Distanční studijní opora

pravdiva´. Vzhledem
k tomu, zˇe v beˇzˇny´ch statisticky´ch tabulka´ch jsou uvedeny pouze hodnoty distribucˇnı´
funkce standardizovane´ho norma´lnı´ho rozlozˇenı´, bez pouzˇitı´ specia´lnı´ho software
jsme schopni vypocˇı´tat p-hodnotu pouze pro test hypote´zy o strˇednı´ hodnoteˇ nor-
ma´lnı´ho rozlozˇenı´ prˇi zna´me´m rozptylu.
Ilustrace vy´znamu p-hodnoty pro test nulove´ hypote´zy proti oboustranne´, levostran-
ne´ a pravostranne´ alternativeˇ:
(Zvonovita´ krˇivka reprezentuje hustotu rozlozˇenı´, ktery´m se rˇı´dı´ testove´ krite´rium,
je-li nulova´ hypote´za pravdiva´.)
24
1.4.6 Prˇı´klad
10× neza´visle na sobeˇ byla zmeˇrˇena jista´ konstanta µ. Vy´sledky meˇrˇenı´ byly:
2 1,8 2,1 2,4 1,9 2,1 2 1,8 2,3 2,2.
Tyto vy´sledky povazˇujeme za cˇı´selne´ realizace na´hodne´ho vy´beˇru X1,...,X10 z roz-
lozˇenı´ N(µ,0,04). Neˇjaka´ teorie tvrdı´, zˇe µ = 1,95. Proti nulove´ hypote´ze H0:
µ = 1,95 postavı´me oboustrannou alternativu H1: µ negationslash= 1,95. Na hladineˇ vy´znam-
nosti 0,05 testujte H0 proti H1 vsˇemi trˇemi popsany´mi zpu˚soby.
Rˇ esˇenı´:
m = 110(2+···+2,2) = 2,06, σ2 = 0,04, n = 10, α = 0,05, c = 1,95.
a) Test provedeme pomocı´ kriticke´ho oboru.
Pro u´lohy o strˇednı´ hodnoteˇ norma´lnı´ho rozlozˇenı´ prˇi zna´me´m rozptylu po-
uzˇı´va´me pivotovou statistiku U = M−µσ
√n
∼ N(0,1) (viz 1.3.5). Testove´ kri-
te´rium tedy bude T0 = M−cσ
√n
a bude mı´t rozlozˇenı´ N(0,1), pokud je nulova´
hypote´za pravdiva´. Vypocˇı´ta´me realizaci testove´ho krite´ria:
t0 = 2,06−1,950,2
√10
= 1,74.
Stanovı´me kriticky´ obor:
W = (tmin,Kα/2(T)〉∪〈K1−α/2(T),tmax) = (−BK,uα/2〉∪〈u1−α/2,BK) =
= (−BK,−u1−α/2〉∪〈u1−α/2,BK) = (−BK,−u0,975〉∪〈u0,975,BK) =
= (−BK,−1,96〉∪〈1,96,BK)
Protozˇe 1,74 /∈W , H0 nezamı´ta´me na hladineˇ vy´znamnosti 0,05.
b) Test provedeme pomocı´ intervalu spolehlivosti.
Meze 100(1−α)% empiricke´ho intervalu spolehlivosti pro strˇednı´ hodnotu
µ prˇi zna´me´m rozptylu σ2 jsou (viz 1.3.5):
(d,h) =
parenleftbigg
m− σ√nu1−α/2,m+ σ√nu1−α/2
parenrightbigg
.
V nasˇem prˇı´padeˇ dosta´va´me:
d = 2,06− 0,2√10 ·u0,975 = 2,06− 0,2√10 ·1,96 = 1,936, h = 2,184.
Protozˇe 1,95 ∈(1,936;2,184), H0 nezamı´ta´me na hladineˇ vy´znamnosti 0,05.
25
1. Za´kladnı´ pojmy matematicke´ statistiky
c) Test provedeme pomocı´ p-hodnoty.
