Distanční studijní opora

ktiva .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
10.1. Hmotn´a aktiva 106
10.2. Finanˇcn´ı aktiva 107
10.3. Akcie 110
Pˇr´ıloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Obsah
´Uvod
´Uvod
Studijn´ı pom˚ucka slouˇz´ı jako samostatn´a uˇcebnice poˇcetn´ıch operac´ı finanˇcn´ı matematiky. Obsa-
huje vedle v´yklad˚u v´ypoˇcetn´ıch postup˚u i uk´azkov´e pˇr´ıklady pro pochopen´ı odvozen´ych vztah˚u
v t´eto publikaci. Pˇredpokl´adan´e znalosti z matematiky nepˇrekraˇcuj´ı stˇredoˇskolskou ´uroveˇn.
Kaˇzdodennˇe se setk´av´ame s ot´azkami, jakou v´yˇsi ´uroku obdrˇz´ıme od banky za n´aˇs vklad, nebo jak
dlouho mus´ıme spoˇrit, abychom naspoˇrili n´ami stanovenou finanˇcn´ı ˇc´astku, nebo kolik zaplat´ıme
na ´uroc´ıch pˇri spl´acen´ı ´uvˇeru a jak dlouho jej budemespl´acet. S tˇemito a sˇradou dalˇs´ıch podobn´ych
ot´azek se setk´av´ame kaˇzdodennˇe. Pro studenty kombinovan´eho a distanˇcn´ıho studia jsou znalosti
z finanˇcn´ı matematiky o to d˚uleˇzitˇejˇs´ı, nebot’ vztahy odvozen´e v tomto studijn´ım textu pouˇz´ıvaj´ı
ve sv´e kaˇzdodenn´ı praxi. Nejde pouze o pouˇz´ıv´an´ı vzorc˚u, ale tak´e porozumˇen´ı vz´ajemn´ych vztah˚u
i vysvˇetlen´ı, nejen pro potˇreby koleg˚u, ale i klient˚u.
Pˇredloˇzen´y text obsahuje nejen odvozen´ı jednotliv´ych vztah˚u pro v´ypoˇcet ˇz´adan´ych hodnot, ale i
ˇradu uk´azkov´ych pˇr´ıklad˚u, kter´e je nutno tak´e spoˇc´ıtat, abyste pochopili praktick´e v´ypoˇcty nutn´e
pro bˇeˇznou praxi.
M˚uˇze se st´at, ˇze nˇekter´ym v´yraz˚um, odvozen´ım a vztah˚um neporozum´ıte. Proto je velmi vhodn´e
si dˇelat pr˚ubˇeˇzn´e pozn´amky a vaˇse pˇripom´ınky k zdokonalen´ı tˇechto text˚u budou vˇzdy v´ıtan´e a
zlepˇs´ı nejen metodiku, ale i obsah t´eto studijn´ı pom˚ucky. Na z´avˇer je uvedeno shrnut´ı jednotliv´ych
vzorc˚u pro potˇreby student˚u a tak´e pro rychlou orientaci v dan´e problematice.
Procentov´y poˇcet
Funkce
Posloupnosti a ˇrady
Pr ˚umˇery
Potˇrebn´e z´aklady
z matematiky1
1. Potˇrebn´e z´aklady z matematiky
C´ıl kapitoly
C´ılem t´eto kapitoly je sezn´amit se a zopakovat potˇrebn´e poˇcetn´ı operace a
pojmy z matematiky pro lepˇs´ı pochopen´ı studovan´ych probl´em˚u. Tato kapi-
tola je pro studenty, kteˇr´ı jsou jiˇz urˇcitou dobu v praxi a na ˇradu z´akladn´ıch
poznatk˚u z matematiky jiˇz zˇc´asti pozapomnˇeli. V t´eto ˇc´asti nebudou uve-
deny pˇr´ıklady pro cviˇcen´ı, nebot’ bude slouˇzit pouze pro pochopen´ı vztah˚u
v pˇr´ıˇst´ıch kapitol´ach a vˇzdy se k n´ı m˚uˇzete vracet a aplikovat tyto poznatky
pˇri studiu finanˇcn´ı matematiky. Jsou vˇzdy za kaˇzdou kapitolou uveden´e
uk´azkov´e pˇr´ıklady, kter´e postaˇcuj´ı pro zopakov´an´ı jiˇz zapomenut´eho.
