Distanční studijní opora

jak bylo ˇreˇceno dˇr´ıve, se ´uroˇc´ı st´ale pouze z´akladn´ı
kapit´al (penˇeˇzn´ı ˇc´astka). Vypl´acen´e ´uroky se k n´ı nepˇriˇc´ıtaj´ı, nevznik´a tedy
´urok z ´urok˚u. Protoˇze uvaˇzujeme o ´urokov´an´ı polh˚utn´ım, ´uroky budou vy-
pl´aceny vˇzdy po uplynut´ı ´urokov´eho obdob´ı, ke kter´emu se vztahuj´ı.
Oznaˇcme si
u – ´urok v Kˇc,
K – kapit´al, penˇeˇzn´ı ˇc´astka v Kˇc,
p – ´urokov´a sazba v procentech,
d – doba splatnosti kapit´alu ve dnech.
Potom ´urok vypoˇc´ıt´ame ze vztahu
u = K ·p·d100·360.
Jestliˇze vyj´adˇr´ıme
p
100 = i a
d
360 = t,
potom obdrˇz´ıme ´urokovou sazbu jako desetinn´e ˇc´ıslo a splatnost v letech a
´urok vypoˇc´ıt´ame
u = K ·i·t,
kde:
i – ´urokov´a sazba vyj´adˇren´a v setin´ach. Je to ´urok z 1 Kˇc za 1 rok.
t – doba splatnosti vyj´adˇren´a v letech.
Z grafu na obr´azku 2.1 je vidˇet, ˇze koneˇcn´y kapit´al pˇri st´al´e ´urokov´e
sazbˇe je line´arn´ı funkc´ı ˇcasu (line´arn´ı funkce). Jestliˇze se bude mˇenit v´yˇse
ukl´adan´eho kapit´alu pˇri stejn´e ´urokov´e sazbˇe bˇehem ´urokovac´ıho obdob´ı,
potom pro v´ypoˇcet ´urok˚u pouˇz´ıv´ame tzv. ´urokov´ych ˇc´ısel a ´urokov´ych
dˇelitel˚u.
a) ´Urokov´e ˇc´ıslo UC
UC = K ·d100 ,
31
2. Jednoduch´e ´uroˇcen´ı
t ˇcas
kapit´al
´urok
´urok
poˇc´ateˇcn´ı kapit´al K
i = 20 %
i = 10 %
Obr´azek 2.1: Graf z´avislosti v´yˇse kapit´alu na ˇcase a v´yˇsce ´urokov´e sazby
kde d je splatnost ve dnech a K kapit´al.
b) ´Urokov´y dˇelitel UD
´Urokov´y dˇelitel vyjadˇruje poˇcet dn´ı, za kter´e z´ısk´ame ´urok 1 Kˇc ze 100 Kˇc
UD = 360p ,
kde p je ´urokov´a sazba v%.
Potom ´urok vypoˇc´ıt´ame
u = UCUD.
Pˇr´ıklad 2.1.
Jestliˇze ˇc´astka K1 je uloˇzena a tedy ´uroˇcena d1 dn´ı, ˇc´astka K2 je uloˇzena a
´uroˇcena d2 dn´ı, ..., ˇc´astka Kn, dn dn´ı a pˇritom vˇsechny pˇri stejn´e ´urokov´e
sazbˇe p, potom ´urokov´a ˇc´ısla budou
UC1 = K1 ·d1100 , UC2 = K2 ·d2100 , ..., UCn = Kn ·dn100 .
Protoˇze se nemˇen´ı ´urokov´y dˇelitel, m˚uˇzeme jej vytknout pˇred z´avorku a ´urok
vypoˇc´ıtat
u = 1UD ·(UC1 + UC2 +···+ UCn)
nebo
u =
nsummationtext
j=1
UCj
UD .
Tohoto zp˚usobu se nejv´ıce vyuˇz´ıv´a pˇri v´ypoˇctu ´urok˚u na bˇeˇzn´ych ´uˇctech.
Pˇr´ıklad 2.2.
Podnikatel si postupnˇe vyp˚ujˇcil:
16.1. ˇc´astku 60000 Kˇc,
21.2. ˇc´astku 40000 Kˇc,
8.3. ˇc´astku 30000 Kˇc.
32
Roˇcn´ı ´urokov´a sazba u vˇsech p˚ujˇcek je 12%. Chceme zjistit, kolik zaplat´ı
koncem roku na ´uroc´ıch.
