přednášky

1© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
PRUŽNOST A PLASTICITA CD03 Vlastislav Salajka ©2010
1. Deformace Posunutí
Základní vztahy mezi jednotlivými složkami polí
2. Napětí Deformace
3. Další vztahy (např. podmínky rovnováhy, rovnice kompatib lity)
Popis pomocí polí
Jednotlivá pole – ze základní (inženýrské) pružnosti
1. Pole posunutí
2. Pole deformací
3. Pole napětí
1
Matematický popis chování těles při silovém a nesilovém namáhání
Těleso – kontinuum – popis spojitými funkcemi
(složité parciální diferenciální rovnice)
V metodě konečných prvků
je těleso diskretizováno
Přivaděč VE Matka
Makedonie
Propiler Kontejment JE Temelín
ui(x, t)
Visutá lávka, Kolín
3D modely MKP
2© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Pole posunutí
Pole deformací
Vektor složek posunutí
3© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Pole deformací – pokr.
Deformace v libovolném bodě
tělesa je popsána vektorem
Vektor složek
deformací
4© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Pole napětí
Stav napětí v bodě popisuje
tenzor napětí pro tento bod
5© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Vektor složek napětí
6© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
7© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
1. Vztahy mezi deformacemi a posunutími
2. Vztahy mezi napětími a deformacemi
3. Statické podmínky rovnováhy
4. Doplňkové rovnice – rovnice kompatibility
Základní rovnice v teorii lineární pružnosti 2
8© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
1. Vztahy mezi deformacemi a po unutími
Lineární operátor Nelineární operátor
Po rozepsání kde
,
Geometrické rovnice
9© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
2. Vztahy mezi napětími a deformacemi
Nebo po rozepsání
6 rovnic
Objemové změny
- fyzikální rovnice
10© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Tvarové změny
Prostorová úloha – 3D úloha
Uvedené rovnice se nazývají fyzikální rovnice
Pro lineární izotropní
model materiálu
11© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Inverzní vztahy lze získat
řešením soustavy výše
uvedených rovnic
6 rovnic
Fyzikální rovnice
12© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
3. Rovnice rovnováhy
3 diferenciální
rovnice
rovnováhy
13© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Řešitelnost
14© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
4. Podmínky kompatibility – rovnice spojitosti deformace
2
1
15© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
2D úlohy pružnosti - rovinná napjatost
rovinná deformace
rotačně symetrická úloha
Rovinná napjatost
Zjednodušení 3D úlohy na 2D a 1D úlohy pružnosti
Poznámky:
Nenulové složky
Nezávislé
ux, uy
σxx, σyy, σxy
εxx, εyy, εxy
Závislé
uz a εzz
3
16© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Rovinná deformace
Nenulové složky
Nezávislé
ux, uy
σxx, σyy, σxy
εxx, εyy, εxy
Závislé
σzz
Rotačně symetrická úloha – řešení nádrží, kopulí atd.
Odvození ve
válcovém
systému souřadnic
17© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
1D úlohy pružnosti
Další vztahy v teorii kontinua
Např. vztahy mezi napětím a rychlostí deformace
18© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Deformační práce a energie deformace při prostorové napjatosti
Intenzita energie deformace
- poměrná potenciální energie Wd
Pro lineárně pružný izotropní materiál (v tahu)
Wd
šrafovaná část obr. b)
a)
b)
4
19© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Celková energie deformo-
Vaného tělesa o objemu V
je rovna integrálu
poměrných energií
20© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Metody řešení okrajových úloh teorie pružnosti. Princip virtuálních prací
a variační principy
1. Energie soustavy
1.1 Potenciální energie
soustavy – P.E.S.
5
21© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
1.2 Komplementární (doplňková) energie soustavy – K.E.S.
22© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
2 Funkcionál a jeho variace
Funkcionál je lineární – funkce vystupují
v 1. mocnině
Pro dvě trojice funkcí a
zobrazení zobrazení
Příkladem kvadratického funkcionálu
je potenciální energie deformace
23© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
3 Virtuální práce
4 Princip virtuálních přemístění
- skutečná práce
- virtuální práce
- podmínky rovnováhy
24© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
4 Princip virtuálních přemístění – pokr.
5 Princip virtuálních sil
25© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
6 Klasické variační principy
6.1 Princip minima celkové potenciální energie soustavy (Lagrange)
Vychází se z principu virtuálních přemístění
Tedy
Platí
Věta o absolutním minimu potenciální energie
minimum Joseph-Louis Lagrange comte de l'Empire
1736 - 1813
26© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
6.2 Princip minima komplementární energie soustavy (Castigliano)
Vychází se z principu virtuálních sil
Věta o absolutním minimu komplementární energie
Tedy
Carlo Alberto Castigliano
1847 - 1884
Energie deformace ohýbaného
nosníku
Celková energie soustavy
Práce vnějších sil
27© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Maticový zápis principu virtuálních přemístění (Lagrange)
Maticový zápis principu virtuálních přemístění (Castigliano)
Deformační metoda
Silová metoda
7
28© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Najděte aproximaci podélného
posunutí prutu
29© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Řešení:
Potom
Pro řešení úloh mechaniky na bázi variačního počtu existuje celá řada postupů
▪ metoda vážených reziduí ▪ Ritzova metoda
▪ Galerkinova metoda ▪ metoda nejmenších čtverců
▪ kolokační metoda ▪ atd.
8
30© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010V případě Ritzovy metody zvolené náhradní (Ritzovy) funkce mu í p nit pouze hlavní
okrajové podmínky. Přírodní okrajové podmínky jsou splněny automaticky neboť jsou
nepřímo obsaženy ve funkcionálu . Přesto je však velmi těžké najít takové funkce,
aby byly splněny hlavní okrajové podmínky (praktické omezení Ritzovy metody).