ˇCasov´a z´atˇeˇz
ˇCasov´a z´atˇeˇz nen´ı uv´adˇen´a a ani nutn´a, nebot’ se k t´eto kapitole budete vracet
pokud neporozum´ıte studovan´ym probl´em˚um finanˇcn´ı matematiky. Nˇekdo se
k t´eto kapitole nebude muset vracet v˚ubec, nebot’ m´a jeˇstˇe v dobr´e pamˇeti
jednotliv´e vztahy a pojmy ze stˇredn´ı ˇskoly.
1.1 Procentov´y poˇcet
Procento – vyjadˇruje jednu setinu celku.
Pro jedno procento plat´ı:
1 % = 1100 = 0,01 ze z´akladu
100 % = jeden celek = cel´y z´aklad
V jednoduch´ych ´uloh´ach s procenty se setk´av´ame s tˇemito veliˇcinami.
a) z´aklad – oznaˇcujeme jej z
b) poˇcet procent – oznaˇcujeme jej p
c) procentov´a ˇc´ast – oznaˇcujeme j´ı x
Obecnˇe pˇri ˇreˇsen´ı jednoduch´ych ´uloh vˇetˇsinou zn´ame dvˇe hodnoty a chceme
vypoˇc´ıtat tˇret´ı, kterou nezn´ame a podle toho rozliˇsujeme tˇri z´akladn´ı typy
´uloh:
a) v´ypoˇcet procentov´e ˇc´asti: x = z ·p100
b) v´ypoˇcet z´akladu: z = x·100p
c) v´ypoˇcet poˇctu procent: p = x·100z
K v´ypoˇct˚um bez pouˇzit´ı uveden´ych vzorc˚u m˚uˇzeme pouˇz´ıt ´umˇeru nebo troj-
ˇclenku.
Pˇr´ıklad 1.1.
Prodejna mˇela sjednan´y pod´ıl na zisku ve v´yˇsi 10 % s prodejn´ı ceny v´yrobku.
Kolik je to procent z v´yrobn´ı ceny v´yrobku, jestliˇze prodejn´ı cena byla 115 %
v´yrobn´ı ceny?
18
ˇReˇsen´ı.
M´ame tedy zjistit, jak velkou ˇc´ast ˇcin´ı zisk ve v´yˇsi 10 % z prodejn´ı ceny
vzhledem k v´yrobn´ı cenˇe.
z = 115, p = 10 %, x =?
x = z ·p100 = 115·10100 = 11,50
Zisk ˇcinil 11,50 % z v´yrobn´ı ceny.
Pˇr´ıklad 1.2.
Daˇn z pˇr´ıjmu ˇcinila pˇri daˇnov´e sazbˇe 25,5 % ˇc´astku 1250 Kˇc. Jak vysok´y byl
pˇr´ıjem?
ˇReˇsen´ı.
x = 1250 Kˇc, p = 25,5 %, z =?
z = x·100p = 1250·10025,5 = 4901,9608 Kˇc
Tuto ´ulohu m˚uˇzeme vypoˇc´ıtat t´eˇz pomoc´ı ´umˇery:
25,5 % ... odpov´ıd´a ... 1250 Kˇc
100 % ... odpov´ıd´a ... z
Zap´ıˇseme: z : 1250 = 100 : 25,5 nebo z1250 = 10025,5
Hrub´y pˇr´ıjem ˇcinil 4901,9608 Kˇc
1.2 Funkce
Pro pochopen´ı z´avislost´ı ve finanˇcn´ı matematice si zopakujeme nˇekter´e
funkce, na kter´e se budeme pˇri vysvˇetlov´an´ı finanˇcn´ı matematiky odvol´avat.
1.2.1 Pojem funkce
Funkc´ı rozum´ıme pˇredpis, kter´ym kaˇzd´emu ˇc´ıslu x z urˇcit´e mnoˇziny D pˇriˇra-
zujeme pr´avˇe jedno ˇc´ıslo y z mnoˇziny M.
