Mechanika tuhého tělesa

Mechanika tuhého tělesa
Jan Martinek 1
Brno, 6. října 2008
Obsah
1 Soustava hmotných bodů 3
1.1 První impulsová věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Zákon zachování hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Střed hmotnosti soustavy (těžiště) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Druhá impulsová věta, zákon zachování momentu hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Těžiště soustavy hmotných bodů (působiště gravitační síly) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. Hledání působiště síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Tuhé těleso, translace, rotace 12
2. Odmotávání vlákna, kutálení, odvalování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Rovnováha tuhého tělesa, výpočet namáhání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1. Stabilita rovnováhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Moment setrvačnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1. Steinerova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Analogie fyzikálních zákonů 24
1Mgr. Jan Martinek, Ph.D., Ústav fyziky FAST VUT v Brně, Žižkova 17, 602 00, honza@dp.fce.vutbr.cz
1
Úvod
Tento učební text má název Mechanika tuhého tělesa. Mechanikou2 rozumíme popis souvislostí mezi po-
hybem a silami. Tuhé těleso je pro nás prozatím nejasný pojem, který bude upřesněn později. Již nyní ale
lze tušit, že půjde o náhradu za běžné předměty, které nás obklopují.
Veškeré chování hmotných bodů nebo těles budeme předpovídat na základě Newtonových zákonů,
přesněji řečeno na základě jejich moderního pojetí:
1. Jestliže na částici nepůsobí žádná celková síla, pak je možné vybrat takovou množinu
vztažných soustav, zvaných inerciální vztažné soustavy, vzhledem ke kterým se částice
pohybuje beze změny rychlosti.
2. Vzhledem k inerciální vztažné soustavě platí, že celková síla působící na částici je úměrná
časové změně hybnosti. Hybnost je součin hmotnosti a rychlosti.
BY = dD4dt = d(mDA)dt
Jestliže se hmotnost částice nebude s časem měnit (což je velmi obvyklý případ), pak můžeme druhý
Newtonův zákon dále upravit na
BY = mdDAdt = mCP
3. Jestliže částice A působí silou na částici B, pak B současně působí na částici A stejně
velkou silou opačně orientovanou.
Silnější forma tohoto zákona definuje, že obě síly působí podél stejné přímky.
Výše uvedené Newtonovy zákony obsahují všechny informace potřebné k vyřešení jakéhokoli problému,
který se týká klasické mechaniky. Z toho plyne, že není zapotřebí nic dalšího dodávat, protože vše již bylo
právě řečeno. Takto ale může k problému přistupovat počítač – dostane obrovské množství rovnic, vyřeší
je a výsledkem bude poloha N hmotných bodů pro zadaný čas nebo M vektorů představujících působící
síly...
Člověk sice nevládne tak gigantickou výpočetní silou, ale zato je to tvor kreativní a dokáže najít cesty,
jak si vystačit s daleko menším množstvím operací – dokáže problém zjednodušit. Proto se z Newtonových
zákonů vyvodily dílčí závěry pro některé typické situace, a tak je možné si mnoho práce ušetřit jak při
řešení problémů, tak i při jejich formulaci. Tato výhoda ale není zadarmo. Je nutné se naučit řadu dalších
pojmů a pravidel a na základě zkušenosti s počítáním příkladů si vybírat vhodnou cestu. V Newtonových
zákonech není obsaženo, co je zákon zachování hybnosti či momentu hybnosti, co je těžiště tělesa nebo
moment setrvačnosti, nikde se nemluví o otáčení tělesa ani o jeho rovnováze. Tyto pojmy a jejich vlastnosti
nejsou nutné pro sestavení základních zákonů, ale jsou velmi užitečné pro názornost, pochopení složitějších
soustav a pro jejich slovní popis.
V následujícím textu je popsáno chování hmotných bodů za rozličných okolností. Abychom mohli
mluvit o poloze hmotného bodu, jeho rychlosti, zrychlení a dalších charakteristikách, je nutné si nejprve
zvolit souřadnou soustavu. V celém učebním textu se budeme držet zásady, že zvolená souřadná soustava
bude inerciální.
K volbě inerciální vztažné soustavy nás vede jediný důvod – snaha o jednoduchost. V soustavách,
které nejsou inerciální, platí fyzikální zákony samozřejmě také, ale jejich formulace je buď složitější nebo
vyžaduje hlubší znalosti pro pochopení.
