Distanční studijní opora

mnoˇzina
Podmnoˇzina. Necht
’
M, N jsou dan´emnoˇziny. Jestliˇze kaˇzd´yprvekmnoˇzi-
ny M je i prvkem mnoˇziny N, potom ˇr´ık´ame, ˇze mnoˇzina M je podmnoˇzinou
mnoˇziny N,neboˇze mnoˇzina N je nadmnoˇzinou mnoˇziny M.P´ıˇseme pak
M ⊆ N,resp.N ⊇ M.Jestliˇze z´aroveˇnplat´ı M ⊆ N a M ⊇ N, potom
ˇr´ık´ame, ˇze mnoˇziny M, N se sobˇerovnaj´ıap´ıˇseme M = N.Jestliˇze M ⊆ N
ajestliˇze mnoˇzina N obsahuje prvky, kter´edomnoˇziny M nepatˇr´ı, ˇr´ık´ame,
ˇze mnoˇzina M je vlastn´ıpodmnoˇzinou mnoˇziny N ap´ıˇseme M ⊂ N,resp.
N je vlastn´ınadmnoˇzinou M ap´ıˇseme N ⊃ M.Je-litedyM ⊂ N,jet´eˇz
M ⊆ N,avˇsak je-li M ⊆ N nemus´ıb´yt M ⊂ N.
Pˇr´ıklad 1.2. Necht
’
M = {1, 4, 3, 9}. Potom {1, 3}⊂M,avˇsak {3, 7}
nen´ıpodmnoˇzinou mnoˇziny M,nebot
’
prvek 7 nen´ıprvkemM.
Vˇsimnˇemˇesidvouv´yznamovˇeiform´alnˇeodliˇsn´ych z´apis˚u. Uved
’
me pˇr´ıklad.
Necht
’
M = {1, 4, 3, 9}. Potom z´apis 8 ∈ M znamen´a, ˇze 8 je prvkem
mnoˇziny M,az´apis {8}⊂M znamen´a, ˇze mnoˇzina, obsahuj´ıc´ıjedin´yprvek
8, je vlastn´ıpodmnoˇzinou mnoˇziny M.
Zaveden´ı
pojmu
konstanta,
promˇenn´a
Konstanta, promˇenn´a.
ˇ
Rekli jsme si, ˇze objekty oznaˇcujeme symboly. To
jednak zjednoduˇsuje vyjadˇrov´an´ı, jednak umoˇzˇnuje struˇcn´yz´apis nˇekter´ych
v´ypovˇed´ıoobjektechmnoˇziny.
Jestliˇze symbol oznaˇcuje jeden konkr´etn´ı prvek mnoˇziny, naz´yv´ame jej kon-
stantou. Pˇr´ıkladem je napˇr. symbol π,kter´ym oznaˇcujeme konkr´etn´ıre´aln´e
ˇc´ıslo – Ludolfovo ˇc´ıslo.
Oznaˇcuje-li symbol kter´ykoliv prvek z dan´emnoˇziny, naz´yv´ame jej promˇen-
nou.Mnoˇzinu konstant, kter´ych m˚uˇze tato promˇenn´anab´yvat, naz´yv´ame
oborem promˇenn´e.Jestliˇze tedy oznaˇc´ıme symbolem x promˇennou s oborem
M, potom vˇse, co se ˇrekne o x,vztahujesenakaˇzd´yprvekmnoˇziny, kter´aje
jej´ım oborem.
Uved
’
me si tento pˇr´ıklad. Oznaˇcme M mnoˇzinu vˇsech kladn´ych re´aln´ych ˇc´ısel
menˇs´ıch neˇz 8. Mohu vyslovit tvrzen´ı:
”
Jestli x ∈ M, potom x
2
< 64“.
