Skripta pravděpodobnost a statistika

MASARYKOVA UNIVERZITA • EKONOMICKO-SPR´AVN´I FAKULTA
Jaroslav Mich´alek
PRAVDˇEPODOBNOST
A STATISTIKA
BRNO 2006 preprint
Kapitola 1
´Uvod
Prudk´y rozvoj v´ypoˇcetn´ı techniky, jehoˇz jsme v posledn´ıch desetilet´ıch svˇedky, pod-
statnˇe zasahuje a ovlivˇnuje vˇsechny str´anky naˇseho ˇzivota. V souˇcasn´e dobˇe je velmi
snadn´e poˇr´ıdit a shrom´aˇzdit velk´e mnoˇzstv´ı ´udaj˚u o prvc´ıch rozs´ahl´ych soubor˚u,
kter´e jsou stˇredem naˇseho z´ajmu ˇci v´yzkumu. Takov´e ´udaje ˇcasto maj´ı charakter
hromadn´ych dat. ˇR´ık´ame, ˇze hromadn´a data jsou v´ysledkem pozorov´an´ı tzv. hro-
madn´ych jev˚u, tedy jev˚u, kter´e sledujeme na velk´ych skupin´ach prvk˚u, pˇriˇcemˇz
nen´ı naˇs´ım c´ılem analyzovat, jak´y jev byl pozorov´an u toho kter´eho prvku, ale
naopak popsat sledovan´y jev z hlediska anonymn´ıho prvku uvaˇzovan´eho souboru.
Je-li napˇr. pˇredmˇetem naˇseho z´ajmu sledov´an´ı nezamˇestnanosti v dan´em souboru
obyvatel, nezaj´ım´a n´as pˇri zkoum´an´ı tohoto hromadn´eho jevu, zda dan´a osoba sle-
dovan´eho souboru je ˇci nen´ı nezamˇestnan´a, ale zaj´ım´ame se o to, jakou ˇsanci m´a
dan´a anonymn´ı osoba v tomto souboru b´yt zamˇestn´ana. K z´ısk´an´ı urˇcit´ych poznatk˚u
a vysloven´ı z´avˇer˚u o zkouman´em jevu nestaˇc´ı jednotliv´a pozorov´an´ı, ale jsou nutn´a
pozorov´an´ı hromadn´a, jejichˇz v´ysledkem je hromadn´y jev. Anal´yzou hromadn´ych
jev˚u je moˇzn´e z´ıskat ve sledovan´em souboru velk´e mnoˇzstv´ı informace, kterou lze
vyuˇz´ıt pˇri dalˇs´ım rozhodov´an´ı.
Snahu shromaˇzd’ovat hromadn´a data a analyzovat hromadn´e jevy lze pozorovat jiˇz v
d´avn´e historii. Jedny z prvn´ıch hromadn´ych jev˚u, kter´e byly v minulosti sledov´any,
byly ´udaje o ”popisu st´atu”, tedy ´udaje spoˇc´ıvaj´ıc´ı ve zobrazen´ı dan´eho zemˇepisn´eho,
hospod´aˇrsk´eho a politick´eho stavu. Protoˇze ”status” je stav, ale tak´e st´at (stav
spoleˇcenstv´ı), ujal se pojem statistika pro ˇcinnosti, souvisej´ıc´ı se shromaˇzd’ov´an´ım
hromadn´ych dat a anal´yzou hromadn´ych jev˚u. Jedno z prvn´ıch st´atovˇedn´ych dˇel,
kde je moˇzno pozorovat vznik statistiky jako oboru lidsk´e ˇcinnosti, je d´ılo Francesca
Sansoviny: Del governo et amministratione di diversi regni (O vl´adˇe a spr´avˇe v
r˚uzn´ych kr´alovstv´ıch), kter´e vyˇslo v Ben´atk´ach v roce 1562. V 17. a 18. stolet´ı vznikla
ˇrada st´atovˇedn´ych dˇel zejm´ena v Nˇemecku (Veit Ludwig von Seckendorff, Hermann
Conring, Gottfried Achenwall). Tito autoˇri pˇristupovali ke statistice jako k popisn´e
st´atovˇedˇe. Jejich pˇr´ıstupy ke statistice lze dodnes naj´ıt ve statistick´ych roˇcenk´ach
1
2
ˇrady st´at˚u, kde se nejdˇr´ıve uv´ad´ı ˇrada geografick´ych ´udaj˚u (napˇr. rozloha, hustota
populace, nejvyˇsˇs´ı vrcholy apod). Jin´y pˇr´ıstup ke statistice vznikal paralelnˇe v t´eto
dobˇe v Anglii. Graunt a Petty zaloˇzili smˇer statistiky zvan´y ”politick´a aritmetika”.
