řešené příklady

loušťkách 0,1 mm a 0,35 mm byly při kmitočtu
50 Hz naměřeny tyto hodnoty měrných hysterezních ztrát p
h,m

a měrných ztrát vířivými
proudy p
v,m
:
p
h,m(0,1)

= 1,1 W . kg
-1

a p
v,m(0,1)

= 0,1 W . kg
-1
p
h,m(0,35)

= 0,5 W . kg
-1

a p
v,m(0,35)

= 0,3 W . kg
-1
.
Určete celkové měrné ztráty u obou vzorků při kmitočtech 50 Hz, 150 Hz a 400 Hz za
předpokladu, že časový průběh magnetické indukce je sinusový a její amplituda je při
všech uvažovaných kmitočtech stejná.

Řešení
2
1111 2chv
p ppkfkf=+=+
11
12
2
11
,
hv
p p
kk
f f
⇒= =
2
22
222 1
11
chv h
ff
1v
p pp p p
ff
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠


21. Celkové měrné ztráty zkoumané oceli jsou při kmitočtu f
1
= 100 Hz rovny 2 W . kg
-1
a
při kmitočtu f
2

= 200 Hz 7 W . kg
-1
. Určete celkové měrné ztráty p
c(3)
při kmitočtu
f
3

= 400 Hz. Předpokládejte, že časový průběh magnetické indukce je sinusový a její
amplituda je při všech uvažovaných kmitočtech stejná.
Řešení
Viz také řešení příkladu 20
2
1111 2chv 1
p ppkfkf=+=+
2
2
22
21 1 12
11
ch v k
ff
p pp kf
ff
⎛⎞
=+ =+
⎜⎟
⎝⎠
f
Řešením těchto dvou rovnic dostaneme k
1
, k
2
, resp. p
h1
, p
v1
. Celkové ztráty při kmitočtu
400 Hz vypočteme z rovnice
2
(400) 1 1
400 400
.
100 100
ch v
pp p
⎛⎞
=+
⎜
⎝⎠
⎟
, resp.
( )
2
(400) 1 2
400 400
c
pkk=+






































Dielektrické materiály
22. Mezi dvojici kovových desek byly vloženy dvě vrstvy drážkové izolace složené
z elektrotechnické lepenky o tloušťce 0,3 mm a z polyetyléntereftalátové fólie o tloušťce
40 µm. Zjistěte kapacitu vzniklého kondenzátorového systému, jsou-li kovové desky
rozměrů 15 x 18 cm. Relativní permitivita elektrotechnické lepenky je při teplotě 20 °C
rovna 2,6, relativní permitivita polyetyléntereftalátové fólie ε
r
= 3,8. Vliv okrajových
elektrických polí při výpočtu neuvažujte.

Řešení
0iri
i
S
C
h
εε=
12
111
2. 2.
CC C
=+⇒
12
12
1.
2
CC
C
CC
=
+

Poznámka: Dvě vrstvy drážkové izolace vytvoří čtyři sériově řazené kondenzátory (jedna
vrstva drážkové izolace je tvořena lepenkou a fólií).


23. Vypočtěte kapacitu přívodu tvořeného souosým kabelem, jehož izolace je vyrobena
z polytetrafluoretylénu (ε
r
= 2,1) a má tloušťku 1,5 mm; průřez vnitřního vodiče činí
0,8 mm
2
; délka kabelu je 1,2 m.

Řešení
Podle Gaussovy věty platí

0
2.
r
Q
E
rlπε ε
=
.