15
1. Pˇripomenut´ız´akladn´ıch znalost´ı z matematiky
Kontroln´ıot´azky
1. Co je to mnoˇzina?
2. Napiˇste mnoˇzinu A,jej´ıˇz prvky jsou p´ısmena obsaˇzen´aveslovˇe
”
ma-
tematika“. a) Pro kaˇzd´ezp´ısmen
”
a, b, c, i, j“ zapiˇste, zda patˇr´ınebo
nepatˇr´ıdomnoˇziny A.b)Napiˇste podmnoˇzinu B mnoˇziny A, obsahuj´ıc´ı
vˇsechny samohl´asky mnoˇziny A. c) Co znamenaj´ız´apisy B ⊂ A, B ⊆ A.
[a) A = {m, a, t, e, i, k},a∈ A, b negationslash∈ A, c negationslash∈ A, i ∈ A, j negationslash∈ A;
b) B = {a, e, i};c)B je vlastn´ıpodmnoˇzinou mnoˇziny A; B je podmnoˇzinou
mnoˇziny A.]
3. Vysvˇetlete rozd´ıl mezi konstantou a promˇennou. Uved
’
te pˇr´ıklady.
4. Co je to obor promˇenn´e?
1.2 V´yrokov´ypoˇcet
Zaveden´ı
pojmu
v´yrok
V´yrokem rozum´ıme kaˇzdou v´ypovˇed
’
,on´ıˇzm´asmyslˇr´ıci, ˇze je pravdiv´anebo
nepravdiv´a. Pˇri tom nen´ı rozhoduj´ıc´ı, zda dovedeme o pravdivosti rozhodnout
nebo ne. Uved
’
me si nˇekolik pˇr´ıklad˚u.
”
ˇ
C´ıslo 4 je sud´e.“ [Pravdiv´yv´yrok.]
”
ˇ
C´ıslo π (Ludolfovo ˇc´ıslo) je iracion´aln´ı.“ [Pravdiv´yv´yrok.]
”
ˇ
C´ıslo 6 je lich´e.“ [Nepravdiv´yv´yrok.]
”
Kaˇzd´apˇr´ımka m´a s kruhov´ym ˇctvercem pr´avˇe jeden spoleˇcn´ybod.“
[Nen´ıv´yrok, kruhov´yˇctverec nen´ı zaveden´ypojem.]
Abstrahujeme-li od obsahu jednotliv´ych v´yrok˚u, zav´ad´ıme m´ısto jednotliv´ych
v´yrok˚usymboly,napˇr. p, q, .... Jsou to v´yrokov´epromˇenn´e, kr´atce v´yroky.
Pravdiv´emu v´yroku pˇriˇrazujeme ˇc´ıslo 1, nepravdiv´emu v´yroku pˇriˇrazujeme
ˇc´ıslo 0. Je-li tedy p v´yrok pravdiv´yaq v´yrok nepravdiv´y, p´ıˇseme p ≡ 1,q≡ 0.
Sloˇzen´ev´yroky. Zdan´ych v´yrok˚um˚uˇzeme vytv´aˇret nov´ev´yroky negac´ıa
spojov´an´ım. K vytv´aˇren´ısloˇzen´ych v´yrok˚usepouˇz´ıvaj´ıtzv.logick´espojky.
Logick´ym spojk´am se pˇriˇrazuj´ıd´ale uveden´esymboly.
Zaveden´ı
pojmu
negace
v´yroku
Negace v´yroku. Necht
’
p je v´yrok. Oznaˇcme ¬p v´yrok, kter´yjepravdiv´y
tehdy, jestliˇze v´yrok p je nepravdiv´y, a je nepravdiv´y tehdy, jestliˇze p je
pravdiv´y. Pro z´apis negace v´yroku uˇz´ıv´ame symbol ¬ .V´yrok ¬p ˇcteme
”
nen´ıpravda,ˇze (plat´ı) p“, nebo analogicky.
Pˇr´ıklad 1.3.
V´yrok p ...
”
ˇ
C´ıslo 3 je sud´e.“ [Nepravdiv´yv´yrok]
V´yrok ¬p ...
”
ˇ
C´ıslo 3 nen´ısud´e.“ [Pravdiv´yv´yrok]
Tedy p ≡ 0, ¬p ≡ 1.
