přednášky

oblasti na podoblasti stručně zvané konečné prvky.
Nejčastěji se využívá deformační varianta metody konečných prvků. Jednoduchost
použití spočívá v energetickém pojetí úlohy, obecně ve formulaci úlohy jako v riační,
přičemž se hledá extrém nějakého operátoru (funkcionálu), který má aditivní povahu.
To znamená, že jeho hodnota pro celou oblast je rovna součtu hodnot v částech či
prvcích soustavy (podoblastech - konečných prvcích).
Tuto povahu mají zejména všechny veličiny dané jakýmkoliv omezeným integrálem
v oblasti. Tak například celková energie je podle Lagrangeova variačního principu
minimální právě pro skutečný stav tělesa .
44© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010Nezáleží jaká je geometrická dimenze prvků . Ty se uplatní jen svými maticemi tuhosti a vektory parametrů zatížení , které mohou mít u různých prvků téže
soustavy různý rozměr . Prvky mohou být 1, 2 a 3 rozměrné, aniž to
komplikuje podstatu řešení. V jedné řešené soustavě mohou být obecně např. pruty,
deskové, stěnové, případně skořepinové a prostorové prvky. Před sčítáním je formálně
nutné přestavět matice a na stejný rozměr , (jak bylo ukázáno
výše). Celá soustava lineárních rovnic pro výpočet neznámých parametrů
vznikne jednoduše takto:
Rovnice v metodě konečných prvků lze v tomto případě získat derivováním
podle jednotlivých parametrů přemístění . Například tá rovnice
kde je počet prvků
kde
45© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Matice tuhosti prutu příhradoviny – základní postup
Matice se nazývá m tice souřadnic
Poměrná deformace je v prutu konstantní, rovněž normálové napětí je konstantní
- přímý prut
konstantního průřezu
11
46© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Matice tuhosti příhradového prvku v globální soustavě souřadnic (rovinná úloha)
47© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Po dosazení výše uvedeného výrazu do výrazu pro potenciální energii
deformace
48© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Matice tuhosti prutu příhradoviny – od ození pomocí tvarových (přípustných,
bázových) funkcí
- nejjednodušší funkce
aproximující posunutí
crosstar2
crosstar2
49© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Po dosazení do výrazu pro potenciální energii deformace aproximační funkce
a úpravě platí
, kde
Potom
a
Nakonec
Poznámka: V případě úloh dynamiky je nutno sestavit matici hmotností prvku . Členy
Matice lze získat ze vztahu
50© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Matice tuhosti a vektor zatížení ohýbaného prutu – odvození pomocí tvarových
(přípustných, bázových) funkcí
1 2
Prut je zatížen pouze na koncích
Tvarové funkce ohýbaného
prutu
Předpoklady 12
51© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010Výrazy pro výpočet matice tuhostí prvku a zatěžovacího vektoru
52© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
V případě dvou uzlového prutu v 3D prostoru matice tuhosti
prvku je typu 12x12 a zatěžovací vektor 12x1, neboť
prostorový prvek popisovaného prutu má celkem 12 stupňů
volností; po šesti v každém uzlu.
53© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Matice tuhosti prutového prvku 3D v soustavě lokálních souřadnic Vektor zatížení
54© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
55© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Rovinná úloha – 2 D problém
Matice tuhosti a zatěžovacího vektoru trojúhelníkového prvku
Předpoklad - lineárním průběhem složek posunutí
13
56© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Rovinná napjatost
Zapsáno
maticově
Tento vztah se dosadí do výrazu
pro potenciální energii deformace
Matice tuhosti prvku
57© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Zatěžovací vektor
58© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Poznámka ke konečným prvků pro řešení 2D úloh:
Uvedeným způsobem lze odvodit celou řadu jiných prvků; prvků vyšší kvality než tříuzlový
(trojúhelníkový ) prvek s lineární aproximací polí posunutí
Uvedený prvek se v praxi nepoužívá
V praxi se používá trojůhelníkový prvek s kvadratickou aproximační funkcí, tj. prvek se šesti uzly
(tři ve vrcholu a tři ve středech stran) nebo čtyřuzlový s lineární aproximací,
popř. osmiuzlový s kvadratickou aproximací.