ˇReˇsen´ı.
K1 = 60000 Kˇc, d1 = 16.1.−30.12.
K2 = 40000 Kˇc, d2 = 21.2.−30.12.
K3 = 30000 Kˇc, d3 = 8.3.−30.12.
d1 = (12−1)·30 + (30−16) = 344 dn´ı,
d2 = (12−2)·30 + (30−12) = 309 dn´ı,
d3 = (12−3)·30 + (30−8) = 292 dn´ı.
u = 1UD(UC1 + UC2 + UC3) = p360
parenleftbiggK
1 ·d1
100 +
K2 ·d2
100 +
K3 ·d3
100
parenrightbigg
=
= 12360
parenleftbigg60000·344
100 +
40000·309
100 +
30000·292
100
parenrightbigg
=
= 206400 + 123600 + 8760030 = 13920.
Podnikatel koncem roku zaplat´ı 13920 Kˇc.
2.2.2 Z´akladn´ı rovnice pro jednoduch´e ´uroˇcen´ı
V pˇredch´azej´ıc´ı kapitole jsme se sezn´amili, jak´ym zp˚usobem vypoˇc´ıt´ame v´yˇsi
´uroku za urˇcit´e obdob´ı.
V praxi n´as vˇsak zaj´ım´a v´yˇse z´uroˇcen´eho kapit´alu (vˇcetnˇe ´urok˚u) po urˇcit´em
obdob´ı. Koneˇcnou v´yˇsi kapit´alu (Kt) za obdob´ı t obdrˇz´ıme jako souˇcet
poˇc´ateˇcn´ıho kapit´alu a ´urok˚u za toto obdob´ı.
Tedy
Kt = K0 + u,
dosad´ıme-li do tohoto v´yrazu za u = K0 ·i·t, obdrˇz´ıme
Kt = K0 + K0 ·i·t = K0 ·(1 + i·t),
kde
K0 – poˇc´ateˇcn´ı hodnota kapit´alu (z´akladn´ı penˇeˇzn´ı ˇc´astka, z´akladn´ı ka-
pit´al),
Kt – koneˇcn´y kapit´al za dobu t (stav kapit´alu po z´uroˇcen´ı za dobu t),
i – roˇcn´ı ´urokov´a sazba v setin´ach,
t – doba splatnosti kapit´alu v letech.
Jestliˇze vyj´adˇr´ıme v naˇsem v´yrazu splatnost ve dnech a ´urokovou sazbu v pro-
centech, obdrˇz´ıme
Kt = K0 ·
parenleftbigg
1 + p·d100·360
parenrightbigg
.
Jestliˇze zvol´ıme K0 = 1 Kˇc a t = 1, bude Kt = 1 + i.
V´yraz 1+i se naz´yv´a ´urokovac´ı faktor (´uroˇcitel). Ud´av´a, na kolik vzroste
1 Kˇc za 1 rok pˇri ´urokov´e sazbˇe i.
33
2. Jednoduch´e ´uroˇcen´ı
Ze z´akladn´ı rovnice m˚uˇzeme vypoˇc´ıtat dalˇs´ı d˚uleˇzit´e hodnoty: K0, t, i.
a) V´ypoˇcet poˇc´ateˇcn´ı hodnoty K0
K0 = Kt1 + i·t = ui·t.
Odvozen´ı: v´ıme, ˇze Kt = K0 · (1 + i · t). Tento v´yraz rozn´asob´ıme a
dostaneme
K0 + K0 ·i·t = Kt ⇒ K0 ·i·t = Kt −K0 = u.
Potom
K0 = ui·t.
b) V´ypoˇcet doby splatnosti (doby ´uroˇcen´ı) t
t = Kt −K0K
0 ·i
= uK
0 ·i
.
c) V´ypoˇcet ´urokov´e sazby i
i = Kt −K0K
0 ·t
= uK
0 ·t
.
2.2.3 Diskont
ˇCasto ve finanˇcn´ı a ekonomick´e praxi se setk´av´ame s t´ım, ˇze potˇrebujeme
porovnat hodnoty kapit´alu v ˇcase. Kapit´al v ˇcase m´a r˚uznou hodnotu: ˇc´ım
dˇr´ıve kapit´al budeme m´ıt, t´ım dˇr´ıve jej m˚uˇzeme investovat a za dobu t se
n´am z´uroˇc´ı – ponese n´am ´urok.