Protozˇe proti nulove´ hypote´ze stavı´me oboustrannou alternativu, pouzˇijeme
vzorec
p = 2min{P(T0 ≤ t0),P(T0 ≥ t0)}= 2min{P(T0 ≤ 1,74),P(T0 ≥ 1,74)}=
= 2min{Φ(1,74),1−Φ(1,74)}= 2min{0,95907,1−0,95907} =
= 0,08186.
Jelikozˇ 0,08186 > 0,05, nulovou hypote´zu nezamı´ta´me na hladineˇ vy´znam-
nosti 0,05.
Shrnutı´ kapitoly
U´ strˇednı´m pojmem matematicke´ statistiky je pojem na´hodne´ho vy´beˇru, a to jedno-
rozmeˇrne´ho i vı´cerozmeˇrne´ho. Transformacı´ jednoho nebo vı´ce na´hodny´ch vy´beˇru˚
vznika´ na´hodna´ velicˇina zvana´ (vy´beˇrova´) statistika. K nejdu˚lezˇiteˇjsˇı´m statistika´m
patrˇı´ vy´beˇrovy´ pru˚meˇr, vy´beˇrovy´ rozptyl, vy´beˇrova´ smeˇrodatna´ odchylka, hodnoty
vy´beˇrove´ distribucˇnı´ funkce, vy´beˇrova´ kovariance, vy´beˇrovy´ koeficient korelace.
Jelikozˇ statistika je na´hodna´ velicˇina, ma´ smysl pocˇı´tat jejı´ strˇednı´ hodnotu a rozptyl.
Uka´zali jsme si vlastnosti strˇednı´ hodnoty a rozptylu vy´beˇrove´ho pru˚meˇru cˇi hod-
noty vy´beˇrove´ distribucˇnı´ funkce a strˇednı´ hodnoty vy´beˇrove´ho rozptylu, vy´beˇrove´
kovariance a vy´beˇrove´ho koeficientu korelace.
Na za´kladeˇ znalosti na´hodne´ho vy´beˇru aproximujeme nezna´mou hodnotu parametru
cˇi parametricke´ funkce bodovy´m odhadem parametricke´ funkce. Zpravidla pozˇadu-
jeme, aby tento odhad meˇl jiste´ zˇa´doucı´ vlastnosti. K teˇm patrˇı´ nestrannost, resp.
asymptoticka´ nestrannost cˇi konzistence, pokud pracujeme s posloupnostı´ bodo-
vy´ch odhadu˚ te´zˇe parametricke´ funkce. Bodove´ odhady vsˇak majı´ jednu znacˇnou
nevy´hodu – nevı´me, s jakou pravdeˇpodobnostı´ odhadujı´ hodnotu nezna´me´ parame-
tricke´ funkce. Tuto nevy´hodu odstranˇujı´ intervalove´ odhady parametricke´ funkce:
jsou to intervaly, jejichzˇ meze jsou statistiky a ktere´ s prˇedem danou dostatecˇneˇ
velkou pravdeˇpodobnostı´ pokry´vajı´ hodnotu nezna´me´ parametricke´ funkce. Pokud
do vzorcu˚ pro meze 100(1−α)% intervalu spolehlivosti pro danou parametric-
kou funkci dosadı´me cˇı´selne´ realizace na´hodne´ho vy´beˇru, dostaneme 100(1−α)%
empiricky´ interval spolehlivosti.
Tvrzenı´ o parametrech rozlozˇenı´, z neˇhozˇ pocha´zı´ dany´ na´hodny´ vy´beˇr, nazy´va´me
nulovou hypote´zou. Proti nulove´ hypote´ze stavı´me alternativnı´ hypote´zu, ktera´ rˇı´ka´,
co platı´, kdyzˇ neplatı´ nulova´ hypote´za. Prˇi testova´nı´ nulove´ hypote´zy proti alterna-
tivnı´ hypote´ze se mu˚zˇeme dopustit bud’ chyby 1. druhu (nulovou hypote´zu zamı´t-
neme, acˇ ve skutecˇnosti platı´) nebo chyby 2. druhu (nulovou hypote´zu nezamı´tneme,
acˇ ve skutecˇnosti neplatı´). Pravdeˇpodobnost chyby 1. druhu se znacˇı´ α a nazy´va´ se
hladina vy´znamnosti testu.