Veliˇcinu x naz´yv´ame nez´avisle promˇennou.
Veliˇcinu y naz´yv´ame z´avisle promˇennou (z´avis´ı na volbˇe hodnoty x).
Mnoˇzinu D vˇsechˇc´ısel x, pro nˇeˇz je funkce definovan´a, naz´yv´ame definiˇcn´ım
oborem funkce f.
Mnoˇzinu M vˇsech ˇc´ısel y, kter´ych dan´a funkce nab´yv´a pro x ∈ D, naz´yv´ame
oborem funkce (oborem funkˇcn´ıch hodnot nebo z´avisl´ym oborem) dan´e
funkce f.
Pozn´amka. ˇR´ık´ame, ˇze dvˇe veliˇciny jsou pˇr´ımo ´umˇern´e, jestliˇze pod´ıl kaˇzd´ych
dvou odpov´ıdaj´ıc´ıch si hodnot xi, yi je roven konstantˇe. Tedy:
y1
x1 =
y2
x2 = ··· =
yn
xn = k.
19
1. Potˇrebn´e z´aklady z matematiky
Zapisujeme: y = f(x)
Pˇr´ıklad 1.3.
Cena za 1 kg pomeranˇc˚u je 23 Kˇc. Jak´a bude cena za 3 kg pomeranˇc˚u?
Cena za 3 kg pomeranˇc˚u je z´avisle promˇenn´a, poˇcet kilogram˚u z´avis´ı na naˇs´ı
volbˇe – hodnota nez´avisle promˇenn´a.
Potom zap´ıˇseme: y = 23·x = 23·3 = 69 Kˇc.
V matematice jste jistˇe prob´ırali ˇradu funkc´ı jak na z´akladn´ı tak i na stˇredn´ı
ˇskole. Pro naˇsi potˇrebu ve finanˇcn´ı matematice si vysvˇetl´ıme pouze ty funkce,
kter´e budeme potˇrebovat pro vysvˇetlen´ı nˇekter´ych funkˇcn´ıch z´avislost´ı a vy-
tvoˇrili si potˇrebn´e pˇredpoklady jejich pochopen´ı.
1.2.2 Line´arn´ı funkce
V ekonomick´ych ´uvah´ach se ˇcasto setk´ame se z´avislost´ı, kterou naz´yv´ame
pˇr´ım´a ´umˇernost. Tato pˇr´ım´a ´umˇernost je zn´azornˇena pr´avˇe line´arn´ı
funkc´ı.
Line´arn´ı funkci zapisujeme:
y = k·x+ q, x ∈ R (1.1)
Tato line´arn´ı funkce pˇredstavuje pˇr´ımku v rovinˇe, kde jsou k, q konstanty –
k ud´av´a smˇernici pˇr´ımky a m˚uˇzeme j´ı vyj´adˇrit jako tg ϕ = k, kde ϕ je ´uhel,
kter´y sv´ır´a pˇr´ımka s osou x.
x je nez´avisle promˇenn´a, y je z´avisle promˇenn´a.
y
x0
y = kx + q
ϕ
q
Obr´azek 1.1: Graf line´arn´ı funkce
1.2.3 Exponenci´aln´ı funkce
Pod pojmem exponenci´aln´ı funkce rozum´ıme takovou funkci, kter´a m´a nez´a-
visle promˇennou exponentu.
Exponenci´aln´ı funkci zapisujeme:
y = ax, (1.2)
20
kde definiˇcn´ı obor funkce je: D(f) = (−∞,∞)
H(f) = (0,∞)
Pro a > 1 je funkce rostouc´ı.
Pro 0 < a < 1 je funkce klesaj´ıc´ı.
Pro x = 0 je y = 1 u kaˇzd´e exponenci´aln´ı funkce necht’ je a (z´aklad)
jak´ekoliv re´aln´e ˇc´ıslo.
Funkˇcn´ı hodnoty exponenci´aln´ı funkce jsou pro libovoln´e hodnoty nez´avisle
promˇenn´e x vˇzdy kladn´e.
