Distanční studijní opora

dobnost´ısesnaˇz´ı odvodit vlastnosti tohoto rozloˇzen´ıpravdˇepodobnost´ı.
K´uspˇeˇsn´emu zvl´adnut´ıpˇredmˇetu
”
Statistika“ je zapotˇreb´ıovl´adat kombinatoriku, z´aklady
diferenci´aln´ıhoaintegr´aln´ıho poˇctu jedn´e a dvou promˇenn´ych a zn´at z´aklady pr´ace s osobn´ım
poˇc´ıtaˇcem.
Velmi ´uˇcinn´ym prostˇredkem pro ˇreˇsen´ı statistick´ych ´uloh je programov´ysyst´em STATIS-
TICA, jehoˇzinstalaˇcn´ıCDjesouˇc´ast´ı studijn´ıch materi´al˚u. Informace o tomto syst´emu
apodrobn´en´avody na jeho pouˇzit´ıjsouuvedenyvpˇr´ıloze B studijn´ıch materi´al˚u. Pˇr´ıklady
ˇci ´ukoly, jejichˇzˇreˇsen´ıjenutn´eˇci alespoˇn vhodn´eprov´adˇet pomoc´ısyst´emu STATISTICA,
jsou oznaˇceny (S).
Pˇr´ıloha A obsahuje vybran´e statistick´e tabulky, konkr´etnˇe hodnoty distribuˇcn´ı funkce
standardizovan´eho norm´aln´ıho rozloˇzen´ı, kvantily standardizovan´eho norm´aln´ıho rozloˇzen´ı,
Pearsonova rozloˇzen´ı χ
2
(n), Studentova rozloˇzen´ı t(n) a Fisherova-Snedecorova rozloˇzen´ı
F(n
1
,n
2
). Vˇsechny tyto tabelovan´e hodnoty (a samozˇrejmˇemnoh´edalˇs´ı) lze z´ıskat pomoc´ı
syst´emu STATISTICA.
Z´akladn´ı, v´ybˇerov´yadatov´y
soubor
1
1. Z´akladn´ı, v´ybˇerov´yadatov´y soubor
C´ıl kapitoly
Po prostudov´an´ıt´eto kapitoly budete umˇet:
vymezit z´akladn´ı soubor a jeho objekty
stanovit v´ybˇerov´ysoubor
spoˇc´ıtat absolutn´ı a relativn´ıˇcetnosti mnoˇzin ve v´ybˇerov´em souboru a
zn´at vlastnosti relativn´ıˇcetnosti a podm´ınˇen´erelativn´ıˇcetnosti
ovˇeˇrit ˇcetnostn´ı nez´avislost dvou mnoˇzin ve v´ybˇerov´em souboru
vytvoˇrit datov´ysoubor
uspoˇr´adat jednorozmˇern´ydatov´y soubor a stanovit vektor variant
vypoˇc´ıtat absolutn´ı a relativn´ıˇcetnost jevu ve v´ybˇerov´em souboru
ˇ
Casov´az´atˇeˇz
Pro zvl´adnut´ıt´eto kapitoly budete potˇrebovat4–5hodinstudia.
Nejprve se sezn´am´ıme s definic´ız´akladn´ıho a v´ybˇerov´eho souboru a pojmem
absolutn´ı a relativn´ıˇcetnosti mnoˇzinyvdan´em v´ybˇerov´em souboru. Uvedeme
pˇr´ıklad, s jehoˇzr˚uzn´ymi variantami se budeme setk´avat ve vˇsech kapitol´ach
vˇenovan´ych popisn´e statistice. Rovnˇeˇz shrneme vlastnosti relativn´ıˇcetnosti.
1.1. Definice
Z´akladn´ım souborem rozum´ıme libovolnou nepr´azdnou mnoˇzinu E.Jej´ıprv-
ky znaˇc´ıme ε anaz´yv´amejeobjekty.Libovolnounepr´azdnou podmnoˇzinu
{ε
1
,...,ε
n
} z´akladn´ıho souboru E naz´yv´ame v´ybˇerov´y soubor rozsahu n.
Je-li G ⊆ E, pak symbolem N(G)rozum´ıme absolutn´ıˇcetnost mnoˇziny G
ve v´ybˇerov´em souboru, tj. poˇcet tˇech objekt˚umnoˇziny G,kter´epatˇr´ıdo
v´ybˇerov´eho souboru. Relativn´ıˇcetnost mnoˇziny G ve v´ybˇerov´em souboru za-
vedeme vztahem
p(G)=
N(G)
n
.