Klasicky´ prˇı´stup k testova´nı´ hypote´z spocˇı´va´ v nalezenı´ vhodne´ho testove´ho krite´ria.
Mnozˇina hodnot, jichzˇ mu˚zˇe testove´ krite´rium naby´t, se rozpada´ na obor nezamı´tnutı´
nulove´ hypote´zy a na kriticky´ obor. Tyto dva neslucˇitelne´ obory jsou oddeˇleny kri-
ticky´mi hodnotami. Pokud se testove´ krite´rium realizuje v kriticke´m oboru, nulovou
26
hypote´zu zamı´ta´me na hladineˇ vy´znamnosti α a prˇijı´ma´me alternativnı´ hypote´zu.
V opacˇne´m prˇı´padeˇ nulovou hypote´zu nezamı´ta´me na hladineˇ vy´znamnosti α. Tı´m
jsme ovsˇem neproka´zali jejı´ pravdivost, mu˚zˇeme pouze rˇı´ci, zˇe nasˇe data nejsou
natolik pru˚kazna´, abychom mohli nulovou hypote´zu zamı´tnout.
Test nulove´ hypote´zy proti alternativnı´ hypote´ze lze te´zˇ prove´st pomocı´ intervalu
spolehlivosti.
Ma´me-li k dispozici statisticky´ software, mu˚zˇeme vypocˇı´tat p-hodnotu jako nejmen-
sˇı´ mozˇnou hladinu vy´znamnosti pro zamı´tnutı´ nulove´ hypote´zy.
Kontrolnı´ ota´zky
1. Vysveˇtlete pojem „na´hodny´ vy´beˇr“ a „statistika“ a uved’te prˇı´klady du˚lezˇity´ch
statistik.
2. K cˇemu slouzˇı´ bodovy´ odhad parametricke´ funkce a jake´ typy bodovy´ch
odhadu˚ zna´te?
3. Definujte interval spolehlivosti a popisˇte zpu˚sob jeho konstrukce.
4. Jaky´ vliv na sˇı´rˇku intervalu spolehlivosti ma´ riziko a jaky´ vliv ma´ rozsah
vy´beˇru?
5. Co rozumı´me pojmem „testova´nı´ hypote´z“?
6. Popisˇte nulovou a alternativnı´ hypote´zu.
7. Vysveˇtlete rozdı´l mezi chybou 1. a 2. druhu.
8. Popisˇte trˇi zpu˚soby testova´nı´ hypote´z.
Autokorekcˇnı´ test
1. Ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ jsou pravdiva´?
a) Na´hodny´m vy´beˇrem rozumı´me objekty za´kladnı´ho souboru, ktere´
byly vybra´ny do vy´beˇrove´ho souboru na´hodneˇ, naprˇ. losova´nı´m.
b) Na´hodny´m vy´beˇrem rozumı´me posloupnost stochasticky neza´visly´ch
a stejneˇ rozlozˇeny´ch na´hodny´ch velicˇin cˇi vektoru˚.
c) Cˇı´selne´ realizace na´hodne´ho vy´beˇru usporˇa´dane´ do vektoru cˇi matice
tvorˇı´ datovy´ soubor.
2. Ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ jsou pravdiva´?
a) Vy´beˇrovy´ rozptyl je aritmeticky´m pru˚meˇrem kvadra´tu˚ centrovany´ch
slozˇek na´hodne´ho vy´beˇru.
b) Cˇı´selne´ realizace vy´beˇrove´ho pru˚meˇru se mohou vy´beˇr od vy´beˇru
lisˇit.
c) V definici va´zˇene´ho pru˚meˇru vy´beˇrovy´ch rozptylu˚ hrajı´ roli vah roz-
sahy jednotlivy´ch na´hodny´ch vy´beˇru˚.
3. Ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ jsou pravdiva´?
a) Statistika je nestranny´m odhadem parametricke´ funkce, pokud jejı´
strˇednı´ hodnota je rovna te´to parametricke´ funkci, at’je hodnota para-
metru jaka´koliv.
b) Posloupnost statistik je posloupnostı´ konzistentnı´ch odhadu˚ parame-
tricke´ funkce, pokud s rostoucı´m rozsahem na´hodne´ho vy´beˇru roste
27
1. Za´kladnı´ pojmy matematicke´ statistiky
pravdeˇpodobnost, zˇe odhady se budou realizovat daleko od paramet-
ricke´ funkce, at’je hodnota parametru jaka´koliv.
c) Ma´me-li dva nestranne´ odhady te´zˇe parametricke´ funkce, tak za lepsˇı´
povazˇujeme ten, ktery´ ma´ veˇtsˇı´ rozptyl, at’je hodnota parametru jaka´-
koliv.
4. Ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ jsou pravdiva´?
a) Vy´beˇrovy´ pru˚meˇr je nestranny´m odhadem strˇednı´ hodnoty.
b) Vy´beˇrova´ smeˇrodatna´ odchylka je nestranny´m odhadem smeˇrodatne´
odchylky.
c) Vy´beˇrovy´ koeficient korelace je nestranny´m odhadem koeficientu
korelace.
5. Ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ jsou pravdiva´?
a) Prˇi konstrukci intervalu spolehlivosti pro parametrickou funkci mu-
sı´me zna´t statistiku, ktera´ je nestranny´m bodovy´m odhadem te´to pa-
rametricke´ funkce.
b) Empiricky´ 100(1−α)% interval spolehlivosti slouzˇı´ jako odhad ne-
zna´me´ho parametricke´ funkce v tomto smyslu: pravdeˇpodobnost, zˇe
tento interval pokry´va´ skutecˇnou hodnotu parametricke´ funkce, je
asponˇ 1−α.
c) Prˇi konstantnı´m riziku α klesa´ sˇı´rˇka empiricke´ho 100(1−α)% inter-
valu spolehlivosti s rostoucı´m rozsahem na´hodne´ho vy´beˇru.
6. Ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ jsou pravdiva´?
a) Kriticky´ obor a obor nezamı´tnutı´ nulove´ hypote´zy jsou vzˇdy dis-
junktnı´.
b) Pravdeˇpodobnost chyby 2. druhu lze urcˇit na za´kladeˇ znalosti rizika
α.
c) Pokud byla nulova´ hypote´za zamı´tnuta na hladineˇ vy´znamnosti 0,01,
byla by zamı´tnuta i na hladineˇ vy´znamnosti 0,05.
Spra´vne´ odpoveˇdi: 1b), c) 2b) 3a) 4a) 5a), b), c) 6a), c)
Prˇı´klady
1. Neza´visle opakovana´ laboratornı´ meˇrˇenı´ urcˇite´ konstanty jsou charakteri-
zova´na na´hodny´m vy´beˇrem X1,...,Xn z rozlozˇenı´ se strˇednı´ hodnotou µ a
rozptylem σ2. Uvazˇme statistiky
M = 1n
n∑
i=1
Xi, L = X1 +Xn2 .
Dokazˇte, zˇe M a L jsou nestranne´ odhady konstanty µ a zjisteˇte, ktery´ z nich
je lepsˇı´.
Vy´sledek:
Vy´pocˇtem zjistı´me, zˇe E(M) = µ, E(L) = µ, tudı´zˇ statistiky M a L jsou
nestranne´ odhady konstanty µ. Pro posouzenı´ kvality vypocˇteme D(M) =
σ2
n , D(L) =
σ2
2 . Vidı´me tedy, zˇe pro n ≥ 3 je lepsˇı´m odhadem vy´beˇrovy´pru˚meˇr M.