Zaveden´ı
pojmu
konjukce
v´yrok˚u
Konjukce v´yrok˚u. Necht
’
p, q jsou v´yroky. Oznaˇcme p ∧ q sloˇzen´yv´yrok,
kter´yjepravdiv´y tehdy, jsou-li oba v´yroky pravdiv´e, a nepravdiv´y, je-li ale-
spoˇn jeden z nich nepravdiv´y. Sloˇzen´yv´yrok p ∧ q ˇcteme
”
p a q“. Z´avislost
pravdivosti v´yroku p∧q na pravdivosti v´yrok˚u p, q je uvedena v tabulce 1.1.
16
Jako pˇr´ıklad uved
’
me
V´yrok p ...
”
ˇ
C´ıslo 4 je sud´e.“ [Pravdiv´yv´yrok]
V´yrok q ...
”
ˇ
C´ıslo 4 je menˇs´ıneˇz 10.“ [Pravdiv´yv´yrok]
V´yrok p ∧ q ...
”
ˇ
C´ıslo 4 je sud´eajemenˇs´ıneˇz 10.“ [Pravdiv´y
v´yrok]
Zaveden´ı
pojmu
disjunkce
v´yrok˚u
Disjunkce v´yrok˚u. Necht
’
p, q jsou v´yroky. Oznaˇcme p ∨ q sloˇzen´yv´yrok,
kter´yjepravdiv´y, je-li alespoˇn jeden z v´yrok˚u p, q pravdiv´y, a je nepravdiv´y,
jsou-li oba v´yroky p, q nepravdiv´e. V´yrok p ∨ q ˇcteme
”
p nebo q“. Slovo
”
nebo“, kter´ezdepouˇz´ıv´ame, nem´avyluˇcovac´ıv´yznam; m´ısto nˇeho bychom
mohli ˇr´ıci
”
nebo t´eˇz“. Pro disjunkci v´yrok˚upouˇz´ıv´ame spojku ∨.Z´avislost
pravdivosti v´yroku p ∨ q na pravdivosti v´yrok˚u p, q je d´ana v tabulce 1.1.
Pˇr´ıklad 1.4. Jako pˇr´ıklad uved
’
me
V´yrok p ...
”
Grafem funkce y = x+2jepˇr´ımka.“ [Pravdiv´yv´yrok]
V´yrok q ...
”
Grafem funkce y = x + 2 je parabola.“ [Nepravdiv´y
v´yrok]
V´yrok p ∨ q ...
”
Grafem funkce y = x +2jepˇr´ımka nebo jej´ım
grafem je parabola.“ [Pravdiv´yv´yrok]
Zaveden´ı
pojmu
implikace
Implikace. Necht
’
p, q jsou v´yroky. Sloˇzen´yv´yrok p ⇒ q je v´yrok, kter´y
je nepravdiv´y tehdy, jestliˇze je v´yrok p pravdiv´yav´yrok q je nepravdiv´y,
jinak je pravdiv´y. V´yrok p ⇒ q ˇcteme
”
z p vypl´yv´a q“, nebo
”
p implikuje q“,
nebo
”
jestliˇze p, potom q“apodobnˇe. Pro implikace pouˇz´ıv´ame symbol ⇒.
Pravdivost v´yroku p ⇒ q vz´avislosti na pravdivosti v´yrok˚u p, q je uvedena
v tabulce 1.1.
Pˇr´ıklad 1.5.
V´yrok p ...
”
Pˇr´ımka y =0jeteˇcnou ke kruˇznici x
2
+(y−1)
2
=1“
[Pravdiv´yv´yrok]
V´yrok q ...
”
Pˇr´ımka y =0m´askruˇznic´ı x
2
+(y−1)
2
=1spoleˇcn´y
pr´avˇe jeden bod.“ [Pravdiv´yv´yrok]
V´yrok ...
