Mechanika tuhého tělesa

rovnoběžná s vektorem D6
Moment hybnosti částice se tedy nemění, jestliže ji ponecháme bez vlivu jakýchkoli sil. Tento případ
můžeme snadno nakreslit:
Na obrázku je zakreslena částice, která se přemístila z polohy D6
BD
do místa D6
BE
. Po celou dobu pohybu
měla stále stejnou hybnost (D4
BD
= D4
BE
), protože na ni nepůsobila žádná síla, která by hybnost mohla
změnit. Čemu je ale roven moment hybnosti? Ten vypočítáme jako vektorový součin polohového vektoru
D6 a hybnosti D4. Je proto vždy kolmý na oba vektory D6 a D4 a jeho velikost je rovna ploše rovnoběžníka,
který z obou vektorů vytvoříme. Na obrázku je tato plocha vyznačena pro první i druhou polohu bodu a
mělo by být patrné, že obě plochy jsou stejné. O ploše rovnoběžníka platí, že je rovna součinu základny a
výšky – a v obou případech je základna tvořena vektorem hybnosti D4
BD
nebo D4
BE
(který se nemění) a výška
také zůstavá stejná. Ta je vyznačena čárkovanou čárou.
Vidíme tedy, že moment hybnosti částice se nezmění.
Dosud jsme diskutovali případ, kdy se moment hybnosti zachovává, protože na částici nepůsobí žádná
síla. Jak jsme již zmínili dříve, existuje situace, kdy se moment hybnosti zachovává i přesto, že síla není
nulová. Podmínkou je, aby síla byla rovnoběžná s polohovým vektorem D6. Takovou situaci si můžeme
snadno představit, jestliže je částice přitahována či odpuzována stále stejným bodem, a právě do tohoto
bodu umístíme počátek souřadné soustavy.
Příkladem může být planeta obíhající kolem Slunce. Přepokládejme, že Slunce je mnohonásobně těžší
než planeta, a tak Slunce můžeme považovat za nehybné a do jeho centra umístíme počátek souřadné
soustavy. V takovém případě je planeta stále přitahována gravitační silou do počátku souřadnic. Z toho
vyplývá, že polohový vektor D6 a síla BY jsou rovnoběžné, jejich vektorový součin je nulový a tudíž i moment
síly je nulový. Z toho vyplývá, že moment hybnosti zůstává konstantní (jeho derivace je nulová), tedy se
zachovává. Nebudeme zabíhat do podrobností a řešit pohyb planety kolem Slunce, příklad sloužil pouze
pro ilustraci. Ale můžeme prozradit, že úvaha o momentu hybnosti obíhající planety vede ke druhému
Keplerovu zákonu.
Dosud jsme zkoumali chování pouze jediného hmotného bodu, ale nyní uvažujme, že máme celou
soustavu částic. K lepšímu pochopení této kapitoly doporučuji mít prostudováno odvození první impulsové
věty, protože mnoho myšlenek se bude opakovat. Stejně jako u první impulsové věty, i nyní budeme
uvažovat, že částice na sebe působí a toto působení bude vycházet zevnitř soustavy anebo zvenčí, ukáže
se, že vnitřní působení se vzájemně vyruší a pouze to vnější bude měnit nějakou celkovou charakteristiku
soustavy.
Zatímco u první impulsové věty byla řeč o silách a hybnostech, nyní budeme uvažovat momenty sil a
momenty hybností.
Předpokládejme, že částice rozdělíme do dvou skupin. Vybereme ty, co patří do soustavy která nás
zajímá a tyto částice si očíslujeme jedna až N. Ostatní částice budeme považovat za okolí. Na každou
8
Obr. 2: Jestliže počátek souřadné soustavy umístíme do Slunce, pak se moment hybnosti planety zachovává.