Abychom mohli porovn´avat kapit´al v ˇcase, potˇrebujeme zn´at pojem souˇcas-
n´a hodnota.
Souˇcasnou hodnotou kapit´alu rozum´ıme kapit´al, kter´y po z´uroˇcen´ı v ˇca-
sov´em obdob´ı dos´ahne budouc´ı hodnotu.
Jestliˇze oznaˇc´ıme souˇcasnou hodnotu K0 a budouc´ı hodnotu Kt, potom
souˇcasnou hodnotu vypoˇc´ıt´ame
K0 = Kt1 + i·t.
V´ypoˇcet souˇcasn´e hodnoty se naz´yv´a t´eˇz diskontov´an´ı.
Jestliˇze je Kt = 1 Kˇc a i ´urokov´a sazba v setin´ach a t = 1 rok, potom K0
ud´av´a souˇcasnou hodnotu 1 Kˇc splatn´e za rok pˇri ´urokov´e sazbˇe i.
Potom v´yraz 11+i naz´yv´ame diskontn´ım faktorem a ud´av´a souˇcasnou hod-
notu 1 Kˇc splatn´e za 1 rok pˇri ´urokov´e sazbˇe i.
Pˇr´ıklad 2.3.
Co je v´yhodnˇejˇs´ı pˇri koupi daru? Zaplatit za nˇej nyn´ı v hotovosti 8000 Kˇc
nebo si na nˇej vyp˚ujˇcit a zaplatit za rok s ´urokem 8300 Kˇc, kdyˇz banka
nab´ız´ı ´urokovou sazbu 7% p.a.?
34
ˇReˇsen´ı.
K0 = Kt1 + i·t,
K0 = 83001 + 0,07·1 = 83001,07 = 7757,0094 ∼= 7757.
Porovn´an´ı obou zp˚usob˚u:
a) platba v hotovosti 8000 Kˇc
b) platba na p˚ujˇcku 7757 Kˇc
c) 8 000 Kˇc > 7757 Kˇc
V tomto pˇr´ıpadˇe je v´yhodnˇejˇs´ı zaˇz´adat o p˚ujˇcku, nebot’ souˇcasn´a hodnota
8300 Kˇc, kter´e m´ame zaplatit za rok, je pr´avˇe dnes 7757 Kˇc. Tedy, zaplat´ıme-
li za rok 8300 Kˇc, je to, jako bychom dnes zaplatili 7757 Kˇc. Hotovostn´ı
zp˚usob placen´ı je m´enˇe v´yhodn´y.
Diskont je tedy ´urok ode dne v´yplaty do dne splatnosti. Diskont
m˚uˇzeme poˇc´ıtat z budouc´ı hodnoty Kt nebo ze souˇcasn´e hodnoty K0.
Podle zp˚usobu v´ypoˇctu rozezn´av´ame:
a) Diskont obchodn´ı Dob – v´ypoˇcet diskontu z budouc´ı hodnoty.
b) Diskont matematick´y Dmat – v´ypoˇcet diskontu ze souˇcasn´e hodnoty.
a) Diskont obchodn´ı
Dob = Kt ·iD ·t,
kde iD je diskontn´ı sazba v setin´ach.
Oznaˇcme Kob obchodn´ı kapit´al (ˇc´astka, kterou banka vyplat´ı), potom
Kob = Kt −Dob = Kt −Kt ·iD ·t = Kt ·(1−iD ·t).
Pˇri zaplacen´ı pohled´avky banka nevyplat´ı vˇeˇriteli (klientovi) celou nomin´aln´ı
hodnotu (budouc´ı hodnotu), ale hodnotu kapit´alu sn´ıˇzenou o obchodn´ı dis-
kont Dob.
Pˇr´ıklad 2.4.
M´ame vypoˇc´ıtat, kolik dostane vyplaceno klient, jemuˇz banka eskontuje (za-
plat´ı dˇr´ıve) smˇenku o nomin´aln´ı hodnotˇe 20000 Kˇc 35 dn´ı pˇred dobou splat-
nosti pˇri diskontn´ı sazbˇe 0,09 p.a. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze banka ne´uˇctuje dalˇs´ı
provize.
ˇReˇsen´ı.
Kob =?, Kt = 20000 Kˇc, iD = 0,09, t = 35 dn´ı = 0,0972 rok˚u.