0
.
2.
r
Qd
dU E dr
lrπε ε
==
r

1
1
1
00
ln
2. 2.
rh
rrr
QdrQr
U
lr l rπε ε πε ε
+
h+
==
∫
,
kde r
1

… je poloměr vnitřního vodiče
h … je tloušťka izolace
Mezi napětím, nábojem a kapacitou kondenzátoru platí
QCU=⇒
0
1
1
2.
ln
r
Ql
C
rh
U
r
πεε
==
+
,
kde r
1
se spočítá ze vztahu
1
S
r
π
=

24. Na elektrody deskového vakuového kondenzátoru je přiložen potenciální rozdíl 1 000 V.
Určete intenzitu elektrického pole, elektrickou indukci v prostoru mezi elektrodami
a stanovte hustotu elektrického náboje na elektrodách, jsou-li elektrody rozměrů
30 x 20 cm a jejich vzdálenost je 4 mm. Jak se změní tyto hodnoty, vloží-li se mezi
elektrody slídovou destičku o relativní permitivitě 5,4?
Příklad řešte pro případ, že je vakuový kondenzátor po nabití odpojen od vnějšího zdroje.
Současně určete, jak se změní intenzita elektrického pole, elektrická indukce v prostoru
mezi elektrodami a hustota elektrického náboje na elektrodách, vloží-li se mezi elektrody
slídovou destičku o relativní permitivitě 5,4.

Řešení

Každé elektrické prostředí (pole) je definováno intenzitou magnetického pole E (V m
-1
)
a magnetickou indukcí D (C m
-2
). Mezi těmito dvěma veličinami platí vztah:
()
00 00 0
1
re e
DE E E E EDPε εε ε κ ε εκ== = + =+ =+,
kde κ
e
... je dielektrická susceptibilita (-)
D
0
… je elektrická indukce ve vakuu (C m
-2
)
P … je polarizace dielektrika (C m
-2
)

Plošná hustota náboje je dána vztahem
0
00
r
rr
S
U
QCU U
h
E D
SS S h
εε
σεε== = = = =ε
Platí, že plošná hustota elektrického náboje je číselně i rozměrově rovna příslušné
elektrické indukci.

Vztahy pro výpočet
9 Vakuový kondenzátor
0
U
E
h
=
00
DE
0
ε=
0
00
S
U
QCU U
h
0
E D
SS S h
ε
σε== = = = =ε
9 Kondenzátor s dielektrikem (slídovou deskou) – napětí zůstává připojeno
0r
E E=
00rr r r
DE
0
Dσ εε ε== =
9 Kondenzátor s dielektrikem – po odpojení vnějšího zdroje
Jestliže kondenzátor po nabití odpojíme od vnějšího zdroje, nezmění se náboj na
elektrodách a v důsledku platnosti Gaussovy věty ani elektrická indukce.
Platí:
0r
DD=
Po dosazení:

0
000rr r
r
E
EE Eεε ε
ε
=⇒=

25. Elektrolytický kondenzátor tvořený oxidovanou hliníkovou destičkou o aktivním povrchu
S = 400 cm
2
má kapacitu 8 µF. Napětí mezi hliníkovou destičkou a elektrolytem je
10 V, relativní permitivita oxidové vrstvy (Al
2
O
3
) je 8,0. Určete intenzitu elektrického
pole a celkový dipólový moment µ
celk

indukovaný v oxidové vrstvě.
Řešení
0
.
r
UUC
E
hSεε
==
0 r
S
C
h
εε=⇒
0
.
r
S
h
C
εε
=
Polarizace dielektrika je dána velikostí celkového dipólového momentu vztaženého na
jednotku objemu
celk
P
V
µ
=⇒
() ()
00
.1. 1.
celk r r
U
PV E S h S h
h
µεε ε==− =−

()
0
1.
celk r
USµεε=−































Výsledky:

Příklad 1: viz návod na řešení

Příklad 2: a
3
= 4,75 . 10
-29
m
3
r = 1,28 . 10
-10
m
m = 1,06 . 10
-25
kg

Příklad 3: n
v
(293 K) = 7,57 . 10
15
m
-3
n
v
(300 K) = 1,5 . 10
16
m
-3
n
v
(823 K) = 1,54 . 10
24
m
-3

Příklad 4: n
m
(293 K) = 4,50 . 10
-23
m
-3
n
m
(300 K) = m
-3
n
m
(823 K) = 7,68 . 10
10
m
-3

