SME Stavební mechanika

Stavební mechanika
Dne: 25. dubna 2004
OBSAH:
Obsah
Soustavy sil
Průřezové parametry
Statika tuhé desky
Zatížení stavebních konstrukcí
Vnitřní síly
Spojitý nosník
Vetknutý nosník
Spojité nosníky staticky určité
Řešení prutových soustav
II. mezní stav
Tabulky
Příklad - Průřezové parametry
Příklad - Zatížení stropní konstrukce
Příklad - Spojitý nosník
Příklad - Gerberův nosník
Příklad - Výpočet osových sil vazníku
Příklad - II. mezní stav
2
3
5
7
8
10
12
14
15
16
17
18
31
32
33
35
36
37
TABULKY:
Tabulka 1.1 Součinitelé zatížení
8
Tabulka 1.2 Normové hodnoty užitných zatížení dle jednotlivých prostorů
8
Tabulka 1.3 Sněhové oblasti
8
Tabulka 2.1 Momenty setrvačnosti základních obrazců
18
Tabulka 2.2 Hodnoty vnitřních sil na prostém nosníku
19
Tabulka 2.3 Hodnoty vnitřních sil na konzole
23
Tabulka 2.4 Hodnoty zatěžovacích členů
24
Tabulka 2.5 Podporové momenty jednostranně dokonale vetknutého nosníku konstantního průřezu
25
Tabulka 2.6 Podporové momenty oboustranně dokonale vetknutého nosníku konstantního průřezu
26
Tabulka 2.7 Deformace konzoly konstantního průřezu
28
Soustavy sil
síly působící v jedné přímce
rovinný svazek sil
soustava rovnoběžných sil
obecná soustava sil
Řešení silových soustav
Rozdělení typů úloh:
skládání sil: nahrazení soustavy sil jedinou silou nebo zrušení soustavy sil, jedinou silou (uvedení do rovnováhy)
rozkládání sil: nahradit sílu F soustavou sil; zrušit sílu F' soustavou sil; nahradit soustavu sil jinou soustavou sil nebo zrušit soustavu sil Fi jinou soustavou sil Pi
Nahrazení znamená vyřešení úlohy tak, aby původní účinek sil zůstal stejný. Zrušení (uvedení do rovnováhy) znamená: „všechno se rovná nic“
Způsoby řešení
početně: sestavujeme buď podmínku ekvivalence nebo rovnováhy
graficky: tvoříme tzv. složkový obrazec
Znaménková konvence
- síly působící doprava a na horu jsou kladné (+) a pokud otáčejí směrem doprava jsou kladné (+)
1. Síly působící v jedné přímce
Výslednice soustavy sil je velikostně a orientačně daná počátkem první síly a koncem poslední síly dané soustavy sil.
Rovnovážná síla je velikostně a orientačně daná koncem poslední síly a počátkem první síly dané soustavy sil. Grafická podmínka rovnováha - složkový obrazec je uzavřen.
Při nahrazování síly F ji uvažujeme jako výslednici, proto složky jednotlivých sil vynášíme od počátku této výslednice.
Při zrušení síly F´ ji uvažujeme za rovnovážnou sílu, proto jednotlivé složky soustavy sil vynášíme od konce této rovnovážné síly. Složkový obrazec musí být uzavřen.
2. Rovinný svazek sil
Ve stavební mechanice řešíme rovinný svazek sil pomocí rozkladu sil do dvou složek souhlasných se souřadnými osami y a z.
Rozkladem sil převedeme rovinný svazek sil na dvě úlohy sil působících v jedné přímce.
Rozklad síly

Z tohoto pravoúhlého trojúhelníku můžeme určit:
a) velikost výslednice podle Pytágorovi věty:
/Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme49.gif" \* MERGEFORMATINET
b) úhel, který výslednice svírá s osou y:
mky/obr_sme/imagesme50.gif" \* MERGEFORMATINET
3. Soustava rovnoběžných sil
statický moment síly - je součin síly a nejkratšího (kolmého) ramene síly k určitému bodu. Algebraický součet statických momentů všech sil v obecné rovině k libovolně zvolenému středu je roven statickému momentu výslednice této soustavy k témuž bodu.
Varignonova věta:
Pro řešení této soustavy použijeme dvou podmínek, a sice součtovou a momentovou. Ze součtové podmínky určíme velikost, smysl a směr výslednice. Polohu výslednice pak určíme z momentové podmínky.