1.2. Pˇr´ıklad
Z´akladn´ım souborem E je mnoˇzina vˇsech ekonomicky zamˇeˇren´ych student˚u
1. roˇcn´ıku ˇcesk´ych vysok´ych ˇskol. Mnoˇzina G
1
je tvoˇrena tˇemi studenty, kteˇr´ı
uspˇeli v prvn´ım zkuˇsebn´ım term´ınu z matematiky a mnoˇzina G
2
obsahuje ty
studenty, kteˇr´ıuspˇeli v prvn´ım zkuˇsebn´ım term´ınu z angliˇctiny. Ze z´akladn´ıho
souboru bylo n´ahodnˇe vybr´ano20student˚u, kteˇr´ıtvoˇr´ıv´ybˇerov´ysoubor
{ε
1
,...,ε
20
}.Ztˇechto 20 student˚u11uspˇelo v matematice, 15 v angliˇctinˇe
a11voboupˇredmˇetech. Zapiˇste absolutn´ı a relativn´ıˇcetnosti ´uspˇeˇsn´ych
matematik˚u, angliˇctin´aˇr˚u a oboustrannˇe´uspˇeˇsn´ych student˚u.
ˇ
Reˇsen´ı:
N(G
1
)=12,N(G
2
)=15,N(G
1
∩ G
2
)=11,n=20
p(G
1
)=
12
20
=0,6,p(G
2
)=
15
20
=0,75,p(G
1
∩ G
2
)=
11
20
=0,55
16
Vid´ıme, ˇze ´uspˇeˇsn´ych matematik˚u je 60%, angliˇctin´aˇr˚u 75% a oboustrannˇe
´uspˇeˇsn´ych student˚u jen 55%.
1.3. Vˇeta
Relativn´ıˇcetnost m´an´asleduj´ıc´ıch 12 vlastnost´ı, kter´ejsouobdobn´evlast-
nostem procent.
p(∅)=0
p(G) ≥ 0
p(G
1
∪ G
2
)+p(G
1
∩ G
2
)=p(G
1
)+p(G
2
)
1+p(G
1
∩ G
2
) ≥ p(G
1
)+p(G
2
)
p(G
1
∪ G
2
) ≤ p(G
1
)+p(G
2
)
G
1
∩ G
2
= ∅⇒p(G
1
∪ G
2
)=p(G
1
)+p(G
2
)
p(G
2
− G
1
)=p(G
2
) − p(G
1
∩ G
2
)
G
1
⊆ G
2
⇒ p(G
2
− G
1
)=p(G
2
) − p(G
1
)
G
1
⊆ G
2
⇒ p(G
1
) ≤ p(G
2
)
p(E)=1
p(G)+p(G)=1
p(G) ≤ 1
Pokud se v dan´em z´akladn´ım souboru zaj´ım´ame o dvˇepodmnoˇziny, m˚uˇzeme
zav´est pojem podm´ınˇen´erelativn´ıˇcetnosti jedn´epodmnoˇzinyvdan´em v´y-
bˇerov´em souboru za pˇredpokladu, ˇze objekt poch´az´ızdruh´epodmnoˇziny.
Vn´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladu vypoˇcteme podm´ınˇen´erelativn´ıˇcetnosti ´uspˇeˇsn´ych
matematik˚u mezi ´uspˇeˇsn´ymi angliˇctin´aˇri a naopak.
1.4. Definice
Necht
’
E je z´akladn´ısoubor,G
1
,G
2
jeho podmnoˇziny, {ε
1
,...,ε
n
} v´ybˇerov´y
soubor. Definujeme podm´ınˇenou relativn´ıˇcetnost mnoˇziny G
1
ve v´ybˇerov´em
souboru za pˇredpokladu G
2
:
p(G
1
|G
2
)=
N(G
1
∩ G
2
)
N(G
2
)
=
p(G
1
∩ G
2
)
p(G
2
)
a podm´ınˇenou relativn´ıˇcetnost G
2
ve v´ybˇerov´em souboru za pˇredpokladu G
1
:
p(G
2
|G
1
)=
N(G
1
∩ G
2
)
N(G
1
)
=
p(G
1
∩ G
2
)
p(G
1
)
.
1.5. Pˇr´ıklad
Pro ´udaje z pˇr´ıkladu 1.2 vypoˇctˇete podm´ınˇenou relativn´ıˇcetnost ´uspˇeˇsn´ych
matematik˚u mezi ´uspˇeˇsn´ymi angliˇctin´aˇri a podm´ınˇenou relativn´ıˇcetnost ´u-
spˇeˇsn´ych angliˇctin´aˇr˚u mezi ´uspˇeˇsn´ymi matematiky.