”
Jestliˇze pˇr´ımka y =0jeteˇcnou ke kruˇznici x
2
+(y −
1)
2
= 1, potom m´asn´ıspoleˇcn´ypr´avˇe jeden bod.“ [Pravdiv´yv´yrok]
Zaveden´ı
pojmu
ekvivalence
Ekvivalence. Necht
’
p, q jsou v´yroky. Potom sloˇzen´yv´yrok p ⇔ q je prav-
div´ym v´yrokem pr´avˇe tehdy, jsou-li souˇcasnˇeobav´yroky p ⇒ q, q ⇒ p
pravdiv´e. Sloˇzen´yv´yrok p ⇔ q ˇcteme
”
p plat´ı, kdyˇz a jenom kdyˇzplat´ı q“,
nebo ˇcteme
”
p (plat´ı) tehdy a jenom tehdy, kdyˇz(plat´ı) q“, nebo
”
p je ekviva-
lentn´ısq“apodobnˇe. Pro ekvivalenci uˇz´ıv´ame symbol ⇔.Pravdivostv´yroku
p ⇔ q vz´avislosti na pravdivosti v´yrok˚u p, q je uvedena v tabulce 1.1.
Pˇr´ıklad 1.6.
V´yrok p ...
”
Pˇr´ımka y =0jeteˇcnou ke kruˇznici x
2
+(y−1)
2
=1.“
[Pravdiv´yv´yrok]
V´yrok q ...
”
Pˇr´ımka y =0m´askruˇznic´ı x
2
+(y−1)
2
=1spoleˇcn´y
pr´avˇe jeden bod.“ [Pravdiv´yv´yrok]
V´yrok p ⇔ q ...
”
Pˇr´ımka y =0m´askruˇznic´ı x
2
+(y − 1)
2
=1
spoleˇcn´ypr´avˇe jeden bod, kdyˇz a jenom kdyˇzpˇr´ımka y =0jeteˇcnou
kruˇznice x
2
+(y −1)
2
= 1.“ [Pravdiv´yv´yrok]
17
1. Pˇripomenut´ız´akladn´ıch znalost´ı z matematiky
p q ¬p p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q
1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 1
Tabulka 1.1: Z´akladn´ıv´yroky
V´yroky, vytvoˇren´ezkoneˇcn´eho poˇctu v´yrokov´ych promˇenn´ych, logick´ych
spojek a pˇr´ıpadnˇez´avorek, se naz´yvaj´ı v´yrokov´eformule.Pˇr´ıkladem je (1.1),
resp. (1.2). Rozhodnˇeme o jejich pravdivosti.
Pˇr´ıklad 1.7. Necht
’
p, q jsou dva v´yroky. Dokaˇzme, ˇze plat´ı
¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧¬q. (1.1)
Abychom dok´azali toto tvrzen´ı, utvoˇrme n´asleduj´ıc´ı tabulku 1.2.
p q p ⇒ q ¬(p ⇒ q) ¬q p ∧¬q
1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 1
0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0
Tabulka 1.2: D˚ukaz vztahu (1.1)
Z tabulky je patrno, ˇze v´yroky ¬(p ⇒ q),p∧¬q jsou souˇcasnˇepravdiv´enebo
nepravdiv´eprovˇsechny moˇzn´e kombinace pravdivosti v´yrok˚u p, q.Plat´ıtedy
¬(p ⇒ q) ≡ p ∧¬q.
Pˇr´ıklad 1.8. Necht
’
p, q jsou v´yroky. Potom plat´ı
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒¬p). (1.2)
Abychom tuto ekvivalenci dok´azali, utvoˇrme n´asleduj´ıc´ı tabulku 1.3.
p q ¬p ¬q p ⇒ q ¬q ⇒¬p
1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1
Tabulka 1.3: D˚ukaz vztahu (1.2)
Zt´eto tabulky je patrno, ˇze v´yroky p ⇒ q a ¬q ⇒¬p jsou souˇcasnˇepravdiv´e,
resp. nepravdiv´eprovˇsechny moˇzn´e kombinace pravdivosti a nepravdivosti
v´yrok˚u p, q.Jetedyv´yrok (1.2) pravdiv´ym v´yrokem.