Jej´ım c´ılem byla evidence ´udaj˚u o narozen´ıch a ´umrt´ıch obyvatel a snaha prov´adˇet
srovn´an´ı tˇechto ´udaj˚u a popsat ˇc´ıseln´y v´yvoj obyvatelstva pro delˇs´ı ˇcasov´e obdob´ı.
V 18. stolet´ı byl dalˇs´ı rozvoj statistiky ovlivnˇen rozvojem matematiky a zejm´ena
pravdˇepodobnosti. Prvn´ı myˇslenkov´e koncepce smˇerem k modern´ı statistice lze nal´ezt
v d´ıle belgick´eho autora Adolpha Qu´eteleta, kde z hromadn´ych biologick´ych dat o
lidsk´e populaci stanovil typ ”pr˚umˇern´eho ˇclovˇeka” (”homme moyen”) a nast´ınil tak
z´aklad pro budouc´ı statistiku - koncepci norm´aln´ıho rozdˇelen´ı, stˇredn´ı hodnoty a
rozptylu.
V 18. a 19. stolet´ı byl dalˇs´ı v´yvoj statistiky z´asadnˇe ovlivnˇen pracemi v´yznamn´ych
matematik˚u, zejm´ena pracemi bratˇr´ı Bernoulli˚u, Eulera, Laplace, de Moivrea, Gausse
a Bayese. Jejich v´ysledky mˇely pro dalˇs´ı rozvoj tzv. matematick´e statistiky z´asadn´ı
v´yznam. ´Usil´ı statistik˚u v 19. a v prvn´ı polovinˇe 20. stolet´ı bylo vˇenov´ano anal´yze
hromadn´ych jev˚u a zamˇeˇreno na statistickou indukci, tedy na statistick´e usu-
zov´an´ı z v´ybˇerov´eho souboru na z´akladn´ı soubor, z nˇehoˇz byl v´ybˇer poˇr´ızen. U
zrodu matematick´ych metod poˇrizovan´ych k prov´adˇen´ı statistick´e indukce st´ali ruˇst´ı
matematici ˇCebyˇsev, Ljapunov a Markov. Z´asadn´ım zp˚usobem pak v´yvoj statistiky
ovlivnila anglo – americk´a ˇskola, zejm´ena pr´ace R. A. Fishera, J. Neymanna a E. S.
Pearsona. Metody zpracov´an´ı statistick´ych dat, kter´e vych´azej´ı z jejich prac´ı, jsou
dodnes hojnˇe vyuˇz´ıv´any a s jejich jm´eny je moˇzno se setkat v prakticky kaˇzd´em
kurzu modern´ı statistiky.
V´yvoj modern´ıch statistick´ych metod ve druh´e polovinˇe minul´eho stolet´ı byl ori-
entov´an do rozvoje speci´aln´ıch obor˚u statistiky. Jedn´ım z tˇechto obor˚u jsou tzv.
neparametrick´e statistick´e metody, jehoˇz spoluzakladatelem je ˇcesk´y matematik –
statistik J. H´ajek.
