řešené příklady

Ústav elektrotechnologie FEKT VUT v Brně
Akademický rok 2005/2006

Materiály a technická dokumentace
Zadání příkladů pro numerická cvičení z části „Materiály v elektrotechnice“

Vybrané konstanty

c 2,998 . 10
8

m.s
-1
rychlost světla
h 6,626 . 10
-34

J.s Planckova konstanta
k 1.38 . 10
-23

J.K
-1
Boltzmannova konstanta
m
a
9,109 . 10
-31

kg hmotnost elektronu
m
p
1,672 . 0
-27

kg hmotnost protonu
N
A
6,023 . 10
23

mol
-1
Avogadrova konstanta
n
L
2,688 . 10
25

m
-3
Loschmidtovo číslo
⏐q⏐
1,602 . 10
-19

C náboj elektronu
ε
0
8,854 . 10
-12

F.m
-1
permitivita vakua
µ
0
4π . 10
-7
H.m
-1
permeabilita vakua

Stavba atomů, molekul, látek
1. Předpokládejte, že elementární buňky jednoduché, plošně centrované a prostorově
centrované krychlové mřížky jsou sestaveny ze stejných atomů, které představují pevné
koule o poloměru r(m). Atomy se v mřížce vzájemně dotýkají. Vypočtěte průměrný počet
atomů připadajících na elementární buňku o objemu a
3
(m
3
) v krychlové mřížce
jednoduché, prostorově centrované a plošně centrované, je-li délka hrany elementární
buňky a(m) a dokažte, že nejvýhodnější rozmístění atomů je z hlediska zaplnění objemu
elementární buňky při těsném uložení atomů v plošně centrované mřížce.
Řešení
Mřížka krychlová jednoduchá
Počet atomů v elementární buňce
1
8. 1
8
N == atom na jednu elementární buňku
(V každém z osmi vrcholů elementární buňky je atom společný osmi buňkám, které se ve
vrcholu stýkají; to znamená, že každý atom se na stavbě jedné elementární buňky podílí 1/8
svého objemu).


Délka hrany elementární buňky 2ar=
Objem atomu (objem koule)
3
4
3
A
Vrπ=
Objem elementární buňky (objem krychle)
3
B
Va=

Díl objemu elementární buňky zaplněný atomy:
3
3
4
3
0,52 (tj. 52 %)
86
A
KR
r
V
p
Vr
π
π
⋅⋅
== ==
⋅


Mřížka krychlová prostorově centrovaná
Počet atomů v elementární buňce
1
8. 1 2
8
N = +=
Tělesová úhlopříčka krychle 3
t
ua= ⋅
4
t
ur= ⋅
Díl objemu elementární buňky zaplněný atomy:
3
3
3
4
2
3
3
0,68 (tj. 68 %)
4 8
33
A
KR
r
V
p
V
r
π
π
⋅⋅⋅
== =⋅=
⋅
⋅


Mřížka krychlová plošně centrovaná
Počet atomů v elementární buňce
11
8. 6. 4
82
N = +=
(Každý atom umístěný v průsečíku stěnových úhlopříček je společný dvěma buňkám a podílí
se tedy na stavbě jedné elementární buňky polovinou svého objemu).
Stěnová úhlopříčka krychle 2
s
ua= ⋅
4
s
ur= ⋅
Díl objemu elementární buňky zaplněný atomy:
3
3
3
4
4
2
3
0,74 (tj. 74 %)
4 6
22
A
KR
r
V
p
V
r
π
π
⋅⋅⋅
== =⋅=
⋅
⋅


2. Vypočtěte objem elementární buňky krystalu mědi, která krystalizuje v krychlové
soustavě, mřížce plošně centrované, má při teplotě 20 °C hustotu ρ = 8 890 kg . m
-3
a její
poměrná atomová hmotnost je 63,57. Za předpokladu, že atomy mědi se v elementární
buňce vzájemně dotýkají, stanovte poloměr a hmotnost atomu mědi.
Řešení
Počet atomů v elementární buňce 4N =
Současně platí
h
N
N
A
A
ρ ⋅
=
kde ( je Avogadrova konstanta – udává
počet částic v objemu 1 mol, resp. 1 kmol).
-126-123
kmol 10.023,6mol 10.023,6 ==
A
N
Porovnáním obou rovnic dostáváme
3
1
4
hA
N
aA
ρ
=⇒ pro měď
()
3
4
Cu
Cu
Cu
Cu B
hA
A
aV
Nρ
==
Poloměr atomu mědi
2
4
Cu Cu
ra=⋅
Hmotnost atomu mědi
Cu
Cu
A
A
m
N
=

3. Koncentraci vakancí n
v

v krystalu látky při určité teplotě lze vyjádřit vztahem
,.
kT
W
v
v
eNn
−
=
v němž N značí koncentraci atomů (tj. uzlových bodů krystalové mřížky) v krystalu látky
a W
v

je energie potřebná pro vznik vakance; k je Boltzmannova konstanta. K vytvoření
vakance u hliníku je nutná energie 0,75 eV. Kolik vakancí existuje v 1 m
3

hliníku při
pokojové teplotě ve stavu termodynamické rovnováhy? Jak se tento počet změní při teplotě
550 °C? Hliník krystalizuje v soustavě krychlové, v mřížce plošně centrované, má hustotu
2 699 kg . m
-3

a jeho poměrná atomová hmotnost je 26,98.