částici ze soustavy může působit moment síly. Pro i-tou částici proto platí
dD0i
dt = C5i
kde C5i je součet všech momentů sil působících na i-tou částici. Moment síly je vždy způsoben nějakou
jinou částicí, která je buď součástí soustavy anebo patří do okolí. Na základě toho můžeme momenty sil
rozdělit na interní a externí. Interní momenty vycházejí od částic patřících do soustavy, zatímco externí
momenty jsou způsobeny částicemi z okolí. Proto můžeme pro celou soustavu napsat N rovnic ve tvaru
dD01
dt = C5
INT
1 +C5
EXT
2
dD02
dt = C5
INT
2 +C5
EXT
2
...
dD0N
dt = C5
INT
N +C5
EXT
N
Jestliže všechny tyto rovnice posečítáme, získáme
Nsummationdisplay
i=1
dD0i
dt =
Nsummationdisplay
i=1
(C5INTi +C5EXTi )
což můžeme upravit na
d
dt
Nsummationdisplay
i=1
D0i =
Nsummationdisplay
i=1
C5
INT
i +
Nsummationdisplay
i=1
C5
EXT
i
Výraz na levé straně rovnice představuje součet momentů hybnosti všech částic. Takovou veličinu budeme
označovat C4 a nazývat celkový moment hybnosti soustavy. Platí tedy
dC4
dt =
Nsummationdisplay
i=1
C5
INT
i +
Nsummationdisplay
i=1
C5
EXT
i
Na pravé straně rovnice najdeme součet všech interních momentů. Pouvažujme o tom, zda se momenty
vyskytují v párech a zda pro momenty platí analogie třetího Newtonova zákona. Kdybychom měli pouze
dva hmotné body o souřadnicích D61 a D62, mohly by na sebe vzájemně působit silami BY1 a BY2 , které by byly
stejně velké, opačně orientované. Na první bod bude působit síla BY1 momentem C51, zatímco na druhý bod
působí síla BY2 momentem C52. Pro momenty sil bude platit
C51 = D61 ×BY1
C52 = D62 ×BY2
9
Obr. 3: Dvě částice na sebe mohou vzájemně působit momentem síly. Oba momenty jsou vždy stejně velké a
opačně orientované. Na pravé části obrázku je zakreslen vektor D62 − D61, který je rovnoběžný s působícími silami,
což využijeme při důkazu.
Jestliže oba momenty sečteme, dostaneme
C51 +C52 = D61 ×BY1 +D62 ×BY2
a protože ze třetího Newtonova zákona platí BY1 = −BY2, můžeme součet momentů upravit na
= −D61 ×BY2 +D62 ×BY2 = (D62 −D61)×BY2
a to je rovno nule, protože jde o vektorový součin dvou rovnoběžných vektorů. Člen (D62 − D61) znamená
vzájemnou polohu obou bodů. Takový vektor je zcela jistě rovnoběžný s působícími silami, protože před-
pokládáme, že akce a reakce působí podél stejné přímky4. Situace je znázorněna na obrázku (??), kde
jsou zakresleny dvě částice, které se vzájemně odpuzují. Momenty sil se vypočítají jako vektorové sou-
činy a jejich velikosti odpovídají velikosti ploch rovnoběžníků. Z obrázku by mělo být zřejmé, že plochy
rovnoběžníků vytvořených z polohových vektorů a sil jsou stejné.
Co jsme tedy zjistili? Jak plyne z velikosti ploch rovnoběžníků, oba momenty jsou stejně velké a je
zřejmé, že jejich smysl je vzájemně opačný. Ke stejnému závěru jsme došli i výpočtem, kdy jsme dokázali,
že součet obou momentů je roven nule. To znamená, že působí-li jedna částice na druhou momentem síly,
pak působí současně druhá částice na první stejným momentem opačně orientovaným. Momenty sil se tedy
stejně jako síly vždy vyskytují v párech. Z toho vyplývá, že součet všech interních momentů sil je roven
nule.
