hrw4

v
0
cosθ
0
a v
0y
= v
0
sinθ
0
. (4.14)
Polohový vektor r i rychlost střely v se při jejím pohybu
ve svislé rovině neustále mění.Její zrychlení a je však
stálé a vždy míří svisle dolů.(Vodorovná složka zrychlení
je nulová.) Na obr. 4.9 je vidět, jak se mění i úhel mezi
zrychlením a rychlostí.
y
x
θ
θ
0
O
R
v
v
v
v
v
v
0
v
0x
v
0y
v
x
v
y
v
y
=0
v
x
v
y
v
x
v
y
v
x
v
y
Obr.4.8 Střela vyletí z počátku soustavy souřadnic v okamžiku
t = 0 rychlostí v
0
.V jednotlivých bodech trajektorie jsou za-
kresleny vektory rychlosti a jejich rozklad do složek.Všimněte
si, že vodorovná složka rychlosti se v průběhu pohybu nemění,
na rozdíl od složky svislé. Doletem R rozumíme vodorovnou
vzdálenost střely od místa výstřelu měřenou v okamžiku, kdy
střela projde bodem ležícím v téže výšce nad povrchem Země
jako ústí hlavně.
I když pohyb těles na obr. 4.7 až 4.9 může někomu při-
padat docela složitý, bude jeho matematický popis velmi
prostý.Zjednodušení je dáno jednak vektorovým charakte-
rem veličin popisujících pohyb (poloha, rychlost a zrych-
lení), s nimiž tak lze nakládat podle pravidel vektorové al-
gebry, jednak neměnností zrychlení při pohybu těles.Obojí
souhlasí s výsledky experimentů.
180
◦
>ϕ>90
◦
90
◦
>ϕ>0
◦
ϕ=90
◦
ϕ
ϕ
ϕ
v
v
va
a
a
střela
stoupá
střela
v nejvyšším bodě
trajektorie
střela
klesá
Obr.4.9 Rychlost a zrychlení střely v různých fázích jejího
pohybu.Úhel mezi rychlostí a zrychlením může být v daném
okamžiku libovolný.
Vodorovné a svislé složky veličin popisujících vrh jsou
na sobě nezávislé.Neovlivňují se navzájem.
Pohyb částice v rovině můžeme tedy získat složením
dvou pohybů přímočarých, vodorovného a svislého.
Nezávislost vodorovných a svislých složek veličin po-
pisujících šikmý vrh nyní doložíme ukázkou dvou jedno-
duchých experimentů.
Dvagolfovémíčky
Sledujme stroboskopický záznam pohybu dvou golfových
míčků na obr.4.10.Jeden z nich vypustili experimentátoři
volně, druhý vystřelili ve vodorovném směru pomocí pru-
žiny.Všímáme-li si pohybu míčků pouze ve svislém směru,
vidíme, že se oba záznamy shodují.Ve stejných časových
intervalech urazily míčky stejnou svislou vzdálenost.
Skutečnost,že se jedenzmíčkůsoučasněpohybujei ve
vodorovném směru, nijak neovlivňuje průmět jeho pohybu
do svislého směru. Experiment můžeme domýšlet až k ex-
trémním situacím: střela z pušky, vystřelená vodorovně vy-
sokou rychlostí, dopadne (při zanedbatelném odporu vzdu-
chu) na zem současně s kuličkou, kterou jsme ve stejném
okamžiku volně vypustili z dlaně ve stejné výšce.
Přesnýzásah
Pokus na obr.4.11 už jistě napomohl oživit řadu fyzikál-
ních přednášek.Vyzkoušejme si jej také.Potřebujeme fou-
kačku G s malými kuličkami jako střelivem.Terčem může
být plechovka zavěšená na magnetu M.Trubici foukačky
66 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB
namíříme přesně na plechovku.Ještě je třeba zařídit, aby
magnet uvolnil plechovku přesně v okamžiku, kdy střela
vyletí z trubičky a můžeme střílet.