Koneˇcnˇe posledn´ı rozvoj a pouˇzit´ı statistick´ych technik je v´az´ano na rozvoj poˇc´ıtaˇc˚u,
rychle se rozv´ıj´ı pomˇernˇe nov´y obor – poˇc´ıtaˇcov´a statistika (computional statistics).
D˚usledkem je, ˇze k dispozici je velk´a ˇrada softwareov´ych produkt˚u, obsahuj´ıc´ıch
velmi ˇsirokou paletu statistick´ych metod, urˇcen´ych r˚uzn´ym uˇzivatel˚um – podle
stupnˇe jejich statistick´e vyspˇelosti.
Z uveden´eho struˇcn´eho historick´eho pˇrehledu v´yvoje statistiky je dobˇre patrn´e jej´ı
ˇclenˇen´ı. Statistika vznikla jako ”st´atovˇeda”, ale v souˇcasn´e dobˇe slovo statistika
ch´apeme ve v´ıce v´yznamech.
Statistikou pˇredevˇs´ım rozum´ıme:
a) ˇc´ıseln´e ´udaje o hromadn´ych jevech
b) praktickou ˇcinnost spoˇc´ıvaj´ıc´ı ve sbˇeru, zpracov´an´ı a vyhodnocov´an´ı stati-
stick´ych ´udaj˚u
3
c) teoretickou vˇedn´ı discipl´ınu, kter´a se zab´yv´a metodami pro anal´yzu hromad-
n´ych jev˚u a statistickou indukc´ı, tedy statistick´ym usuzov´an´ım, jak informaci
z´ıskanou n´ahodn´ym v´ybˇerem ze z´akladn´ıho souboru zpˇet zobecnit na z´akladn´ı
soubor.
V tˇechto skriptech budeme pˇredevˇs´ım vych´azet z pojet´ı statistiky uveden´e v pˇredch´a-
zej´ıc´ım bodˇe c) a statistiku budeme ch´apat jako vˇedn´ı obor. Jeho souˇc´ast´ı je tzv.
popisn´a statistika, kter´a se pˇredevˇs´ım zab´yv´a popisem statistick´ych dat pomoc´ı
r˚uzn´ych tabulek, graf˚u, diagram˚u a pomoc´ı r˚uzn´ych funkcion´aln´ıch charakteristik,
kter´e lze z datov´ych soubor˚u snadno stanovit pomoc´ı element´arn´ıch matematick´ych
prostˇredk˚u. C´ılem tohoto statistick´eho popisu je zpˇrehlednˇen´ı informace obsaˇzen´e v
datov´ych souborech (ˇcasto velmi rozs´ahl´ych).
Dalˇs´ı souˇc´ast´ı statistiky jako vˇedn´ıho oboru je tzv. matematick´a statistika, kter´a
matematick´ymi prostˇredky, zejm´ena pomoc´ı teorie pravdˇepodobnosti, systematicky
buduje metody pro anal´yzu statistick´ych dat a pro prov´adˇen´ı statistick´e indukce.
Souˇc´ast´ı matematick´e statistiky je
a) teorie odhadu, kter´a se zab´yv´a metodami pˇribliˇzn´eho stanoven´ı (odhadem)
parametr˚u z´akladn´ıho souboru (v´ychoz´ı populace) pomoc´ı dat z´ıskan´ych n´a-
hodn´ym v´ybˇerem. Studuj´ı se r˚uzn´e pˇr´ıstupy ke z´ısk´an´ı tˇechto odhad˚u a kon-
struuj´ı se odhady bodov´e a intervalov´e.
b) testov´an´ı statistick´ych hypot´ez, kde jsou vytv´aˇreny matematick´e postupy
pro ovˇeˇren´ı hypot´ez o z´akladn´ım souboru a rozv´ıj´ı se metody pro srovn´an´ı
statistick´ych soubor˚u z r˚uzn´ych hledisek.
c) statistick´a predikce, kde se rozv´ıjej´ı statistick´e techniky umoˇzˇnuj´ıc´ı na z´a-
kladˇe sledovan´e dynamiky nˇejak´eho hromadn´eho jevu kvalifikovanˇe odhadnout
jeho budouc´ı v´yvoj.