28
2. Necht’ X1,...,Xn je na´hodny´ vy´beˇr z rozlozˇenı´ N(µ;0,04). Jaky´ musı´ by´t
nejmensˇı´ rozsah na´hodne´ho vy´beˇru, aby sˇı´rˇka 95% empiricke´ho intervalu
spolehlivosti pro nezna´mou strˇednı´ hodnotu µ neprˇesa´hla cˇı´slo 0,16?
Vy´sledek: 25
3. Necht’X1,...,X9 je na´hodny´ vy´beˇr z rozlozˇenı´ N(µ;0,01). Realizace vy´beˇ-
rove´ho pru˚meˇru je m = 3. Sestrojte 100(1−α)% empiricky´ interval spoleh-
livosti pro nezna´mou strˇednı´ hodnotu µ, je-li
a) α = 0,01, b) α = 0,05, c) α = 0,1.
Vy´sledek:
ad a) 2,914 < µ < 3,086 s pravdeˇpodobnostı´ asponˇ 0,99.
ad b) 2,935 < µ < 3,065 s pravdeˇpodobnostı´ asponˇ 0,95.
ad c) 2,945 < µ < 3,055 s pravdeˇpodobnostı´ asponˇ 0,90.
Vidı´me, zˇe s rostoucı´m rizikem klesa´ sˇı´rˇka intervalu spolehlivosti.
4. Necht’X1,...,Xn je na´hodny´ vy´beˇr z rozlozˇenı´ N(µ;0,01). Realizace vy´beˇ-
rove´ho pru˚meˇru je m = 3. Sestrojte 95% empiricky´ interval spolehlivosti pro
nezna´mou strˇednı´ hodnotu µ, je-li
a) n = 4, b) n = 9, c) n = 16.
Vy´sledek:
ad a) 2,902 < µ < 3,098 s pravdeˇpodobnostı´ asponˇ 0,95.
ad b) 2,935 < µ < 3,065 s pravdeˇpodobnostı´ asponˇ 0,95.
ad c) 2,951 < µ < 3,049 s pravdeˇpodobnostı´ asponˇ 0,95.
Vidı´me, zˇe s rostoucı´m rozsahem vy´beˇru klesa´ sˇı´rˇka intervalu spolehlivosti.
5. Je zna´mo, zˇe vy´sˇka hochu˚ ve veˇku 9,5 azˇ 10 let ma´ norma´lnı´ rozlozˇenı´
s nezna´mou strˇednı´ hodnotou µ a zna´my´m rozptylem σ2 = 39,112 cm2.
Deˇtsky´ le´karˇ na´hodneˇ vybral 15 hochu˚ uvedene´ho veˇku, zmeˇrˇil je a vypocˇı´tal
realizaci vy´beˇrove´ho pru˚meˇru m = 139,13 cm. Podle jeho na´zoru by vy´sˇka
hochu˚ v tomto veˇku nemeˇla prˇesa´hnout 142 cm s pravdeˇpodobnostı´ asponˇ
0,95. Lze tvrzenı´ le´karˇe akceptovat?
Vy´sledek:
Testujeme H0: µ ≤ 142 proti H1: µ > 142 na hladineˇ vy´znamnosti 0,05.
Testova´nı´ pomocı´ kriticke´ho oboru: W = 〈1,6449,BK), realizace testove´ho
krite´ria je −1,7773. Protozˇe testove´ krite´rium se nerealizuje v kriticke´m
oboru, nulovou hypote´zu nezamı´ta´me na hladineˇ vy´znamnosti 0,05.
Testova´nı´ pomocı´ intervalu spolehlivosti: 95% empiricky´ levostranny´ inter-
val spolehlivosti pro strˇednı´ hodnotu µ je (136,47;BK). Protozˇe cˇı´slo 142 patrˇı´
do tohoto intervalu, nulovou hypote´zu nezamı´ta´me na hladineˇ vy´znamnosti
0,05.
Testova´nı´ pomocı´ p-hodnoty: p = 0,9622. Protozˇe p-hodnota je veˇtsˇı´ nezˇ
hladina vy´znamnosti 0,05, nulovou hypote´zu nezamı´ta´me na hladineˇ vy´-
znamnosti 0,05.
