∈ N,a
n
,a
n−1
,...,a
0
jsou komplexn´ıˇc´ısla, a
n
negationslash= 0. Potom
rovnice
a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ...,a
1
x + a
0
=0
m´a v oboru komplexn´ıch ˇc´ısel C alespoˇn jeden koˇren.
Pˇrepiˇsme tuto rovnici do tvaru (1.28). Dost´av´ame
Vˇeta. Necht
’
n ∈ N,a
n
,a
n−1
,...,a
0
jsou komplexn´ıˇc´ısla, a
n
negationslash= 0. Potom
∃x ∈ C : a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ...,a
1
x + a
0
=0.
Vˇety tvaru E se naz´yvaj´ı v literatuˇre jako vˇety existenˇcn´ı.
Jejich d˚ukaz b´yv´avˇetˇsinou obt´ıˇzn´y. Vˇeta (1.28) nevypov´ıd´a
nic o tom, jak se nalezne toto x .Pouzeˇr´ık´a, ˇze existuje
takov´e x,pronˇeˇzjeA(x) pravdiv´ym v´yrokem.
Kontroln´ıot´azky
1. Vysvˇetlete pojmy : axiom, definice, matematick´avˇeta.
2. Uved
’
te typy vˇet, kter´ezn´ate, a vysvˇetlete je na pˇr´ıkladˇe.
3. Definujte sud´e a lich´epˇrirozen´eˇc´ıslo.
[Pˇrirozen´eˇc´ıslo n nazveme sud´ym (lich´ym), jestliˇze existuje takov´epˇrirozen´e
ˇc´ıslo k,ˇze n =2k (n =2k − 1)].
4. Vyslovte formou vˇety vztah mezi dvˇema v´ypovˇed
’
mi:
a)
”
Troj´uheln´ık triangle(ABC)jepravo´uhl´y.“
29
1. Pˇripomenut´ız´akladn´ıch znalost´ı z matematiky
b)
”
Je-li v troj´uheln´ıku triangle(ABC)d´elka strany AB nejvˇetˇs´ı, potom
|AB|
2
= |AC|
2
+ |BC|
2
.“
1.4 Mnoˇzinov´e operace
Vˇc´asti 1.1 jsme si zavedli pojem mnoˇzina. Uk´azali jsme si z´apis mnoˇziny
skoneˇcn´ym poˇctem prvk˚u – definovali jsme mnoˇzinu v´yˇctem. Nyn´ısiukaˇzme
definov´an´ıpodmnoˇziny K mnoˇziny M pomoc´ıv´yrokov´eformy.
Zp˚usob
zaveden´ı
mnoˇziny
Necht
’
V (x)jev´yrokov´a forma promˇenn´e x soboremM. Potom z´apisem
K = {x ∈ M : V (x)} (1.29)
definujeme mnoˇzinu K jako mnoˇzinu vˇsech tˇech prvk˚u x ∈ M,pronˇeˇzje
v´yrok V (x)pravdiv´y.
Pˇr´ıklad 1.18. Necht
’
M je je mnoˇzina pˇrirozen´ych ˇc´ısel vˇetˇs´ıch neˇz2a
menˇs´ıch neˇz 40. Oznaˇcme V (x)v´yrokovou formu:
”
x je dˇeliteln´e 5“, kde x je
promˇenn´a s oborem hodnot M. Potom
K = {x ∈ M : V (x)}
je mnoˇzina vˇsech pˇrirozen´ych ˇc´ısel z intervalu 〈3,39〉, kter´ajsoudˇeliteln´a5,
to jest K = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}.
Pracuje-li se jen s prvky mnoˇziny Ω a s jej´ımi podmnoˇzinami, nazveme
Ωz´akladn´ım prostorem. K usnadnˇen´ıv´ykladu b´yv´azvykempouˇz´ıvat gra-
fick´eho zn´azornˇen´ımnoˇzin. Z´akladn´ı prostor budeme oznaˇcovat obd´eln´ıkem.
Podmnoˇziny mnoˇziny Ω budeme zn´azorˇnovat rovinn´ymiobrazci,napˇr. kruhy,
ov´aly, obd´eln´ıky leˇz´ıc´ımi v obd´eln´ıku Ω, zn´azorˇnuj´ıc´ıho z´akladn´ıprostor.
