hrw4

4
DvojrozmÏrn˝ a trojrozmÏrn˝ pohyb
CirkusovÈ umÏnÌ odjakûiva p¯itahovalo pozornost div·k˘. Proto takÈ bylo
ve svÈ dobÏ velmi rozö̯enÈ po celÈm svÏtÏ a ve zn·m˝ch artistick˝ch
rodin·ch se dÏdilo z generace na generaci. V roce 1922 uûaslo obecenstvo
nad ËÌslem rodiny Zacchiniov˝ch, p¯i kterÈm se jeden z nich nechal
vyst¯elit z dÏla. P¯eletÏl celou cirkusovou arÈnu a dopadl do z·chrannÈ sÌtÏ.
Div·cky ˙spÏön˝ kousek se v pr˘bÏhu dalöÌch let postupnÏ zdokonaloval.
Aû nakonec, nÏkdy kolem roku 1939 nebo 1940, se poda¯ilo Emanuelu
Zacchiniovi p¯ekonat vzd·lenost 68,6m a p¯eletÏt t¯i rusk· kola v z·bavnÌm
parku. Jak ale mohl vÏdÏt, kam je t¯eba umÌstit z·chrannou sÌù? Kde zÌskal
jistotu, ûe dos·hne takovÈ v˝öky, aby obrovsk· kola bez ˙hony p¯eletÏl
?
4.2 POLOHA A POSUNUTÍ 59
4.1 DVOJROZMĚRNÝ
ATROJROZMĚRNÝPOHYB
V této kapitole rozšíříme dosavadní úvahy na případ po-
hybu, který již nebude omezen pouze na přímku.Budeme
sledovat pohyb částice v rovině i v prostoru.Nejdůležitější
pojmy týkající se popisu pohybu (poloha, rychlost, zrych-
lení) převezmeme z kap.2.Vícerozměrné definice a vztahy
budou sice poněkud složitější než u přímočarého pohybu,
avšak pomocí vektorové algebry z kap.3 bude možné je
vyjádřit velmi přehledně.Při studiu této kapitoly se ob-
čas vratquoterightte ke kapitolám předchozím a osvěžte si potřebné
znalosti.
4.2 POLOHAAPOSUNUTÍ
Polohu částice nejčastěji popisujeme jejím polohovým
vektorem r, který spojuje předem zvolený vztažný bod
(obvykle počátek soustavy souřadnic) s touto částicí.V kar-
tézské soustavě souřadnic zapisujeme vektor r ve tvaru
r = xi +yj +zk, (4.1)
kde xi, yj a zk jsou jeho průměty do souřadnicových os
a x, y a z jsou jeho složky.(Nové značení se poněkud liší
od zápisů v kap.3.Snadno se však můžete přesvědčit, že
oba způsoby jsou ekvivalentní.)
Koeficienty x, y a z udávají polohu částice vzhledem
ke zvolené soustavě souřadnic, zadané osami a počátkem.
Říkáme, že částice mákartézskésouřadnice(x,y,z).Po-
loha malého tělíska P na obr.4.1 je zadána polohovým
vektorem
r =−3i + 2j + 5k.
Jeho kartézské souřadnice jsou (−3,2,5).Znamená to, že
tělísko P najdeme ve vzdálenosti tří jednotek od počátku
proti směru osy x, tj.ve směru vektoru −i, dvou jednotek
z
y
x
O
P
−3i
2j
5k
r
trajektorie
bodu P
Obr.4.1 Polohový vektor částice P je vektorovým součtem
svých průmětů do souřadnicových os.
ve směru osy y (ve směru vektoru +j) a pěti jednotek ve
směru osy z (ve směru vektoru +k).