29
1. Za´kladnı´ pojmy matematicke´ statistiky
30
Motivace
Jednoduche´ pozorova´nı´
Dvojne´ pozorova´nı´
Mnohona´sobne´ pozorova´nı´
Usporˇa´da´nı´ pokusu˚2
2. Usporˇa´da´nı´ pokusu˚
Cı´l kapitoly
Po prostudova´nı´ te´to kapitoly budete
– schopni spra´vne´ napla´novat pokus
– rozezna´vat jednoduche´, dvojne´ a mnohona´sobne´ pozorova´nı´
– v ra´mci dvojne´ho pozorova´nı´ rozlisˇovat dvouvy´beˇrove´ a pa´rove´ porovna´va´nı´
– v ra´mci mnohona´sobne´ho pozorova´nı´ rozlisˇovat mnohovy´beˇrove´ a blokove´
porovna´va´nı´
Cˇ asova´ za´teˇzˇ
Na prostudova´nı´ te´to kapitoly a splneˇnı´ u´kolu˚ s nı´ spojeny´ch budete potrˇebovat asi
2 hodiny studia.
2.1 Motivace
Abychom mohli spra´vneˇ vyhodnotit vy´sledky pokusu, musı´ by´t pokus dobrˇe na-
pla´nova´n. V za´vislosti na za´meˇrech experimenta´tora rozezna´va´me neˇkolik typu˚
usporˇa´da´nı´ pokusu˚: jednoduche´ pozorova´nı´ (zkoumajı´ se hodnoty na´hodne´ velicˇiny
pozorovane´ za ty´chzˇ podmı´nek), dvojne´ pozorova´nı´ (zkouma´ se rozdı´lnost hodnot
na´hodne´ velicˇiny pozorovane´ za dvojı´ch ru˚zny´ch podmı´nek) a mnohona´sobne´ pozo-
rova´nı´ (zkouma´ se rozdı´lnost hodnot na´hodne´ velicˇiny pozorovane´ za r ≥ 3 ru˚zny´ch
podmı´nek). Podle typu usporˇa´da´nı´ pokusu pak volı´me vhodnou statistickou metodu.
V te´to kapitole probereme pouze ty nejjednodusˇsˇı´ typy usporˇa´da´nı´ pokusu˚. V praxi
(naprˇ. v medicı´nske´m nebo zemeˇdeˇlske´m vy´zkumu) pouzˇı´vajı´ veˇdci cˇasto velmi slo-
zˇite´ pla´ny experimentu˚. V doporucˇene´ literaturˇe [HENDL] je pla´nova´nı´ experimentu˚
veˇnova´na podkapitola 2.4.
V na´sledujı´cı´m textu se zameˇrˇı´me na situaci, kdy zkouma´me hmotnostnı´ prˇı´ru˚stky
stejneˇ stary´ch selat te´hozˇ plemene prˇi ru˚zny´ch vy´krmny´ch dieta´ch. Urcˇitou vy´krm-
nou dietu aplikujeme naprˇ. po dobu pu˚l roku. Kazˇdy´ den zjisˇt’ujeme hmotnostı´
prˇı´ru˚stky kazˇde´ho selete a po uplynutı´ pu˚l roku vypocˇteme pro kazˇde´ sele pru˚meˇrny´
hmotnostnı´ prˇı´ru˚stek.
2.2 Jednoduche´ pozorova´nı´
Na´hodna´ velicˇina je pozorova´na za ty´chzˇ podmı´nek. Situace je charakterizova´na
jednı´m na´hodny´m vy´beˇrem X1,...,Xn. (Na´hodneˇ vybereme n stejneˇ stary´ch selat
te´hozˇ plemene, podrobı´me je jedine´ vy´krmne´ dieteˇ a zjistı´me hmotnostnı´ prˇı´ru˚stky.
Tak dostaneme realizaci jednoho na´hodne´ho vy´beˇru.)