18
Zavedn´ı
pojmu
v´yrokov´a
forma
V´yrokov´eformy.Sdˇelen´ı, kter´e obsahuje jednu nebo v´ıce promˇenn´ych, se
naz´yv´a v´yrokovou formou,jestliˇze z n´ıdostanemev´yrok
– dosazen´ım pˇr´ıpustn´ych konstant z oboru promˇenn´ych za tyto promˇenn´e
– kvantifikac´ı, to jest doplnˇen´ım o ´udaj o poˇctu, resp. o odhad poˇctu kon-
stant, jejichˇz dosazen´ım za promˇenn´evzniknev´yrok.
Zv´yrokov´ych forem vytv´aˇret sloˇzen´ev´yrokov´eformy.
Pˇr´ıklad 1.9. Sdˇelen´ı
”
re´aln´eˇc´ıslo x>2“ nen´ıv´yrokem. Nelze rozhodnout,
zda je pravdou nebo nen´ıpravdouˇze x>2.
ˇ
Rekneme-li, ˇze x je promˇenn´a
s oborem hodnot re´aln´ych ˇc´ısel R,adosad´ıme-li za x konstantu, to jest
jak´ekoliv re´aln´eˇc´ıslo, dost´av´ame v´yrok. Napˇr. pro ˇc´ıslo 3 dost´av´ame 3 > 2,
coˇzjepravdiv´yv´yrok. Zde se sdˇelen´ıst´av´av´yrokem dosazen´ım libovoln´e
konstanty (tj. re´aln´eho ˇc´ısla) za promˇennou x zjej´ıho oboru. Je tedy
”
re´aln´e
ˇc´ıslo x>2“ v´yrokovou formou.
V´yrokovou formu z´avislou na promˇenn´e x lze zapsat obecnˇenapˇr. jako V (x).
Podobnˇeprov´ıce promˇenn´ych.
Zaveden´ı
pojmu
kvantifik´ator
Kvantifik´atory. Necht
’
v´yrokov´aformaV (x)z´avis´ınapromˇenn´e x anecht
’
mnoˇzina M je jej´ım oborem. Okolnost, ˇze v´yrokov´aformaV (x)jepravdiv´a
pro vˇsechna x ∈ M,zap´ıˇseme takto
∀x ∈ M : V (x) (1.3)
aˇcteme pro vˇsechna x ∈ M plat´ıV(x).
V´yrokovou formu jsme v (1.3) doplnili ´udajem o poˇctu konstant (pro vˇsechny
konstanty z oboru promˇenn´e x), pro nˇeˇzjeV (x)pravdiv´ym v´yrokem. Je tedy
(1.3) v´yrokem.
Oznaˇcen´ı. Symbol
”
∀“naz´yv´ame obecn´ym kvantifik´atorem.
Pˇr´ıklad 1.10. Necht
’
M = {2, 3, 4, 8}, x je promˇenn´a s oborem M.
Oznaˇcme V (x)v´yrokovou formu
”
x ≥ 2“. Potom
∀x ∈ M : x ≥ 2
je pravdiv´yv´yrok.
Podobnˇe
∀x ∈ M : x 1
b) ∃n ∈ N : n
2
> 1
[V´yrok a) je nepravdiv´y–pron = 1 neplat´ı n
2
> 1. V´yrok b) je pravdiv´y–
pro n =2plat´ı n
2
> 1.]
6. Necht
’
p, q jsou v´yroky. Dokaˇzte, ˇze plat´ı
a) ¬(¬p) ≡ p
20
b) ¬(p ∧ q) ≡¬p ∨¬q
c) ¬(p ∨q) ≡¬p ∧¬q
d) ¬(p ⇔ q) ≡ (p ∧¬q) ∨ (¬p ∧ q).
(N´avod: vytvoˇrte tabulku pravdivosti pro v´yroky na obou stran´ach.)
7. Necht
’
x je promˇenn´a s oborem vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel R a V (x)jev´yrokov´a
forma
”
x
2
= −1“. Negujte v´yrok
∃x ∈ R : x
2
negationslash= −1.
[∀x ∈ R : x
2
= −1.]