Rovinn´ym obrazcem m˚uˇzeme zn´azornit i mnoˇzinu, kter´a obsahuje jenom
koneˇcn´ypoˇcet prvk˚u. Kaˇzd´y bod obrazce nemus´ıb´yt prvkem mnoˇziny, kterou
rovinn´y obrazec reprezentuje. Elementy mnoˇziny m˚uˇzeme v pˇr´ıpadˇepotˇreby
zn´azornit nˇejak´ym symbolem, napˇr. symbolem
”
+“. Do obrazce, zn´azorˇnu-
j´ıc´ıho nˇejakou mnoˇzinu m˚uˇzeme zapsat i nˇejak´e´udaje, napˇr. ˇc´ıslo, ud´avaj´ıc´ı
poˇcet prvk˚umnoˇziny. Pro zjednoduˇsen´ım˚uˇzeme vynechat z´akladn´ıprostor,
pokud nen´ı nebezpeˇc´ıomylu.
Pˇr´ıklad 1.19. Uvaˇzujme z´akladn´ı prostor Ω a jeho podmnoˇzinu
M = {a, b, c, d}. Na obr.1.1 je zn´azornˇen z´akladn´ıprostorΩamnoˇzina
M bez ´udaj˚u.
Ω
M
Obr´azek 1.1: Zn´azornˇen´ımnoˇziny M
30
Ω
M
4
Obr´azek 1.2: Zn´azornˇen´ımnoˇziny M spoˇctem jej´ıch prvk˚u
Na obr.1.2 je zn´azornˇen z´akladn´ıprostorΩamnoˇzina M s´udajem, ˇze tato
mnoˇzina obsahuje 4 prvky.
Na obr.1.3 je zn´azornˇen z´akladn´ıprostorΩamnoˇzina M s vyznaˇcen´ım jej´ıch
ˇctyˇrprvk˚u a, b, c, d.
Ω
M
+
a
+
b
+
c
+
d
Obr´azek 1.3: Zn´azornˇen´ımnoˇziny M ajej´ıch prvk˚u
Zaveden´ı
pojmu
komplement
mnoˇziny
Komplement mnoˇziny. Necht
’
Ωjez´akladn´ıprostoraA ⊆ Ω. Potom
mnoˇzinu
A
prime
= {x ∈ Ω:x negationslash∈ A}
naz´yv´ame komplementem mnoˇziny A.Jetomnoˇzina tˇech prvk˚uz´akladn´ıho
prostoru, kter´enepatˇr´ıdomnoˇziny A.Naobr´azku obr.1.4 je vyznaˇcena jak
mnoˇzina A,takimnoˇzina A
prime
.Mnoˇzina A
prime
je ˇsed´a.
A
Ω
A
prime
Obr´azek 1.4: Zn´azornˇen´ı komplementu mnoˇziny A
Pˇr´ıklad 1.20. Necht
’
z´akladn´ım prostorem je mnoˇzina pˇrirozen´ych ˇc´ısel a
necht
’
A je jej´ıpodmnoˇzina – mnoˇzina sud´ych ˇc´ısel. Potom komplementem
mnoˇziny A je mnoˇzina A
prime
lich´ych ˇc´ısel.
Zaveden´ı
pojmu
rod´ıl
mnoˇzin
Rozd´ıl dvou mnoˇzin Necht
’
A, B jsou dan´emnoˇziny. Potom mnoˇzina
C = {x ∈ A : x negationslash∈ B}
se naz´yv´arozd´ılem mnoˇzin A, B ap´ıˇseme A−B.Slovnˇe vyj´adˇreno : Mnoˇzina
A−B je mnoˇzina tˇech prvk˚uzmnoˇziny A,kter´enepatˇr´ıdomnoˇziny B.Na
obr.1.5 je zn´azornˇen rozd´ıl A −B.Tatomnoˇzina je ˇsed´a.