Obr.4.10 Jeden z míčků je volně vypuštěn, druhý je vystřelen
vodorovným směrem.Průměty jejich pohybu do svislého směru
jsou totožné.
M
G
h
plechovka
t
r
aj
ekt
o
ri
e
p
ro
g
=
0
Obr.4.11 Kulička vždy zasáhne padající plechovku.V časovém
intervalu mezi výstřelem a zásahem obě klesnou o stejnou svis-
lou vzdálenost h měřenou od místa, ve kterém by došlo k jejich
srážce v tzv.beztížném stavu ( g = 0).
Při nulovém tíhovém zrychlení (tzv.stav beztíže) by
střela letěla po přímce (obr.4.11).Plechovkaby se vznášela
stále na místě i po uvolnění od magnetu a kulička by ji zcela
jistě neminula.
Při skutečném experimentu je ovšem tíhové zrychlení
nenulové. A přesto kulička cíl zasáhne! V obr.4.11 je vy-
značena svislá vzdálenost h, o kterou kulička i plechovka
při pokusu poklesnou vzhledem k místu pomyslné srážky
přig = 0.K zásahu dojde při libovolně silném fouknutí: při
silnějším dostane kulička větší počáteční rychlost, zkrátí se
doba letu a zmenší se vzdálenost h.
4.6 ŠIKMÝVRH:MATEMATICKÝPOPIS
Výsledky předchozích úvah nyní uplatníme při důsledném
matematickém rozboru šikmého vrhu.Víme již, že při něm
můžeme využít zjednodušení spočívající v možnosti roz-
kladu skutečného pohybu na dva nezávislé pohyby, ve vo-
dorovném a svislém směru.
Obr.4.12 Svislý průmět rychlosti skatebordisty se mění.Její
vodorovný průmět je však trvale shodný s vodorovnou rychlostí
skateboardu.Při výskoku je sportovec neustále nad skateboar-
dem a bez problémů na něj opět doskočí.
Pohybvevodorovnémsměru
Vodorovná složka tíhového zrychlení je nulová.Vodorovná
složka rychlosti šikmého vrhu se tedy s časem nemění.
Neustále si udržuje svou počáteční hodnotuv
0x
(obr.4.12).
Posunutí částice ve vodorovném směru x − x
0
je dáno
4.6 ŠIKMÝ VRH: MATEMATICKÝ POPIS 67
vztahem (2.15) pro a
x
= 0:
x −x
0
= v
0x
t.
Po dosazení v
0x
= v
0
cosθ
0
, dostaneme
x −x
0
= (v
0
cosθ
0
)t. (4.15)
Pohybvesvislémsměru
Průmětem pohybu částice do svislého směru je svislý vrh.
Pro jeho popis použijeme rovnic (2.21) až (2.25), kteréjsme
odvodili již v článku 2.8. Z rovnice (2.22) například rovnou
dostaneme vztah pro svislou složku vektoru posunutí
y −y
0
= v
0y
t −
1
2
gt
2
=
= (v
0
sinθ
0
)t −
1
2
gt
2
. (4.16)
Svislou složku počáteční rychlosti v
0y
jsme nahradili ekvi-
valentním výrazemv
0
sinθ
0
.Využít můžeme i rovnic (2.21)
a (2.23), když je nejprve vhodně upravíme:
v
y
= v
0
sinθ
0
−gt (4.17)
a
v
2
y
= (v
0
sinθ
0
)
2
− 2g(y −y
0
). (4.18)
Z rovnice (4.17) je zřejmé (a obr. 4.12 to intuitivně
potvrzuje), že časová závislost svislé složky rychlosti je
naprosto stejná jako závislost rychlosti míče vyhozeného
svisle vzhůru.Na počátku letu je kladná a její velikost
postupně klesá k nule.V okamžiku, kdy je v
y
= 0, je
těleso ve vrcholu svétrajektorie .Znaménko svislé složky
rychlosti se obrací a její velikost s časem opět roste.