2z řeckého µηχανικη[mechanike] = stroj, nástroj
2
1 Soustava hmotných bodů
Newtonovy zákony, jejichž znění najdete v úvodu, jsou formulovány pouze pro jeden hmotný bod. Hmotný
bod je myšlená částice, která má nulové rozměry, ale nenulovou hmotnost. Jak ale můžeme tyto zákony
použít pro popis běžných předmětů či těles, které nás obklopují? Vždyť každá věc má nějaké rozměry a
může například rotovat nebo se deformovat – a s tím zdánlivě Newtonovy zákony nepočítají. Přesněji řečeno
není nutné, aby v zákonech byla řeč o tělesech, protože chování těles lze odvodit. Můžeme předpokládat,
že každé těleso se skládá z velkého množství hmotných bodů.
1.1 První impulsová věta
Jak se chová jedna částice, to již víme, protože to specifikují Newtonovy zákony. Nyní si představme, že
máme nikoli jednu, ale velké množství částic. Pak nastává komplikovaná situace, kdy každá částice má
svou polohu, hmotnost a rychlost, přičemž ostatní částice na ni mohou působit silami, mohou ji přitahovat
nebo odpuzovat a tím měnit její hybnost. Z těchto všech částic vyberme určitou skupinu (soustavu) N
částic a pokusme se odhalit některé zajímavé zákonitosti, které pro ně platí. Máme tedy N částic, kde pro
každou z nich platí druhý Newtonův zákon
dD4i
dt = BYi
kde BYi je součet všech sil, které na i-tou částici působí. Je nutné si ujasnit, že každá síla je vždy způsobena
nějakou částicí. Nemůže se stát, aby existovala síla sama o sobě. V souladu se třetím Newtonovým zákonem
najdeme ke každé síle částici, která je příčinou tohoto silového působení. Jestliže síla BYi představuje součet
všech působících sil, pak jistě dokážeme tyto síly rozlišit do dvou skupin podle toho, odkud pocházejí.
Některé síly jsou způsobeny částicemi, které jsou součástí soustavy, kterou jsme si vybrali. Takové síly
budeme označovat pojmem interní. Síly, které nejsou interní, pocházejí od částic mimo soustavu a budeme
je nazývat silami externími. Z toho vyplývá, že pro každou částici v naší soustavě můžeme napsat rovnici
vycházející z druhého Newtonova zákona, a tak získáme N rovnic:
dD41
dt = BY
INT
1 +BY
EXT
1
dD42
dt = BY
INT
2 +BY
EXT
2
...
dD4N
dt = BY
INT
N +BY
EXT
N
Pro jistotu znovu si znovu připomeňme, že například zápisem BYEXT2 máme na mysli součet všech externích
sil působících na druhou částici.
Nyní všechny rovnice sečteme
Nsummationdisplay
i=1
dD4i
dt =
Nsummationdisplay
i=1
parenleftbig
BY
INT
i +BY
EXT
i
parenrightbig
a provedeme drobnou úpravu.
d
dt
Nsummationdisplay
i=1
D4i =
Nsummationdisplay
i=1
BY
INT
i +
Nsummationdisplay
i=1
BY
EXT
i
Na levé straně rovnice se vyskytuje summationtextNi=1 D4i, což je součet hybností všech částic, které patří do soustavy.
Takový výraz budeme označovat C8 a nazývat celkovou hybností soustavy. Na pravé straně rovnice můžeme
pouvažovat o součtu interních sil – je to součet všech sil, které jsou způsobeny částicemi uvnitř soustavy.
Ze třetího Newtonova zákona plyne, že ke každé interní síle najdeme jinou interní sílu stejně velkou opačně
orientovanou. Všechny interní síly se tedy vyskytují v párech a jestliže je sečteme, získáme nulu.
3
Externí síly spárované nejsou, protože uvažujeme pouze to, co působí na soustavu, nikoli jak soustava
působí na své okolí. Součet externích sil budeme označovat BY a máme tím na mysli celkovou sílu působící
na soustavu. Rovnici můžeme přepsat do tvaru
dC8
dt = BY
což je natolik pozoruhodný výsledek, že získal i své jméno – první impulsová věta. Rovnice totiž vypadá
jako druhý Newtonův zákon, ale narozdíl od něj platí pro soustavu částic, nikoli pouze pro jediný hmotný
bod. V Newtonově zákonu vystupuje hybnost částice a součet všech sil, které na částici působí. Naproti
tomu v první impulsové větě je C8 celková hybnost soustavy, tj. součet všech hybností soustavy a BY je
celková síla působící na soustavu.
Proto můžeme druhý Newtonův zákon aplikovat jen s drobnou obměnou v terminologii na celá tělesa
a říkat, že hybnost tělesa zderivovaná podle času je rovna součtu všech sil, které na těleso působí.