Pozn. Do momentové podmínky dosazujeme výslednici vždy kladně. která vyšla ze součtové podmínky, podle znaménka u ramene p určíme polohu výslednice vzhledem k momentovému středu.
dvojice sil - rozumíme dvě stejně velké síly opačných smyslů. Dvojice sil není rovnovážnou soustavou, její výsledný účinek je pohybový, vyjádřený momentem Ma.
vlastnosti dvojice sil:
statický moment silové dvojice je k libovolnému bodu v rovině konstantní
dvojici sil můžeme v rovině libovolně posouvat, aniž by se něco měnilo na jejím účinku
každá dvojice sil je jednoznačně určená svým statickým momentem (můžeme ji nahradit jinou dvojicí sil, respektive statickým momentem)
Výslednicí síly a silové dvojice je opět síla, ale posunutá o vzdálenost p na tu stranu od úrovně síly, aby statický moment  výslednice byl velikostně i smyslově stejný jako moment původní soustavy.
Posunutí síly: Chci-li někam posunout sílu, musíme k posunuté síle připojit statický moment tak, aby účinek síly a statického momentu na konstrukci byl stejný jako účinek původní neposunuté síly.
4. Obecná soustava sil
Základní myšlenkou početního řešení obecné soustavy sil v rovině je rozklad všech sil na x-ové a y-ové složky, které vytvoří dvě soustavy rovnoběžných sil. V mnohých případech, kdy je možno provést rozklad sil na ose x, vytvoří x-ové složky soustavu sil v jedné přímce (na ose x).
Shrnutí podmínek rovnováhy
Součtová podmínka rovnováhy:
Algebraický součet x-ových (vodorovných) složek všech sil soustavy je roven nule: 
Algebraický součet y-ových (svislých) složek všech sil soustavy je roven nule: %20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme112.gif" \* MERGEFORMATINET
Momentová podmínka rovnováhy:
Algebraický součet statických momentů všech sil soustavy (nebo statických momentů všech jejich x-ových a y-ových složek) k libovolně zvolenému momentovému středu je roven nule: 
Průřezové parametry
Těžiště průřezu
Jedná se určení těžiště libovolného geometrického útvaru (Cg). U neznámých geometrických útvarů volíme pomocné osy y´ a z´ (viz obrázek). Výsledkem jsou dvě hodnoty, y-ová vzdálenost od pomocné osy a z-ová vzdálenost od pomocné osy.
%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme25.gif" \* MERGEFORMATINET
Označení vzdáleností v průřezu
Statický moment plochy:
Těžiště průřezu:
ngs/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme03.gif" \* MERGEFORMATINET
A1...obsah plochy rozděleného složeného průřezu mm2A...obsah plochy celého průřezu mm2zc1; yc1...vzdálenost těžiště rozděleného složeného průřezu od pomocných os mmzc; yc...vzdálenost těžiště od pomocných os mm
Moment setrvačnosti
Název moment setrvačnosti zřejmě souvisí s momentem setrvačnosti, s nímž se setkáváme ve fyzice při výpočtu energie rotujícího tělesa a který je svým vyjádřením podobný.
Moment setrvačnosti základních obrazců
Viz Tabulka 2.1 na straně 18.
Složených průřezů
Moment setrvačnosti složeného průřezu počítáme vždy k osám procházejícími těžištěm složeného průřezu (viz obrázek na následující straně).
Steinerova věta:
Slouží k přepočtu momentů setrvačnosti základních obrazců k těžišti složeného průřezu. Spočte se jako součet momentů setrvačnosti základního obrazce a doplňku Steinerovi věty, který se rovná ploše základního obrazce přenásobeného kvadrátem patřičné souřadnice (vzdálenost mezi těžištěm základního obrazce a těžištěm složeného průřezu, viz. obrázek).
nd%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme12.gif" \* MERGEFORMATINET
zi ;yi...vzdálenost těžišť rozděleného složeného průřezu od těžiště složeného průřezu mmIy...moment setrvačnosti složeného průřezu k ose y mm4Iz...moment setrvačnosti složeného průřezu k ose z mm4
%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme19.gif" \* MERGEFORMATINET
Označení vzdáleností v průřezu
Průřezový modu
Průřezový modul se uplatňuje především ve výpočtech stavebních konstrukcí namáhaných ohybem.
 %20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme14.gif" \* MERGEFORMATINET
 
zd;zh;yl;yp...vzdálenost vláken od těžiště průřezu (d - dolní vlákna, h - horní vlákna, l - levá vlákna, p - pravá vlákna) mmWy;Wz...průřezový modul k ose y, z mm3
Poloměr setrvačnosti
Poloměr setrvačnosti se uplatňuje především ve výpočtech stavebních konstrukcí namáhaných vzpěrným nebo mimostředným tlakem.