Tedy
Kob = Kt·(1−iD·t) = 20000·(1−0,09·0,0972) = 20000·0,9913 = 19826 Kˇc.
Klient dostane pen´ıze od banky o 35 dn´ı dˇr´ıve, ale m´ısto 20000 Kˇc pouze
19826 Kˇc, nebot’ banka si zapoˇc´ıtala obchodn´ı diskont.
35
2. Jednoduch´e ´uroˇcen´ı
b) Diskont matematick´y
Matematick´y diskont vypoˇc´ıt´ame jako ´urok ze souˇcasn´e hodnoty. Tedy
Dmat = K0 ·iD ·t.
Jestliˇze do dan´eho v´yrazu dosad´ıme za K0 = Kt1+i
D·t
, obdrˇz´ıme
Dmat = Kt ·iD ·t1 + i
D ·t
.
Z obchodn´ıho diskontu v´ıme, ˇze Dob = Kt·iD·t. Dosad´ıme-li tento vztah do
ˇcitatele z pˇredch´azej´ıc´ıho v´yrazu, obdrˇz´ıme vztah mezi matematick´ym a
obchodn´ım diskontem.
Dmat = Dob1 + i
D ·t
⇒ Dob > Dmat.
2.2.4 Jednoduch´e ´uroˇcen´ı pˇredlh˚utn´ı
Nˇekdy se setk´av´ame s ´uroˇcen´ım pˇredlh˚utn´ım (anticipativn´ım), kdy je ´urok
placen na zaˇc´atku ´urokovac´ıho obdob´ı. Pˇr´ıjemce kapit´alu nedost´av´a ce-
lou ˇc´astku Kt, ale kapit´al sn´ıˇzen´y o ´urok, coˇz je vlastnˇe obchodn´ı diskont.
Pˇredpokl´adejme, ˇze doba splatnosti kapit´alu bude jeden rok, a proto za-
plat´ıme ´urok za tento jeden rok.
Jestliˇze oznaˇc´ıme
K1 – kapit´al splatn´y za jeden rok,
I – ´urokov´a sazba v setin´ach p.a.,
K0 – vyplacen´y kapit´al (hodnota dluhu na poˇc´atku),
potom
K0 = K1 −K1 ·I = K1 ·(1−I) ⇒ K1 = K01−I.
Jestliˇze chceme vyj´adˇrit hodnotu kapit´alu Kt v ˇcase t, kde t ∈ 〈0,1〉, tedy
v libovoln´em ˇcase mezi dobou v´yplaty a dobou splatnosti pˇri pˇredlh˚utn´ım
(anticipativn´ım) ´uroˇcen´ı, bude platit
Kt = K0 + K1 ·I ·t.
Jestliˇze do naˇs´ı rovnice dosad´ıme za K1 = K01−I, z´ısk´ame z´akladn´ı rovnici pro
jednoduch´e pˇredlh˚utn´ı ´uroˇcen´ı ve tvaru
Kt = K0 + K01−I ·I ·t = K0 ·
parenleftbigg
1 + I1−I ·t
parenrightbigg
.
Porovn´an´ı jednoduch´eho polh˚utn´ıho a pˇredlh˚utn´ıho ´uroˇcen´ı (de-
kurzivn´ıho a anticipativn´ıho):
Rovnice pro z´uroˇcen´y kapit´al
Jednoduch´e polh˚utn´ı Jednoduch´e pˇredlh˚utn´ı
Kt = K0 ·(1 + i·t) Kt = K0 ·
parenleftbig1 + I
1−I ·t
parenrightbig nebo
Kt = K1 ·[1 + I ·(t−1)]
36
Z uveden´ych rovnic je vidˇet, ˇze z´avislost koneˇcn´eho kapit´alu resp. ´uroku je
u obou rovnic line´arn´ı.
K0 – poˇc´ateˇcn´ı kapit´al, kter´y je
s ˇcasem t ´uroˇcen
i – ´urokov´a sazba polh˚utn´ı (de-
kurzivn´ı)
i = I1−I
K0 – kapit´al, kter´y obdrˇz´ı
klient a kter´y se s ˇcasem t
´uroˇc´ı a plat´ı
K0 = K1 ·(1−I)
I – ´urokov´a sazba pˇredlh˚ut-
n´ı (anticipativn´ı)
Plat´ı vztah
i = I1−I nebo I = i1 + i
Z´avˇer: Jestliˇze ´uroˇc´ıme tent´yˇz kapit´al K0 pˇredlh˚utnˇe nebo polh˚utnˇe (s od-
pov´ıdaj´ıc´ı ´urokovou sazbou), v´ysledn´y z´uroˇcen´y kapit´al je shodn´y. ´Urokov´an´ı
se liˇs´ı pouze zp˚usobem pˇripisov´an´ı ´urok˚u.