Speci´aln´ım pˇr´ıpadem je exponenci´aln´ı funkce:
y = ex, (1.3)
jej´ımˇz z´akladem je Eulerovo ˇc´ıslo e = 2,71828, a je rostouc´ı pro vˇsechna
x ∈ (−∞,∞).
Exponenci´aln´ı funkc´ı m˚uˇzeme zn´azornit sloˇzen´e ´uroˇcen´ı, jestliˇze nez´avisle
promˇenou je ˇcas t a z´avisle promˇennou je velikost z´uroˇcen´eho kapit´alu Kt,
pˇri zvolen´e ´urokov´e sazbˇe.
y
x0
1
y = axy = e
x
Obr´azek 1.2: Graf exponenci´aln´ı funkce
1.2.4 Logaritmick´a funkce
Ze stˇredn´ı ˇskoly je zn´amo, ˇze logaritmick´a funkce je inverzn´ı funkc´ı k funkci
exponenci´aln´ı. Definiˇcn´ı obor exponenci´aln´ı funkce je oborem funkˇcn´ıch hod-
not funkce logaritmick´e a obor funkˇcn´ıch hodnot exponenci´aln´ı funkce je
definiˇcn´ım oborem funkce logaritmick´e.
Tedy: D(f) = (0,∞)
H(f) = (−∞,∞)
Logaritmickou funkci zapisujeme:
y = logax, kde x ∈ (0,∞). (1.4)
21
1. Potˇrebn´e z´aklady z matematiky
Plat´ı t´eˇz: ay = x
ˇC´ıslo x urˇc´ıme, jestliˇze umocn´ıme z´aklad logaritmu na logaritmus ˇc´ısla x.
y
x0 1
y = loga x
Obr´azek 1.3: Graf logaritmick´e funkce
Pˇr´ıklad 1.4.
Urˇcete ˇc´ıslo x jestliˇze plat´ı: log2 x = 3.
ˇReˇsen´ı. 23 = 8, x = 8
Tedy: log2 8 = 3
Pro poˇcetn´ı ´ukony s logaritmy plat´ı tato pravidla:
Jestliˇze x a y jsou libovoln´a ˇc´ısla pak plat´ı:
a) loga(x·y) = loga x + loga y b) logaparenleftbigxyparenrightbig= loga x−loga y
c) loga xn = n·loga x d) loga n√xm = mn ·loga x
Pˇr´ıklad 1.5.
logx = log(134,678·28,984) = log134,678 + log28,984
logx = 2,1292967 + 1,4621583 = 3,591455
x = 3903,5075
Pˇr´ıklad 1.6.
logx = log(134,678/28,984) = log134,678−log28,984
logx = 2,1292967−1,4621583 = 0,6671384
x = 4,646633
Pˇr´ıklad 1.7.
logx = log1000,05 = 0,05·log100 = 0,05·2 = 0,1
logx = 0,1
x = 1,25893
22
Pˇr´ıklad 1.8.
logx = log 0,24
√
453,4 = 3,4/0,24·log45 = 14,166667·1,6532125 = 23,420511
logx = 23,420511
x = 2,633365623
Hodnoty logaritm˚u ˇc´ısel nalezneme v logaritmick´ych tabulk´ach, nebo je ur-
ˇc´ıme pomoc´ı kapesn´ıho kalkul´atoru.
1.3 Posloupnosti a ˇrady
Ve finanˇcn´ı matematice, pojistn´e matematice a ekonomick´ych v´ypoˇctech se
ˇcasto setk´av´ame s aplikacemi posloupnost´ı a ˇrad.
Z´akladn´ı pojmy:
Jestliˇze pˇriˇrad´ıme kaˇzd´emu pˇrirozen´emu ˇc´ıslu n urˇcit´e ˇc´ıslo an, potom ˇc´ısla:
a1,a2,a3,...,ak,... naz´yv´ame posloupnost.
V´yraz (souˇcet ˇclen˚u posloupnosti): a1 + a2 + a3 + ··· + ak + ... naz´yv´ame
ˇradou a ˇc´ısla a1,a2,a3,...,ak,... ˇcleny ˇrady.