%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme17.gif" \* MERGEFORMATINET
iy;iz...poloměr setrvačnosti k ose y, z mm
Statika tuhé desky
Každá stavební konstrukce musí být dostatečně podepřena. Za dostatečné podepření považujeme takové, které odebírá dohromady na jednom prvku právě tři stupně volnosti. Takovouto konstrukci považujeme za staticky určitou.
Nepodepřená deska v rovině má tři stupně volnosti:
posun ve směru osy y
posun ve směru osy z
pootočení
Základní druhy podepření
název
posuvná kloubová podpora
pevná kloubová podpora
vetknutí (dokonalé)
grafická značka
nd%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme57.gif" \* MERGEFORMATINET
statický účinek
odebírá jeden stupeň volnosti (posun v jednom směru)
odebírá dva stupně volnosti (posun v obou směrech)
odebírá všechny tři stupně volnosti
Pro řešení staticky určitých konstrukcí používáme tří základních podmínek rovnováhy. A sice v ose y, ose z a momentovou podmínku rovnováhy.
INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme60.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme39.gif" \* MERGEFORMATINET Z těchto rovnic vyřešíme reakce Ha, Va a Vb.
Statický moment síly F viz soustavy sil (strana 3).
Zatížení stavebních konstrukcí
Základní typy zatížení:
Stálé: působí po celou dobu trvání konstrukce
vlastní tíha všech nosných konstrukcí, trvalé součásti nenosných konstrukcí, tlaky sypkých hornin a jiných materiálů na nosné konstrukci
Nahodilé:
dlouhodobé: déle jak 6 měsíců
tíha konstrukcí, které mění svou polohu během užívání (např. přemístitelné příčky)
tíha strojů a jiných technologických zařízení a prům. objektů + osvětlovací tělesa
tíha skladovaných hmot a materiálů
krátkodobé: méně jak 6 měsíců
tíha osob a nábytku působící na konstrukci
tíha sněhu, větru a námrazy
mimořádné - živelné pohromy
Výpočtové zatížení získáme tak, že normové zatížení vynásobíme součinitelem (podle následující tabulky).
Tabulka 1.1 Součinitelé zatížení
 
ČSN
ENV
stálé
fg = 1,1 (pro nosné konstrukce)
fg = 1,35
fg = 1,2 (pro hromadně vyráběné prefabrikáty)
fg = 1,3 (pro ostatní části např. omítky, hydroizolace)
užitné
qk  2,0 kN/m2 fq = 1,4
fq = 1,5
qk 5,0 kN/m2 fq = 1,3
qk > 5,0 kN/m2 fq = 1,2
 
Tabulka 1.2 Normové hodnoty užitných zatížení dle jednotlivých prostorů
kategorie
prostor
jednot. typy
ČSN
ENV
jednotka
A
obytný
obecně
1,5
2,0
kN/m2
schodiště
3,0
4,0
kN/m2
balkony
4,0
4,0
kN/m2
B
kanceláře
obecně
2,0
3,0
kN/m2
C
shromažďovací
obecně
4,0 až 5,0
4,0 až 5,0
kN/m2
D
nákupní
obecně
min 4,0
min 5,0
kN/m2
E
skladovací
obecně
5,0
6,0
kN/m
Zatížení sněhem dle ČSN 73 0035
Základní tíhu sněhu najdeme podle mapy sněhových oblastí so: I.-V. sněhová oblast kN/m2.
Základní tíha sněhu
Sněhová oblast
I
II
III
IV
V
s0 [kN/m2]
0,5
0,7
1,0
1,5
> 1,5 podle údajů hydrometeorologického ústavu
Normové zatížení: "http://localhost/obr_sme/imagesme40.gif" \* MERGEFORMATINET sk...normové zatížení [kN/m2]μs...součinitel tvaru střechy (mí)
pro jednoduché střechy pultové nebo sedlové při sklonu střechy do 25° je roven 1,0
při sklonu 60° a větším je roven 0
pro mezilehlé hodnoty sklonu lze hodnoty stanovit lineární interpolací
κ...vyjadřuje vliv tíhy střešního pláště (kapa):
gk pláště ≤ 0,5 kN/m2 pak se κ = 1,2
0,5 < gk pláště ≤ 1,0 kN/m2 pak se κ = stanovíme interpolací
gk pláště > 1,0 kN/m2 pak se κ = 1,0
Výpočtová hodnota: 
Zatížení sněhem dle ENV 1991
Základní tíhu sněhu najdeme podle mapy sněhových oblastí sk: I.-V. sněhová oblast kN/m2.