Při pohybu částice se mění i její polohový vektor.Jeho
koncový bod se pohybuje spolu s částicí a počáteční bod
trvale splývá s počátkem soustavy souřadnic.Složky polo-
hového vektoru x(t), y(t) a z(t) jsou tedy funkcemi času,
polohový vektor r = r(t) je vektorovou funkcí času.Je-li
poloha částice v okamžiku t
1
určena vektorem r
1
avná-
sledujícím okamžiku t
1
+Delta1t vektorem r
2
,jeposunutí Delta1r
částice v časovém intervalu Delta1t dáno rozdílem
Delta1r = r
2
− r
1
. (4.2)
Pomocí vztahu (4.1) lze posunutí zapsat také ve tvaru
Delta1r = (x
2
i +y
2
j +z
2
k)−(x
1
i +y
1
j +z
1
k),
tj.
Delta1r = (x
2
−x
1
)i +(y
2
−y
1
)j +(z
2
−z
1
)k. (4.3)
Souřadnice(x
1
,y
1
,z
1
) určují polohový vektor r
1
a souřad-
nice (x
2
,y
2
,z
2
) polohový vektor r
2
.Ve vztahu pro posu-
nutí často označujeme Delta1x = (x
2
− x
1
), Delta1y = (y
2
− y
1
)
a Delta1z = (z
2
−z
1
).
PŘÍKLAD4.1
Počáteční poloha částice je dána polohovým vektorem
r
1
=−3i + 2j + 5k,
koncová poloha je určena vektorem
r
2
= 9i + 2j + 8k
(obr.4.2).Určete posunutí částice.
z
y
x
O
P
Delta1r
r
1
r
2
trajektorie
bodu P
Obr.4.2 Příklad 4.1. Posunutí Delta1r =r
2
−r
1
spojuje koncové body
vektorů r
1
a r
2
.
60 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB
ŘEŠENÍ: Vektory sčítáme (nebo odečítáme) po složkách,
přesně podle pravidel uvedených v kap.3.Užitím vztahu
(4.2) dostaneme
Delta1r = (9i + 2j + 8k)−(−3i + 2j + 5k) =
= 12i + 3k. (Odpovědquoteright)
Vektor posunutí je rovnoběžný se souřadnicovou rovinou xz,
nebotquoteright jeho y-ová složka je nulová.Uvědomme si, že z čí-
selného zápisu vektoru posunutí je tato skutečnost patrná
mnohem lépe než z grafického znázornění situace na obr.4.2.
K
ONTROLA 1: (a) Netopýr vyletěl z místa o souřadni-
cích (−2m,4m,−3 m) a po chvíli opět usedl, tentokrát
v místě (6 m, −2m,−3 m).Určete jeho vektor posu-
nutí Delta1r a vyjádřete jej pomocí jednotkových vektorů
i, j a k.(Údaje jsou vztaženy ke kartézské soustavě
souřadnic.) (b) Zjistěte, zda je vektor Delta1r rovnoběžný
s některou souřadnicovou rovinou či osou.
4.3 PRŮMĚRNÁAOKAMŽITÁ
RYCHLOST
Průměrnárychlost částice v časovém intervalu Delta1t měře-
ném od okamžiku t do okamžikut+Delta1t je definována jako
podíl odpovídajícího vektoru posunutíDelta1r a délky časového
intervalu Delta1t:
v =
Delta1r
Delta1t
. (4.4)
Po rozepsání pomocí složek dostaneme
v =
Delta1xi +Delta1yj +Delta1zk
Delta1t
=
=
Delta1x
Delta1t
i +
Delta1y
Delta1t
j +
Delta1z
Delta1t
k. (4.5)
Okamžitárychlost (zkráceně rychlost) v je limitou prů-
měrné rychlosti v pro Delta1t → 0, tj.derivací polohového
vektoru r podle času
v =
dr
dt
. (4.6)
Dosazením polohového vektoru r z rovnice (4.1) dosta-
neme
v =
d
dt
(xi +yj +zk) =
dx
dt
i +
dy
dt
j +
dz
dt
k
a přepíšeme ve tvaru
v = v
x
i +v
y
j +v
z
k, (4.7)
kde
v
x
=
dx
dt
,v
y
=
dy
dt
a v
z
=
dz
dt
(4.8)
jsou složky rychlosti v.