Rovnicetrajektorie
Vztahy (4.15) a (4.16) představují tzv. parametrické rov-
nice trajektorie částice při šikmém vrhu.(Parametrem je
zde čas t.) Její kartézskou rovnici získáme tak, že z rovnic
(4.15) a (4.16) tento parametr vyloučíme. Nejjednodušší
je vyjádřit čas z rovnice (4.15) a dosadit jej do (4.16). Po
malých úpravách dostaneme
y = (tgθ
0
)x −
gx
2
2(v
0
cosθ
0
)
2
(trajektorie). (4.19)
Získali jsme rovnici trajektorie znázorněné na obr.4.8.Při
výpočtu jsme ve vztazích (4.15) a (4.16) pro jednoduchost
zvolili x
0
= 0ay
0
= 0.Veličiny g, θ
0
a v
0
jsou konstanty,
a tak lze rovnici (4.19) zapsat ve tvaru y = ax +bx
2
, kde
a a b jsou rovněž jisté konstanty.Poznáváme v něm rovnici
paraboly s koeficienty a a b.Částice se tedy pohybuje po
parabole, má parabolickou dráhu.
Dolet
Dolet R definujeme jako vodorovnou vzdálenost, kterou
střela urazí od okamžiku výstřelu do okamžiku návratu do
počáteční výšky nad povrchem Země.V tomto okamžiku
je poloha střely dána souřadnicemi x = R a y = y
0
.Jejich
dosazením do rovnic (4.15) a (4.16) můžeme dolet snadno
určit:
x −x
0
= (v
0
cosθ
0
)t = R
a
y −y
0
= (v
0
sinθ
0
)t −
1
2
gt
2
= 0.
Vyloučíme čas a dostaneme
R =
2v
0
2
g
sinθ
0
cosθ
0
.
(Totéž bychom získali dosazenímx = R ay = 0 do (4.19).)
Užitím identity sin 2θ
0
= 2sinθ
0
cosθ
0
z dod.E nakonec
upravíme výsledek do tvaru
R =
v
0
2
g
sin 2θ
0
. (4.20)
Můžeme si všimnout, že při pevně zvolené velikosti po-
čáteční rychlosti docílíme největšího doletu při elevačním
úhlu θ, který splňuje podmínku sin 2θ
0
= 1, tj.2 θ
0
= 90
◦
a θ
0
= 45
◦
.
Dolet R nabývá největší hodnoty, je-li elevační úhel
roven 45
◦
.
Vlivodporuprostředí
Do této chvíle jsme předpokládali,že vliv okolního vzduchu
na pohyb tělesa je zanedbatelný.Tento předpoklad může být
celkem dobře splněn při nízkých rychlostech.Ve skuteč-
nosti však okolní prostředí klade pohybu tělesa jistý odpor,
který může vést ke značným odchylkám idealizovaných vý-
počtů od skutečnosti, zejména při vyšších rychlostech.Jako
příklad porovnání pohybu ve vakuu a skutečného letu tě-
lesa vzduchem poslouží obr.4.13.Jsou v něm schematicky
znázorněny trajektorie dvou tenisových míčků odpálených
úderem rakety.Velikost počáteční rychlosti je v obou pří-
padech 160 km/h a elevační úhel 60
◦
.Trajektorie I odpo-
vídá skutečnému pohybu míčku, trajektorie II je vypočtena
pro případ jeho pohybu ve vakuu.Číselné hodnoty uve-
dené v tab.4.1 jsme převzali z článku „The Trajectory of
a Fly Ball“ publikovaného v časopisu The PhysicsTeacher
v lednu 1985.Pohybu v odporujícím prostředí se budeme
podrobněji věnovat v kap.6.