ˇ
Reˇsen´ı:
p(G
1
|G
2
)=
11
15
=0,73 (tzn., ˇze 73% tˇech student˚u, kteˇr´ıbyli´uspˇeˇsn´ıvan-
gliˇctinˇe, uspˇelo i v matematice)
17
1. Z´akladn´ı, v´ybˇerov´yadatov´y soubor
p(G
2
|G
1
)=
11
12
=0,92 (tzn., ˇze 92% tˇech student˚u, kteˇr´ıbyli´uspˇeˇsn´ıvma-
tematice, uspˇelo i v angliˇctinˇe)
Nyn´ısenauˇc´ıme, jak ovˇeˇrovat ˇcetnostn´ı nez´avislost dvou mnoˇzin v dan´em
v´ybˇerov´em souboru. Znamen´ato,ˇze informace o p˚uvodu objektu z jedn´e
mnoˇziny nijak nemˇen´ıˇsance, s nimiˇzsoud´ımenajehop˚uvod i z druh´e
mnoˇziny. Ovˇeˇr´ıme, zda ´uspˇech v matematice a angliˇctinˇejsouvdan´em v´y-
bˇerov´em souboru ˇcetnostnˇe nez´avisl´e.
1.6. Definice
ˇ
Rekneme, ˇze mnoˇziny G
1
,G
2
jsou ˇcetnostnˇenez´avisl´e vdan´em v´ybˇerov´em
souboru, jestliˇze
p(G
1
∩G
2
)=p(G
1
) ·p(G
2
).
(V praxi jen zˇr´ıdka dojde k tomu, ˇze uveden´y vztah plat´ıpˇresnˇe. Vˇetˇsinou
je jen naznaˇcena urˇcit´a tendence ˇcetnostn´ı nez´avislosti.)
1.7. Pˇr´ıklad
Pro ´udaje z pˇr´ıkladu 1.2 zjistˇete, zda ´uspˇechy v matematice a angliˇctinˇejsou
vdan´em v´ybˇerov´em souboru ˇcetnostnˇe nez´avisl´e.
ˇ
Reˇsen´ı:
p(G
1
∩ G
2
)=0,55,p(G
1
) ·p(G
2
)=0,6 · 0,75 = 0,45,
tedy skuteˇcn´arelativn´ıˇcetnost oboustrannˇe´uspˇeˇsn´ych student˚ujevˇetˇs´ıneˇz
by odpov´ıdalo ˇcetnostn´ı nez´avislosti mnoˇzin G
1
,G
2
vdan´em v´ybˇerov´em sou-
boru.
Nyn´ıkaˇzd´yobjektz´akladn´ıho souboru ohodnot´ıme jedn´ım nebo v´ıce ˇc´ısly po-
moc´ı funkce, kter´asenaz´yv´aznak.
ˇ
C´ısla, kter´asevztahuj´ı pouze k objekt˚um
v´ybˇerov´eho souboru sestav´ıme do matice zvan´edatov´ysoubor.Vysvˇetl´ıme
si, co to je uspoˇr´adan´ydatov´y soubor a vektor variant. Uveden´epojmyob-
jasn´ıme na pˇr´ıkladu.
1.8. Definice
Necht
’
E je z´akladn´ı soubor. Potom funkce X : E → R, Y : E → R, ...,
Z : E → R,kter´ekaˇzd´emu objektu pˇriˇrazuj´ıˇc´ıslo, se naz´yvaj´ı (skal´arn´ı)
znaky.Uspoˇr´adan´a p–tice (X,Y,...,Z)senaz´yv´a vektorov´yznak.
1.9. Definice
Necht
’
je d´an v´ybˇerov´ysoubor{ε
1
,...,ε
n
}⊆E. Hodnoty znak˚u X,Y,...,Z
pro i–t´y objekt oznaˇc´ıme x
i
= X(ε
i
),y
i
= Y (ε
i
),...,z
i
= Z(ε
i
), i =1,...,n.
Matice
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
x
1
y
1
... z
1
x
2
y
2
... z
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
n
y
n
... z
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
18
typu n × p se naz´yv´a datov´ysoubor.Jej´ıˇr´adky odpov´ıdaj´ı jednotliv´ym ob-
jekt˚um, sloupce znak˚um.
Libovoln´ysloupect´eto matice naz´yv´ame jednorozmˇern´ym datov´ym soubo-
rem.Jestliˇze uspoˇr´ad´ame hodnoty nˇekter´eho znaku (napˇr. znaku X)vjed-
norozmˇern´em datov´em souboru vzestupnˇe podle velikosti, dostaneme uspo-
ˇr´adan´y datov´ysoubor
⎡
⎢
⎣
x
(1)
.
.
.
x
(n)
⎤
⎥
⎦
,
kde x
(1)
≤ x
(2)
≤···≤x
(n)
.Vektor
⎡
⎢
⎣
x
[1]
.
.
.
x
[r]
⎤
⎥
⎦
,
kde x
[1]
< ···