Jestliˇze m´a ˇrada koneˇcn´y poˇcet ˇclen˚u, naz´yv´a se koneˇcnou ˇradou. Jestliˇze
m´a ˇrada nekoneˇcn´y poˇcet ˇclen˚u, naz´yv´a se nekoneˇcnou ˇradou.
1.3.1 Aritmetick´a posloupnost
Posloupnost, u kter´e rozd´ıl (diference) dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚u je kon-
stantn´ı, se naz´yv´a aritmetick´a posloupnost.
ak+1 −ak = k = d, kde k je konstanta.
Odvozen´ı:
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + dbracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
a2
+d = a1 + 2·d
...
an = a1 + (n−1)·d
Takˇze n-t´y ˇclen vypoˇc´ıt´ame:
an = a1 + (n−1)·d
a1 – je prvn´ı ˇclen ˇrady n – je poˇcet ˇclen˚u
an – je posledn´ı ˇclen ˇrady d – je diference aritmetick´e ˇrady
23
1. Potˇrebn´e z´aklady z matematiky
Pro aritmetickou ˇradu plat´ı, ˇze kaˇzd´y jej´ı ˇclen je aritmetick´ym pr˚umˇerem
sv´ych sousedn´ıch ˇclen˚u.
ak = 12(ak−1 + ak+1)
Pro souˇcet n ˇclen˚u aritmetick´e ˇrady plat´ı:
Sn = 12(a1 + an)
Dosad´ıme-li do naˇseho v´yrazu za an = a1+(n−1)·d, m˚uˇzeme souˇcet n ˇclen˚u
vyj´adˇrit:
Sn = n2parenleftbig2·a + (n−1)·dparenrightbig
Ze vzorce vypl´yv´a, ˇze m˚uˇzeme zp´arovat vˇzdy dva ˇcleny ˇrady – prvn´ı a
posledn´ı, druh´y a pˇredposledn´ı atd., pˇriˇcemˇz souˇcty tˇechto dvojic jsou
konstantn´ı. Takov´ych dvojic m˚uˇzeme sestavit polovinu z celkov´eho poˇctu
ˇclen˚u ˇrady – n2.
Pˇr´ıklad 1.9.
Aritmetick´a posloupnost m´a diferenci d = −12 a n-t´y ˇclen an = 15. Kolik
prvn´ıch ˇclen˚u posloupnosti m´a souˇcet Sn = 456? Kter´emu ˇc´ıslu se rovn´an
prvn´ı ˇclen?
Vych´az´ıme ze souˇctu aritmetick´e ˇrady a v´yrazu pro v´ypoˇcet n-t´eho ˇclenu:
456 = n2parenleftbig2a1 + (n−1)(−12)parenrightbig
15 = a1 + (n−1)(−12)
Po ´upravˇe budeme ˇreˇsit jako soustavu dvou rovnic o dvou nezn´am´ych.
912 = n(2a1 −12n + 12)
15 = a1 −12n + 12 =⇒ a1 = 12n + 3
Dosad´ıme do rovnice 912 = nparenleftbig2(12n + 3)−12n + 12parenrightbig a obdrˇz´ıme:
912 = n(24n + 6−12n + 12) = n(12n + 18) = 12n2 + 18n
152 = 2n2 + 3n
2n2 + 3n−152 = 0
ˇReˇs´ıme jako kvadratickou rovnici:
n1,2 = −3±
√9 + 4·2·152
2·2 =
−3±√1225
4 =



8
−388
Poˇcet ˇclen˚u aritmetick´e ˇrady je n = 8.
Nyn´ı dosad´ıme do v´yrazu: a1 = 12n + 3 =⇒ a1 = 12·8 + 3 = 99
Prvn´ı ˇclen aritmetick´e ˇrady se rovn´a ˇc´ıslu 99.
24
Pˇr´ıklad 1.10.
M´ame vypoˇc´ıtat n-t´y ˇc´asteˇcn´y souˇcet, jestliˇze je a1 = 3, d = −1.