68 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB
K
ONTROLA 5: Jak se mění (a) vodorovná a (b) svislá
složka rychlosti šikmo vrženého míče? Určete (c) vo-
dorovnou a (d) svislou složku jeho zrychlení ve vze-
stupné i sestupné části trajektorie i v jejím vrcholu.
Odpor vzduchu zanedbejte.
y
x
I
II
60
◦
v
0
Obr.4.13 (I) Dráha tenisového míčku vypočtená (na počítači)
s uvážením odporu vzduchu.(II) Dráha míčku ve vakuu, vypoč-
tená pro stejnou počáteční rychlost pomocí vztahů odvozených
v této kapitole.Důležité číselné údaje o obou trajektoriích jsou
shrnuty v tab.4.1.
Tabulka 4.1 Dvamíčkyvletu
DRÁHA I(VZDUCH)DRÁHA II (VAKUUM)
dolet 98,5 m 177 m
největší výška 53,0 m 76,8 m
doba letu 6,6 s 7,9 s
Elevační úhel je 60
◦
a počáteční rychlost má velikost
160 km/h (obr.4.13).
PŘÍKLAD4.6
Záchranný letoun letí na pomoc tonoucímu.Pilot udržuje
stálou výšku 1 200 m nad hladinou a směřuje přímo nad hlavu
člověka (obr.4.14). Rychlost letadla má velikost 430 km /h.
Při jakém zorném úhlu ϕ musí pilot uvolnit záchranný vak,
aby dopadl co nejblíže k tonoucímu?
ŘEŠENÍ: Počáteční rychlost vaku v
0
je shodná s rychlostí
letadla.Má tedy velikost 430 km /h a vodorovný směr.Po-
něvadž víme, v jak velké výšce je vak vypuštěn, můžeme
snadno určit dobu jeho pádu na hladinu.Do rovnice (4.16),
zapsané ve tvaru
y −y
0
= (v
0
sinθ
0
)t −
1
2
gt
2
,
dosadíme y − y
0
=−1 200 m (záporné znaménko je dáno
orientací osy y)aθ
0
= 0:
−1 200 m = 0 −
1
2
(9,8m·s
−2
)t
2
.
Řešením této rovnice vzhledem k neznámé t dostaneme
t =
radicalBigg
2(1 200 m)
(9,8m·s
−2
)
= 15,65 s.
Za tuto dobu urazí vak i letadlo ve vodorovném směru vzdá-
lenost určenou vztahem (4.15):
x −x
0
= (v
0
cosθ
0
)t =
= (430 km·h
−1
)(cos 0
◦
)(15,65 s)
parenleftbigg
1h
3 600 s
parenrightbigg
=
= 1,869 km = 1 869 m.
Pro x
0
= 0jetedyx = 1 869 m.Výpočet zorného úhlu ϕ je
již zřejmý z obr.4.14.
tgϕ =
x
h
=
parenleftBig
1869m
1200m
parenrightBig
= 1,558,
ϕ = 57
◦
. (Odpovědquoteright)
Vodorovný průmět rychlosti vaku je v každém okamžiku
shodný s rychlostí letadla, takže pilot vidí letící vak neustále
pod sebou.
y
x
O
h
θ
ϕ
v
v
0
t
r
aj
ekt
o
ri
e
zorný
p
aprsek
Obr.4.14 Příklad 4.6. Letadlo letí ve vodorovném směru stálou
rychlostí.Během letu vyhodí pilot záchranný vak.Vodorovný prů-
mět rychlosti padajícího vaku je v každém okamžiku shodný s rych-
lostí letadla.Vak dopadne na hladinu rychlostí v, která svírá se
svislým směrem úhel θ.
PŘÍKLAD4.7
Při filmování honičky na ploché střeše má kaskadér přeskočit
na střechu sousední budovy (obr.4.15).Ještě předtím ho pro-
zíravě napadne, zda vůbec může tento úkol zvládnout, běží-li
po střeše nanejvýš rychlostí 4,5 m·s
−1
.Poradíme mu?