Na obr.4.3 je zakreslena trajektorie částice P, jejíž
pohyb je omezen na souřadnicovou rovinu xy.Při pohybu
částice po křivce směrem vpravo se v tomtéž směru odklání
i její polohový vektor.V okamžiku t
1
je její poloha určena
polohovým vektorem r
1
a v okamžiku t
1
+Delta1t polohovým
vektorem r
2
.Vektor Delta1r představuje posunutí částice v ča-
sovém intervalu Delta1t.Průměrná rychlost v v intervalu od
t
1
do t
1
+ Delta1t je dána rovnicí (4.4) a má stejný směr jako
posunutí Delta1r.
y
x
O
P
r
1
r
2
Delta1r
trajektorie bodu P
tečna
Obr.4.3 Trajektorie čás-
tice P s vyznačením její
polohy v okamžicích t
1
a t
1
+ Delta1t.Vektor Delta1r
představuje posunutí čás-
tice v tomto časovém
intervalu.Červeně je zná-
zorněna tečna k trajektorii
v okamžiku t
1
.
Při poklesu délky časového intervalu Delta1t k nule si mů-
žeme všimnout následujícího chování vektorů charakteri-
zujících pohyb částice: (1) vektor r
2
se přibližuje vektoru
r
1
a Delta1r vektoru nulovému, (2) směr vektoru Delta1r asním
i směr průměrné rychlosti v se sklánějí ke směru tečny
k trajektorii v bodě r
1
a konečně (3) průměrná rychlost v
se blíží k okamžité rychlosti v.
Pro Delta1t → 0jev → v.Vektor okamžité rychlosti je
tedy tečný k trajektorii v bodě r
1
.
Okamžitá rychlost částice v má vždy směr tečny k tra-
jektorii.
V obr.4.4 je zakreslen vektor okamžité rychlosti čás-
tice P a jeho rozklad do složek.Úvahy o rychlosti lze
zobecnit i na případ pohybu částice v trojrozměrném pro-
storu, bez jakýchkoli omezení: Vektor okamžité rychlosti
částice v je vždy tečný k její trajektorii.
K
ONTROLA 2: Částice se pohybuje po kružnici (viz
obrázek) a v jistém okamžiku má rychlost v =
= (2m·s
−1
)i − (2m·s
−1
)j.Určete, ve kterém kvad-
rantu částici v tomto okamžiku najdeme, pohybuje-li
4.4 PRŮMĚRNÉ A OKAMŽITÉ ZRYCHLENÍ 61
se (a) ve směru otáčení hodinových ručiček, (b) proti
směru otáčení hodinových ručiček.
y
x
y
x
O
P
v
x
v
y
v
trajektorie bodu P
tečna
Obr.4.4 Rychlost čás-
tice P a její rozklad do
složek.Rychlost má směr
tečny k trajektorii.
4.4 PRŮMĚRNÉAOKAMŽITÉ
ZRYCHLENÍ
Předpokládejme, že v průběhu časového intervalu od t
1
do
t
1
+Delta1t dojde ke změně rychlosti částice z v
1
na v
2
.Podíl
a =
v
2
− v
1
Delta1t
=
Delta1v
Delta1t
(4.9)
nazýváme průměrnýmzrychlením v tomto časovém in-
tervalu.Při přechodu Delta1t → 0 se průměrné zrychlení
blíží svému limitnímu případu, takzvanému okamžitému
zrychlenía (zkráceně zrychlení):
a =
dv
dt
. (4.10)
Nenulové zrychlení signalizuje, že se mění velikost nebo
směr rychlosti částice.(Obě změny mohou samozřejmě
probíhat současně.) Dosazením rychlosti v ze vztahu (4.7)
do (4.10) dostaneme
a =
d
dt
(v
x
i +v
y
j +v
z
k) =
dv
x
dt
i +
dv
y
dt
j +
dv
z
dt
k,
tj.
a = a
x
i +a
y
j +a
z
k, (4.11)
kde
a
x
=
dv
x
dt
,a
y
=
dv
y
dt
a a
z
=
dv
z
dt
(4.12)
jsou složky zrychlení a.Pohyb částice P na obr.4.5 je ome-
zen na rovinu xy.V obrázku je zakreslen vektor zrychlení
částice a jeho rozklad do složek.