1.2 Zákon zachování hybnosti
Z první impulsové věty vyplývá zákon zachování hybnosti. Uvažujme, že soustavu ponecháme bez vlivu
vnějších sil. V takovém případě můžeme první impulsovou větu zjednodušit na
dC8
dt = 0
Jestliže derivace nějaké veličiny podle času je nulová, pak se tato veličina s časem nemění, tj. zachovává
se. V našem případě se zachovává celková hybnost soustavy, proto výše uvedený vztah nazýváme zákon
zachování hybnosti.
To znamená, že soustava nemůže bez vnějších sil žádným způsobem změnit svou vlastní celkovou
hybnost. Částice, které tvoří soustavu, se mohou různě pohybovat, působit na sebe vzájemně silami,
přitahovat se, odstrkovat se jedna od druhé – ale celková hybnost soustavy zůstane stále stejná, když
soustavu izolujeme od okolních sil.
Například, jestliže puška i s nábojem měla před výstřelem nulovou hybnost, pak musí mít obě tělesa
dohromady nulovou hybnost i po výstřelu. Kulka se pak pohybuje směrem dopředu a má-li zůstat celková
hybnost stejná, musí se puška pohybovat směrem dozadu – což je známo jako zpětný ráz.
Jestliže raketa i s palivem měla určitou hybnost před zažehnutím motorů, pak musí celková hybnost
rakety i s vytrysknutými plyny zůstat stejná i po zažehnutí motorů. Plyny získaly rychlost směrem dozadu
a raketa se musela urychlit.
Granát letící vzduchem má určitou hybnost. Jestliže exploduje a rozletí se na střepiny, pak kdybychom
posečítali hybnosti všech letících střepin, musíme získat hodnotu hybnosti stejnou jako před explozí.
1.3 Střed hmotnosti soustavy (těžiště)
Ukázali jsme, že první impulsová věta velmi připomíná druhý Newtonův zákon BY = dD4dt a přitom ji můžeme
aplikovat na soustavu částic, nikoli pouze na jednu částici. Postupně hledáme veličiny popisující větší celky
namísto jednotlivých částic. Prozatím jsme nalezli analogii k síle a stanovili jsme, že silou BY, která působí
na celou soustavu budeme mít na mysli součet všech vnějších sil. Také jsme nadefinovali celkovou hybnost
C8 jako součet jednotlivých hybností. Pro řešení příkladů a praktické výpočty nám toto nemůže stačit,
protože celkovou hybnost ani neumíme spočítat. Není možné posečítat hybnosti všech částic, protože těch
je mnoho, mohou mít různou polohu, rychlost a hmotnost. Bylo by praktické mít k dispozici vztah v podobě
C8 = MCE , do kterého bychom dosadili hmotnost a rychlost a tím vypočítali hybnost. Jenže co bychom
měli dosadit za „rychlost soustavycsquotedblright? To v této chvíli není jisté. Ale za M bychom zcela jistě mohli dosadit
celkovou hmotnost soustavy
M =
Nsummationdisplay
i=1
mi
4
a tím jsme určili další veličinu, kterou lze použít pro popis větších celků. Nyní zpět k hybnosti. Požadujeme,
aby
C8 = MCE
ale přitom víme, že
C8 =
Nsummationdisplay
i=1
D4i =
Nsummationdisplay
i=1
mDAi
takže
MCE =
Nsummationdisplay
i=1
miDAi
a když celou rovnici podělíme M, získáme
CE =
summationtextN
i=1 miDAi
M
Takto vzniklý vztah prohlásíme za celkovou rychlost soustavy. Vztah poněkud připomíná vážený aritme-
tický průměr, přičemž větší důležitost mají částice s vyšší hmotností. Jde o abstraktní pojem, protože
soustava může být složitá, každá její částice se může pohybovat jinam a přesto jsme již schopni říct, jaká
je rychlost (i hybnost) soustavy jako celku. Ale příliš jsme si nepomohli, protože i nadále musíme pracovat
s jednotlivými částicemi. Proto pokračujme dále v úvahách.
