SME Stavební mechanika

a fd je rovnoměrné spojité zatížení.
Spojitý nosník
Spojitým nosníkem rozumíme přímý nosník uložený na více než dvou podporách, z nichž je pevná (pevný kloub, dokonalé vetknutí) a ostatní posuvné (posuvný kloub). Na levém nebo pravém konci může mít nosník libovolnou vnější vazbu, případně i převislý konec. Nad jednoduchými vnitřními podporami probíhá nosník spojitě bez přerušení a mezi podporami neuvažujeme vnitřní klouby.
Část spojitého nosníku mezi dvěma sousedními podporami nazýváme pole, délku pole pak rozpětí. Průřez spojitého nosníku může být konstantní po celé délce nebo v jednotlivých polích, případně mohou být v místech podpory náběhy.
Pro řešení spojitých nosníku se nejvíce užívá těchto dvou metod:
CLAPEYRONOVA METODA
CROSSOVA METODA
Clapeyronova metoda - tří-momentová rovnice
Metoda tří-momentových rovnic je metoda silová, která volí za staticky neurčité veličiny Xi (i = 1, 2, ..., ns), spojitého nosníku, podporové momenty M1, M2, M3, … ve vetknutí a nad vnitřními podporami. Základní staticky určitá soustava je tvořena soustavou prostých nosníků v počtu rovném počtu polí spojitého nosníku a o rozpětích rovných rozpětí polí spojitého nosníku.
Při stanovení deformačních podmínek vycházíme z ohybové čáry spojitého nosníku, kterou uvažujeme za zcela libovolného zatížení jako spojitou, tj. v žádném místě nemá zlom. U každé vnitřní podpory, např. b, spojitého nosníku musí platit:
Kde jsou tečny k ohybové čáře spojitého nosníku v průřezech těsně zleva a zprava podpory b.
Z těchto vztahů lze odvodit Clapeyronovu rovnici pro spojitý nosník konstantního průřezu po celé délce.
Clapeyronova rovnice:
Přičemž členy Nr a N'r+1 jsou pomocné zatěžovací členy, které závisejí na druhu zatížení, přehledně jsou shrnuty v tabulce Hodnot zatěžovacích členů.
Podle uložení okrajů rozlišujeme:
a) Kloubové uložení - sestavujeme tolik tří-momentových rovnic, kolik je vnitřních podpor
b) Převislý konec - sestavujeme tolik rovnic, kolik je vnitřních podpor. Za ohybový moment M0, případně i poslední podpory, dosadíme hodnotu momentu podle deformace spodních vláken.
c) Vetknutí - vetknutí nahradíme nulovým polem, které má nulové rozpětí a nulový zatěžovací člen. Původní krajní vetknutí se změní ve střední pole.
Postup při výpočtu Clapeyronovou metodou:
Označíme podpory, pro které budeme psát rovnice
Vypočítáme zatěžovací členy N a N'
Sestavíme tří-momentové rovnice, dosadíme a vyřešíme; výsledkem jsou podporové momenty
Nakreslíme zatěžovací schéma s rozvedením podporových momentů na koncové momenty
Podle tohoto schéma vyřešíme dílčí a celkové reakce
Upřesníme posouvající síly a vykreslíme jejich průběh
Stanovíme nebezpečné průřezy v jednotlivých polích nosníku
Vypočteme mezipodporové momentové extrémy
Vykreslíme průběh momentů
Crossova metoda -metoda rozdělování momentů.
Předpoklady:
Ve vnitřních podporách si představíme dokonalé vetknutí, pro tento vztah určíme hodnoty koncových momentů (1.stav).