ŘEŠENÍ: Skok z výšky 4,8 m trvá po dobu t, kterou určíme
z rovnice (4.16). Dosadíme y − y
0
=−4,8 m (pozor na
znaménko) a θ
0
= 0 a po drobné úpravě dostaneme
t =
radicalBigg
−
2(y −y
0
)
g
=
radicalBigg
−
2(−4,8m)
(9,8m·s
−2
)
= 0,990 s.
Nyní je třeba určit, jak daleko doletí kaskadér za tuto dobu
ve vodorovném směru.Odpovědquoteright získáme z rovnice (4.15):
x −x
0
= (v
0
cosθ
0
)t =
= (4,5m·s
−1
)(cos 0
◦
)(0,990 s) = 4,5m.
4.6 ŠIKMÝ VRH: MATEMATICKÝ POPIS 69
Sousední budova je však ve vzdálenosti 6,2 m.Rada je jasná:
neskákat.
4,8 m
4,5 m/s
6,2 m
Obr.4.15 Příklad 4.7. Má kaskadér skočit?
PŘÍKLAD4.8
Pirátská lodquoteright je zakotvena 560 m od pobřežní pevnosti, která
chrání vjezd do ostrovního přístavu (obr.4.16).Obránci mají
k dispozici dělo umístěné v úrovni mořské hladiny, které
může vystřelit náboj rychlostí 82 m·s
−1
.
(a) Pod jakým elevačním úhlem musí být nastavena hlaveň,
aby náboj pirátskou lodquoteright zasáhl?
ŘEŠENÍ: Hledaný úhel θ
0
zjistíme přímo z rovnice (4.20):
sin 2θ
0
=
gR
v
2
0
=
(9,8m·s
−2
)(560 m)
(82 m·s
−1
)
2
=
= 0,816.
Této hodnoty nabývá funkce sin pro dva různé úhly z in-
tervalu od 0
◦
do 360
◦
: 54,7
◦
a 125,3
◦
.Získáváme tedy dvě
hodnoty elevačního úhlu,
θ
0
=
1
2
(54,7
◦
)
.
= 27
◦
(Odpovědquoteright)
a
θ
0
=
1
2
(125,3
◦
)
.
= 63
◦
. (Odpovědquoteright)
Zvolí-li velitel pevnosti kteroukoli z nich, bude pirátská lodquoteright
zničena (za předpokladu, že pohyb střely není ovlivněn od-
porem vzduchu).
(b) Pro oba elevační úhly vypočtené v části (a) určete dobu
letu střely.
ŘEŠENÍ: Dobu t vyjádříme z rovnice (4.15) a postupně
dosadíme oba úhly.Pro θ
0
= 27
◦
dostaneme
t =
x −x
0
v
0
cosθ
0
=
(560 m)
(82 m·s
−1
)cos 27
◦
=
= 7,7s. (Odpovědquoteright)
Proθ
0
= 63
◦
vycházít = 15 s.Podle očekávání trvá let střely
při větším elevačním úhlu déle.
(c) V jaké vzdálenosti od pevnosti již bude pirátská lodquoteright mimo
dostřel?
ŘEŠENÍ: Víme, že dolet střely je největší při elevačním
úhlu θ
0
= 45
◦
.Dosazením této hodnoty do rovnice (4.20)
dostaneme
R =
v
2
0
g
sin 2θ
0
=
(82 m·s
−1
)
2
(9,8m·s
−2
)
sin(2 · 45
◦
) =
= 690 m. (Odpovědquoteright)
Vydá-li se pirátská lodquoteright na ústup, začnou se hodnoty obou
elevačních úhlů postupně sbližovat a splynou v okamžiku,
kdy bude lodquoteright od pevnosti vzdálena 690 m.Jejich společná
hodnota je θ
0
= 45
◦
.Ve vzdálenosti větší než 690 m jsou již
piráti v bezpečí.
y
x
R=560 m
27
◦
63
◦
Obr.4.16 Příklad 4.8. Náboj vystřelený z děla v přístavní pevnosti
zasáhne pirátskou lodquoteright, míří-li hlaveň ve směru určeném kterýmkoli
ze dvou možných elevačních úhlů.