Pouˇzijeme v´yraz pro v´ypoˇcet souˇctu ˇrady: Sn = n2parenleftbig2·a1 + (n−1)·dparenrightbig
Sn = n2parenleftbig2·3 + (n−1)(−1)parenrightbig= n2(6−n + 1) =
= n2(7−n)
Sn = n2(7−n)
1.3.2 Geometrick´a posloupnost
Posloupnost, u n´ıˇz pod´ıl kter´ychkoliv dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚u je kon-
stantn´ı, se naz´yv´a geometrick´a posloupnost.
Pod´ıl tˇechto dvou ˇclen˚u naz´yv´ame kvocientem a znaˇc´ıme jej p´ısmenem q.
Odvozen´ı:
a1 = a1
a2 = a1 ·q
a3 = a2 ·q = a1 ·q ·q = a1 ·q2
...
an = a1 ·qn−1
Takˇze n-t´y ˇclen vypoˇc´ıt´ame:
an = a1 ·qn−1
Je-li q > 1, je ˇrada rostouc´ı
Je-li q ∈ (0,1), je ˇrada klesaj´ıc´ı
Je-li q < 0, je ˇrada alternuj´ıc´ı (stˇr´ıdav´a)
Je-li q = 1, ˇrada obsahuje stejn´e ˇcleny
Pro souˇcet n ˇclen˚u geometrick´e ˇrady pro q negationslash= 1 plat´ı:
Sn = a1 · q
n −1
q −1 pro q > 1, Sn = a1 ·
1−qn
1−q pro q ∈ (0,1).
Kaˇzd´y ˇclen geometrick´e ˇrady je geometrick´ym pr˚umˇerem z jeho dvou
sousedn´ıch ˇclen˚u:
ak = √ak−1 ·ak+1
Pˇr´ıklad 1.11.
V geometrick´e posloupnosti je souˇcet prvn´ıch dvou ˇclen˚u 4 a souˇcet jejich
druh´ych mocnin 10. M´ame urˇcit tuto posloupnost.
a1 + a2 = 4
a21 + a22 = 10
25
1. Potˇrebn´e z´aklady z matematiky
ˇReˇsen´ı.
Z prvn´ı rovnice si vyj´adˇr´ıme a2 a dosad´ıme do druh´e rovnice, z n´ıˇz vypoˇc´ıt´ame
kvocient a1.
a2 = 4−a1
Tento v´yraz dosad´ıme za a2 do druh´e rovnice a vypoˇc´ıt´ame prvn´ı ˇclen a1.
a21 + (4−a1)2 = 10
a21 + 16−8a1 + a21 = 10
2a21 −8a1 + 6 = 0
a21 −4a1 + 3 = 0
a1,2 = 4±
√16−12
2 =
3
1 =
braceleftBigg 3
1
a1 = 3 nebo a1 = 1, a2 = 4 −3 = 1, a2 = 4− 1 = 3 =⇒ q = a2a1 = 13 nebo
q = 31 = 3.
Pˇr´ıklad 1.12.
M´ame vypoˇc´ıtat souˇcet geometrick´e ˇrady kde n = 5, q = 1 + r, r = 3 a
a1 = 2000.
Sn = 2000(1 + 3)
5 −1
(1 + 3)−1 = 2000
45 −1
4−1 = 2000
1023
3 = 682000
Sn = 682000
1.4 Pr ˚umˇery
1.4.1 Aritmetick´y pr˚umˇer
Aritmetick´y pr˚umˇer xa je pro n ˇc´ısel a1,a2,...,an definov´an jako souˇcet
tˇechto ˇc´ısel dˇelen´y jejich poˇctem. Tedy:
xa = a1 + a2 +···+ ann = 1n
nsummationdisplay
i=1
ai.
Jestliˇze jsou mezi dan´ymi ˇc´ısly ai stejn´a ˇc´ısla, potom m˚uˇzeme v´ypoˇcet arit-
metick´eho pr˚umˇeru zjednoduˇsit.
Mˇejme poˇcet n1 ˇc´ısel a1, n2 ˇc´ısel a2, ...nr ˇc´ısel ar. Potom
xav = n1 ·a1 + n2 ·a2 +···+ nr ·arn
1 + n2 +···+ nr
,
kde n = n1 + n2 +···+ nr.
V tomto pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o v´aˇzen´em aritmetick´em pr˚umˇeru, kde ˇc´ısla
n1, n2,..., nr jsou v´ahy ˇc´ısel a1, a2,..., ar.