31
1. Pˇripomenut´ız´akladn´ıch znalost´ı z matematiky
B
A
A − B
Obr´azek 1.5: Zn´azornˇen´ımnoˇziny A− B
Zaveden´ı
pojmu
sjednocen´ı
mnoˇzin
Sjednocen´ıdvoumnoˇzin Necht
’
A, B jsou dvˇemnoˇziny. Potom mnoˇzinu
C tˇech prvk˚u, kter´epatˇr´ıdomnoˇziny A nebo do mnoˇziny B,naz´yv´ame
sjednocen´ım mnoˇzin A,B.Jetedy
C = {x : x ∈ A∨ x ∈ B}.
P´ıˇseme pak
C = A∪ B.
Na obr.1.6 je mnoˇzina A ∪ B ˇsed´a.
A
A ∪ BB
Obr´azek 1.6: Zn´azornˇen´ı sjednocen´ı A∪ B
Zaveden´ı
pojmu
pr˚unik
dvou
mnoˇzin
Pr˚unik dvou mnoˇzin Necht
’
A, B jsou dvˇemnoˇziny. Potom mnoˇzinu C
tˇech prvk˚u, kter´epatˇr´ıjakdomnoˇziny A,takidomnoˇziny B,naz´yv´ame
pr˚unikem mnoˇzin A,B.Jetedy
C = {x : x ∈ A∧ x ∈ B}.
P´ıˇseme pak
C = A∩ B.
Na obr.1.7 je mnoˇzina A ∩ B ˇsed´a.
A
A ∩ BB
Obr´azek 1.7: Zn´azornˇen´ıpr˚uniku A ∩ B
Pˇr´ıklad 1.21. Necht
’
A = {a, b, c, d},B= {a, c, e, f, g}. Potom
A∪ B = {a, b, c, d, e, f, g},A∩ B = {a, c}.
32
Zaveden´ı
pojmu
kart´ezsk´y
souˇcin
Kart´ezsk´ysouˇcin dvou mnoˇzin Necht
’
A, B jsou dvˇemnoˇziny. Kart´ez-
sk´ym souˇcinem A × B (v tomto poˇrad´ı) rozum´ıme mnoˇzinu C vytvoˇrenou
vˇsemi uspoˇr´adan´ymi dvojicemi [x,y], kde x ∈ A∧ y ∈ B.Tedy
A× B = {[x,y]:x ∈ A ∧ y ∈ B}. (1.30)
Oznaˇcen´ı. Necht
’
A je mnoˇzina. Potom A
2
= A × A je mnoˇzina vˇsech
uspoˇr´adan´ych dvojic [x,y], kde x,y ∈ A.
Kart´ezsk´ysouˇcin dvou mnoˇzin lze zobecnit na kart´ezsk´ysouˇcin n mnoˇzin
A
1
,A
2
,...,A
n
. Zapisujeme jej jako
A
1
×A
2
× ...× A
n
(1.31)
a definujeme jej jako mnoˇzinu vˇsech uspoˇr´adan´ych skupin n prvk˚u
[a
1
,a
2
,...,a
n
], kde a
i
∈ A
i
,i=1, 2,...,n.
Oznaˇcen´ı. Necht
’
A je mnoˇzina. Potom
A
n
= A× A× ...×A
bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
n
(1.32)
oznaˇc´ıme mnoˇzinu vˇsech uspoˇr´adan´ychskupinon prvc´ıch z mnoˇziny A.
Kontroln´ıot´azky
1. Necht
’
R je mnoˇzina vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel a A je interval 〈1,2〉.
a) Vyj´adˇrete mnoˇzinu A = R −〈1,2〉 jako sjednocen´ıdvouinterval˚ua
graficky ji zn´azornˇete na ˇc´ıseln´eose.
b) Necht
’
R je z´akladn´ıprostor,urˇcete A
prime
.
c) Necht
’
R je z´akladn´ıprostor,urˇcete R
prime
.
2. Necht
’
A = {a, b, c},B = {a, e}.Urˇcete n´asleduj´ıc´ımnoˇziny a graficky
je zn´azornˇete.
a) A ∪ B,b)A ∩ B,c)A− B.
[a) {a, b, c, e},b){a},c){b, c}].
3. Necht
’
R je mnoˇzina vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel a A je interval 〈1,2〉.Vkart´ezsk´e
souˇradnicov´esoustavˇe vyznaˇcte mnoˇzinu
a) A ×A,b)R
2
−A ×A.