Základní tíha sněhu
Sněhová oblast
I
II
III
IV
V
Sk [kN/m2]
0,75
1,05
1,5
2,25
> 2,25 podle údajů hydrometeorologického ústavu
Zatížení na střeše se vypočte ze vzorce: μi...tvarový součinitel (mí)
pro jednoduché pultové a sedlové střechy použijeme součinitele μ1
pro sklon střechy do 30° je roven 0,8
pro sklony větší jak 30° a menší jak 60° je roven , α je sklon střechy
pro sklon střechy 60° a více je roven 0
Ce...součinitel expozice, který je ve většině případů roven 1,0Ct...součinitel tepla, který je ve většině případů roven 1,0sk...charakteristická hodnota zatížení sněhem na zemi [kN/m2]
Převod plošného zatížení na zatížení prutové
Při tomto převodu musíme velikost plošného zatížení přenásobit zatěžovací šířkou podporujícího prvku. Při převodu z prutového na plošné zatížení vydělíme prutové zatížení zatěžovací šířkou podporujícího prvku.
Zatěžovací šířka je rovna jedné polovině rozpětí mezi jednotlivými prutovými prvky na obě strany (pro stejná rozpětí se zatěžovací šířka rovná rozpětí).
Zatížení tyčového prvku
určíme plošné zatížení (stálé + užitné) a převedením na prutové zatížení + vlastní tíha trámu (průvlaku) a převedení na bodové zatížení + vlastní tíha sloupu
veškeré zatížení rovnou přepočítáme na bodové, přenásobením zatěžovací plochou, respektive zatěžovací šířkou
Zatěžovací plocha je obdobná jako zatěžovací šířka, jen je doplněna o druhý rozměr (kolmý na zatěžovací šířku), který je roven polovině rozpětí pole v tomto směru.
Vnitřní síly
Na nosníky působí vnější síly (zatížení a reakce) a teoreticky předpokládáme, že působí v ose souměrnosti. Působením vnějších sil vznikají v nosníku vnitřní síly jejichž výslednici můžeme stanovit v  libovolném místě.
Druhy vnitřních sil
Nx: normálová síla (veškeré síly a zatížení působící v těžišťové ose)
je kladná působí-li ven z řezu a záporná působí-li do řezu;
velikost určíme ze součtové podmínky rovnováhy ve směru osy y
esme35.gif" \* MERGEFORMATINET
Qx: posouvající síla (veškeré síly a zatížení působící kolmo na těžišťovou osu)
je kladná jdu-li po nosníku z leva doprava a síla působí nahoru;
velikost určíme ze součtové podmínky rovnováhy ve směru osy z
TURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme37.gif" \* MERGEFORMATINET
Mx: ohybový moment (je roven algebraickému součtu statických momentů působící na daném intervalu)
je kladný když jsou spodní vlákna tažená a záporný když jsou tlačená;
určujeme z momentové podmínky rovnováhy přímo v u vedeném řezu
Vykreslování průběhu vnitřních sil
N,Q: kladné hodnoty vynášíme nad osu nosníku, záporné pod osu nosníku
M: kladné hodnoty vynášíme na stranu tažených vláken (pro prostý nosník: kladné pod osu nosníku, záporné nad osu nosníku)
Průběh vnitřních sil po délce nosníku závisí na způsobu zatížení. Při zatížení osamělými břemeny je velikost posouvajících sil ohraničena stupňovitou (vodorovnou) čarou a ohybové momenty lomenou (šikmou) čarou. Při zatížení nosníku spojitým přímkovým zatížením nahradíme účinek zatížení pro výpočet momentů náhradním břemenem, které je rovno velikosti plochy obrazce zatížení a působí v jejím těžišti. Průběhem posouvajících sil je však šikmá čára a průběhem momentu parabola.
Obrazec momentů je omezen křivkou vyššího stupně než obrazec posouvajících sil a ten opět čarou vyššího stupně než obrazec zatížení. Směrnice tečny k momentové čáře (tangens úhlu, který svírá tečna k čáře ohybových momentů s vodorovnou čarou - derivace momentu) je rovna posouvající síle ve vyšetřovaném průřezu. Kladná a záporná část obrazce posouvajících sil mají stejně velkou plochu.
Maximální moment (mezipodporový) je v místě nebezpečného (přechodového) průřezu kde je posouvající síla rovna nula.
Nebezpečný (přechodový) průřez
Stanovení momentu v libovolném bodě prostého nosníku: nosník uvažujeme v bodě n utnutý, ohybový moment stanovíme jako součet všech statických momentů vnějších sil k bodu n.
1. variantaINCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme45.gif" \* MERGEFORMATINET kde Q'a je posouvající síla nad podporou a, Qb je posouvající síla před bodem b, fd je rovnoměrné spojité zatížení.
2. varianta
ttings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme44.gif" \* MERGEFORMATINET
kde a je vzdálenost skoku (bod c) průběhu posouvajících sil, Q'c je posouvající síla v bodě c