Koneˇcnˇe dalˇs´ımi d˚uleˇzit´ymi speci´aln´ımi statistick´ymi obory, s nimiˇz se ˇcten´aˇr tˇechto
skript jistˇe setk´a, je ekonomick´a statistika, kter´a se zab´yv´a metodami popisn´e
statistiky a matematick´e statistiky pro zpracov´an´ı pˇredevˇs´ım n´arodohospod´aˇrsk´ych
dat av´ypoˇcetn´ı statistika, kter´a se zab´yv´a rozvojem v´ypoˇcetn´ıch metod matemat-
ick´e statistiky a konstrukc´ı poˇc´ıtaˇcovˇe orientovan´ych nov´ych statistick´ych postup˚u
napˇr. konstrukce nov´ych algoritm˚u pro z´ısk´an´ı informace z dat (tzv. ”data min-
ing” technologie) a koneˇcnˇe vytv´aˇren´ım nov´ych velk´ych softwareov´ych produkt˚u pro
statistickou anal´yzu rozs´ahl´ych statistick´ych dat nebo statistick´ych dat speci´aln´ıch
vlastnost´ı.
Jak byloˇreˇceno slouˇz´ı soudob´a statistika k z´ısk´av´an´ı informac´ı z rozs´ahl´ych datov´ych
soubor˚u. Pouˇz´ıv´a pˇritom postup˚u, kter´e vych´azej´ı z matematick´e statistiky a jsou
zamˇeˇreny na z´ısk´an´ı optim´aln´ı informace z dat aˇsirok´a je tak´e nab´ıdka softwareov´ych
produkt˚u, kter´e zpˇr´ıstupˇnuj´ı tyto pomˇernˇe sloˇzit´e statistick´e metody prakticky vˇsem
4
z´ajemc˚um o jejich pouˇzit´ı. V t´eto situaci je lehce moˇzn´e zvolit pro zpracov´an´ı dan´eho
souboru dat metodu, kter´a nen´ı optim´aln´ı nebo dokonce metodu, kter´a informaci o
datov´em souboru zkresl´ı. M˚uˇze se to st´at tak, ˇze uˇzivatel tˇechto metod dostateˇcnˇe
nerozum´ı pouˇz´ıvan´e metodˇe ˇci vstup˚um a v´ystup˚um pouˇz´ıvan´eho softwareov´eho
produktu nebo dokonce z´amˇernˇe a s ohledem na sledov´an´ı vlastn´ıch c´ıl˚u, komentuje
v´ysledek statistick´eho zkoum´an´ı tak, aby tento v´ysledek podpoˇril jeho argumenty.
Pˇr´ıklad˚u pouˇzit´ı statistiky ke z´ısk´av´an´ı zkreslen´ych z´avˇer˚u je cel´aˇrada. Zde uvedeme
ilustrativn´ı pˇr´ıklad z knihy [2, str.45-47], kter´a pˇribliˇzuje bohatost a kr´asu statistiky
ˇcten´aˇri s menˇs´ı nebo ˇz´adnou pˇredstavou o statistice. Pˇr´ıklad je tak´e struˇcnˇe pops´an
v ´uvodu citovan´e knihy na str. 9, autorem ´uvodu je R. Frische, nositel Nobelovy
ceny. Z tohoto ´uvodu cituji:
Pˇr´ıbˇeh muˇze, kter´y zam´yˇsl´ı koupit ve Zbohatl´ıkovˇe pozemek. Tento muˇz dostane
r˚uzn´e, vz´ajemnˇe zcela si odporuj´ıc´ı ´udaje o pr˚umˇern´em roˇcn´ım pˇr´ıjmu obyvatel Zbo-
hatl´ıkova. Zprostˇredkovatel uvedl 82 320 tolar˚u a vysvˇetloval, ˇze 20% obyvatel pr´y