PŘÍKLAD4.9
Obr.4.17 znázorňuje historický přelet Emanuela Zacchiniho
nad třemi ruskými koly vysokými 18 m.Jejich rozmístění
je z obrázku zřejmé.Zacchini byl vystřelen ze speciálního
děla rychlostí o velikosti 26,5 m·s
−1
pod elevačním úhlem
θ
0
= 53
◦
.Ústí hlavně i záchranná sítquoteright byly ve výšce 3,0 m nad
zemí.
18 m
23 m23 m
3,0 m 3,0 m
R
θ
0
=53
◦
v
0
sítquoteright
Obr.4.17 Příklad 4.9. Let „lidské střely“ nad ruskými koly v zá-
bavním parku.Umístění záchranné sítě.
(a) Ověřte si, že artista skutečně přeletěl nad prvním kolem.
70 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB
ŘEŠENÍ: Počátek soustavy souřadnic zvolme v ústí hlavně.
Při této volbě je x
0
= 0ay
0
= 0.Abychom zodpověděli
položenou otázku, musíme určit y-ovou souřadnici artisty
pro x = 23 m.Použijeme k tomu rovnici (4.19):
y = (tg θ
0
)x −
gx
2
2(v
0
cosθ
0
)
2
=
= (tg 53
◦
)(23 m)−
(9,8m·s
−2
)(23 m)
2
2(26,5m·s
−1
)
2
(cos 53
◦
)
2
=
= 20,3m. (Odpovědquoteright)
Výška artisty nad zemí je však v tomto okamžiku 23,3 m,
nebotquoteright počátek soustavy souřadnic je umístěn ve výšce 3,0 m.
Artista proletí 23,3 − 18 = 5,3 m nad prvním kolem.
(b) Předpokládejme, že vrchol trajektorie leží právě nad pro-
středním kolem.Jak vysoko nad ním artista proletí?
ŘEŠENÍ: Ve vrcholu trajektorie je v
y
= 0 a rovnice (4.18)
nabude tvaru
v
2
y
= (v
0
sinθ
0
)
2
− 2gy = 0.
Jejím řešením vzhledem k neznámé y dostaneme
y =
(v
0
sinθ
0
)
2
2g
=
(26,5m·s
−1
)
2
(sin 53
◦
)
2
2(9,8m·s
−2
)
= 22,9m.
Výšková „rezerva“ při průletu artisty nad prostředním kolem
činí 7,9 m.
(c) Určete dobu celého letu.
ŘEŠENÍ: Dobu letu můžeme určit několika způsoby.Jednu
z možností nabízí rovnice (4.16) s uvážením skutečnosti, že
při dopadu je y = 0.Dostáváme
y = (v
0
sinθ
0
)t −
1
2
gt
2
,
tj.
t =
2v
0
sinθ
0
g
=
2(26,5m·s
−1
)sin 53
◦
(9,8m·s
−2
)
=
= 4,3s. (Odpovědquoteright)
(d) Jak daleko od děla je třeba umístit záchrannou sítquoteright?
ŘEŠENÍ: Dolet R získáme například z rov.(4.15) pro x
0
=
= 0, do níž dosadíme dobu letu.
R = (v
0
cosθ
0
)t =
= (26,5m·s
−1
)(cos 53
◦
)(4,3s) =
= 69 m. (Odpovědquoteright)
Nyní již umíme zodpovědět úvodní otázku celé kapitoly: Jak
Zacchini zjistil, kam je třeba umístit záchrannou sítquoteright? Kde
získal jistotu, že ruská kola skutečně přeletí? Atquoteright již to byl
on sám nebo kdokoli jiný, musel provést stejné výpočty jako
my před chvílí.Složitými úvahami, které by umožnily re-
spektovat vliv prostředí, se Zacchini pochopitelně nezabýval.