Je-li součet všech interních momentů roven nule, pak platí vztah
dC4
dt = C5
který se označuje jako druhá impulsová věta. Veličinou C5 máme na mysli součet všech externích
momentů a jak vidíme, pouze externí momenty mohou změnit celkový moment hybnosti C4. Kdyby byl
součet všech externích momentů roven nule, bude platit
dC4
dt = 0
což znamená, že se celkový moment hybnosti nebude měnit, a proto výše uvedený vztah nazýváme zákon
zachování momentu hybnosti. Druhou impulsovou větu ani zákon zachování momentu hybnosti prozatím
nemůžeme plně využít, protože neumíme stanovit celkový moment hybnosti rotujícího tělesa. Velký pokrok
v tomto směru bude znamenat kapitola pojednávající o momentu setrvačnosti.
4Často se u třetího Newtonova zákona neuvádí, že akce a reakce působí podél stejné přímky, ale v tomto případě je to
nutný předpoklad.
10
1.5 Těžiště soustavy hmotných bodů (působiště gravitační síly)
Při výpočtech budeme velmi často potřebovat informaci, jakým momentem síly působí gravitace na určité
těleso, přičemž vlastnosti tělesa, tedy jeho rozměry, hmotnost či rozložení hustoty obvykle známe. Zvolíme
si souřadnou soustavu a pak můžeme použít následující postup: rozložíme těleso na jednotlivé hmotné
body, zjistíme moment gravitační síly působící na každý z nich a následně momenty sečteme. To je ale
velmi zdlouhavé a nepraktické.
Obr. 4: Nechť je těleso složeno z několika hmotných bodů. Hledáme takový bod, do kterého lze soustředit hmotnost
celého tělesa při zachování stejného momentu gravitační síly.
Jiný způsob je takový, že celé těleso nahradíme jediným hmotným bodem. Na tento bod musí pů-
sobit gravitační síla stejně jako na původní těleso. Tedy součet sil i součet momentů sil musí souhlasit.
Požadujeme-li, aby na hmotný bod působila gravitace stejnou silou jako na původní těleso, pak je ihned
zřejmé, že hmotnost bodu musí být stejná jako hmotnost tělesa. Zbývá určit, kde musí být hmotný bod
umístěn, aby se celkový moment sil nezměnil. Tuto neznámou polohu označme CA a gravitační sílu označme
BZ. Moment síly působící na hmotný bod pak vypočteme CA×BZ. Musí platit
CA ×
nsummationdisplay
i=1
miCV =
nsummationdisplay
i=1
D6
CX
×miCV
Na levé straně rovnice je moment celkové gravitační síly, která má působiště v bodě CA. Na pravé straně
rovnice je součet všech momentů sil působících na jednotlivé body tělesa. Drobnými úpravami získáváme
CA×CV
nsummationdisplay
i=1
mi =
nsummationdisplay
i=1
miD6
CX
×CV
a nyní vydělíme obě strany rovnice sumou hmotností
CA×CV =
summationtextn
i=1 miD6CXsummationtextn
i=1 mi
×CV
Na první pohled je vidět, že rovnici vyhovuje řešení
CA =
summationtextn
i=1 miD6CXsummationtextn
i=1 mi
a takto určený bod budeme nazývat těžiště. Ve vztahu pro výpočet vystupují pouze hmotnosti jednotlivých
hmotných bodů a jejich poloha.
11
1. Hledání působiště síly
V předchozím odvození jsme se dopustili drobného podvodu. Hledali jsme bod, do kterého můžeme sou-
středit hmotnost tělesa tak, aby moment gravitační síly zůstal stejný. Nalezené řešení je sice správné, ale
není jediné. Rovnice má totiž nekonečně mnoho řešení a my jsme vybrali pouze jedno. Ve skutečnosti nelze
jednoznačně nalézt působiště nějaké síly, známe-li její směr i velikost a máme docílit daného momentu síly.
Zmiňuji se o tom úmyslně, protože právě tento úkol bývá podstatou mnoha cvičných příkladů a je obtížné
si zkontrolovat výsledky, jestliže existuje nekonečně mnoho řešení.
Znovu se vraťme k hledání těžiště. Máme sílu BY, kterou musíme umístit do hledaného bodu CA tak, aby
výsledný moment byl C5:
CA×BY = C5
Z této rovnice nelze určit vektor CA jednoznačně. Řešením je totiž přímka rovnoběžná s vektorem BY.