Ve druhém stavu uvolníme vetknutí a vlivem uvolnění vzniknou sekundární momenty. Obecně rozdíl momentů nad podporou nedá nulu a vzniká momentová diference Mr. Tuto diferenci musíme rozdělit do obou koncových momentů pomocí rozdělovacích čísel.
praktické řešení - hodnoty koncových momentů zjistíme z tabulky (momenty ve vetknutí oboustranném a jednostranném vetknutého nosníku)
Rozdělovací číslo - určíme je na základě poměrné tuhosti prutu (pro pruty konstantního průřezu)s/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme61.gif" \* MERGEFORMATINET ,
následně pro podporu číslo 1:
kde l0 je zvolené rozpětí, obvykle nejčastěji se opakující.
Vliv uložení konců:
kloubové uložení - primérní momenty M10 řešíme pro případ jednostranně vetknutého nosníku. Tuhost jednostranně vetknutého prutu zohledňujeme 3/4 (třemi čtvrtinami). Do kloubu při rozdělování momentové diference nic nepřidáváme.
převislý konec - účinek převislého konce nahradíme silou (s ohledem na posouvající síle Qk) a momentem Mk .V případě převislého konce primérní moment M10 stanovíme pro jednostranně vetknutý nosník a redukujeme polovinou momentu na konzole.
vetknutí - primérní momenty stanovíme pro oboustranně vetknutý nosník. Při rozdělování momentové diference převádíme příslušnou část i do krajního vetknutí.
Postup při řešení spojitého nosníku:
stanovíme tuhosti jednotlivých prutů
vypočteme rozdělovací čísla v jednotlivých podporách; součet rozdělovacích čísel v podpoře musí být roven jedné
nakreslíme schémata jednotlivých polí nosníku podle uložení a vypočteme primérní momenty
nakreslíme rozdělovací schéma a vepíšeme do něj hodnoty (tuhosti, rozdělovací čísla, primérní momenty a momentové diference)
provádíme rozdělování momentových diferencí až do zanedbatelných hodnot; výsledkem rozdělování jsou koncové momenty (sečteme všechny čísla v jednotlivých sloupcích)
dále určíme:
z koncových momentů určíme podporové momenty
určíme dílčí reakce
vykreslíme průběh posouvajících sil
stanovíme polohu nebezpečných průřezů + určíme maximální mezipodporové momentové extrémů
vykreslíme průběh momentů
Řešení reakcí
Na spojitý nosník můžeme pohlížet jako na soustavu prostých nosníků, které jsou zatíženy jak vnějším zatížením tak koncovými momenty, které nahrazují spojitost prutu.
Koncové momenty M10 a M12 jsou stejně veliké, ale opačně orientované. Koncový moment je v absolutní hodnotě stejně veliký jako moment podporový.
Stanovení dílčích a celkových reakcí
Dílčí reakce potřebujeme pro stanovení a vykreslení průběhu posouvajících sil. Celkové reakce potřebujeme pro návrh podpory nosníku.
Stanovení dílčích reakcí:
od zatížení: je shodné jako u řešení reakcí na prostém nosníku
od koncového momentu se spočte podle následujícího (pro první pole):
zjednodušené pravidlo pro stanovení momentové složky dílčí reakce (moment M01, M10 ..): jestliže koncový moment dané reakci přitěžuje dosadíme ho do zlomku se znaménkem plus (+), jestliže koncový moment dané reakci odlehčuje, dosadíme ho se znaménkem mínus (-).
výsledná dílčí reakce se rovná součtu reakce od zatížení s reakcí od koncového momentu
Celková reakce v podpoře se rovná součtu dílčích reakcí, které jsme spočetli výše.
Vetknutý nosník
Jednostranně vetknutý
Jednostranně vetknutým nosníkem rozumíme takový, který je uložený na dvou podporách, přičemž jedna je dokonale vetknutá a druhá posuvná kloubová.
Při výpočtu podporového momentu vycházíme buď z tabulky, nebo můžeme použít tří-momentovou rovnici (obdobně jako u spojitého nosníku).
ICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme52.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme46.gif" \* MERGEFORMATINET
Oboustranně vetknutý
Oboustranně vetknutým nosníkem rozumíme takový, který je uložený na dvou podporách, přičemž obě jsou dokonale vetknuté.