Máme-li rychlost, pak víme, že je to derivace nějakého polohového vektoru, který označme CA. Ten
snadno určíme, protože
CE = dCAdt = ddt
parenleftBiggsummationtextN
i=1 miD6i
M
parenrightBigg
a tudíž
CA =
summationtextN
i=1 miD6i
M =
summationtextN
i=1 miD6isummationtext
N
i=1 mi
Takto stanovený vektor bude reprezentovat polohu soustavy. Jak vidíme, z poloh a hmotností jednotlivých
částic vypočítáme vektor CA, který bude říkat, kde se soustava nachází, přestože ve zjištěném místě se
žádný bod soustavy nemusí nacházet. Polohový vektor CA může ukazovat do prázdného prostoru. Vztah
pro výpočet opět připomíná vážený aritmetický průměr a důležitost jednotlivých bodů je vyjádřena jejich
hmotností. Vektor CA je natolik významný, že má i své jméno – nazývá se střed hmotnosti soustavy.
Kdyby měly všechny body stejnou hmotnost, vypočetli bychom střed hmotnosti jako aritmetický prů-
měr ze všech poloh. To lze snadno ukázat. Nebude nutné rozlišovat hmotnost u jednotlivých částic, a tak
místo mi budeme psát jenom m. Hmotnost m bude v tom případě konstanta, kterou můžeme vytkout před
sumu.
CA =
summationtextN
i=1 mD6isummationtext
N
i=1 m
= m
summationtextN
i=1 D6i
mN =
summationtextN
i=1 D6i
N
Je to jako kdybychom sečetli všechny polohy částic a podělili jejich počtem. Jistě bychom získali nějakou
střední polohu. Přestože takto zjednodušený vztah platí pouze pro soustavy se stejně těžkými částicemi, je
výsledek užitečný. Dává totiž názornou představu o tom, kde bude střed hmotnosti u homogenních těles,
tedy u takových, které mají ve všech místech stejnou hustotu, například protože jsou vyrobeny z jednoho
materiálu. Jestliže navíc takové těleso vykazuje jistý druh symetrie, můžeme polohu středu hmotnosti
často odhadnout. Jestliže u tělesa najdeme osu, kolem které je hmota symetricky rozložena, bude na této
ose ležet střed hmotnosti. Tudíž, najdeme-li dvě takové osy souměrnosti, bude střed hmotnosti v jejich
průsečíku. Snadno tedy usoudíme, kde se bude nacházet střed hmotnosti u plošných útvarů (například
vystřižených z papíru) – kruhu, obdélníku, elipsy, ale i trojúhelníku. Obdobně můžeme zjistit střed hmot-
nosti u homogenních trojrozměrných těles – koule, kvádru, elipsoidu, válce apod. Existují matematické
5
postupy, jak nalézt střed hmotnosti pro libovolné těleso i s nerovnoměrně rozloženou hmotností, ale tím
se v této chvíli zabývat nebudeme.
Určili jsme, že bod CA představuje polohu soustavy nebo tělesa a nazývá se střed hmotnosti. Jeho
derivace podle času je vektor CE , který reprezentuje rychlost středu hmotnosti. Díky tomu můžeme stanovit
celkovou hybnost soustavy C8, protože tu vypočítáme jako
P = MCE
kde M je celková hmotnost soustavy. Pro zjištění celkové hybnosti soustavy již nemusíme znát chování
jednotlivých částic, ale stačí vědět, jak se pohybuje střed hmotnosti. Tím jsme učinili velmi významný
krok, protože jsme nalezli další veličiny, které charakterizují soustavu jako celek, a to polohu a rychlost.
Jestliže obě strany výše uvedeného vztahu zderivujeme podle času, dostáváme
dC8
dt =
d(MCE )
dt
Přičemž výraz na levé straně rovnice představuje vnější sílu působící na soustavu. Výraz na pravé straně
rovnice můžeme chápat různě. Zcela obecně bychom jej měli považovat za derivaci součinu a psát
d(MCE )
dt =
dM
dt CE +
dCE
dt M
Nejčastěji ale očekáváme, že se hmotnost soustavy nebude měnit, a tak M můžeme považovat za konstantu
(tj. její derivace bude nula). Dostaneme
BY = MdCEdt = MBT
kde vektor BT znamená zrychlení středu hmotnosti. V některých situacích ale můžeme připustit, že se
hmotnost soustavy může měnit, například když budeme přidávat částice do soustavy. Opět si zjednodušme
představu a uvažujme, že rychlost soustavy bude kostantní, ale hmotnost se bude měnit. Pak dostaneme
BY = V dMdt
což je typická situace pro raketový motor – z rakety tryskají plyny stále stejnou rychlostí (vůči raketě),
ale jejich hmotnost se neustále zvyšuje. Proto bychom pomocí výše uvedeného vztahu mohli vypočítat
sílu motoru. Samozřejmě to platí i pro jiné, obdobné situace, například hasičskou hadici, jejíž zpětný tah
dokáže nezkušeného člověka snadno povalit. Tentýž princip se využívá u myčky nádobí. Nádobí se ostřikuje
vodou, která proudí z řady trysek umístěných na otočném rameni. Trysky jsou natočeny šikmo do strany,
což způsobuje, že se celé rameno roztočí.
