řešené příklady

3
.
Řešení
Teplotní závislost koncentrace elektronů vyjadřuje rovnice
c F
WW
kT
c
nNe
−
−
= ,
kde N
c
… je efektivní hustota stavů ve vodivostním pásu pásového modelu
(m
-3
)
3
* 2
2
2
2
n
c
mkT
N
h
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
= ,
m
n
*
… je efektivní hmotnost elektronu (kg)
k … je Boltzmannova konstanta (J K
-1
)
T … je teplota (K)
h … je Planckova konstanta (J s)
W
c
… je spodní hranice vodivostního pásu pásového modelu (J)
W
F
… je Fermiho energetická hladina (J)
Teplotní závislost koncentrace děr je dána rovnicí
vF
WW
kT
v
pNe
−
−
= ,
kde N
v
… je efektivní hustota stavů ve valenčním pásu pásového modelu
(m
-3
)
3
* 2
2
2
2
p
v
mkT
N
h
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
= ,
m
p
*
… je efektivní hmotnost děr (kg)
W
v
… je horní hranice valenčního pásu pásového modelu (J)

V polovodičovém materiálu se ustavuje mezi generací a rekombinací nosičů nábojů
termodynamická rovnováha. Platí pro ni rovnice
2
.
i
nn= p
2
.
cvFF
WW W W
kT kT
cvi
nNe Ne
−−
=
Ve vlastním polovodiči klademe Fermiho energetickou úroveň doprostřed šířky zakázaného
pásu. Platí tedy
1
2
cvFF
WW W W W−=−=
g
,
kde W
g
… je šířka zakázaného pásu polovodiče (J)
Dosazením do rovnice
2
g
W
kT
cvi
nNNe
−
= ,
resp.
1
2
g
W
kT
cvi
nNNe
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=
Teplotní závislost N
c
, N
v
při výpočtu zanedbáváme.
Konduktivitu počítáme ze vztahu
( )
.
npi
qnγ µµ=+, pohyblivosti elektronů a děr – viz
příklad č. 7.
Všechny veličiny dosazujeme v základních jednotkách, energii v (J), teplotu v (K).

8. Zjistěte energii Fermiho hladiny ve vlastním polovodiči křemíku při teplotách 0 K, 100 K,
300 K a 500 K, je-li poměr efektivních hmotností děr a elektronů roven 0,67. Šířka
zakázaného pásu u křemíku je 1,11 eV.
Řešení
Pro energii Fermiho hladiny platí

()
()
3
* 2
2
3
* 2
2
*
*
11
ln
22
2
2
11
ln
22
2
2
13
ln
24
v
cvF
c
p
cvvv
n
p
vg
n
N
WWWkT
N
mkT
h
WWWW kT
mkT
h
m
WW kT
m
π
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=++
=++−+
=+ +

9. Koncentrace antimonu jako příměsi ve vzorku germania je 0,01 atomových %.
Předpokládejte, že při teplotě 20 °C jsou již všechny atomy antimonu ionizovány
a vypočtěte při této teplotě koncentraci elektronů n
n
, koncentraci děr p
n
a konduktivitu
polovodiče. Šířka zakázaného pásu čistého germania je 0,67 eV, počet atomů v 1 m
3

germania je při teplotě 20 °C roven 4,506 . 10
28
; rovnovážná koncentrace elektronů a děr
v germaniu je při této teplotě n
i
= 2,4 . 10
19
m
-3
.
Řešení
Germanium + antimon (prvek 5. skupiny Mendělejevovy periodické soustavy) → N typ
polovodiče.
Ve stavu plné ionizace příměsí uvažujeme
GeDn
NNn .10
4−
==

Z rovnice termodynamické rovnováhy plyne
2
i
n
n
n
p
n
=
( )
..
npnp
qn pγ µµ=+

10. Koncentrace boru (prvek 3. skupiny periodické soustavy prvků) jako příměsi ve vzorku
germania je 0,001 atomových %. Předpokládejte, že při teplotě 20 °C jsou všechny
atomy příměsi ionizovány a vypočtěte při této teplotě koncentraci elektronů n
p
,
koncentraci děr p
p
a konduktivitu polovodiče γ, je-li pohyblivost elektronů µ
n
= 0,39 m
2
V
-
1
s
-1
a pohyblivost děr µ = 0,19 m
p
2
V
-1
s
-1
. Počet atomů v 1 m
3
germania je při teplotě
20 °C roven
4,506 . 10
28
; rovnovážná koncentrace elektronů a děr v germaniu je při této teplotě
n = 2,4 . 10
i
19
m
-3
.
šení Ře
m + bor (prvek 3. skupiny periodické soustavy prvků) → P typ polovodiče. Germaniu
Ve stavu plné ionizace příměsí uvažujeme
5
10 .
p AGe
p NN
−
==

Z rovnice termodynamické rovnováhy plyne
2
n
i
p
p
n
p
=
( )
...
pp pnp
qpqn p .
p
µγµµ=+
Vodivé a odporové materiály

11. Kovový vodič má průřez 1 mm
2
. Vypočtěte proud procházející vodičem, je-li koncentrace
volných elektronů 5 . 10
28
m
-3

a je-li střední driftová rychlost elektronů 1,5 . 10
-4

m . s
-1
.
Řešení
.. ...
D
QnqV nqSl
l
tt
v
I ===

...
D
I nqSv=

12. Stanovte rezistivitu mědi, je-li odpor měděného vodiče o délce 15 m a průřezu 0,1 mm
2

při teplotě 20 °C roven 2,58 Ω.
Určete převodní vztah mezi jednotkami (Ωm), (Ω . mm
2
.