1.5
ˇ
C´ısla
Kaˇzd´yˇcten´aˇr tohoto textu pracuje s ˇc´ısly. Pr´ace s ˇc´ısly je mu samozˇrejmost´ı,
avˇsak m´alokdo si uvˇedomuje, jak je pojem ˇc´ısla obt´ıˇzn´y. Pˇresn´e zaveden´ı
pojmu ˇc´ısla se vymyk´anaˇsim moˇznostem. Tuto kapitolu je proto moˇzn´e
ch´apat jen jako pˇripomenut´ı vlastnost´ıˇc´ıselajakopokusovytvoˇren´ın´ahledu
33
1. Pˇripomenut´ız´akladn´ıch znalost´ı z matematiky
na jeden zp˚usob zaveden´ıpojmuˇc´ısla. V t´eto kapitole uvedeme t´eˇznˇekolik
pˇripom´ınek k numerick´ym v´ypoˇct˚um a zopakujeme si nˇekter´e´ukony s re´al-
n´ymi ˇc´ısly. Zopakujeme si t´eˇz zaveden´ıkomplexn´ıch ˇc´ısel. Souˇc´ast´ıv´ykladu
je nˇekolik pˇr´ıklad˚u. Pokud nˇekdo bude m´ıt pot´ıˇze s jejich ˇreˇsen´ım, doporuˇcuji
sb´ırky pˇr´ıklad˚uzestˇredoˇskolsk´e matematiky.
1.5.1 Re´aln´a ˇc´ısla
Re´aln´aˇc´ısla je moˇzno zav´est axiomaticky. O axiomatick´em zaveden´ıpojmu
re´aln´eho ˇc´ısla se sice zm´ın´ıme, ale tento zp˚usob zeveden´ı nebudeme hloubˇeji
rozeb´ırat. V textu jsou axiomy uvedeny, ale budeme se na nˇeodvol´avat jen
jako na z´akladn´ı vlastnosti re´aln´ych ˇc´ısel. P˚ujde zde tedy v podstatˇejeno
nˇekolik pozn´amekkre´aln´ym ˇc´ısl˚um a o zopakov´an´ınˇekolika pravidel pro
poˇc´ıt´an´ısnimi.
Historicky zaˇcali lid´epouˇz´ıvat napˇred pˇrirozen´aˇc´ısla.Vyjadˇruje se jimi poˇcet
prvk˚ukoneˇcn´emnoˇziny i poˇrad´ıodpoˇc´ıt´avan´ych objekt˚u. V matematick´e
literatuˇre nen´ıpojem
”
mnoˇzina pˇrirozen´ych ˇc´ısel“ ch´ap´an jednotnˇe. Nˇekteˇr´ı
autoˇri zaˇrazuj´ıdomnoˇziny pˇrirozen´ych ˇc´ısel i nulu. V dalˇs´ım budeme pod
mnoˇzinou pˇrirozen´ych ˇc´ısel rozumˇet jen mnoˇzinu ˇc´ısel 1,2,3,...; budeme ji
znaˇcit N.
Na mnoˇzinˇe N je zavedena relace
”
≤“(menˇs´ı nebo rovno) a jsou zavedeny
operace seˇc´ıt´an´ı, oznaˇcen´a
”
+“, a n´asoben´ı, oznaˇcen´a
”
·“. Jestliˇze a,b ∈ N a
existuje takov´eˇc´ıslo c ∈ N,pronˇeˇzplat´ı a = b+c,oznaˇc´ıme c = a−b.Jetedy
mezi nˇekter´ymi prvky z N definov´ana operace
”
−“, nazveme ji odeˇc´ıt´an´ım.
Poˇzadavek proveditelnosti t´eto operace pro vˇsechna a,b ∈ N vede k zaveden´ı
0 a cel´ych z´aporn´ych ˇc´ısel −1,−2,−3,....Mnoˇzina N sjednocen´asmnoˇzinou
{0} amnoˇzinou cel´ych z´aporn´ych ˇc´ısel se znaˇc´ı Z anaz´yv´a mnoˇzinou cel´ych
ˇc´ısel.Operace
”
+,−“auspoˇr´ad´an´ı
”
0, naneseme p tˇechto d´ılk˚udoprava,je-lip