Vyýpisky 14

it (153) a to tak, aby platil i pro víceatomové molekuly, s f stupni volnosti .
(157)
Ve stejném smyslu nutno upravit i (154):

(158)
i vztah Cp = CV + R.
Poznámka: někdy je výhodné vycházet z 1. principu termodynamiky a za podmínky V = konst.,

je CV = (Proveďte odvození tohoto vztahu.)
…………………………………………………………………………………………………………
Příklad:
Kapitola 20:
................................................................................................................................................................
( Molekuly plynu . . . . rychlosti různých směrů a různých velikostí.
Předpoklad: plyn ideální a v termodynamické rovnováze (TR)
Pak : 1) všechny směry obsazeny stejným počtem molekul,
2) ale, různé rychlosti zastoupeny různým počtem molekul.
Velmi nízké a velmi vysoké rychlosti má jen velmi málo molekul.
Většina molekul mezi těmito extrémními hodnotami rychlostí.
.......................................................................................................................................……………….
( Problém řešil Maxwell.
Maxwellovy předpoklady: 1. Souřadnice rychlosti vx , vy , vz navzájem nezávislé.
2. Žádný směr pohybů molekul plynu v TR není preferován (tj. všechny směry pohybů molekul obsazeny stejným počtem molekul, ovšem s malými odchylkami vlivem fluktuací).
Postup řešení: - zvolí se náhodně vybraná molekula, např. taková, jejíž souřadnice rychlosti leží v intervalu ( vx , vx + dvx (, ( vy , vy + dvy ( a ( vz , vz +dvz ( . Zobrazí se bodem v tzv. rychlostním (fázovém) prostoru:

vz ( Fázový prostor = abstraktní prostor. Jeho souřad-
dvx nice = veličiny, které popisují dynamický vývoj
dvz systému.)
dvy
v
m vy

vx

Ze zobrazení je vidět, že molekula má rychlost určitého směru, nikoliv libovolného. To by mohlo vést k preferování tohoto směru, a to by bylo v rozporu se 2. předpokladem Maxwellovým.
Proto – zvolíme molekulu, u níž velikost rychlosti leží v intervalu ( v, v + dv (, ale směr rychlosti je libovolný:

vz

dv
vy
vx

Obrazem molekuly v rychlostním prostoru bude bod ležící (někde) v tenké kulové vrstvě o poloměru v a tloušťce dv . Směr rychlosti bude libovolný.
Matematické zpracování těchto úvah vedlo k výsledku:

(159)
(159) = Maxwellův zákon rozdělení molekul plynu podle velikosti jejich rychlostí. Udává pravděpodobnost, že náhodně vybraná molekula plynu v TR bude mít velikost rychlosti v a směr rychlosti libovolný.
P(v).dv . . . . = pravděpodobnost, že náhodně vybraná molekula bude mít velikost rychlosti v intervalu ( v, v + dv (, směr libovolný. Nebo jinak: = relativní počet molekul plynu , jejichž velikosti rychlostí leží v intervalu ( v, v + dv (. ( dn = počet molekul s rychlostmi v intervalu
( v, v + dv (, n počet všech molekul plynu.)
Funkce f( vx , vy , vz ) . . . tzv. rozdělovací funkce.
................................................................................................................................................................
Maxwellovo rozdělení molekul plynu podle velikostí jejich rychlostí graficky:
Graf Maxwellova rozdělení molekul kyslíku při T = 300K podle velikostí jejich rychlostí.
V grafu znázorněna střední kvadratická rychlost molekul (vef ), rychlost střední (je průměrem skutečných velikostí rychlostí všech molekul) a rychlost nejpravděpodobnější (vp ) (ta odpovídá maximu funkce pravděpodobnosti P).
…………………………………………………………………………………………………………
Graf dvou křivek rozdělení velikostí rychlostí molekul kyslíku při různých teplotách. Čím nižší teplota, tím ostřejší maximum křivky pravděpodobnosti, tj. je vyšší a užší. A naopak: čím vyšší teplota plynu, tím rovnoměrnější “rozdělení” různých velikostí rychlostí mezi molekulami plynu.
( Z rozdělení molekul podle velikostí jejich rychlostí ( 159) (
a) nejpravděpodobnější rychlost jako extrém funkce P . . .

(160)
střední rychlost: podle obecné definice střední hodnoty


(161)
střední kvadratická rychlost (rychlost efektivní):

podle obecné definice

(
(162)

( Platí
vp ( ( vef
................................................................................................................................................................
- pokračování: FYZIKA 2 – soubor 15 (Termodynamika)
FYZ 2 – soubor 14 (Kinetická teorie plynů) RNDr. Vladimír Zdražil, Ph.D. Strana (celkem )
2. KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ
2.5 Práce vykonaná plynem
(W =
2.1 Molekulová stavba látek
2.2 Ideální plyn
2.3 Střední kvadratická rychlost molekul plynu
2.4 Tlak plynu na stěny nádoby
p =
p =
vef =
2.6 Kinetická energie posuvného pohybu molekul a vnitřní energie ideálního plynu
U =
2.8 Maxwellovo rozdělení molekul plynu podle velikosti jejich rychlostí
2.7 Molární tepelné kapacity ideálního plynu při V = konst., p = konst.,
a ekvipartiční teorém.
CV =
(U = n CV (T
Cp = CV + R
U =
CV =
P(v) = f( vx , vy , vz )(4(v2 = 4((
vp =
vef = =