1.3 Zav´adˇen´ı pojm˚u v matematice, matematick´evˇety
Nejdˇr´ıve si pˇripomeˇnme, ˇze mnoˇzinu M naz´yv´ame line´arnˇeuspoˇr´adanou,
jestliˇze je na n´ı zavedena relace
”
≤“(ˇcti menˇs´ıneborovno)stˇemito vlast-
nostmi
jestliˇze x,y ∈ M, potom je bud
’
x ≤ y nebo y ≤ x,
jestliˇze x ∈ M, potom x ≤ x,
jestliˇze x ≤ y, y ≤ z, potom x ≤ z,
jestliˇze x ≤ y a y ≤ x, potom x = y.
Pˇri budov´an´ı jednotliv´ych matematick´ych disciplin se vych´az´ızpostul´at˚u
(axiom˚u).Jsoutov´ychoz´ı matematick´ev´yroky, kter´e obsahuj´ız´akladn´ıpoj-
my, kter´esejiˇzd´ale nedefinuj´ıapovaˇzuj´ı se danou soustavou axiom˚uza
zaveden´e. Kaˇzd´e tvrzen´ıvdan´e disciplinˇejed´ano soustavou axiom˚u. Tvrzen´ı
se odvozuj´ı logick´ymi ´uvahami pr´avˇeztˇechto axiom˚u. Axiomy mus´ım´ıt tyto
vlastnosti:
Mus´ıb´yt bezesporn´e. To znamen´a, ˇze z nich nelze odvodit ˇz´adn´atvr-
zen´ı, kter´abynemohlasouˇcasnˇe platit.
Mus´ıb´yt na sobˇenavz´ajem nez´avisl´e, to znamen´a, ˇze ˇz´adn´yaxiomnelze
odvodit z ostatn´ıch.
Kaˇzd´e tvrzen´ıvuvaˇzovan´e disciplinˇesemus´ıd´at odvodit z dan´esou-
stavy axiom˚u.
Pouze pro informaci si uved
’
me soustavu axiom˚uprozaveden´ıpˇriro-
zen´ych ˇc´ısel.
axiomy pro
zaveden´ı
pˇrirozen´ych
ˇc´ısel –
rozˇsiˇruj´ıc´ı
informace
Bud
’
N
0
mnoˇzina, kter´am´atytovlastnosti:
(i) Existuje prvek 0 tak, ˇze 0 ∈ N
0
.
(ii) Ke kaˇzd´emu prvku a ∈ N
0
existuje prvek a
+
∈ N
0
,zvan´yn´asledn´ık prvku a.
(iii) Pro kaˇzd´e a je a
+
negationslash=0.
(iv) Je-li a
+
= b
+
je a = b.
(v) Je-li M ⊆ N
0
a M je takov´amnoˇzina, ˇze 0 ∈ M aˇze z podm´ınky a ∈ M plyne
a
+
∈ M,pakM = N
0
.
Potom N
0
naz´yv´ame mnoˇzinou pˇrirozen´ych ˇc´ısel.
Pomoc´ıoperacen´asledovn´ıka definujeme ˇc´ıslo 1 rovnic´ı1=0
+
.Seˇc´ıt´an´ıan´asoben´ı
pˇrirozen´ych ˇc´ısel si zavedeme n´asledovnˇe.
Pro kaˇzd´e a ∈ N
0
je a +0=a. Je-li definov´ano a + b pro a ∈ N
0
,b∈ N
0
, potom a + b
+
definujeme rovnic´ı a + b
+
=(a + b)
+
.
Pro kaˇzd´e a ∈ N
0
je a·0 = 0. Je-li definov´ano a·b pro a ∈ N
0
,b∈ N
0
,paka·b
+
definujeme
rovnic´ı a· b
+
= a ·b + a.
21
1. Pˇripomenut´ız´akladn´ıch znalost´ı z matematiky
Dopln´ıme jeˇstˇe definici umocˇnov´an´ı.Bud
’
a ∈ N
0
,anegationslash=0.Definujmea
0
= 1. Je-li definov´ano
a
b
pro b ∈ N
0
, pak a
b
+
definujeme rovnic´ı a
b
+
= a
b
·a.