Sestavení matice tuhostí jednoduché konstrukce sestávající z různých typů
konečných prvků
Konstrukce sestává ze čtyř prvků tří typů
Konstrukce má 8 stupňů volností
14
59© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
60© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Zatěžovací vektor konstrukce se sestavuje obdobným způsobem z jednotlivých
zatěžovacích vektorů prvků
kde
Počet neznámých (stupňů volností) n definuje počet rovnic – dnes milióny rovnic
Soustavy rovnic dosahují značných rozměrů a jsou numericky stabilní
Možnosti řešení ovlivňuje velikost operační paměti a velikost pevných disků
- je počet prvků
61© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Izoparametrické konečné prvky
Předchozí postupy odvození matic konečných prvků byly uvedeny z důvodu pochopení samotné
metody konečných prvků. Odvození matic izoparametrických prvků je trochu odlišné. Pracuje se
přímo s danými aproximačními funkcemi. Použití izoparametrických prvků je velmi efektivní a
celá řada těchto prvků je zahrnuta v systémech programů na bázi metody konečných prvků.
V předchozích postupech se vycházelo ze zvoleného polynomu a při vyčíslení jejich koeficientů
bylo nutno provést inverzi matice . Toto v případě izoparametrických prvků není třeba
provádět, a také není nutno vyčíslovat matice pro transformaci z lokálního systému souřadnic
do globálního systému souřadnic.
Základní pojmy
15
62© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Nejjednodušší případ izoparametrického prv u – dvouuzlový konečný prvek
příhradoviny
Odvození matice tuhosti
Popis geometrie
Popis pole posunutí – 1D prvek
63© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Tabulka vybraných izoparametrických prvků
64© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
65© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
66© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
67© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
68© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Matice tuhosti a zatěžovací vektor čtyřuzlového izoparametrického prvku pro
řešení úlohy rovinné napjatosti
69© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
70© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
71© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Rovinná napjatost
Rovinná deformace
Rotačně symetrická úloha
Energie deformace prvku
72© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
73© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
74© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Pro všechny čtyři zatížené strany
75© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Doplnění - matice hmotnosti čtyřuzlového izoparametrického prvku
76© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Numerická integrace 16
77© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
78© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
79© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
80© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
81© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
82© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
83© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
☺
84© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
☻
85© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
☺, ☻
86© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
87© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
88© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Řád Stupeň Poloha integračních bodů
integrace přesnosti (váhy jsou uvedeny v tabulce)
2x2 3
3x3 5
4x4 7
Praktické poznámky:
Při integraci je nutno zvolit řád integrace
odpovídající typu konečného prvku
Řád numerické integrace výrazně
ovlivňuje přesnost matic prvku a nároky
na čas výpočtu matic prvku
Při určitém řádu integrace všechny
matice prvků jsou vyčíslovány přesně
V některých případech snížení řádu
integrace může vést k lepšímu řešení a
výrazně urychlit výpočet
Existuje řada doporučení jaký řád
integrace použít pro daný typ prvku
Hodnoty vyčíslených veličin jsou
nejpřesněji vyčísleny v integračních
bodech
89© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Základní přístupy k řešení ohýbaných desek
1 Odvození základních vztahů na případě tlusté desky
17
♦
♠
♣
♥
♠ , ♥ ♣
90© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
x5
cross5
octasterisk4
pentastar3
Příčné spojité zatížení
91© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
UIstopUIstop
UIstop
92© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
93© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
94© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Kirchhoff, Gustav Robert
(1824–1887)
německý fyzik
– zakladatel spektrální analýzy
Marie-Sophie Germain
(1776 –1831)
francouzký
matematik,
fyzik a filosof
95© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
2 Teorie tenkých desek – klasická Kirchhoffova teorie
Příčné spojité zatížení
96© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
UIstopUIstop
UIstop
97© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
98© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
©