Při výpočtu podporového momentu vycházíme buď z tabulky, nebo můžeme použít tří-momentovou rovnici (obdobně jako u spojitého nosníku).
obr_sme/imagesme47.gif" \* MERGEFORMATINET
Spojité nosníky staticky určité
Jsou to nosníky kloubové, tzv. Gerberovy nosníky. Do konstrukce spojitého nosníku umisťujeme vnitřní klouby, přičemž každý vnitřní kloub odebírá jeden stupeň volnosti.
Pravidla pro umisťování vnitřních kloubů
vkládáme tolik kloubů, kolikrát je spojitý nosník staticky neurčitý
v krajním poli vložíme jeden nebo žádný kloub
ve vnitřních polích vložíme dva nebo žádný kloub
pole s klouby a bez kloubů se střídají
RE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme30.gif" \* MERGEFORMATINET
1. varianta
INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_sme/imagesme34.gif" \* MERGEFORMATINET
2. varianta
Statické řešení
Nosník rozdělíme na jednotlivé prosté nosníky a na nosníky s převislými konci
Nejdříve vyřešíme nesené části (vypočítáme reakce)
Nesoucí část nosníku je zatížena původním zatížením a osamělou silou na převislém konci, což je reakce z nesené části
1. varianta
y/obr_sme/imagesme38.gif" \* MERGEFORMATINET
2. varianta
Řešení prutových soustav
Prutová soustava - je konstrukce sestavená z jednotlivých prutů, které jsou vzájemně spojeny ve styčnících (krovy, vazníky)
Styčník - je místo spojení jednotlivých prutů prutové soustavy, ze statického hlediska ho považujeme za kloub bez ohledu na druhu spojení. Podle počtu prutů ve styčníku rozlišujeme styčníky dvojné, trojné a vícenásobné.
Tvarová určitost - uvádí, zda-li je konstrukce dostatečně tuhá (ve své geometrické skladbě vytváří trojúhelníky). Tvarovou určitost určíme z následujícího:
kde s je počet styčníků a p počet prutů.
Statická určitost - určuje, zda-li podpory odebírají právě tři stupně volnosti (staticky určité konstrukce)
Styčníková metoda
Jedná se o metodu, která používá pro řešení součtové podmínky rovnováhy v ose y a z.
Zásady:
vždy začínáme ve styčníku, kde jsou pouze dvě neznámé síly
neznámé síly volíme jako tahové (působí ven ze styčníku)
síly v prutech stanovíme ze součtových podmínek rovnováhy
úhly určíme z goniometrie vazníku (pravoúhlý trojúhelník)
při přechodu na řešení dalšího styčníku dosadím vyřešené síly jako tahové (působí ven ze styčníku) a dosazuji hodnoty včetně znamének (TAH + ; TLAK - )
Princip: vazník rozdělíme na jednotlivé styčníky, přerušené pruty nahradíme vnitřními silami a řešíme jako soustavu sil, které se protínají v jednom bodě.
Obecný postup
ověříme tvarovou a statickou určitost
spočítáme reakce (vazník si představíme jako prostý nosník)
stanovíme normálové síly v prutech vazníku podle zásad
Cremonova metoda
Jedná se o grafické řešení prutové soustavy. Pro tento typ řešení potřebujeme schéma prutové soustavy v měřítku, vedle kterého budeme vynášet složkový obrazec
Zásady:
jde-li síla do styčníku, jedná se o sílu TLAKOVOU (-), jde-li ven ze styčníku, jedná se o sílu TAHOVOU (+)
reakce určíme početně
velikost vnitřních sil změříme ve složkovém obrazci, který je kreslen ve zvoleném měřítku
Princip:
do složkového obrazce vyneseme působící síly
zvolíme styčník s dvěmi neznámými silami
začneme od první neznámé síly zleva a pokračujeme po směru hodinových ručiček
první neznámou sílu přeneseme pomocí rovnoběžky do složkového obrazce do místa konečného působení poslední známé síly
druhou neznámou sílu přeneseme obdobně do počátku působení první známé síly
následně projdeme celý obrazec znovu a určíme druh a velikost sil podle zásad
Průsečná metoda (Ritterova)
Tato metoda nám umožňuje stanovit osovou sílu v prutu kdekoliv v prutové soustavě. Neznámé síly řešíme z momentových podmínek rovnováhy.