Příklad 5: N
Si
= 5 . 10
28
m
-3

N
Ge
= 4,5 . 10
28
m
-3

Příklad 6: n
i
(Si) = 1,45 . 10
16
m
-3
n
i
(Ge) = 2,29 . 10
19
m
-3


Příklad 7: Křemík 20 °C n
i
= 4,8 . 10
15
m
-3

γ = 1,41 . 10
-4
S m
-1

100 °C n
i
= 5,38 . 10
17
m
-3

γ = 1,58 . 10
-2
S m
-1

200 °C n
i
= 2,07 . 10
19
m
-3

γ = 0,61 S m
-1

Germanium 20 °C n
i
= 1,35 . 10
19
m
-3

γ = 1,25 S m
-1

100 °C n
i
= 2,34 . 10
20
m
-3

γ = 21,74 S m
-1

200 °C n
i
= 2,12 . 10
21
m
-3

γ = 196,98 S m
-1

Příklad 8: 0 K W
F
= W
v
+ 8,89 . 10
-20
J = W
v
+ 0,555 eV
100 K W
F
= W
v
+ 8,84 . 10
-20
J = W
v
+ 0,552 eV
300 K W
F
= W
v
+ 8,76 . 10
-20
J = W
v
+ 0,547 eV
500 K W
F
= W
v
+ 8,67 . 10
-20
J = W
v
+ 0,542 eV

Příklad 9: n
n
= 4,506 . 10
24
m
-3
p
n
= 1,16 . 10
14
m
-3
γ = 2,81 . 10
5
S m
-1

Příklad 10: p
n
= 4,506 . 10
23
m
-3
n
n
= 2,28 . 10
15
m
-3
γ = 1,37 . 10
4
S m
-1

Příklad 11: I = 1,2 A

Příklad 12: ρ = 1,72 . 10
-8
Ω m = 1,72 . 10
-6
Ω cm = 1,72 . 10
-6
Ω mm
2
m
-1

Příklad 13: J = 6,49 . 10
9
A m
-2

µ = 6,98 . 10
-3
m
2
V
-1
s
-1
v = 0,698 m s
-1

Příklad 14: J = 3,87 . 10
6
A m
-2
E = 6,67 . 10
-2
V m
-1

µ = 4,3 . 10
-3
m
2
V
-1
s
-1
v = 2,87 . 10
-4
m s
-1

Příklad 15: ϑ = 65 °C

Příklad 16: U
1-2
= 0,16 V

Příklad 17: U
T
= 2,35 mV

Příklad 18: κ = 0,238
µ
r
= 1,238
B

= 1,557 . 10
-5
T

Příklad 19: ϑ = 20 °C B
1
= 1,258 T
M
1
= 1,4 . 10
3
A m
-1
J
m1
= 1,76 . 10
-3
T

T = 77 K κ = 5,33. 10
-3
B
1
= 1,263 T
M
1
= 5,33. 10
3
A m
-1
J
m1
= 6,69 . 10
-3
T

Příklad 20: h
1
= 0,1 mm p
c1
(50 Hz) = 1,2 W kg
-1

p
c2
(150 Hz) = 4,2 W kg
-1

p
c3
(400 Hz) = 15,2 W kg
-1

h
1
= 0,35 mm p
c1
(50 Hz) = 0,8 W kg
-1

p
c2
(150 Hz) = 4,2 W kg
-1

p
c3
(400 Hz) = 23,2 W kg
-1

Příklad 21: p
c3
= 26 W kg
-1

Příklad 22: C = 948 pF

Příklad 23: C = 101, 2 pF

Příklad 24: E
0
= 2,5 . 10
5
V m
-1
D
0
= σ
0
= 2,21 . 10
-6
C m
-2
E
r
= E
0

D
r
= σ
r
= 11,9 . 10
-6
C m
-2
D
r
= D
0
E
r
= 4,63 . 10
4
V m
-1

Příklad 25: E = 2,8 . 10
7
V m
-1
µ
celk
= 2,48 . 10
-11
C m