Lze uk´azat, ˇze tˇemito podm´ınkami jsou operace sˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ıiumocˇnov´an´ı definov´any,
a to jednoznaˇcnˇe.
Pro a ∈ N
0
,b∈ N
0
klademe a ≤ b,kdyˇzexistujec ∈ N
0
tak, ˇze a + c = b.
Vˇsechny operace i relace ≤ maj´ızn´am´e vlastnosti.
T´ımto zp˚usobem zaveden´amnoˇzina pˇrirozen´ych ˇc´ısel je mnoˇzina ˇc´ısel 0, 1, 2,
3, ....Vtomtouˇcebn´ım textu ji budeme znaˇcit N
0
.Nˇekdy se pod mnoˇzinou
pˇrirozen´ych ˇc´ısel rozum´ıjenmnoˇzina ˇc´ısel 1, 2, ... .Vtomtouˇcebn´ım textu
ji budeme znaˇcit N.
Se zav´adˇen´ım pojm˚upomoc´ıaxiom˚usevtomtomateri´alu nesetk´ame. To by
pˇresahovalo studijn´ıc´ıle. Jste zvykl´ıpracovatsˇradou z´akladn´ıch pojm˚ujako
sre´aln´ymi ˇc´ısly, s bodem v prostoru, s pˇr´ımkami atd., aniˇzbystemˇeli tyto
pojmy pˇresnˇe zavedeny. My budeme rovnˇeˇzpouˇz´ıvat nad´ale tyto z´akladn´ı
pojmy, aniˇzbychomjepˇresnˇezav´adˇeli. Pˇresn´e axiomatick´ezav´adˇen´ıpojm˚u
by pˇres´ahlo sledovan´ec´ıle a ˇcasov´emoˇznosti ke studiu. Upouˇst´ıme proto od
axiomatick´ev´ystavby. V tomto uˇcebn´ım textu, bude-li to ´uˇceln´e, si nˇekter´e
ztˇechto pojm˚u pouze osvˇetl´ıme,atodot´em´ıry, abychom mohli s nimi pra-
covat. Kaˇzd´emu pojmu, m´ame-li s n´ım pracovat, mus´ıme dobˇre porozumˇet.
Jin´e pojmy si budeme zav´adˇet definicemi.
Zaveden´ı
pojmu
definice
Pojem
”
definice“. Definic´ıseuv´ad´ı jednak n´azev zav´adˇen´eho pojmu, jednak
se zav´adˇen´y pojem bl´ıˇze specifikuje pomoc´ıjiˇz zaveden´ych pojm˚u.
Pˇr´ıklad 1.12. Jako uk´azku definice si zaved
’
me pojem rovnostrann´ytroj-
´uheln´ık.
Definice.
ˇ
Rekneme, ˇze troj´uheln´ık je rovnostrann´y, jestliˇze vˇsechny jeho
strany jsou stejnˇevelk´e.
Zdejezavedennov´y pojem – rovnostrann´y troj´uheln´ık, a to pomoc´ıdvou
pojm˚u: troj´uheln´ıkavelikoststran.Abytotobyladefinice,mus´ıb´yt oba tyto
pojmy jiˇzdˇr´ıve zavedeny.
Zaveden´ı
pojmu
matematick´a
vˇeta
Pojem matematick´avˇeta. Struˇcnˇe budemeˇr´ıkat pouze vˇeta. Matematick´a
vˇeta je pravdiv´yv´yrok,kter´ysed´aodvoditpomoc´ı logiky uˇzit´ım axiom˚u,
definic a jiˇzdok´azan´ych vˇet.
Pˇr´ıklad 1.13. Kaˇzd´yvnitˇrn´ı´uhel rovnostrann´eho troj´uheln´ıka je roven 60
◦
.
Jde skuteˇcnˇeovˇetu. Je to pravdiv´yv´yrok, kter´ylzedok´azat
1
.Pojmy,kter´e
se zde vyskytuj´ımuselyb´yt jiˇzdˇr´ıve zavedeny.