m´a pr˚umˇern´y roˇcn´ı pˇr´ıjem 309 400 tolar˚u. Bankovn´ı ˇreditel informoval, ˇze v´ıce neˇz
polovina obyvatel m´a roˇcn´ı pˇr´ıjem pˇres 29 000 a nejˇcastˇejˇs´ı roˇcn´ı pˇr´ıjem je asi 18 000
tolar˚u. M´ıstn´ı uˇcitel, velmi zbˇehl´y ve statistice, tvrdil, ˇze vˇetˇsina obyvatel m´a pˇr´ıjem
niˇzˇs´ı neˇz 7 500 tolar˚u. A nakonec statistick´y ´uˇrad na dotaz sdˇelil, ˇze vˇsechny tyto
zd´anlivˇe si tak odporuj´ıc´ı ´udaje jsou pravdiv´e. Vysvˇetlilo se to t´ım, ˇze v tomto mal´em
mˇestˇe bydlel milion´aˇr a ˇze matematick´e vlastnosti medi´anu, aritmetick´eho pr˚umˇeru,
harmonick´eho pr˚umˇeru, geometrick´eho pr˚umˇeru a nejˇcetnˇejˇs´ı hodnoty souboru se
navz´ajem podstatnˇe liˇs´ı.
V souvislosti s uveden´ym pˇr´ıkladem je ´uˇceln´e uv´est ˇcasto parafr´azovan´y v´ıce neˇz 100
rok˚u star´y v´yrok o statistice, nejˇcastˇeji pˇrisuzovan´y Benjaminu Disraelimu: Jsou tˇri
druhy lˇz´ı: lˇzi, odsouzenihodn´e lˇzi a statistiky. Je s podivem, ˇze se ˇcasto tento v´yrok
cituje nekriticky, bez znalosti nebo t´emˇeˇr bez znalosti toho, co vlastnˇe statistika
je. Nav´ıc uveden´y pˇr´ıklad velmi n´azornˇe ukazuje, ˇze statistick´a data lze interpre-
tovat r˚uzn´ymi subjektivn´ımi zp˚usoby a aby se ˇcten´aˇr dobˇre orientoval v r˚uzn´ych
moˇznostech takov´e interpretace, m´a smysl zab´yvat se statistickou teori´ı hloubˇeji.
C´ılem tˇechto skript je uv´est ˇcten´aˇre do z´akladn´ıch technik popisn´e statistiky a po-
moc´ı n´ı motivovat z´akladn´ı pojmy pravdˇepodobnostn´ıho poˇctu. D´ale vyloˇzit z´aklady
teorie pravdˇepodobnosti v rozsahu, kter´y umoˇzn´ı studovat modern´ı metody matem-
atick´e statistiky a umoˇzn´ı zvl´adnut´ı z´akladn´ıch postup˚u pouˇz´ıvan´ych pˇri vyhod-
nocov´an´ı zejm´ena n´arodohospod´aˇrsk´ych dat a dat v oblasti soci´alnˇe spr´avn´ı. Tedy
studovat bez probl´emu metody a postupy ekonomick´e statistiky a umˇet je uˇz´ıt pˇri
ˇreˇsen´ı konkr´etn´ıch praktick´ych ´uloh.
Kapitola 2
Pravdˇepodobnost a ˇcetnost
2.1 N´ahodn´y pokus a n´ahodn´y jev
Z´akladn´ım pojmem, z nˇehoˇz budeme vych´azet, je pojem pokus. Pokusem budeme
rozumˇet uskuteˇcnˇen´ı urˇcit´eho souboru podm´ınek. Podle toho, zda v´ysledek pokusu je
moˇzn´e z realizovan´ych podm´ınek pokusu jednoznaˇcnˇe urˇcit nebo nikoliv, rozdˇelujeme
pokusy na pokusy deterministick´e a na pokusy stochastick´e neboli n´ahodn´e.