Pˇr´ıklad 2.5.
Kt =?, K0 = 100 Kˇc, i = 0,08, I = i1 + i, t = 9 mˇes´ıc˚u.
ˇReˇsen´ı.
Polh˚utnˇe (dekurzivnˇe) Pˇredlh˚utnˇe (anticipativnˇe)
Kt = K0 ·(1 + i·t) Kt = K0 ·parenleftbig1 + I1−I ·tparenrightbig
Kt = 100·(1 + 0,08·0,75) = 106 Kt = 100·
parenleftBig
1 + 0,0740741−0,074074 ·0,75
parenrightBig
=
Kt = 106 Kˇc = 105,9999
Kt = 105,99 Kˇc
Pˇr´ıklad 2.6.
Pˇredpokl´adejme ´uvˇer ve v´yˇsi 100 Kˇc, splatn´y najednou za 1 rok pˇri ´urokov´e
sazbˇe 10% p.a. Jak´y je rozd´ıl mezi polh˚utn´ım a pˇredlh˚utn´ım ´uroˇcen´ım?
ˇReˇsen´ı.
Polh˚utn´ı: Pˇredlh˚utn´ı:
K0 = 100, i = 0,1, t = 1, Kt =? Kt = 100, I = 0,1, t = 1, K0 =?
K1 = K0 ·(1 + i·t) = 100·1,1= K0 = K1 ·(1−I) = 100·0,9 =
= 110 Kˇc = 90 Kˇc
Na konci roku je nutno zapla-
tit celkem 110 Kˇc, to znamen´a
100 Kˇc ´uvˇeru plus 10 Kˇc ´uroku.
Pˇri pˇredlh˚utn´ım ´uroˇcen´ı z ´uvˇeru
ve v´yˇsi 100 Kˇc obdrˇz´ıme pouze
90 Kˇc (100 Kˇc minus ´urok) a
po roce mus´ıme zaplatit cel´ych
100 Kˇc.
Pˇr´ıklad 2.7.
Kolik dostane vyplaceno klient, kter´y si vyp˚ujˇcil od banky 120000 Kˇc pˇri
15% pˇredlh˚utn´ı ´urokov´e sazbˇe na dobu 1 roku? Kolik zaplat´ı bance, jestliˇze
se rozhodne dluh vr´atit jiˇz za 8 mˇes´ıc˚u?
37
2. Jednoduch´e ´uroˇcen´ı
ˇReˇsen´ı. Vyplacen´a ˇc´astka ´uvˇeru bankou bude ˇcinit
K0 = K1 ·(1−I) = 120000·(1−0,15) = 120000·0,85 = 102000 Kˇc.
Hodnota ´uvˇeru po 8 mˇes´ıc´ıch bude
Kt = K1 ·[1 + (t−1)·I] = 120000·[1 + (8/12−1)·0,15] =
= 120000·(1−1/3·0,15) = 114000 Kˇc.
Klient dostane vyplaceno 102000 Kˇc a po 8 mˇes´ıc´ıch zaplat´ı 114000 Kˇc.
Pozn´amka. Hodnota dluhu se d´a tak´e vypoˇc´ıtat tak, ˇze od nomin´aln´ı hodnoty
dluhu odeˇcteme obchodn´ı diskont za 4 mˇes´ıce.
Dob = Kt ·iD ·t = 120000·0,15·4/12 = 120000·0,15·1/3 = 6000 Kˇc.
Klient zaplat´ı za 8 mˇes´ıc˚u 120 000−6 000 = 114 000 Kˇc.
Ot´azky k zamyˇslen´ı
1. Klient mˇel od 8.3.2000 do 5.5.2000 uloˇzeno ve spoˇritelnˇe 15000,00 Kˇc
na 8% ´urokovou sazbu p.a. Kolik Kˇc ˇcinil ´urok za tuto dobu?