Předpoklady:
soustavu rozdělíme řezem na dvě části
řezem musíme protnout tři pruty, které se neprotínají v jednom bodě
V přerušených prutech si zavedeme osové, tahové síly. Osové síly v prutech stanovíme z momentové podmínky rovnováhy, kterou píšeme k tomu bodu, kde se protínají zbylé dva body. Tomuto bodu se říká "přidružený momentový střed".
II. mezní stav
II. mezní stav se zabývá deformací nosníků, stojek apod.
Deformace nosníků (f...maximální průhyb,a, b...podporové pootočení (fí))
Nosník se deformuje tak, že původní přímá osa se mění v obecnou křivku (ohybová čára).
Tvar křivky závisí na způsobu a velikosti zatížení a na tzv. ohybové tuhosti nosníku E·Iy.
Pro praktické navrhování je průhyb hlavní veličinou.
lim
Stanovení deformačních veličin
Základní deformační veličiny se odvozují pomocí tzv. duálního nosníku (nosník zatížený vlastním momentovým obrazcem).
1. MOOROVA VĚTA - úhel, který svírá tečna ohybové čáry v libovolném místě s vodorovným směrem, je roven posouvající síle duálního nosníku dělené ohybovou tuhostí E·Iy
2. MOOROVA VĚTA - ohybová čára prostého nosníku je čarou průběhu ohybových momentů duálního nosníku, jestliže její pořadnice dělíme ohybovou tuhostí nosníku E·Iy
ATINET
Princip SUPERPOZICE: konstrukci rozdělíme na základní části, na kterých vyřešíme dílčí průhyby a konstrukci zpětně spojíme (např. prostý nosník s převislým koncem)
Základní případy viz Tabulka 2. na straně .Tabulky
Tabulka 2.1 Momenty setrvačnosti základních obrazců
Tvar obrazce
Vzorce
čtverec
obdélník
INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/dokumenty/pozemky/obr_sme/imagesme22.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/dokumenty/pozemky/obr_sme/imagesme05.gif" \* MERGEFORMATINET pravoúhlý trojúhelník
INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/dokumenty/pozemky/obr_sme/imagesme23.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/dokumenty/pozemky/obr_sme/imagesme06.gif" \* MERGEFORMATINET lichoběžník
kruh
gs/dokumenty/pozemky/obr_sme/imagesme18.gif" \* MERGEFORMATINET
Mezikruží
if" \* MERGEFORMATINET
půlkruh
"../Local%20Settings/dokumenty/pozemky/obr_sme/imagesme10.gif" \* MERGEFORMATINET elipsa
INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/dokumenty/pozemky/obr_sme/imagesme20.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/dokumenty/pozemky/obr_sme/imagesme11.gif" \* MERGEFORMATINET A...obsah obrazce mm2yt , zt...poloha těžiště od pomocných os [mmI0y , I0z...poloměr setrvačnosti obrazce mm4
Tabulka 2.2 Hodnoty vnitřních sil na prostém nosníku
zatížení
max momenty Mi
reakce A a B
max vnitřní síly Qi
uments%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat277.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat214.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat215.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat216.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat217.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat218.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat219.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat220.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat221.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat222.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat220.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat221.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat223.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat224.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat225.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat226.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat224.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat225.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Settings/pozemky/obr_stat/imagestat227.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Documents%20and%20Settings/Petr/Local%20Setting