V předchozím postupu jsme nalezli těžiště, které rovnici vyhovuje. Nyní tedy víme, že by rovnici vyhovoval
i jakýkoli další bod, který leží na přímce rovnoběžné s gravitační silou, přičemž tato přímka prochází
těžištěm. Jinak řečeno, působiště gravitační síly může být nejen v těžišti, ale kdekoli na svislici procházející
těžištěm a přitom by moment gravitační síly zůstal zachován. Tato svislice se nazývá těžnice.
Jak vidíme na následujícím obrázku, existuje nekonečně mnoho vektorů CA, které dávají s vektorem
BY daný vektorový součin. Na obrázku je vyznačeno několik dvojic vektorů, které zcela jistě dají stejnou
plochu rovnoběžníka. Všechny rovnoběžníky by měly stejnou základnu i výšku a tudíž i stejný obsah,
potažmo vektorový součin.
Obr. 5: Působiště gravitační síly může být nejen v těžišti, ale kdekoli na svislici procházející těžištěm.
Snadno si tuto situaci představíme i v reálném životě. Jestliže k nějakému tělesu upevníme provázek
a potáhneme za něj, pak je lhostejné, jak dlouhý provázek bude. Na těleso bude mít naše síla stále stejné
účinky. Naopak, jestliže známe účinky naší síly na těleso (známe tedy sílu i její moment), nelze určit, jak
je provázek dlouhý a tudíž nelze říci, kde přesně je působiště síly. Stejně dobře bychom mohli těleso tlačit
použitím libovolně dlouhé tyče – působiště síly se může nacházet kdekoli na tyči nebo provázku a výsledný
moment síly zůstane stejný.
Proto se hned neobávejte, že jste příklad vypočetli nesprávně, jestliže máte najít působiště síly a vychází
vám jiné souřadnice, než jsou uvedeny ve výsledku. Je potřeba provést zkoušku.
2 Tuhé těleso, translace, rotace
Dosud jsme uvažovali o jednom hmotném bodu anebo o celé soustavě skládající se z velkého množství
hmotných bodů. U jediné částice bylo snadné si představit její pozici, protože ta je dána třemi souřad-
nicemi určujícími její polohu. Je-li částic mnoho, pak již není možné brát v úvahu polohu každé z nich
zvlášť, ale zavedli jsme některé globální charakteristiky, které soustavu popisují – celkovou hybnost, celko-
vou hmotnost, střed hmotnosti a celkový moment hybnosti. V reálném světě se naštěstí často setkáváme
12
s případem, kdy částice tvoří tuhá tělesa nebo to alespoň můžeme s rozumnou přesností předpokládat. To
nám umožní zavést další veličiny, které budou stav soustavy popisovat. Tuhým tělesem rozumíme soustavu
částic, které si navzájem udržují stejnou vzájemnou pozici. Vzájemně se vůči sobě nepohybují a takto vy-
tvořené těleso bude mít stále stejný tvar. Tuhé těleso se může jako celek v prostoru různě pohybovat, ale
ukazuje se, že je rozumné pohyb rozdělit na dva druhy – na translaci a rotaci. Translací rozumíme posuvný
pohyb, při kterém se přemísťuje střed hmotnosti tělesa. Rotací máme na mysli otáčení o nějaký úhel kolem
nějaké osy. S translací jsme se již setkali, protože ta dává smysl u jakékoli soustavy aniž by musela tvořit
tuhé těleso. Jde o přesun středu hmotnosti a ten je definován pro libovolnou soustavu. Zrychlení středu
hmotnosti je určeno celkovou hmotností soustavy a součtem vnějších sil, což jsme již probrali v minulých
kapitolách.