Bylo by moˇzno definovat rovnosrann´y troj´uheln´ık takto:
”
Troj´uheln´ık, jehoˇz
vˇsechny vnitˇrn´ı´uhly jsou rovny 60
◦
,senaz´yv´a rovnostrann´ym.“ Potom
bychom mohli vyslovit vˇetu :
”
Vˇsechny strany rovnostrann´eho troj´uheln´ıka
jsou stejnˇevelk´e.“
1
Je zde tich´adomluva,ˇze pracujeme v tak zvan´e euklidovsk´e geometrii.
22
Tedy definic´ısezav´ad´ınov´ypojem,kdeˇzto matematick´a
vˇeta vypov´ıd´aovz´ajemn´ych vztaz´ıch mezi jiˇzzaveden´ymi
pojmy.
Uk´azky
typ˚uvˇet
Ukaˇzme si nˇekolik ˇcasto se vyskytuj´ıc´ıch tvar˚u matematick´ych vˇet. Zaˇcneme
svˇetou ve tvaru, kterou oznaˇcme jako vˇeta A.
Vˇeta A
Necht
’
V (x) je v´yrokov´a forma promˇenn´e x soboremD.
Potom plat´ı
∀x ∈ D : V (x), (1.10)
Slovy:
”
Pro vˇsechna x ∈ D plat´ı V (x)“.
Pˇr´ıklad 1.14. Jako pˇr´ıklad ued
’
me vˇetu
Vˇeta. Pro kaˇzd´epˇrirozen´eˇc´ıslo n ≥ 1plat´ı
1
1 ·2
+
1
2 ·3
+ ...
1
n ·(n +1)
=1−
1
n +1
. (1.11)
Zapiˇsme tuto vˇetu ve tvaru (1.10), tedy jako vˇetu A.
Vˇeta. (Pˇrepis na tvar Vˇeta A).
Necht
’
V (n) ≡
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ ...
1
n· (n +1)
=1−
1
n +1
(1.12)
je v´yrokov´a forma promˇenn´e n soboremN. Potom plat´ı
∀n ∈ N : V (n).
Abychom mohli tento v´yrok prohl´asit za vˇetu, je nutno jeˇstˇedok´azat, ˇze je
pravdiv´ym v´yrokem. K d˚ukazu pravdivosti pouˇzijeme metodu, zvanou ma-
tematick´aindukce.Dˇr´ıve neˇzpˇrikroˇc´ıme k vlastn´ımu d˚ukazu, popiˇsme tuto
metodu obecnˇe.
Matematick´a
indukce
Matematick´a indukce. Matematick´a indukce se pouˇz´ıv´anad˚ukaz pravdi-
vosti v´yroku tvaru
∀n ∈ N : V (n), (1.13)
kde V (n)jev´yrokov´aformaan je promˇenn´a s oborem N pˇrirozen´ych ˇc´ısel.
D˚ukaz (1.13) lze rozdˇelit do tˇr´ıkrok˚u.
1. Dok´aˇzeme, ˇze v´yrok V (1) je pravdiv´y.
23
1. Pˇripomenut´ız´akladn´ıch znalost´ı z matematiky
2. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze v´yrok V (n)jepravdiv´ypronˇejak´e k,tedyˇze v´yrok
V (k)jepravdiv´y.
3. Dok´aˇzeme, ˇze potom v´yrok V (n)jepravdiv´ypron = k +1,tedyˇze
V (k +1)jepravdiv´y.
Potom V (n)plat´ıprovˇsechna n ∈ N.
Skuteˇcnˇe. V (1) je pravdiv´y. Podle bodu 3 plat´ıtedyipron =2.Ponˇevadˇz
plat´ı V (2), plat´ı V (n)podlebodu3 ipron =3,atd.
Proved
’
me nyn´ıd˚ukaz tvrzen´ı (1.11) uˇzit´ım matematick´e indukce.
1. Dokaˇzme, ˇze v´yrok V (1) je pravdiv´y. To je zˇrejm´e, nebot
’
V (1) znamen´a
1
1 ·2
=1−
1
2
.
2. Pˇredpok