přednášky

Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Podle 2. Newtonova zákona
99© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
3 Základní okrajové podmínky
3.1 Prosté podepření okraje
100© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
3.2 Volný okraj
3.2 Vetknutý okraj
101© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
3.3 Speciální okrajové podmínky
4 Hlavní momenty
102© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
5 Přesnější modely desek
6 Metody řešení desek
103© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Matice tuhosti ohýbaných desek 18
1. Tenké desky
!
104© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
1.1 Trojúhelníkový konečný prvek - teorie tenkých desek
105© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Funkce průhybu
Poměrné deformace pro dosazení do funkcionálu energie deformace prvku desky
106© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010Po dosazení dříve uvedených vztahů
Potenciální energie deformace prvku
107© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 20101.2 Obdélníkový konečný prvek - teorie tenkých desek
108© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
109© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
110© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Kompatibilní konečné prvky pro řešení ohybu tenkých desek
111© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Statická kondenzace 19
112© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
113© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Kompatibilní čtyřúhelníkové
konečné prvky
114© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Konečné prvky pro řešení ohybu „ lustých“ desek
Izoparametrický konečný prvek o 24 stupních volnosti
3x8 = 24 stupňů
volností
UIstopUIstopUIstop
20
115© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
116© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
117© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
118© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Skořepinami se rozumí nosné plošné konstrukce staveb, zakřivené nebo zalomené
v jednom popřípadě v obou směrech.
Základní charakteristikou skořepiny (tak, jako u desek) je, že jeden její rozměr -
tloušťka je výrazně menší než zbývající dva rozměry.
Skořepiny dělíme do tří skupin, a to podle jejich statického chování, které předurčuje
použití výchozí teorie. Je vhodné zavést pojem střední tloušťka skořepiny a
pojem střední poloměr křivosti střednicové plochy .
Skořepiny
Velmi tenké skořepiny - kovové zásobníky, velkorozměrové nádrže z oceli, venkovní
kovová potrubí velkých průřezů, vysoké kovové komíny …
Tenké skořepiny - železobetonové skořepiny, železobetonové pláště chladicích věží,
vysoké železobetonové komíny, velkorozměrové železobetonové nádrže, venkovní
železobetonové velkoprůměrová potrubí …
Tlusté skořepiny - nádrže železobetonových vodojemů, tlakové železobetonové
potrubí, klenbové železobetonové přehradní nádrže, opěrné zdi vyklenuté proti zemině
…
21
119© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Základem teorie skořepin je teorie tenkých skořepin, a to z těchto důvodů:
1. Vyšetřování velmi tenkých skořepin je vždy velmi specifické, závislé na geometrickém tvaru
skořepiny, vychází z teorie tenkých skořepin
2. Vyšetřování tlustých skořepin je složitější než vyšetřování tenkých skořepin, proto se
obchází různými jednoduššími teoriemi
Při navrhování skořepin usilujeme o to, aby hlavní část zatížení spojitě působila
v kolmých směrech na střednicovou plochu. Podaří-li se to, potom skořepina přenáší vnější
zatížení do podpor především normálovými silami a je málo namáhaná ohybově.
Toto se daří zejména u nízkých střešních bání, které se chovají jako prostorový oblouk.
Všeobecná teorie staticky namáhaných tenkých skořepin je vypracována ve třech variantách
seřazených podle úrovně modelování a tedy i podle obtížnosti.
1. Přesná ohybová teorie
2. Technická ohybová teorie
3. Membránová teorie
Nejjednodušší teorie je membránová, kterou lze použít jen vzácně a to u skořepin s převládajícími
stěnovými vnitřními silami. Vyšetřujeme-li statické stavy navržené konkrétní tenké skořepiny za
použití přesné ohybové teorie nebo technické ohybové teorie, potom je nutno tuto všeobecnou
teorii konkretizovat podle tvaru střednicové plochy a podle způsobu podepření. Je to vždy velmi
nesnadná a mnohdy neřešitelná úloha. Teoretické vyšetřování tenkých skořepin je matematicky
velmi náročné.
Stejně jako u stěn a desek je klíčem ke stanovení jejich statických stavů stěnová a desková
rovnice. Obě tyto rovnice jsou sestavovány z příslušných podmínek statických, geometrických a
fyzikálních. Obdobně v případu tenkých skořepin jsou tři simultánní parciální diferenciální rovnice
3. a 4. řádu pro složky přemístění střednicové plochy ux, uy a uz. Také tyto rovnice se sestavují
z podmínek, statických, geometrických a fyzikálních. Přitom geometrické podmínky se u tenkých
skořepin odvozují velmi nesnadno, přičemž se mění s funkcí geometrie střednicové plochy.
120© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Stejně jako u stěn a desek je klíčem ke tanovení jejich statických stavů stěnová a desková
rovnice. Obě tyto rovnice jsou sestavovány z příslušných podmínek statických, geometrických a
fyzikálních. Obdobně v případu tenkých skořepin jsou tři simultánní parciální diferenciální rovnice
3. a 4. řádu pro složky přemístění střednicové plochy ux, uy a uz. Také tyto rovnice se sestavují
z podmínek, statických, geometrických a fyzikálních. Přitom geometrické podmínky se u tenkých
skořepin odvozují velmi nesnadno, přičemž se mění s funkcí geometrie střednicové plochy.
Tenké stavební skořepiny
– Střednicová plocha – zcela hladká (spojitost v bodě včetně první derivace)
po částech hladká
– Skořepiny – s jednou křivostí
se dvojí křivostí
Významnou skupinu tvoří rotační skořepiny, které mohou mít jednu a dvojí křivost. Další skupinu
tvoří tzv. lomenice s nulovou křivostí neboť j ou sestaveny ze stěnodesek.
Příklady používaných tenkých skořepin
Dlouhá střešní válcová
skořepina – jedna křivost
Prefabrikovaný díl střešní
Skořepiny do rozponu 25 m
hyperbolický paraboloid
– dvojí křivost
Střešní konoidická
skořepina – dvojí křivost
Rotační válcová
skořepina – jedna křivost
Střešní hyperbolicko-
parabolická skořepina
– dvojí křivost
Rotační báně
– dvojí křivost
Jednodílný
hyperboloid
– dvojí křivost
Lomená skořepina –
lomenice – nulová křivost
121© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Křivky nejběžnějších hladkých ploch
- Válcové plochy
- Rotační kuželová plocha
- Kulová plocha
- Plocha jednodílného rotačního hyperboloidu
- Plocha konoidu
Přesná ohybová teorie pro vyšetřování plných tenkých skořepin
Výchozí předpoklady
1. Materiál skořepiny je homogenní, izotropní a lineárně pružný.
2. Normáloví napětí v kolmých směrech na střednicovou plochu jsou ve srovnání s normálovým
napětím ve zbývajících směrech natolik malá, že je považujeme za nulová.
3. Předpokládá se platnost rozšířené Navierovy – Bernoulliho hypotézy. Normály střednicové
plochy zůstávají normálami i po jejím přetvoření, přičemž vzdálenosti bodů na normálách od
střednicové plochy se nemění.
4. Předpokládají se natolik malá přetvoření skořepiny, že lze vycházet z teorie I. řádu.
Geometrie diferenciálního elementu skořepiny
122© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Zatížení skořepin
123© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Vnitřní síly skořepiny
1. Integrací normálového napětí , získáme normálové síly , . Přemístěním ,
do získáme ohybové momenty , .
2. Integrací smykového napětí , získáme tangenciální síly , . Jejich přemístěním
do získáme kroutící momenty , . Protože , potom a .
3. Integrací smykového napětí , získáme posouvající , .
Rozdělení napětí na elementárním prvku skořepiny
Normálové síly
Ohybové momenty
Tangenciální síly
Kroutící momenty Posouvající síly [N.m-1]
[N.m-1]
[N.m-1]
[N]
[N]
a
a
a
aa
124© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Technická ohybová teorie skořepin
- geometrický předpoklad
- fyzikální předpoklad
Základní rovnice plných tenkých skořepin
Přemístění skořepiny
Transformace napjatosti v obecném bodě skořepiny
125© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Skořepinový plochý čtyřuzlový konečný prvek
Deskostěnový konečný prvek
s pěti stupni volností v uzlu
Deskový prvek Stěnový prvek
Chybějící tuhost
Lomenice Málo zakřivená (plochá) skořepina
22
126© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Rozšířená lokální matice
tuhosti
Tuhost odpovídající rotaci v lokální soustavě souřadnic je nulová. Toto vyplývá z faktu, že
tento stupeň volnosti nebyl zohledněn při formulaci problému (nebyl zahrnut ve výrazu pro energii
deformace prvku).
V případě lomenice po transformaci z lokální soustavy souřadnic do globální soustavy souřadnic
již má všechny globální stupně volností. V případě plochých (slabě zakřivených) skořepin tuhost
odpovídající stupni volnosti je malá. Potom matice tuhosti může být špatně podmíněna nebo
dokonce i singulární. Tento problém může být odstraněn zavedením malých koeficientů tuhosti
odpovídajících rotacím .
127© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010U řady prvků jsou provedeny zlepšení upravující uvedený nedostatek.
Prostorové konečné prvky
24 stupňů volností
60 stupňů volností
12 stupňů volností
30 stupňů volností
23
128© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Síť z „bricků“ Síť z „tetů“
V praxi se preferuje používat sítě prvků typu „brick“ před použitím prvků typu „tet“. V současné
době však neexistují generátory sítě prvků ve tvaru šestistěnu pro obecně tvarované objemy.
Objemy je nejprve rozdělit na pravidelné topologicky přípustné podobjemy, a ty potom lze již vykrýt
prvky ve tvaru šestistěnu.
V případě použití čtyřstěnů lze prakticky bez významných komplikací generovat sítě prvků
vykrývající libovolně tvarovaný objem – výhoda při přenosu objemů z CAD systémů.
Analýza konvergence
Konvergence k „přesnému“ řešení - monotónní
- nemonotónní
Abychom zajistili monotónní konvergenci ke správnému řešení je nutné v deformační variantě
konečných prvků dosáhnout toho, aby prvky byly úplné a kompatibilní. Jsou-li tyto podmínky
splněny, potom při zjemňování sítě prvků přesnost řešení spojitě roste.
Požadavek úplnosti je kladen na funkce posunutí a je nutno zaručit, aby pohyb tělesa jako
tuhého celku nevyvolal v tělese pružné deformace a dále aproximační funkce musí zaručovat
možnost přesného stanovení konstantních deformací nebo napětí.
24
129© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Požadavek úplnosti je kladen na funkce posunutí a je nutno zaručit, aby pohyb tělesa jako
tuhého celku nevyvolal v tělese pružné deformace dále aproximační funkce musí zaručovat
možnost přesného stanovení konstantních deformací nebo napětí.
Požadavek kompatibility – Výběr aproximačních funkcí musí zaručovat spojitost hledané
funkce uvnitři na jeho hranici. Je-li n řád nejvyšší derivace ve variačním funkcionálu prvku, potom
aproximační funkce musí být n-krát diferencovatelná a její derivace musí být spojité do řádu (n-1)
včetně. Prvky vyhovující tomuto předpokladu patří do třídy Cn-1 prvků.
Současné splnění všech podmínek je spojeno s velkými těžkostmi. Existence n-té derivace se
zaručuje relativně jednoduše. Požadavky spojitosti ve většině případech se vztahují k prvkům
desek, skořepin nezávisle na stanoveném poštu stupňů volností. U těchto prvků se velmi těžko
vyhovuje všem vztahům popisujícím pohyb tělesa jako tuhého celku. Podmínky úplnosti jsou
splněny například, jestli aproximační funkce obsahují polynomy minimálního řádu n, kde n je řád
nejvyšší derivace v .
130© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Úplné spojité funkce na prvku při diskretizaci oblasti konstrukce zaručují monotónní konvergenci k
hledanému řešení. Teoretické sledování přesnosti řešení ukázalo, že energetická norma reziduí
je proporcionální hn+1-i, kde h je charakteristický rozměr prvku, n je nejvyšší řád úplného
polynomu obsaženého v aproximaci na prvku, i je nejvyšší řád derivací v U.
Rychlost konvergence je závislá na tvaru polynomu použitého
pro aproximaci funkce posunutí.
Je známo, že přesnost řešení MKP při zvětšení polynomu roste rychleji než při zhušťování sítě
prvků.
Nekompatibilní modely prvků
prostorově izotropní prvky
131© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
© Vlastislavl ti l Salajkal j 2010
Výpočet napětí na prvku
Na základě uzlových hodnot lze vyčíslit napětí v libovolném bodě prvku. Výpočet se provádí
pomocí tzv. matice napětí – jedná se o matici napětí v závislosti na vektoru složek deformací.
V praxi se napětí vyčíslují pouze ve vybraných místech na prvku. Hodnoty složek napětí nejsou
spojité mezi prvky, přestože pole napětí je obsaženo ve formulaci konečného prvku. Je
vysledováno, že napětí v některých bodech je vyčíslováno s výraznou vyšší přesností než
v ostatních bodech. Nejvíce „přesnými“ body jsou Gaussovy integrační body.
Jednotlivé prvky se testují a prověřují se jejich vlastnosti – těmto testům se říká benchmark testy
Kontroluje se: obecná funkčnost prvku, přesnost prvku, neobsahuje-li prvek defekty (shear
locking, spurious energy modes atd.), tvarová citlivost vzhledem k integraci apod.
„Bublinková funkce“
25