Pokud lze ocˇeka´vat, zˇe na´hodny´ vy´beˇr pocha´zı´ z norma´lnı´ho rozlozˇenı´, mu˚zˇeme
naprˇ. konstruovat interval spolehlivosti pro nezna´mou strˇednı´ hodnotu, nezna´my´
rozptyl cˇi smeˇrodatnou odchylku pru˚meˇrny´ch dennı´ch hmotnostnı´ch prˇı´ru˚stku˚ nebo
testovat hypote´zu, zˇe strˇednı´ hodnota pru˚meˇrny´ch dennı´ch hmotnostnı´ch prˇı´ru˚stku˚
neklesne pod urcˇitou hranici. (Tyto u´koly budeme rˇesˇit ve 4. kapitole.)
32
2.3 Dvojne´ pozorova´nı´
Zkouma´ se rozdı´lnost hodnot na´hodne´ velicˇiny pozorovane´ za dvojı´ch ru˚zny´ch
podmı´nek. Existujı´ dveˇ odlisˇna´ usporˇa´da´nı´ tohoto pokusu.
2.3.1 Dvouvy´beˇrove´ porovna´va´nı´
Situace je charakterizova´na dveˇma neza´visly´mi na´hodny´mi vy´beˇry X11,...,X1n1
a X21,...,X2n2. (Z populace vsˇech dostupny´ch stejneˇ stary´ch selat te´hozˇ plemene
na´hodneˇ vybereme n1+n2 jedincu˚. Na´hodneˇ je rozdeˇlı´me na dva soubory o rozsazı´ch
n1 a n2, prvnı´ podrobı´me vy´krmne´ dieteˇ cˇ. 1 a druhy´ vy´krmne´ dieteˇ cˇ. 2. Tak
dostaneme realizace dvou neza´visly´ch na´hodny´ch vy´beˇru˚.)
Za prˇedpokladu, zˇe dane´ na´hodne´ vy´beˇry pocha´zejı´ z norma´lnı´ch rozlozˇenı´, lze naprˇ.
konstruovat interval spolehlivosti pro rozdı´l strˇednı´ch hodnot cˇi podı´l rozptylu˚ pru˚-
meˇrny´ch dennı´ch hmotnostnı´ch prˇı´ru˚stku˚ nebo testovat hypote´zu o stejne´ u´cˇinnosti
obou vy´krmny´ch diet. (Tyto u´koly budeme rˇesˇit v 5. kapitole.)
2.3.2 Pa´rove´ porovna´va´nı´
Situace je charakterizova´na jednı´m na´hodny´m vy´beˇrem (X11, X12),...,(Xn1, Xn2)
z dvourozmeˇrne´ho rozlozˇenı´. Pa´rem se rozumı´ dvojice (Xi1, Xi2), i = 1,...,n. U´ loha
se zpravidla prˇeva´dı´ na jednoduche´ pozorova´nı´ na´hodne´ho vy´beˇru rozdı´lu˚ Xi1−Xi2,
kde i = 1,...,n. (Na´hodneˇ vybereme n vrhu˚ stejneˇ stary´ch selat te´hozˇ plemene a
z nich vzˇdy dva sourozence a na´hodneˇ jim prˇirˇadı´me 1. a 2. vy´krmnou dietu. Tak
dostaneme realizaci na´hodne´ho vy´beˇru z dvourozmeˇrne´ho rozlozˇenı´.)
Lze-li dvourozmeˇrny´ na´hodny´ vy´beˇr povazˇovat za vy´beˇr z dvourozmeˇrne´ho nor-
ma´lnı´ho rozlozˇenı´, budeme se zaby´vat konstrukcı´ intervalu spolehlivosti pro rozdı´l
strˇednı´ch hodnot pru˚meˇrny´ch dennı´ch hmotnostnı´ch prˇı´ru˚stku˚ nebo testovat hypo-
te´zu o stejne´ u´cˇinnosti obou vy´krmny´ch diet. (Rˇ esˇenı´ u´kolu˚ tohoto typu je popsa´no
ve 4. kapitole.)