Věděl však, že odpor vzduchu jeho let zbrzdí a zmenší tak
skutečný dolet ve srovnání s hodnotou vypočtenou z jednodu-
chých vztahů.Proto použil rozměrnou sítquoteright a posunul ji o něco
blíže k dělu.Zabezpečil si tak poměrně dobrou bezpečnost
letu v různých konkrétních situacích, lišících se především
podmínkami určujícími vliv okolního prostředí.Tak jako tak
musela být nepředvídatelnost vlivu prostředí zdrojem urči-
tého pocitu nejistoty a napětí před každou reprízou tohoto
odvážného kousku.
Při podobných pokusech jsou artisté vystaveni ještě ji-
nému nebezpečí.I při kratších letech je totiž zrychlení v hlav-
ni děla tak velké, že způsobí krátkou ztrátu vědomí.Kdyby
artista dopadl do sítě ještě v bezvědomí, mohl by si zlomit
vaz.Artisté proto absolvují speciální trénink, aby se dokázali
včas probrat.Lety předváděné v cirkusové manéži jsou pod-
statně kratší než let Emanuela Zacchiniho.Navíc jsou dnes
daleko lépe technicky zabezpečeny.Problém bezvědomí tak
prakticky představuje jejich jediné riziko.
RADYANÁMĚTY
Bod4.3:Číselný a algebraický výpočet
Zaokrouhlovacím chybám při číselném výpočtu se můžeme
vyhnout tak, že problém řešíme nejprve obecně (algebraicky)
a číselné hodnoty dosadíme až do výsledného vztahu.Při
řešení př. 4.6 až 4.9 by takový postup byl celkem snadný
a zkušenější řešitelé úloh by jej jistě použili.V úvodních
kapitolách však raději volíme postupné numerické řešení,
abychom získali jasnější představu o hodnotách mezivýsled-
ků.Později dáme přednost řešení algebraickému.
4.7 ROVNOMĚRNÝPOHYB
POKRUŽNICI
Pohyb částice po kružnici nebo jejím oblouku nazýváme
rovnoměrnýmpohybempokružnici, je-li velikost rych-
losti částice konstantní.Možná nás překvapí, že i když se
velikost rychlosti nemění, je zrychlení částice nenulové.
Zrychlení totiž často spojujeme se změnou velikosti rych-
losti a zapomínáme, že rychlost v je vektorovou veličinou,
a má tedy i směr.Při jakékoli změně rychlosti, i kdyby šlo
pouze o změnu směru, je zrychlení částice nenulové.Právě
takovým případem je rovnoměrný pohyb po kružnici.
Velikost a směr jeho zrychlení určíme pomocí obr.4.18.
Částice na obrázku se pohybuje po kružnici o poloměru r
a její rychlost má konstantní velikost v.Ve dvou bodech P
4.7 ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI 71
a Q umístěných symetricky vzhledem k ose y jsou za-
kresleny vektory rychlostí v
P
a v
Q
.Tyto vektory mají sice
stejnou velikost, ale liší se směrem.Jsou proto různé.Jejich
x-ové a y-ové složky jsou
v
Px
=+v cosθ, v
Py
=+v sinθ
a
v
Qx
=+v cosθ, v
Qy
=−v sinθ.
Částice, jejíž rychlost má stálou velikost, přejde z bodu P
do bodu Q za dobu
Delta1t =
arc(PQ)
v
=
r(2θ)
v
, (4.21)
kde arc(PQ) označuje délku kruhového oblouku spojují-
cího body P a Q.
Nyní již dokážeme určit složky průměrného zrychlení
částice a v časovém intervalu Delta1t.Pro x-ovou složku do-
stáváme
a
x
=
v
Qx
−v
Px
Delta1t
=
v cosθ −v cosθ
Delta1t
= 0.
Tento výsledek není nikterak pře