Příklady - zadání

energetické hladiny vypočteme ze vztahu pro koncentraci elektronů

CF
WW
kT
nc
nNe
−
−
= , (B.5)
odtud plyne l ln n
n
Fv
n
gc
c c
n
WkT
N
n
WWW
N
=++=+ kT
A

b) P-typ polovodiče
Ve stavu plné ionizace příměsí platí
p
p Nnull (B.6)
Z rovnice termodynamické rovnováhy (B.7)
2
.
ip
nnp=
plyne pro koncentraci děr
2
i
p
p
n
n
p
= (B.8)
Konduktivita (měrná elektrická vodivost)
()
pn pn pp
qqp pn µµγµ=+null (B.9)
Energie Fermiho energetické hladiny vypočteme ze vztahu pro koncentraci elektronů

F v
WW
kT
pv
pNe
−
−
= , (B.10)
odtud plyne ln
p
Fv
v
p
WWkT
N
=− (B.10a)

Příklad 2)
Z porovnání koncentrací příměsí
D A
NNnull plyne, že se jedná o polovodič typu N.
Pro koncentraci elektronů platí
22
1
()()4
2
nDADA
nNNNNn
i
⎡ ⎤
=−+−+
⎣ ⎦
(B.11)
Protože platí ()
2
2
D A
NN n− null
i
A
(rozdíl deseti řádů), můžeme psát

nD
nNN−null (B.1a)
Koncentraci děr, konduktivitu a energii Fermiho energetické úrovně určíme obdobně jako
v příkladu 1 (N-typ polovodiče).

Příklad 3)
Při spojení polovodiče typu P s polovodičem typu N přecházejí vlivem koncentračního
spádu elektrony z oblasti N do P a díry z P do N polovodiče tak dlouho, až vzniklé
elektrické pole dalšímu toku zabrání, dochází tedy k rovnováze mezi difúzní a driftovou
složkou proudové hustoty 0
nn n
n
JqnEqD
x
µ
∂
= +=
∂
(B.12)
resp. 0
ppp
p
JqpEqD
x
µ
∂
= −=
∂
(B.12a)
Řešením rovnice (B.12), příp. (B.12a) a využitím Einsteinova vztahu
q
DkT
µ
⎛
=
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
můžeme
určit velikost potenciálu elektrického pole v oblasti prostorového náboje na přechodu.
Označíme-li celkovou změnu potenciálu jako difúzní napětí na přechodu U
D
, dostáváme
l lnn
p
n
n
D
p
nkT
p
kT
qp
U
qn
== (B.13)
Poznámka: ,
nD
nNnull
pA
p Nnull

Příklad 4)
Pro celkovou proudovou hustotu můžeme psát
12
exp 1
pp
nn
np p n
np np
DD
DDqU
JJ J q n p q n p
LL LL kT
⎡⎤⎡⎤
⎡ ⎤
⎛⎞
=+= ∆+ ∆= + −
⎢⎥⎢⎥
⎜⎟⎢ ⎥
⎝⎠
⎣ ⎦
⎣⎦⎣⎦
, (B.14)
resp.
0
exp 1
qU
kT
JJ
⎡ ⎤
⎛⎞
−
⎜⎟⎢ ⎥
⎝⎠
⎣ ⎦
= (B.14a)
kde D
n
, D
p
… je difuzní koeficient elektronů, resp. děr
L
n
, L
p
… je difuzní délka elektronů, resp. děr
U … je vnější napětí připojené na PM přechod

Doporučený postup výpočtu
a) D
n
, D
p
(z Einsteinova univerzálního vztahu)
b) (platí .L Dτ= , kde τ je doba života nosičů nábojů)
c) J
0
,
2
00 0
..I JS J rπ== I
0
proud procházející PN přechodem v závěrném
směru
d) J,
2
..I JS J rπ== proud procházející PN přechodem v propustném
směru
Poznámka: ,
nD
nNnull
pA
p Nnull