V případě Ritzovy metody zvolené náhr dní fun ce jsou dosazeny do výrazu pro
celkovou energii deformace
Poté lze získat rovnic pro výpočet parametrů z podmínek
a)
b)
1.
2.
♣
31© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Řešení: 1.
Přirozená okrajová podmínka
(silová okrajová podmínka)
Funkce
vyhovuje hlavní okr. podmínce, ale
ne přirozené okr. podmíncea) ♣
2.
32© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
- minimalizace vzhledem a
b)
- minimalizace vzhledem a
33© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Uvedená rovnice je zobecněnou úlohou o vlastních hodnotách
Řešení
34© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Poznámky k variačním metodám
1. Variační metody dovolují relativně jednoduše sestavit soustavu řídících rovnic.
Jednoduchost použití variačních principů vychází ze skutečnosti, že ve variační
Formulaci úlohy pracujeme se skaláry (energie, potenciál atd.) a ne s vektory
(síly, posunutí atd.)
2. Variační metody převádí řešení na soustavu řídících rovnic a okrajových podmínek.
3. Variační řešení poskytuje některé doplňující informace o řešení problému a dává
nezávislou kontrolu při formulaci problému.
4. Pro aproximaci řešení lze použít širokou třídu náhradních funkcí. V mnoha
případech je výhodnější pracovat s s variační formulací než přímo s diferenciální
formulací úlohy. Výhodou je skutečnost, že při užití variační formulace náhradní
funkce nemusí vyhovovat všem okrajovým podmínkám, a to z důvodu, že některé
okrajové podmínky jsou již nepřímo obsaženy ve funkcionálu.
Uvedené postupy a metody posloužily jako základ pro rozvoj dnes všeobecné
používané metody konečných prvků (MKP).
Metoda konečných prvků jako nástroj pro analýzu nejrůznějších úloh byla vyvinuta
se vznikem počítačů (konec 50. a 60. let minulého století).
Dnes MKP – komplexní modely konstrukcí a jejich částí
Využití speciálního softwarového vybavení na bázi MKP a výkonných mnoho
procesorových počítačů (desítky až stovky jader)
FEA – propojení s CAD systémy – rychlá tvorba modelů
Výkonné stabilní řešiče rovnic (100 mil. stupňů volností)
Rychlé zpracování výsledků v grafické a číselně formě
35© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Výpočtové modely 9
Výpočtový model konstrukce Výpočtový model zatížení
a – spojitý model
(parciální diferenciální rovnice)
b – diskrétní model
s jedním stupněm volnosti
obyč. dif. rovnice
c – diskrétní model
se třemi stupni volnosti.
obyč. dif. rovnice
Deterministický model zatížení
a) Zadán funkcí
b) Zadán tabulkou
Stochastický model zatížení
zatížení známo pouze ve smyslu
statistického vyjádření
Výpočtový model konstrukce mostu – MKP
30 tis. stupňů volnosti
Požadavky na výpočtové modely
a) model má vystihovat (v metodě konečných prvků) nejvěrněji geometrii
nosného systému konstrukce
b) model musí vystihovat co nejlépe mechanické vlastnosti skutečné konstrukce
Návrh konstrukce – výkres. dokumentace, geologie, technický popis atd.
Analýza konstrukce s posouzením – výpočet, posouzení podle norem
Experimentální ověření konstrukce – experiment v souladu
s předpisy a normami
36© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Analýza konstrukce – vytvoření matem tického popisu konstrukce a zatížení
(abstraktní modely konstrukce a zatížení)
37© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Metoda konečných prvků
Úvod 10
38© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
39© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
40© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
41© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
prvek 1 prvek 3
prvek 4
prvek 2prvek 1
uzel 2
uzel 1
uzel 4
uzel 3
Zjednodušený výpočtový model
Výpočtový model potrubního systému se skládá z nosníkových
prvků, příhradového prvku a torzní pružiny
Pro analýzu systému je nutno znát matice tuhosti
prvků v globální souřadnicové soustavě
Bez okrajových podmínek má soustava
7 stupňů volnosti
Matice tuhosti soustavy
(konstrukce) se sestaví
přímým způsobem
42© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Matice
Před řešením okrajových podmínek je nutno zadat okrajové podmínky
Rovnice rovnováhy mají tvar
se získá vyloučením 1. a 7. řádku a sloupce matice
aVektor
Řešením soustavy rovnic se vyčíslí vektor uzlových parametrů
Ω
eΩ
uΓ
pΓ
Diskretizace
metodou konečných prvků
43© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Uvedený příklad ukazuje jak idealizovanou konstrukci lze sestavit z jednotlivých prvků.
Deformační metoda prakticky splývá s metodou konečných prvků. Metoda konečných
prvků však dovoluje řešit obecnější případy konstrukcí (2D a 3D úlohy), kdy není známo
tzv. „přesné řešení“ v rámci zavedených předpokladů (hypotéz), jak je tomu
u prutových prvků.
Metoda konečných prvků vychází z Ritz-Galerkinových variačních principů, kdy jsou
používány bázové funkce aproximující určitá pole v závislosti na zvoleném rozdělení
řešené oblasti na konečné prvky. Klasické variační principy (např. Ritzova metoda)
hledají součinitele předem zvolených funkcí, které mají obecně nenulové hodnoty v celé
řešené oblasti. Formálně se převádí analytické řešení diferenciálních rovnic na řešení
algebraických rovnic. Tak je tomu i v metodě konečných prvků. Pokrok je ve způsobu,
kterým se tento převod provádí; matematicky řečeno ve volbě bázových (náhradních
aproximačních) funkcí, do kterých jsou rozloženy hledané funkce. Rozklad je úzce
vázán na rozdělení řešené