y
x
O
P
a
x
a
y
a
trajektorie bodu P
Obr.4.5 Rozklad zrychlení částice do složek
PŘÍKLAD4.2
Králík vběhl na parkoviště, kde si předtím hrály děti a na-
kreslily tam křídou dvě kolmé přímky.Můžeme je považovat
za osy x a y soustavy souřadnic.Okamžitá poloha králíka
vzhledem k této soustavě je popsána funkcemi
x =−0,31t
2
+ 7,2t + 28,
y = 0,22t
2
− 9,1t + 30.
Čas t je měřen v sekundách a souřadnice x a y v metrech.
Polohový vektor r je tedy tvaru
r(t) = x(t)i +y(t)j.
(a) Určete velikost a směr polohového vektoru v okamžiku
t = 15 s.
ŘEŠENÍ: V okamžiku t = 15 s má polohový vektor r
složky
x = (−0,31)(15)
2
+(7,2)(15)+ 28 = 66
a
y = (0,22)(15)
2
−(9,1)(15)+ 30 =−57.
Polohový vektor r a jeho rozklad do složek znázorňuje
obr.4.6a.Vektor r má velikost
r =
radicalBig
x
2
+y
2
=
radicalbig
(66 m)
2
+(−57 m)
2
=
= 87 m. (Odpovědquoteright)
Pro úhel vektoru r s kladným směrem osy x platí
tgθ =
y
x
=
parenleftBig
−57 m
66 m
parenrightBig
=−0,864,
θ =−41
◦
. (Odpovědquoteright)
62 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB
(Stejnou hodnotu tangenty má i úhel θ = 139
◦
,kterývšak
neodpovídá znaménkům složek vektoru r.)
(b) Určete polohu králíka v okamžicích t = 0 s, 5 s, 10 s, 20 s
a 25 s a schematicky nakreslete jeho trajektorii.
ŘEŠENÍ: Pro každý ze zadaných okamžiků zopakujeme vý-
počet podle (a) a získáme následující hodnoty x, y, r a θ:
t/s x/m y/m r/m θ
028 3041+47
◦
556−10 57 −10
◦
10 69 −39 79 −29
◦
15 66 −57 87 −41
◦
20 48 −64 80 −53
◦
25 14 −60 62 −77
◦
Trajektorie králíka je znázorněna na obr.4.6b.
PŘÍKLAD4.3
Určete velikost a směr rychlosti králíka z příkladu 4.2 v oka-
mžiku t = 15 s.
ŘEŠENÍ: Podle vztahu (4.8) je x-ová složka vektoru rych-
losti
v
x
=
dx
dt
=
d
dt
(−0,31t
2
+ 7,2t + 28) =−0,62t + 7,2.
Pro t = 15 s dostaneme
v
x
= (−0,62)(15) + 7,2 =−2,1m·s
−1
.
Obdobně je
v
y
=
dy
dt
=
d
dt
(0,22t
2
− 9,1t + 30) = 0,44t − 9,1
aprot = 15 s
v
y
= (0,44)(15)− 9,1 =−2,5m·s
−1
.
xx
y (m)
x (m)
0
20
40
20 40 60 80
−20
−40
−60
y (m)
x (m)
0
20
40
20 40 60 80
−20
−40
−60
y (m)
x (m)
0
20
40
20 40 60 80
−20
−40
−60
y (m)
x (m)
0
20
40
20 40 60 80
−20
−40
−60
−41
◦
r
v
a
25 s
20 s
15 s
10 s
5s
0s
145
◦
(a)(b)
(c)
(d)
−130
◦
Obr.4.6 Příklady 4.2, 4.3 a 4.4.