Příklad 5)
Celkovou šířku PN přechodu určíme ze vztahu

0
2
(
r AD
D
AD
NN
w
qNN
εε +
= ∓ )U (B.15)
U = 0 w = w
0
nezatížený PN přechod
U - U
D
w = w
p
PN přechod v propustném směru
U + U
D
w = w
z
PN přechod v závěrném směru
Kapacita PN přechodu je dána vztahem

0 r
A
C
w
εε= (B.16)
C = C
0
(pro w
0
) nezatížený PN přechod
C = C
p
(pro w
p
) PN přechod v propustném směru
C = C
z
(pro w
z
) PN přechod v závěrném směru

Difuzní napětí vypočteme ze vztahu (B.13)
Poznámka: ,
nD
nNnull
pA
p Nnull
Příklad 6)
Einsteinův univerzální vztah

q
DkT
µ
= (B.17)
Odtud

kT
D
q
µ
= (B.17a)

[]
()()()
()
( )( )( )
()
211 1 211 1
mV s JK K mV s VAsK K
D
CA
−− − −− −
==

[ ]
21
Dms
−
=

Příklad 7)
Ze vztahu (B.17a) plyne
pro elektrony
n
n
kT
D
q
µ
= (B.17b)
pro díry
p
p
kT
D
q
µ
= (B.17c)

Příklad 8)
Z rovnice J
dif
= ± q . D. grad n (viz zadání) plyne

.
dif
J
D
qgrad n
=±

[]
( )
()()
2
4
Am
D
As m
−
−
=

[ ]
21
Dms
−
=

Výsledky řešení příkladů části B. Polovodičové materiály

Příklad 1) N
D
(m
-3
) n
n
(m
-3
) p
n
(m
-3
) γ (S m
-1
) W
F
(eV)
10
20
10
20
2,1 . 10
12
2,16 W
v
+ 0,786
10
22
10
22
2,1 . 10
10
2,16 . 10
2
W
v
+ 0,905
10
24
10
24
2,1 . 10
8
2,16 . 10
4
W
v
+ 1,024
N
A
(m
-3
) p
p
(m
-3
) n
p
(m
-3
) γ (S m
-1
) W
F
(eV)
10
19
10
19
2,1 . 10
13
7,62. 10
-2
W
v
+ 0,358
10
21
10
21
2,1 . 10
11
7,62 W
v
+ 0,239
10
23
10
23
2,1 . 10
9
7,62 . 10
2
W
v
+ 0,120

Příklad 2) n
n
= 9 . 10
21
m
-3
, p
n
= 2,34 . 10
10
m
-3
, γ = 194,6 S m
-1
,
W
F
= (W
v
+ 0,902) eV
Příklad 3) U
D
= 0,559 V

Příklad 4) I = 0,778 µA, I
0
= 16,8 nA

Příklad 5) w
0
= 34,5 µm, C
0
= 84,9 pF
w
p
= 21,1 µm, C
p
= 138,8 pF
w
z
= 43,9 µm, C
z
= 66,7 pF

Příklad 7) D
n
= 3,49 . 10
-3
m
2
s
-1
, D
p
= 1,24 . 10
-3
m
2
s
-1

C. Dielektrické materiály

Příklad 1)
Claussiova rovnice je dána vztahem
0
´1
´2 3
n
p
α
ε
εε
−
= =
+
(C.1)
Pro plyny (ε´ → 1) lze psát
0
´1
n α
ε
ε
=+ , (C.1a)
kde n … je koncentrace molekul v 1 m
3
plynu (Loschmidtovo číslo); při výpočtu
se vychází ze skutečnosti, že 1 mol plynu zaujímá za normálních
atmosférických podmínek objem 22,414 l.

Příklad 2)
Všechny členy
k
r
ε za podmínek ,
r
k ε∞≺null0rozvineme v nekonečnou řadu

22
.ln .ln
1 ...
1! 2!
k rr
r
kkεε
ε = ++ + (C.2)
pro k