Zato rotace je novým pojmem, protože ta dává smysl pouze pro tuhá tělesa. Jen u tuhých těles můžeme
určit osu, kolem které se má těleso otáčet. Zavedeme proto úhel otočení, který budeme značit ϕ. Je to
vektor, jehož velikost určuje, o kolik radiánů se těleso otočilo. Směr tohoto vektoru bude rovnoběžný s osou
rotace. Mělo by být zřejmé, že například úhel ϕ = [0;2pi;0] znamená jednu otáčku kolem osy rovnoběžné
s osou ypsilon. Obdobně napříkladϕ = [−pi;0;0] bude znamenat půl otáčky kolem osy rovnoběžné s osou x.
Je potřeba ještě specifikovat směr otáčení. Můžeme si představit šroub či vývrtku zavrtávající se ve směru
vektoru ϕ. Tím je určen smysl otáčení. Samozřejmě máme na mysli pravotočivý závit a pravotočivý systém
souřadnic.
Podobně jako se z polohového vektoru určuje rychlost pomocí derivace a zrychlení pomocí druhé deri-
vace, zavádíme analogicky i úhlové veličiny. Úhlovou rychlost ω
ω = dϕdt
a úhlové zrychlení ε
ε = dωdt = d
2ϕ
dt2
K procvičení zkuste určit směr úhlové rychlosti pro níže uvedené situace. Předpokládejte, že osa x směřuje
napravo, osa y nahoru a osa z k vám.
• Vývrtka zavrtávající se do láhve vína.
Řešení: Láhev vína stojí, vývrtka se zavrtává směrem dolů: [0;−ω;0]
• Jste pravák a hodíte létající talíř směrem od vás.
Řešení: Smysl otáčení je stejný jako v předchozím případě s vývrtkou, takže [0;−ω;0]
• Otáčení kohoutkem při pouštění vody
Řešení: Kohoutek odšroubováváme, takže postupuje směrem k nám, to znamená souhlasně s osou z. [0;0;ω]
• Otáčení klíčem při odemykání dveří s pantem napravo.
Řešení: Otáčení je stejné, jako bychom něco zašroubováváli směrem od nás, tj. proti ose z. [0;0;−ω]
• Kolo od bicyklu, který jede směrem k nám.
Řešení: Otáčení je stejné, jako otáčení šroubu, který se zavrtává ve směru osy x. [ω;0; 0]
2. Odmotávání vlákna, kutálení, odvalování
U tuhého tělesa uvažujeme posuvný pohyb (translaci) a otáčivý pohyb (rotaci). Často bývá rotační pohyb
vázán určitým mechanismem na nějaké jiné pohyby, a to obykle můžeme vyjádřit rovnicí. Například nějaké
rotačně symetrické těleso se může valit po rovné podložce a díky tření nebude docházet k prokluzování.
Teoreticky (opravdu pouze teoreticky) tak můžeme vypočítat, kolikrát se kolo od auta otočilo, jestliže
známe dráhu, kterou auto ujelo a zjistíme si velikost kola. Výpočet nebude pravdivý v případě, kdy auto
během své cesty zabrzdilo tak prudce, že se kola zablokovala a po silnici se pohybovala smykem. Nebo
13
Obr. 6: Poloha středu valícího se tělesa je pevně svázána s úhlem otočení. Stejně tak rychlost těžiště (translace)
souvisí s úhlovou rychlostí (rotací).
