Matematika teorie

číslo (skalár) je na tomto oboru definováno Skalární pole. 8)KŘIVKA Dá se popsat parametrickými rcemi x=x(t), y=y(t), z=z(t) tÎJ, nebo vektorovou rcí jednoho skalarního argumentu ŕ=ŕ(t)= x(t)i+y(t)j+z(t)k t Î J nebo (x(t),y(t),z(t)) . Když spojíme několik hladkých orientovaných oblouků L1,L2... tak, ze koncový bod oblouku L1 je počátečním bodem L2 a jiné společné body oblouky nemají dostaneme jednoduchý po částech hladký oblouk L. Je li navíc koncový bod posledního oblouku počátečním bodem prvního oblouku dostáváme jednoduchou po částech hladkou uzvřenou křivku.9) KŘIVK INT VE SKALAR POLI Je dáno skalární pole a v tomto poli jednoduchý hladký oblouk L. Ten můžeme rozdělit na části, ke každému dílu vytvoříme součin. Všechny tyto součiny sečteme a dostaneme tzv integrální součet S (f,L,D) závislý na fci f, na oblouku L a dělení D. Když zjemňujeme dělení tak, že rozdíl rádius vektoru se blíží k nule a součet S(f,L,D) se blíží k nějaké hodnotě I, závislé jen na f,L ne na dělení D, pak existuje křivkový integrál 1. druhu. Píšeme ňL f(x,y,z) ds= I. 10)APLIKACE KŘIVK INT 1)Délka oblouku křivky 2)Plošný obsah svislé válcové plochy 3)Celkové množství skalární veličiny rozložené na oblouku L s lokální hodnotou r (x,y,z) (hmotnost nehomog. oblouku, jeho elektrický náboj,..) 4) Souřadnice těžiště T hmotného oblouku L, 5)statický moment. 11)KŘIVK INT VE VEKTOR POLI je dáno vektor pole F a hladký jednoduchý orintovaný oblouk L, který rozdělíme na části a ke každému dílku bytvoříme skalární součin, přičemž á je vektor pole F, které patří k bodu M. Skalární součiny sečteme pro všechny části oblouku L. Dostaneme tak integrální součet S(á,L,D), který záleží na vektorové fci á , křivce L a dělení D. Když při zjemňování dělení se integrální součet blkíží k nějaké hodnotě I nezávisle na hodnotě D pak existuje Křivkový integrál 2. druhu. Píšeme ňL á*dŕ = I. 12)CIRKULACE, GREEN. Integrál ň ®(a*dr) při uzavřené křivce L se nazývá cirkulace vektoru a ® podél křivky L. Vztah mezi křivkovým integrálem v rozvinutém vektorovém poli a integrálem dvojným popisuje Greenova věta : Je dána kladně orientovaná po částech hladká uzavřená křivka L která ohraničuje rovinou oblast D a vektorová funkce a: = (ax(x,y,)+ay(x,y,)) , jejíž složky mají spojité parciální derivace na D . Pak platí ň L(axi + ayi ) * dr = ň ň D (day / dx- dax / dy) dx dy. 13)NEZÁVISLOST K.I. NA INT CESTĚ platí : Když existuje na jednoduše souvislé oblasti funkce u= f (x,y,z) , taková že její diferenciál du = P(x,y,z)dx +Q(x,y,z) dy +R (x,y,z) dz, pak pro křivky ležící uvnitř této oblasti nezávisí hodnota integrálu I na integrační cestě a platí , že tuto hodnotu můžeme spočítat I = f(x2,y2,z2) - f(x1,y1,z1) kde A [x1,y1,z1] je počáteční a B [x2,y2,z2 ] koncový bod oblouku L .14)APLIKACE K.I. VE VEKT POLI 1) když vektor znamená v prostoru sílu , pak