(a) Vektor r a jeho složky v oka-
mžiku t = 15 s.Velikost vektoru r
je 87 m.(b) Trajektorie pohybu krá-
líka po parkovišti s vyznačením poloh
v okamžicích uvedených v zadání úlo-
hy.(c) Rychlost v králíka v okamžiku
t = 15 s má směr tečny k trajekto-
rii v bodě určujícím polohu králíka
v okamžiku t = 15 s.(d) Zrychlení
a v okamžiku t = 15 s.Zrychlení je
konstantní, tj.stejné ve všech bodech
trajektorie.
4.4 PRŮMĚRNÉ A OKAMŽITÉ ZRYCHLENÍ 63
Vektor rychlosti a jeho složky jsou zakresleny v obr.4.6c.
Pro velikost vektoru v a úhel θ určující jeho směr platí
v =
radicalBig
v
2
x
+v
2
y
=
radicalbig
(−2,1m·s
−1
)
2
+(−2,5m·s
−1
)
2
=
= 3,3m·s
−1
(Odpovědquoteright)
a
tg θ =
v
y
v
x
=
parenleftbigg
−2,5m·s
−1
−2,1m·s
−1
parenrightbigg
= 1,19,
tj.
θ =−130
◦
. (Odpovědquoteright)
(Stejná hodnota tangenty odpovídá i úhlu 50
◦
.V souhlasu
se znaménky složek rychlosti však správný úhel θ leží ve
třetím kvadrantu, tj. θ = 50
◦
− 180
◦
=−130
◦
.) Rychlost je
tečným vektorem k trajektorii a určuje směr, kterým králík
běží v okamžiku t = 15 s (obr.4.6c).
PŘÍKLAD4.4
Určete velikost a směr zrychlení a králíka z příkladu 4.2
v okamžiku t = 15 s.
ŘEŠENÍ: Složky zrychlení jsou dány vztahem (4.12):
a
x
=
dv
x
dt
=
d
dt
(−0,62t + 7,2) =−0,62
a
a
y
=
dv
y
dt
=
d
dt
(0,44t + 30) = 0,44.
Vidíme, že zrychlení nezávisí na čase, je konstantní.Dvo-
jím derivováním časová proměnná zmizela.Zrychlení a jeho
složky jsou vyznačeny v obr.4.6d pro okamžik t = 15 s.Jeho
velikost a směr jsou určeny vztahy
a =
radicalBig
a
2
x
+a
2
y
=
radicalbig
(−0,62 m·s
−2
)
2
+(0,44 m·s
−2
)
2
=
= 0,76 m·s
−2
(Odpovědquoteright)
a
tgθ =
a
y
a
x
=
parenleftbigg
0,44 m·s
−2
−0,62 m·s
−2
parenrightbigg
=−0,710,
tj.
θ = 145
◦
. (Odpovědquoteright)
Velikost ani směr vektoru zrychlení se podél trajektorie krá-
líka nemění.Těžko říci, co bylo příčinou toho, že králík ne-
ustále „urychloval“ svůj běh severozápadním směrem.Mů-
žeme si myslet, že třeba vál silný jihovýchodní vítr.
K
ONTROLA 3: Následující vztahy popisují čtyři mož-
nosti pohybu hokejového kotouče po ledové ploše, le-
žící v souřadnicové rovině xy (poloha je zadána v me-
trech):
(1) x =−3t
2
+ 4t − 2ay = 6t
2
− 4t,
(2) x =−3t
3
− 4t a y =−5t
2
+ 6,
(3) r = 2t
2
i −(4t + 3)j,
(4) r = (4t
3
− 2t)i + 3j.
V jednotlivých případech rozhodněte, zda je některá
ze složek vektoru zrychlení konstantní.Je v některém
z nich konstantní vektor zrychlení a?
PŘÍKLAD4.5
Částice se pohybuje v souřadnicové rovině xy s konstantním
zrychlením a.Vektor zrychlení má velikost a = 3,0 m·s
−2
a s kladným směrem osy x svírá úhel θ = 130
◦
.V okamžiku
t = 0 se částice pohybuje rychlostí v
0
=−2,0i+4,0j (v me-
trech za sekundu).Určete její rychlost v okamžiku t = 2s
a vyjádřete ji pomocí jednotkových vektorů i a j.Určete i její
velikost a směr.