2.4 Mnohona´sobne´ pozorova´nı´
Zkouma´ se rozdı´lnost hodnot na´hodne´ velicˇiny pozorovane´ za r ≥ 3 ru˚zny´ch pod-
mı´nek. Existujı´ dveˇ odlisˇna´ usporˇa´da´nı´ tohoto pokusu.
2.4.1 Mnohovy´beˇrove´ porovna´va´nı´
Situace je charakterizova´na r neza´visly´mi na´hodny´mi vy´beˇry X11,...,X1n1,...,
Xr1,...,Xrnr. (Z populace vsˇech dostupny´ch stejneˇ stary´ch selat te´hozˇ plemene
na´hodneˇ vybereme n1 + n2 +···+ nr jedincu˚. Na´hodneˇ je rozdeˇlı´me na r sou-
boru˚ o rozsazı´ch n1,n2,...,nr. Selata z prvnı´ho souboru podrobı´me vy´krmne´ dieteˇ
cˇ. 1, . . . , selata z r-te´ho souboru podrobı´me vy´krmne´ dieteˇ cˇ. r. Tak dostaneme
realizace r neza´visly´ch na´hodny´ch vy´beˇru˚.)
Za prˇedpokladu, zˇe vsˇechny na´hodne´ vy´beˇry se rˇı´dı´ norma´lnı´m rozlozˇenı´m s ty´mzˇ
rozptylem, mu˚zˇeme testovat hypote´zu o stejne´ u´cˇinnosti vsˇech r vy´krmny´ch diet.
(Tomuto proble´mu je veˇnova´na 6. kapitola.)
33
2. Usporˇa´da´nı´ pokusu˚
2.4.2 Blokove´ porovna´va´nı´
Situace je charakterizova´na jednı´m na´hodny´m vy´beˇrem (X11,X12,...,X1r),...,
(Xn1,Xn2,...,Xnr) z r-rozmeˇrne´ho rozlozˇenı´. Blokem se rozumı´ r-tice
(Xi1,Xi2,...,Xir), i = 1,...,n. (Na´hodneˇ vybereme n vrhu˚ stary´ch selat te´hozˇ ple-
mene a z nich vzˇdy r sourozencu˚ a na´hodneˇ jim prˇirˇadı´me 1. azˇ r-tou vy´krmnou
dietu. Tak dostaneme realizaci na´hodne´ho vy´beˇru z r-rozmeˇrne´ho rozlozˇenı´.)
Vyhodnocenı´ vy´sledku˚ prˇi blokove´m porovna´va´nı´ se prova´dı´ naprˇ. pomocı´ Friedma-
nova testu. Jeho popis se jizˇ vymyka´ na´plni prˇedmeˇtu Statistika II. Poucˇenı´ lze nale´zt
v doporucˇene´ literaturˇe [HENDL] na str. 360.
Shrnutı´ kapitoly
Existujı´ trˇi za´kladnı´ zpu˚soby usporˇa´da´nı´ pokusu˚:
– jednoduche´ pozorova´nı´ (na´hodna´ velicˇina je pozorova´na za ty´chzˇ podmı´nek),
– dvojne´ pozorova´nı´ (na´hodna´ velicˇina je pozorova´na za dvojı´ch ru˚zny´ch pod-
mı´nek, prˇicˇemzˇ lze pouzˇı´t bud’dvouvy´beˇrove´ porovna´va´nı´ – vy´sledkem jsou
dva neza´visle´ na´hodne´ vy´beˇry nebo pa´rove´ porovna´va´nı´ – vy´sledkem je
jeden na´hodny´ vy´beˇr z dvourozmeˇrne´ho rozlozˇenı´)
– mnohona´sobne´ pozorova´nı´ (na´hodna´ velicˇina je pozorova´na za r ≥3 ru˚zny´ch
podmı´nek, prˇicˇemzˇ lze pouzˇı´t bud’mnohovy´beˇrove´ porovna´va´nı´ – vy´sledkem
je r ≥ 3 neza´visly´ch na´hodny´ch vy´beˇru˚ nebo blokove´ porovna´va´nı´ – vy´sled-
kem je jeden na´hodny´ vy´beˇr z r-rozme