m
-1
) a (Ωcm).
Řešení
l
R
S
ρ=⇒
S
R
l
ρ =

13. Rezistivita stříbra je při teplotě 20 °C rovna 1,54 . 10
-8
Ωm. Vypočtěte proudovou
hustotu, střední driftovou rychlost a pohyblivost volných nosičů nábojů, je-li intenzita
elektrického pole uvnitř stříbrného vodiče 100 V . m
-1
. Předpokládejte, že 1 m
3
stříbra
obsahuje 5,8 . 10
28
volných elektronů.
Řešení
.J Eγ=
..nqγ µ=⇒
1
..nq nq.
γ
µ
ρ
==
Z definice pohyblivosti nosičů nábojů vychází
D
v
E
µ =⇒ .
D
vEµ=

14. Mezi konci měděného vodiče o délce 1,5 km a průřezu 5 mm
2
je přiloženo napětí 100 V.
Vypočtěte proudovou hustotu, intenzitu elektrického pole ve vodiči a pohyblivost volných
elektronů. Jaká je driftová rychlost volných elektronů, je-li hustota mědi při teplotě 20ºC
8 890 kg . m
-3

a její poměrná atomová hmotnost je 63,57? Rezistivita mědi je při teplotě
20 °C roven 1,724 . 10
-8
Ω m.
Řešení

Proudová hustota
.
U
lU
I U
SR
J
SS S
ρ
ρ
== = =
l

Intenzita elektrického pole
U
E
l
=
Ze vztahu mezi konduktivitou, koncentrací a pohyblivostí nosičů nábojů plyne
..nqγ µ=⇒
1
..nq nq.
γ
µ
ρ
==
Z definice pohyblivosti nosičů nábojů vychází
D
v
E
µ =⇒ .
D
vEµ=

15. Cívka vinutá z měděného drátu má při teplotě 20 °C odpor 41,8 Ω. Po déletrvajícím
provozu cívky v elektrickém poli se odpor cívky zvýšil na 49,2 Ω. Určete průměrnou
teplotu cívky v provozu za předpokladu, že závislost odporu na teplotě má lineární
charakter a že teplotní součinitel rezistivity mědi α
ρ(20)
je 3,93 . 10
-3

K
-1
. Vliv
roztažnosti materiálu teplem při výpočtu neuvažujte.
Řešení
20 20
1( )RR
υρ
αυυ⎡⎤=+−
⎣⎦
⇒
20
20
1
R
R
υ
ρ
υ υ
α
−
= +

16. Výstupní potenciál elektronů z mědi je 4,29 V, z tantalu 4,14 V. Stanovte dotykové napětí
mezi oběma kovy při teplotě 20 °C, jsou-li koncentrace volných elektronů v mědi
8,42 . 10
28
m
-3
, v tantalu 5,53 . 10
28
m
-3
. Předpokladem pro řešení úlohy je dokonalý
vodivý styk obou kovů.
Řešení

1
12 1 2
2
ln
kT n
UVV
qn
−
=−+

17. Vyjděte ze zadání úlohy č. 16. a stanovte teoretickou hodnotu termoelektrického napětí
v termočlánku, jehož větve tvoří měď a tantal, přičemž teplotní rozdíl míst spojů obou
kovových materiálů činí 65 °C.
Řešení
()
11
12 21 1 2 2 1
22
ln ln
ms
t ms
kT n kT k n
UU U VV VV TT
qn qq n
−−
=+=−+ +−+= −





























Magnetické materiály
18. Stanovte magnetickou indukci v prostředí, je-li jeho magnetická polarizace J
m

rovna
3 . 10
-6
T a působí-li vnější magnetické pole o intenzitě 10 A m
-1
. Současně určete
magnetickou susceptibilitu a relativní permeabilitu daného prostředí.

Řešení
Každé magnetické prostředí (pole) je definováno intenzitou magnetického pole H (A m
-1
)
a magnetickou indukcí B (T). Mezi těmito dvěma veličinami platí vztah:
( )
00 00 0
1
rm mm
B HH HHHBJµ µµ µ κ µ µκ== =+ =+ =+,
kde µ
0
... je permeabilita vakua µ
0
= 4π . 10
-7
H m
-1

κ
m
… je magnetická susceptibilita (-)
B
0
… je magnetická indukce ve vakuu (T)
J
m
… je magnetická polarizace (T)
Mezi magnetickou polarizací a magnetizací platí vztah

0m
JMµ=⇒
0
m
m
J
M Hκ
µ
==

Vztahy pro výpočet
9 Magnetická indukce
0 m
BHJµ=+
9 Magnetická susceptibilita
0
0
m
mm m
J
JH
H
µκ κ
µ
=⇒=
9 Relativní permeabilita
1
rm
µ κ=+

19. Oxid železitý Fe
2
O
3
je paramagnetickou látkou, jejíž magnetická susceptibilita je při
teplotě 20 ºC rovna 1,4 . 10
-3
. Na vzorek připravený z uvedeného oxidu působí vnější
magnetické pole o intenzitě 10
6
A . m
-1
. Zjistěte velikost magnetické indukce,
magnetizace a magnetické polarizace ve vzorku při teplotě 20 ºC a při teplotě kapalného
dusíku
(77,3 K).

Řešení
Vztahy pro výpočet
9 Magnetická indukce
0
(1 )
m
BHµ κ=+
9 Magnetizace
m
M Hκ=
9 Magnetická polarizace
0mm
JHµ κ=
9 Teplotní závislost magnetické susceptibility je dána vztahem
12
21
21
m
mm
m
TTκ
κκ
κ
=⇒ =
1
2
1


20. U dvou vzorků ocelových plechů o t