26
S aritmetick´ym pr˚umˇerem se setk´av´ame pˇri v´ypoˇctu napˇr´ıklad stˇredn´ı doby
splatnosti v´ıce pohled´avek, oˇcek´avan´e v´ynosnosti cenn´ych pap´ır˚u atd.
1.4.2 Geometrick´y pr˚umˇer
Druh´ym druhem pr˚umˇeru je geometrick´y pr˚umˇer xg.
Mˇejme n kladn´ych ˇc´ısel a1, a2,..., an; potom je geometrick´y pr˚umˇer definov´an
jako n-t´a odmocnina souˇcinu n ˇc´ısel.
xg = √a1 ·a2 ·a3 ...an
Jsou-li mezi dan´ymi ˇc´ısly nˇekter´a ˇc´ısla stejn´a, m˚uˇzeme stejnˇe jako u aritme-
tick´eho pr˚umˇeru definovat v´aˇzen´y geometrick´y pr˚umˇer.
xgv =
radicalBig
an11 ·an22 ·an33 ...ankk
1.4.3 Harmonick´y pr˚umˇer
Tˇret´ım druhem pr˚umˇeru je harmonick´y pr˚umˇer xh, kter´y je opˇet pro n
ˇc´ısel d´an v´yrazem:
xh = 1n ·parenleftbig 1a
1
+ 1a
2
+···+ 1a
n
parenrightbig.
Stejnˇe jako v pˇredchoz´ıch pˇr´ıpadech, jsou-li mezi dan´ymi ˇc´ısly ai nˇekter´a ˇc´ısla
stejn´a, m˚uˇzeme definovat v´aˇzen´y harmonick´y pr˚umˇer vztahem:
xhv = 1n ·parenleftbign1a
1
+ n2a
2
+···+ nka
k
parenrightbig.
Vztah mezi aritmetick´ym, geometrick´ym a harmonick´ym pr ˚umˇerem
Mezi aritmetick´ym, geometrick´ym a harmonick´ym pr˚umˇerem existuje vz´a-
jemn´y vztah.
Pro vˇsechna ai negationslash= aj, kde i,j = 1,2,...,n vˇzdy plat´ı:
xa < xg < xh
27
1. Potˇrebn´e z´aklady z matematiky
28
Z´akladn´ı pojmy
Typy ´uroˇcen´ı
Jednoduch´e ´uroˇcen´ı2
2. Jednoduch´e ´uroˇcen´ı
C´ıl kapitoly
C´ılem t´eto prvn´ı kapitoly je pochopit probl´emy jednoduch´eho ´uroˇcen´ı pˇred-
lh˚utn´ıho i polh˚utn´ıho. Nauˇcit se na z´akladˇe odvozen´ych v´yraz˚u vypoˇc´ıtat
jednotliv´e hodnoty a umˇet je v bˇeˇzn´e praxi pouˇz´ıt.Velmi d˚uleˇzitou ˇc´ast´ı je
pojem ´urokov´eho ˇc´ısla a ´urokov´eho dˇelitele, kter´a slouˇz´ı v praxi k v´ypoˇctu
´urok˚u pˇri r˚uzn´e hodnotˇe vkladu a v odliˇsn´em ˇcase. Dalˇs´ım d˚uleˇzit´ym po-
jmem je diskontn´ı faktor, kter´y se v ekonomick´e praxi vyskytuje velmi ˇcasto
v pojmech souˇcasn´a hodnota, cena dluhopisu do doby splatnosti, cena dluho-
pisu atd. T´eto ˇc´asti je nutno vˇenovat patˇriˇcnou pozornost, spoˇc´ıtat uk´azkov´e
pˇr´ıklady a postup jejichˇreˇsen´ı i spoˇc´ıtat pˇr´ıklady uveden´e za touto kapitolou.
Jedinˇe umˇen´ı prakticky pouˇz´ıvat odvozen´e v´yrazy budou svˇedˇcit o pochopen´ı
t´eto kapitoly.
ˇCasov´a z´atˇeˇz
Prostudov´an´ı a pochopen´ı vztah˚u t´eto kapitoly vyˇzaduje 9 hod.