[193,33 Kˇc]
2. Vypoˇc´ıtejte ´urokov´y v´ynos a koneˇcnou hodnotu pˇri vkladu K0 = 3000
Kˇc pˇri 4% p.a. za 2 roky. [u = 240 Kˇc, Kt = 3240 Kˇc]
3. Na jakou dobu mus´ıme investovat 800 Kˇc pˇri pˇri ´urokov´e sazbˇe 5%
p.a., abychom z´ıskali na ´uroc´ıch 120 Kˇc? [t = 3 roky]
4. Jak´a byla roˇcn´ı ´urokov´a m´ıra pˇri vkladu 700 Kˇc, abychom na ´uroku
z´ıskali 42 Kˇc za 3 roky? [i = 3%]
5. Vypoˇc´ıtejte souˇcasnou hodnotu K0, jestliˇze za 2 roky pˇri 6% p.a. byla
hodnota vkladu 784 Kˇc. [K0 = 700 Kˇc]
6. Pan Voz´ablo si vyp˚ujˇcil 7500 Kˇc pˇri ´urokov´e sazbˇe 7% p.a. dne 10.
dubna. 10. kvˇetna splatil polovinu dluhu a celou ˇc´astku ´uroku dluˇznou
k 10. kvˇetnu. Kolik celkem zaplatil bance? [3794 Kˇc]
7. Vypoˇc´ıtejte ´urok pomoc´ı UC, UD, jestliˇze klient uloˇzil do banky 4.1.
ˇc´astku 8000 Kˇc, dne 18.2. ˇc´astku 4500 Kˇc a 14.4. ˇc´astku 2400 Kˇc.
´Urokov´a sazba byla 6% p.a. Kolik Kˇc z´ıskal klient za tuto dobu na
´uroc´ıch? [u = 811,066 Kˇc]
8. Na jakou hodnotu se z´uroˇcil vklad 120000 Kˇc za 2 roky, 8 mˇes´ıc˚u a 21
dn´ı, je-li ´uroˇcen v bance pˇri ´urokov´e sazbˇe 6% p.a.?
[Kt = 140697,20 Kˇc]
9. Podnikatel prod´a bance smˇenku v nomin´aln´ı hodnotˇe 200000 Kˇc, kter´a
je splatn´a za 2 roky. Podle stavu nab´ıdky a popt´avky po cenn´ych
pap´ırech na burze j´ı banka kupuje s diskontn´ı sazbou 15% p.a. Ko-
lik Kˇc obdrˇz´ı podnikatel za smˇenku? [140000 Kˇc]
38
10. Dluˇzn´ık vystavil dluˇzn´ı ´upis na 20000 Kˇc, splatn´ych i s ´urokem za 8
mˇes´ıc˚u pˇri 8% p.a. Za mˇes´ıc po vystaven´ı dluˇzn´ıho ´upisu jej vˇeˇritel
prodal jin´e osobˇe, kter´a diskontuje dluˇzn´ı ´upisy 9% p.a. Kolik dostane
vˇeˇritel za dluˇzn´ı ´upis? [20015,84 Kˇc]
39
2. Jednoduch´e ´uroˇcen´ı
40
Z´akladn´ı vztahy pro sloˇzen´e ´uroˇcen´ı
Kombinace jednoduch´eho a sloˇzen´eho ´uroˇcen´ı
V´ypoˇcet doby splatnosti pˇri sloˇzen´em ´uroˇcen´ı
V´ypoˇcet souˇcasn´e hodnoty
V´ypoˇcet ´urokov´e sazby
V´ypoˇcet ´uroku pˇri sloˇzen´em ´uroˇcen´ı
Srovn´an´ı jednoduch´eho a sloˇzen´eho ´uroˇcen´ı
Sloˇzen´e ´uroˇcen´ı3
3. Sloˇzen´e ´uroˇcen´ı
C´ıl kapitoly
V prvn´ı kapitole jsme mluvili o jednoduch´em ´uroˇcen´ı, kde se ´uroky poˇc´ıtali
vˇzdy z poˇc´ateˇcn´ıho uloˇzen´eho kapit´alu. V n´asleduj´ıc´ı kapitole se sezn´am´ıme
s v´ypoˇctem ´urok˚u, kdy se tento ´urok poˇc´ıt´a jiˇz z ´uroˇcen´eho kapit´alu. To
znamen´a, ˇze koncem ´urokovac´ıho obdob´ı se k vloˇzen´emu kapit´alu pˇripoˇc´ıt´a
´urok a z takto jiˇz z´uroˇcen´eho kapit´alu na konci dalˇs´ıho ´urokovac´ıho obdob´ı se
vypoˇc´ıt´a ´urok nov´y. C´ılem je tedypochopit tento zp˚usob ´uroˇcen´ı a uvˇedomˇen´ı
si, ˇze lze roˇcn´ı ´urokovac´ı obdob´ı rozdˇelit na obdob´ı kratˇs´ı neˇz jeden rok a
dokonce zav´est i spojit´e ´urokovac´ı obdob´ı, v teorii nejen finanˇcn´ı matema-
tiky, ale i pojistn´e matematiky pouˇz´ıvan´e. D˚uleˇzitou ˇc´ast´ı t´eto kapitoly je
z uveden´ych v´yraz˚u vypoˇc´ıtat pro n´as potˇrebn´e hodnoty a v praxi je pouˇz´ıt.