Řešení
Koncentraci atomů (počet atomů v 1 m
3
) N vypočteme ze vztahu
hA
N
N
A
ρ ⋅
= .
Poznámka: Energii v (eV) je třeba převést na (J):
19 19
0 75 1,602.10 1,202.10
v
W,
− −
=⋅ = J
Teplotu ve (°C) je třeba převést na absolutní teplotu v (K):
273 15T ϑ= + , K

4. Koncentraci atomů v mezimřížkových polohách n
m

v krystalu látky při určité teplotě je
možno vyjádřit vztahem
m
W
kT
m
ncNe
−
′= ,
v němž N značí koncentraci atomů v krystalu látky, W
m

je energie potřebná k přesunu atomu
z uzlového bodu do mezimřížkové polohy a c´ je konstanta (celé číslo) charakterizující
množství mezimřížkových poruch připadajících na jeden atom krystalové mřížky; k je
Boltzmannova konstanta. K přesunu atomu hliníku z uzlového bodu mřížky do
mezimřížkové polohy je nutná energie 3 eV. Určete množství poruch v mezimřížkových
polohách v 1 m
3

hliníku při pokojové teplotě a při teplotě 550 °C, je-li konstanta c´(-) rovna
3. Hliník krystalizuje v soustavě krychlové, v mřížce plošně centrované, má hustotu
2 699 kg . m
-3

a jeho poměrná atomová hmotnost je 26,98.
Řešení
Viz řešení příkladu 3.
















Polovodičové materiály
5. Křemík má krystalovou strukturu diamantu, přičemž délka hrany jeho elementární buňky
je 5,43 . 10
-10
m. Určete při teplotě 20 °C koncentraci atomů křemíku (počet atomů
křemíku v objemu 1 m
3
).
Obdobně stanovte koncentraci atomů germania při teplotě 20 °C, má-li tento prvek
podobně jako křemík krystalovou strukturu diamantu a je-li délka hrany elementární
buňky 5,62 . 10
-10
m.
Řešení


Koncentrace atomů (počet atomů v 1 m
3
)
materiálu

1
B
B
N
V
= N (m
-3
),

kde V
B
… je objem jedné elementární buňky m
3
)
N
B
… je počet atomů v jedné elementární buňce
Krystalová struktura typu diamant = dvě krychlové plošně centrované mřížky vložené do sebe
a vzájemně posunuté o ¼ tělesové úhlopříčky.
Objem krychle:
3
B
Va= (m )
3−
11
88. 6. 4
82
B
N
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
== + + (m )
3−

6. Rezistivita (měrný elektrický odpor) čistého germania je při teplotě 20 °C roven 0,47 Ωm.
Určete při téže teplotě koncentraci nosičů proudu vlastního polovodiče, je-li pohyblivost
elektronů µ
n
= 0,39 m
2
V
-1
s
-1
a pohyblivost děr µ
p
= 0,19 m
2
V
-1
s
-1
.
Obdobně řešte pro případ čistého křemíku, jehož rezistivita při teplotě 20 °C je 2350 Ωm.
Pohyblivost elektronů v křemíku je µ
n
= 0,135 m
2
V
-1
s
-1
a pohyblivost děr
µ
p
= 0,048 m
2
V
-1
s
-1
.
Řešení
Pro konduktivitu (měrnou elektrickou vodivost) platí
1
..nqγ µ
ρ
== (m
2
V
-1
s
-1
),
kde ρ … je rezistivita (měrný elektrický odpor) materiálu (Ωm)
n … je koncentrace nosičů nábojů (částic) (m
-3
)
q … je náboj jednoho nosiče náboje (C)
µ … je pohyblivost nosičů nábojů (m
2
V
-1
s
-1
)
Pro polovodičový materiál (nosiče nábojů jsou elektrony a díry)
( )
..
n
qn p
p
γ µ=+µ (S m
-1
)
kde n … je koncentrace elektronů (m
3
)
µ
n
… je pohyblivost elektronů (m
2
V
-1
s
-1
)
p … je koncentrace děr (m
-3
)
µ
p
… je pohyblivost děr (m
2
V
-1
s
-1
)
Pro vlastní polovodič platí
i
npn==
kde n
i
… je rovnovážná koncentrace elektronů a děr ve vlastním polovodiči
(m
-3
)
Konduktivitu můžeme potom počítat ze vztahu
( )
.
npi
qnγµµ=+⇒
()()
1
.
i
np np
n
qq
γ
µ µρµµ
==
++


7. Stanovte koncentraci elektronů a děr a konduktivitu (měrnou elektrickou vodivost)
křemíku s vlastní vodivostí při teplotách 20 °C, 100 °C a 200 °C. Šířka zakázaného pásu
u křemíku je W
g
= 1,11 eV; efektivní hustota stavů v pásu vodivostním je
N
c
= 2,8 . 10
25
m
-3
, efektivní hustota stavů v pásu valenčním je N
v
= 1,04 . 10
25
m
-3
.
Obdobně řešte pro případ germania, pro nějž šířka zakázaného pásu činí W
g
= 0,67 eV;
efektivní hustota stavů v pásu vodivostním je N
c
= 1,04 . 10
25
m
-3
, efektivní hustota stavů
v pásu valenčním je N
v
= 6,0 . 10
24
m
-