2.1 Z´akladn´ı pojmy
´Urok: je to odmˇena za doˇcasn´e uˇz´ıv´an´ı penˇeˇzit´e ˇc´astky (kapit´alu). Z pohledu
vkladatele (vˇeˇritele) je ´urok odmˇenou, kterou dost´av´a za to,ˇze poskytl sv˚uj
kapit´al doˇcasnˇe nˇekomu jin´emu. Naopak z pohledu dluˇzn´ıka je ´urok cena,
kterou plat´ı dluˇzn´ık za z´ısk´an´ı kapit´alu (´uvˇeru). ´Urok se ˇr´ıd´ı procentn´ım
pomˇerem k uˇz´ıvan´e ˇc´astce a dobou uˇz´ıv´an´ı t´eto ˇc´astky. Vyj´adˇr´ıme-li ´urok
v procentech z hodnoty kapit´alu, obdrˇz´ıme ´urokovou sazbu (´urokovou
m´ıru).
´Urokov´e obdob´ı: je to doba, za kterou se ´uroky pravidelnˇe pˇripisuj´ı. ´Urokov´e
obdob´ı b´yv´a zpravidla:
roˇcn´ı a znaˇc´ı se p.a. (per annum)
pololetn´ı a znaˇc´ı se p.s. (per semestre)
ˇctvrtletn´ı a znaˇc´ı se p.q. (per quartalae)
mˇes´ıˇcn´ı a znaˇc´ı se p.m. (per mensem)
t´ydenn´ı a znaˇc´ı se p.sept. (per septimanam)
denn´ı a znaˇc´ı se p.d. (per diem)
Pro vyj´adˇren´ı d´elky ´urokov´eho obdob´ı se vych´az´ı z r˚uzn´ych zvyklost´ı, z nichˇz
se nejˇcastˇeji uˇz´ıv´a
Anglick´a metoda: je zaloˇzena na skuteˇcn´em poˇctu dn˚u ´urokov´eho obdob´ı
a d´elce roku 365 dn´ı, v pˇrestupn´em roce pak 366 dn´ı.
Francouzsk´a metoda: je zaloˇzena na skuteˇcn´em poˇctu dn˚u ´urokovac´ıho
obdob´ı a d´elce roku 360 dn´ı, (mezin´arodn´ı).
Nˇemeck´a metoda: je zaloˇzena na kombinaci zapoˇc´ıt´av´an´ı cel´ych mˇes´ıc˚u
jako 30 dn´ı a d´elky roku pak 360 dn´ı, (obchodn´ı).
V bˇeˇzn´e praxi se m˚uˇzeme setkat se vˇsemi metodami. V naˇsich ´uvah´ach a
ˇreˇsen´ych pˇr´ıkladech pro jednoduchost budeme nejˇcastˇeji pouˇz´ıvat nˇemeckou
metodu.
30
2.2 Typy ´uroˇcen´ı
Rozliˇsujeme dva z´akladn´ı typy ´uroˇcen´ı:
a) Jednoduch´e ´uroˇcen´ı: ´uroky se poˇc´ıtaj´ı st´ale z p˚uvodn´ıho kapit´alu
K0.
b) Sloˇzen´e ´uroˇcen´ı: ´uroky se pˇripisuj´ı k p˚uvodn´ımu kapit´alu (penˇeˇzn´ı
ˇc´astce) a spolu s n´ım se d´ale ´uroˇc´ı.
´Uroˇcen´ı dˇel´ıme t´eˇz podle toho, kdy doch´az´ı k placen´ı ´uroku. Jestliˇze se ´uroky
plat´ı na konci ´urokov´eho obdob´ı, mluv´ıme o ´urokov´an´ı polh˚utn´ım –
dekurzivn´ım.
Jestliˇze doch´az´ı k placen´ı ´urok˚u na zaˇc´atku ´urokovac´ıho obdob´ı, mluv´ıme
o ´urokov´an´ı pˇredlh˚utn´ım – anticipativn´ım.
2.2.1 Jednoduch´e ´uroˇcen´ı polh ˚utn´ı
U jednoduch´eho ´uroˇcen´ı,