Uvažujme ale obvyklejší případ, kdy hmotnost soustavy zůstává neměnná, a tak platí BY = MBT. Jak
vidíme, střed hmotnosti se chová v souladu s druhým Newtonovým zákonem, ačkoli on sám nemusí vůbec
být součástí soustavy3.
Zrychlení středu hmotnosti bude záviset pouze na součtu vnějších sil a celkové hmotnosti soustavy.
Vůbec nezáleží na tom, jak jsou síly rozmístěny. Je lhostejné, na které body soustavy síly působí, důležitý
je pouze součet sil.
Soustava se může skládat z velkého množství hmotných bodů. Kdybychom si vybrali nějaký bod a
působili na něj silou, pak by tento bod zrychloval a v důsledku toho by zrychloval i střed hmotnosti.
Zajímavé ale je, že kdybychom toutéž silou působili na nějaký jiný, výrazně lehčí bod, pak bychom mu
způsobili větší zrychlení než v prvém případě – ale zrychlení středu hmotnosti by se nezměnilo.
3Nutno poznamenat, že existuje nekonečně mnoho dalších bodů, jejichž zrychlení je rovno
BY/M. Tuto podmínku splňuje
i jakýkoli jiný bod, který vůči středu hmotnosti nezrychluje, tj. je vzhledem ke středu hmotnosti buď v klidu nebo v pohybu
rovnoměrném přímočarém.
6
Uvažujme ještě o další situaci. Opět si vybereme nějaký bod a působením síly mu udělíme zrychlení a
tím i zrychlení středu hmotnosti celé soustavy. Co kdyby ale tento bod k sobě přitahoval všechny ostatní
body soustavy a tak by je vlekl s sebou? Na zrychlení středu hmotnosti by to nemělo žádný vliv. Zrychlení
středu hmotnosti by bylo stejné, jako by bod na ostatní body nijak nepůsobil a nechal se vnější silou
urychlovat sám.
Jestliže ponecháme soustavu bez vlivu vnějších sil, pak bude platit
d2CA
dt2 = 0
což znamená, že onen bod nebude zrychlovat, jinými slovy setrvá v klidu nebo v pohybu rovnoměrném
přímočarém bez ohledu na to, jaké procesy v soustavě proběhnou. Jediný způsob, jak změnit rychlost
středu hmotnosti, je působit vnější silou.
Důležitý závěr této kapitoly je, že nyní máme pro celou soustavu hmotných bodů definovánu polohu,
rychlost, zrychlení, hmotnost, hybnost a sílu působící na soustavu.
1.4 Druhá impulsová věta, zákon zachování momentu hybnosti
Moment hybnosti D0 jednoho hmotného bodu (částice) je definován
D0 = D6 ×D4
Nyní se podívejme, jak se moment hybnosti mění s časem. Bude nás tedy zajímat jeho derivace podle času:
dD0
dt =
d
dt(D6 ×D4)
Vzhledem k tomu, že poloha D6 i hybnost D4 mohou záviset na čase, je potřeba použít pravidlo pro derivaci
součinu. V další úpravě tedy získáváme
= dD6dt ×D4 +D6 × dD4dt
Sčítanec nalevo obsahuje derivaci polohy podle času, což je rychlost DA. Ve sčítanci napravo se objevila de-
rivace hybnosti podle času, a to je síla BY (viz druhý Newtonův zákon). Jestliže výraz upravíme, dostáváme
= DA ×D4 +D6 ×BY
Jak dále uvidíme, výraz nalevo je roven nule, protože se jedná o vektorový součin dvou rovnoběžných
vektorů. Rychlost a hybnost jsou rovnoběžné vektory.
= DA ×DAm+D6 ×BY
takže jsme odvodili, že
dD0
dt = D6 ×BY
Výraz na pravé straně se nazývá moment síly a značí se C5. Platí tedy
dD0
dt = C5
Nyní si všimněme situací, kdy derivace momentu hybnosti podle času je nulová, což znamená, že se moment
hybnosti s časem nemění a tudíž se zachovává. To nastane tehdy, je-li výraz D6 × BY roven nule. Můžeme
vypozorovat dva případy, kdy se moment hybnosti zachovává:
• Je-li síla BY nulová
7
Obr. 1: Moment hybnosti jedné částice, kterou ponecháme bez působení sil, se zachovává.
• Je-li síla BY