ŘEŠENÍ: Při řešení této úlohy si připomeneme výsledky
odvozené v kap.2 pro přímočarý pohyb s konstantním zrych-
lením.Opravdu jich budeme moci využít? V našem případě
je sice zrychlení stálé, pohyb částice však není přímočarý (po-
čáteční rychlost má jiný směr než zrychlení).Díky pravidlům
vektorové algebry můžeme úlohu řešit „po složkách“ a vztah
(2.11) (v
x
= v
0x
+ a
x
t), platný pro rychlost přímočarého
pohybu se stálým zrychlením, použít pro každou ze složek
v
x
a v
y
vektoru rychlosti v.Lze tedy psát
v
x
= v
0x
+a
x
t a v
y
= v
0y
+a
y
t,
kde v
0x
(=−2,0 m·s
−1
)av
0y
(= 4,0m·s
−1
) jsou složky
počáteční rychlosti v
0
.Složky vektoru zrychlení a, a
x
a a
y
,
určíme užitím vztahů (3.5):
a
x
= a cosθ = (3,0m·s
−2
)cos 130
◦
=−1,93 m·s
−2
,
a
y
= a sinθ = (3,0m·s
−2
)sin 130
◦
=+2,30 m·s
−2
.
Dosazením těchto hodnot do rovnic pro složky rychlosti v
x
a v
y
dostaneme
v
x
=−2,0m·s
−1
+(−1,93 m·s
−2
)(2,0s) =−5,9m·s
−1
,
v
y
= 4,0m·s
−1
+(+2,30 m·s
−2
)(2,0s) = 8,6m·s
−1
.
Zapíšeme-li výsledky pomocí rozkladu (4.7), dostáváme
rychlost částice v okamžiku t = 2svetvaru
v = (−5,9m·s
−1
)i +(8,6m·s
−1
)j. (Odpovědquoteright)
64 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB
Pro velikost a směr rychlosti platí
v =
radicalbig
(−5,9m·s
−1
)
2
+(8,6m·s
−1
)
2
= 10 m·s
−1
,
tgθ =
parenleftbigg
8,6m·s
−1
−5,9m·s
−1
parenrightbigg
=−1,458,
tj.
θ = 124
◦
.
= 120
◦
. (Odpovědquoteright)
Poslední výsledek přepočtěte na kalkulačce.Co myslíte? Zob-
razí se na displeji hodnota 124
◦
nebo −55,5
◦
? Nakreslete
vektor v a jeho složky a rozhodněte, která z obou hodnot
představuje správné řešení úlohy.Proč někdy získáme na
kalkulačce matematicky správný, ale fyzikálně nepřijatelný
výsledek? Vysvětlení viz bod 3.3.
RADYANÁMĚTY
Bod4.1:Goniometrickéfunkce a úhly
V příkladu 4.3 bylo třeba určit úhel θ z rovnice tgθ = 1,19.
Zopakujme si použitý postup: Při výpočtu pomocí kalkulačky
se na jejím displeji téměř jistě zobrazí hodnota θ = 50
◦
.
V grafu na obr.3.13c si můžeme všimnout,že stejnou hodnotu
tangenty má i úhel θ = 230
◦
(= 50
◦
+ 180
◦
).Pomocí zna-
mének složek vektoru rychlosti v
x
a v
y
(obr.4.6c) dokážeme
rozhodnout, že správným řešením úlohy je druhá z obou hod-
not úhlu θ.(Některé dokonalejší kalkulačky umožňují rovnou
získat správný výsledek.)
Nakonec je třeba zvolit pro zápis výsledku jednu ze dvou
možností, 230
◦
nebo −130
◦
.Obě hodnoty představují týž
směr (bod 3.1). Výběr zápisu záleží na tom, pracujeme-li
raději s úhly v intervalu od 0
◦
do 360
◦
nebo v intervalu
od −180
◦
do +180
◦
.V příkladu 4.3 jsme si vybrali druhou
možnost, tj. θ =−130
◦
.