Dalˇs´ım d˚uleˇzit´ym pojmem je kombinace jednoduch´eho a sloˇzen´eho ´uroˇcen´ı
a z odvozen´ych v´yraz˚u v´ypoˇcet jednotliv´ych hodnot, kter´e jsou pro bˇeˇznou
praxi potˇrebn´e.
ˇCasov´a z´atˇeˇz
Prostudov´an´ı a pochopen´ı vztah˚u t´eto kapitoly vyˇzaduje 12 hod.
´Uvod
Doposud jsme vych´azeli z toho, ˇze se ´uroky poˇc´ıtaj´ı st´ale ze stejn´eho z´akladu
– ´uroky rostly line´arnˇe.
Sloˇzen´e ´uroˇcen´ı vych´az´ı z toho, ˇze se ´uroky pˇripoˇc´ıt´avaj´ı k p˚uvodn´ımu ka-
pit´alu a v n´asleduj´ıc´ım obdob´ı se tento z´uroˇcen´y kapit´al bere jako z´aklad pro
dalˇs´ı ´uroˇcen´ı. ´Uroˇc´ı se tedy z´uroˇcen´y kapit´al. Sloˇzen´e ´uroˇcen´ı je moˇzno
rozdˇelit na ´uroˇcen´ı pˇredlh˚utn´ı a polh˚utn´ı.
3.1 Z´akladn´ı vztahy pro sloˇzen´e ´uroˇcen´ı
Oznaˇcme
K0 – p˚uvodn´ı (poˇc´ateˇcn´ı) kapit´al,
i – ´urokov´a sazba v setin´ach,
t – doba splatnosti kapit´alu v letech,
Kt – v´yˇse kapit´alu v dobˇe t = 1,2,3,...
Rok Stav kapit´alu na konci roku
1 K1 = K0 + K0 ·i = K0(1 + i) = K0.(1 + i)
2 K2 = K1 + K1 ·i = K1(1 + i) = K0(1 + i)(1 + i) = K0(1 + i)2
3 K3 = K2 + K2 ·i = K2(1 + i) = K0(1 + i)2(1 + i) = K0(1 + i)3
... ... ...
t Kt = Kt−1 + Kt−1 ·i = K0(1 + i)t−1(1 + i) = K0(1 + i)t
Z naˇs´ı tabulky vid´ıme, ˇze na konci jednotliv´ych let stavy kapit´alu tvoˇr´ı ge-
ometrickou posloupnost, kde se kvocient rovn´a ´urokovac´ımu faktoru
1 + i.
42
Tedy a1 = K0 a q = 1 + i.
Pˇrirozen´e mocniny ´urokovac´ıho faktoru se naz´yvaj´ı ´uroˇcitel´e a ud´avaj´ı, jak
vzroste vklad 1 Kˇc za dobu t pˇri ´urokov´e sazbˇe i za pˇredpokladu, ˇze
K0 = 1 Kˇc.
Celkov´y ´urokov´y v´ynos neroste jako u jednoduch´eho ´uroˇcen´ı line´arnˇe, ale
exponenci´alnˇe.
t ˇcas
kapit´al
´urok
´urokK
0
i = 20 %
i = 10 %
Obr´azek 3.1: Z´avislost ´uroku a v´yˇse kapit´alu na dobˇe splatnosti
Z´akladn´ı rovnice pro sloˇzen´e ´uroˇcen´ı tedy bude
Kt = K0 ·(1 + i)t.
Tato rovnice plat´ı za pˇredpokladu, ˇze t je cel´e kladn´e ˇc´ıslo a ´uroˇcen´ı
prob´ıh´a koncem kaˇzd´eho roku.