naopak, jestli se při zrychlování dostala kola do prokluzu. Jestliže se ale po celou dobu jízdy kola odvalovala
bez smyku, můžeme situaci znázornit následujícím obrázkem:
Přímo z definice jednoho radiánu vyplývá, že jestliže se kolo otočí o jeden radián, musí urazit vzdálenost
rovnu poloměru kola. Jeden radián je totiž takový úhel, který na kružnici vymezuje oblouk, jehož délka je
rovna poloměru kružnice. Protože jsme počátek souřadné soustavy umístili do středu kola, bude platit, že
s = rϕ
Kde s je ujetá dráha a ϕ je úhel otočení kola. Snadno si můžeme představit, že po jedné otáčce kola (tedy
úhel ϕ bude 2pi radiánů) ujede auto dráhu rovnu obvodu kola – což je 2pir. Předchozí vzorec ale slouží
pouze pro názornost. Pro praktické výpočty jej v této podobě nemůžeme ponechat, protože nebere v úvahu
smysl otáčení a také to, že úhel otočení i poloha jsou vektorové veličiny. Vztah ve skutečnosti platí pro
z-ovou složku úhlu a pro x-ovou složku polohy. Tedy
rx = −rϕz
Záporné znaménko je zde nutné kvůli tomu, že úhel ϕz narůstá do záporných hodnot, zatímco zatímco
dráha bude kladná. Kdyby kolo se pohybovalo obráceně, bude vztah platit beze změny, protože se změní
znaménko na obou stranách rovnice (změní se směr pohybu i směr otáčení). To je výhodné, protože na
začátku nemusíme vědět, jak se bude kolo pohybovat a přesto můžeme rovnici napsat. Jestliže vztah
zderivujeme podle času, získáváme
vx = −rωz
Zatímco předchozí vztah platil pro polohu a úhel, tento vztah platí pro rychlost a úhlovou rychlost.
Naprosto zásadní rozdíl je v tom, že nyní již nemusíme počátek souřadné soustavy umístit do středu kola.
Vztah pro rychlosti bude platit, i pro libovolně posunutou vztažnou soustavu. Dalším zderivováním bychom
zjistili, jak spolu souvisí zrychlení a úhlové zrychlení:
ax = −rεz
Vztah pro zrychlení klade na volbu vztažné soustavu ještě menší nároky, ale to již rozebírat nebudeme.
Uvažujme nyní jinou situaci. Máme závaží, které je zavěšeno na vlákně a to se odmotává z otáčejícího
se bubnu.
Můžeme si představit, že závaží klesá (takže ypsilonová souřadnice bude záporná) a z-ová složka úhlu
otočení bubnu bude taktéž záporná. Vztah pro polohu závaží a úhel otočení bubnu by mohl vypadat takto
−ry = −rϕz
ale bude platit pouze tehdy, když nulovému úhlu bude odpovídat nulová poloha závaží. To nám klade
určitá omezení na volbu souřadné soustavy a na počáteční délku provázku. Zatímco vztahy pro rychlosti
−vy = −rωz
14
Obr. 7: Z bubnu se odmotává vlákno, na kterém visí závaží. Existuje tedy vztah mezi úhlovou rychlostí bubnu a
rychlostí závaží.
i pro zrychlení
−ay = −rεz
budou platit pro libovolnou počáteční délku provázku a souřadnou soustavu můžeme dle potřeby libovolně
posunout.
Podobný princip můžeme uplatnit i pro dvě kola spojená pásem, řetězem nebo řemenem, který před-
stavuje převod. Roztočíme-li jedno kolo, roztočí se i druhé.
Obr. 8: Pás, řetěz nebo řemen mezi dvěma koly způsobuje, že úhlové rychlosti obou kol jsou v poměru jejich velikostí
(poloměru, průměru nebo obvodu).
Sledujme bod, který je vyznačen na řetězu a uvažujme, že se pohybuje směrem doleva. Napíšeme pouze
vztahy týkající se rychlostí a zrychlení. Indexem u veličiny budeme rozlišovat, zda se jedná o kolo číslo
jedna nebo kolo číslo dva.
−vx = r1 ω1 ⇒ −ax = r1 ε1
−vx = r2 ω2 ⇒ −ax = r2 ε2
Ze vyplývá i užitečná informace, jak souvisí rychlosti otáčení s poloměrem kol:
r1ω1 = r2ω2
Vztah bude platit i tehdy, jestliže namísto poloměru napíšeme průměr či obvod nebo počet zubů a namísto
úhlové frekvence ω můžeme psát i frekvenci otáčení f. Dále, aniž bychom zabíhali do detailů, si můžeme
všimnout momentů sil, které působí na obě kola. Řetěz sice přenáší stále stejnou sílu, ale každé kolo má
jiný poloměr, a tak i moment síly bude jiný. Čím větší bude poloměr, tím větší bude působící moment síly,
ale tím menší bude rychlost otáčení. A protože moment síly vynásoben