Bod4.2:Grafický záznam vektorů
Při kreslení vektorů můžeme užít následujícího postupu
(např.obr.4.6): (1) Určíme počáteční bod vektoru.(2) Ve-
deme jím přímku souhlasně rovnoběžnou s osou x.(3) Od
jejího kladného směru odměříme úhloměrem zadaný úhel θ.
Je-li úhel θ kladný, měříme jej proti směru otáčení hodino-
vých ručiček a naopak.
Vektor r v obr.4.6a je zakreslen přesně v měřítku použi-
tém pro popis souřadnicových os.Délka šipky znázorňující
tento vektor tak skutečně odpovídá jeho velikosti.Pro gra-
fické znázornění rychlosti (obr. 4.6c) ani zrychlení (obr. 4.6d)
jsme žádnou stupnici nezvolili, a tak je můžeme kreslit libo-
volně dlouhé.
Nemá smysl přemýšlet o tom, zda má být například vek-
tor rychlosti delší či kratší než vektor posunutí.Jde o různé
fyzikální veličiny s odlišnými jednotkami.Volba společného
měřítka pro jejich grafický záznam by neměla žádné fyzikální
opodstatnění.
K
ONTROLA 4: Poloha kuličky je dána vektorem r =
= (4t
3
− 2t)i + 3j (poloha je zadána v metrech a čas
v sekundách).V jakých jednotkách jsou zadány koefi-
cienty 4, −2a3?
4.5 ŠIKMÝVRH
V čl.2.8 jsme se poměrně podrobně zabývali zvláštním pří-
padem pohybu částice s konstantním zrychlením, tzv. svis-
lým vrhem.Pozornost věnovaná této speciální situaci ne-
byla přehnaná.Odpovídající experimenty totiž můžeme
velmi pohodlně realizovat v „pozemských podmínkách“
s minimálním přístrojovým vybavením.Připomeňme si jen
stručně hlavní výsledky, k nimž jsme v článku 2.8 do-
spěli: těleso volně vypuštěné v blízkosti povrchu Země
padá se stálým zrychlením, podaří-li se v dostatečné míře
omezit vliv odporu prostředí.Toto tíhové zrychlení g je
pro všechna tělesa stejné.Trajektorií padajícího tělesa je
přímka definující svislýsměr.Udělíme-li tělesu na počátku
experimentu nenulovou rychlost ve svislém směru (vzhůru
či dolů), pohybuje se opět se zrychlením g a jeho pohyb je
také opět přímočarý.
Experimenty ukazují víc.Atquoteright je totiž při vrhu udělena
tělesu počáteční rychlost vjakémkolivsměru — nejen svis-
lém — letí těleso vždy se stejným zrychlením g.Jeho trajek-
Obr.4.7 Stroboskopický záznam pohybu golfového míčku při
odrazech na tvrdém podkladu.Mezi jednotlivými odrazy se po-
hyb blíží šikmému vrhu.Odchylky jsou způsobeny vlivem od-
poru prostředí, který v reálných situacích pochopitelně nelze
odstranit.
4.5 ŠIKMÝ VRH 65
torie nyní leží ve svislé rovině určené vektorem tíhového
zrychlení a směrem počáteční rychlosti tělesa.Tento po-
hyb nazývámešikmývrh.Jeho příkladem je let golfového
míčku (obr.4.7), tenisového či fotbalového míče, dělové
střely apod.V dalších úvahách se budeme zabývat podrob-
ným rozborem tohoto pohybu.Pro úplnost dodejme, že
zanedbáváme odpor vzduchu, vlastní rotaci Země a před-
pokládáme, že změny výšky tělesa nad povrchem Země
jsou zanedbatelné vůči jejím rozměrům.
Řekněme, že sledovaným tělesem je podle obr.4.8
kulka vystřelená počáteční rychlostí
v
0
= v
0x
i +v
0y
j. (4.13)
Složky v
0x
a v
0y
této rychlosti lze zapsat pomocí její veli-
kosti v
0
a úhlu θ
0
(tzv.elevační úhel), který svírá vektor v
0
s kladným směrem osy x:
v
0x
=