Pˇr´ıklad 3.1.
Uloˇzili jsme ˇc´astku 12000 Kˇc. Jak´a bude v´yˇse kapit´alu za 3 roky pˇri sloˇzen´em
´uroˇcen´ı, jestliˇze ´urokov´a sazba bude 5 % p.a.?
ˇReˇsen´ı.
Kt = K0 ·(1 + i)t,
Kt = 12000·(1 + 0,05)3 = 12000·1,157625 = 13891,50 Kˇc.
Koneˇcn´a hodnota kapit´alu bude 13891,50 Kˇc.
Pˇredpokl´adejme, ˇze t je cel´e kladn´e ˇc´ıslo, ale ´urokovac´ı obdob´ı je kratˇs´ı
neˇz jeden rok. ´Urokov´an´ı prob´ıh´a m-kr´at za rok.
Oznaˇcme opˇet
K0 – p˚uvodn´ı (poˇc´ateˇcn´ı) kapit´al,
i – roˇcn´ı ´urokov´a sazba v setin´ach,
i
m – ´urokov´a sazba za jednu m-tinu roku,K
m – stav kapit´alu na konci m-t´e ˇc´asti roku.
43
3. Sloˇzen´e ´uroˇcen´ı
ˇC´ast
roku Stav kapit´alu na konci m-t´e ˇc´asti roku
1 K1 = K0 + K0 · im = K0(1 + im) = K0(1 + im)
2 K2 = K1 + K1 · im = K1(1 + im) = K0(1 + im)(1 + im) = K0(1 + im)2
3 K3 = K2 + K2 · im = K2(1 + im) = K0(1 + im)2(1 + im) = K0(1 + im)3
... ... ...
m Km = Km−1 + Km−1 im = Km−1(1 + im)m−1(1 + im) = K0(1 + im)m
Stav kapit´alu ´uroˇcen´y m-kr´at za rok bude na konci roku
Km = K0 ·
parenleftbigg
1 + im
parenrightbiggm
a za t let bude
Kt = K0 ·
bracketleftbiggparenleftbigg
1 + im
parenrightbiggmbracketrightbiggt
= K0 ·
parenleftbigg
1 + im
parenrightbiggm·t
.
Pˇr´ıklad 3.2.
Jako v pˇredch´azej´ıc´ım pˇr´ıkladu jsme si uloˇzili 12000 Kˇc. Jak´a bude v´yˇse
kapit´alu za 3 roky pˇri sloˇzen´em ´uroˇcen´ı polh˚utn´ım, jestliˇze ´urokovac´ı obdob´ı
bude ˇctvrtletn´ı a ´urokov´a sazba ˇcin´ı 5 % p.a.?
ˇReˇsen´ı.
Kt = K0 ·
parenleftbigg
1 + im
parenrightbiggm·t
,
Kt = 12000·
parenleftbigg
1 + 0,054
parenrightbigg4·3
= 12000·1,012512 = 12000·1,1607545 =
= 13929,054 Kˇc.
Koneˇcn´a hodnota kapit´alu pˇri stanoven´ych podm´ınk´ach bude 13929,054 Kˇc.
3.2 Kombinace jednoduch´eho a sloˇzen´eho ´uroˇcen´ı
Ke kombinaci jednoduch´eho a sloˇzen´eho ´uroˇcen´ı doch´az´ı tehdy, jestliˇze jsou
´uroky pˇripisov´any po urˇcitou dobu k poˇc´ateˇcn´ımu vkladu a s n´ım d´ale ´uro-
ˇceny (sloˇzen´e ´uroˇcen´ı), ale na konci je nutno vypoˇc´ıtat ´urok za dobu kratˇs´ı
neˇz je ´urokovac´ı obdob´ı (kratˇs´ı neˇz jeden rok – jednoduch´e ´uroˇcen´ı).
Necht’ plat´ı podm´ınka
t negationslash= kladn´e cel´e ˇc´ıslo,
t = n + R, kde n je ˇc´ıslo, kter´e ud´av´a poˇcet cel´ych ukonˇcen´ych let a
R < 1 (je ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz 1), je ˇc´ıslo, kter´e ud´av´a neukonˇcen´e ´urokovac´ı
obdob´ı (ˇc´ast roku).
Poˇc´ateˇcn´ı kapit´al K0 nejprve ´uroˇc´ıme sloˇzen´ym ´uroˇcen´ım po celou do