Deterministick´e pokusy jsou takov´e pokusy, kdy oˇcek´avan´y v´ysledek se dostav´ı vˇzdy,
kdyˇz jsou spr´avnˇe dodrˇzeny podm´ınky pokusu. Typick´ymi pˇr´ıklady takov´ych pokus˚u
jsou ˇskolsk´e pokusy prov´adˇen´e ve fyzice nebo chemii. Napˇr. pˇri zahˇr´at´ı vody na
100◦C pˇri atmosf´erick´em tlaku 760 torr˚u vˇzdy pozorujeme, ˇze voda vˇre. Nebo pˇri
ponoˇren´ı elektrod do roztoku CuSO4, zaˇcne se na katodˇe hromadit mˇed’. Oˇcek´avan´y
v´ysledek se nedostav´ı jen tehdy, kdyˇz nejsou spr´avnˇe dodrˇzeny podm´ınky pokusu.
Naproti tomu n´ahodn´e (stochastick´e) pokusy jsou takov´e pokusy, kdy realizace
podm´ınek pokusu m˚uˇze vyvolat r˚uzn´e n´asledky, v´ysledek pokusu nen´ı jednoznaˇcnˇe
urˇcen jeho podm´ınkami. Pˇri opakovan´em prov´adˇen´ı dan´eho n´ahodn´eho pokusu, se
z´ıskan´e v´ysledky chaoticky mˇen´ı, nelze je pˇredpovˇedˇet ani pˇresto, ˇze podm´ınky
takov´eho pokusu jsou pˇr´ısnˇe dodrˇzov´any. Na v´ysledek pokusu maj´ı vliv tak´e n´ahodn´ı
ˇcinitel´e, kteˇr´ı jsou mimo naˇsi kontrolu. Takov´e pokusy se velmi podobaj´ı ´ukon˚um
z hazardn´ıch her jako je h´azen´ı hrac´ımi kostkami nebo mincemi, rozd´av´an´ı karet,
tah´an´ı los˚u z osud´ı ˇci rozt´aˇcen´ı kola rulety. Pokusy z uveden´e oblasti se pro ilustraci
z´akladn´ıch princip˚u pravdˇepodobnostn´ı teorie zvl´aˇst hod´ı pro mal´y poˇcet moˇzn´ych
v´ysledk˚u, jejich jednoduch´y a pˇresn´y popis a dokonalou znalost podm´ınek pokusu.
V mnoha odvˇetv´ıch lidsk´e ˇcinnosti b´yv´a pˇredstava pokusu nejˇcastˇeji spojov´ana s
v´yzkumnouˇcinnost´ı. My budeme pojem pokusu, zejm´ena n´ahodn´eho pokusu, ch´apat
mnohem ˇs´ıˇreji, napˇr. nab´ıdka zboˇz´ı z´akazn´ıkovi, stanoven´ı d´elky fronty u nˇejak´eko
zaˇr´ızen´ı hromadn´e obsluhy, poskytnut´ı sluˇzby, zjiˇstˇen´ı hodnoty koruny k euru, v´ybˇer
5
6
respondenta pro pr˚uzkum popt´avky, velikost ´urody v dan´e oblasti apod.
D´ale budeme uvaˇzovat pevnˇe dan´y n´ahodn´y pokus a jak´ekoliv tvrzen´ı o v´ysledku
n´ahodn´eho pokusu, o kter´em lze po uskuteˇcnˇen´ı pokusu jednoznaˇcnˇe rozhodnout,
zda pˇri dan´e realizaci pokusu je ˇci nen´ı pravdiv´e, nazveme n´ahodn´ym jevem.
Spoˇc´ıv´a-li n´ahodn´y pokus v nab´ıdce zboˇz´ı z´akazn´ıkovi, m˚uˇze b´yt pˇr´ıkladem n´ahodn´eho
jevu skuteˇcnost, ˇze z´akazn´ık nab´ızen´e zboˇz´ı zakoupil. Je-li uvaˇzovan´ym n´ahodn´ym
pokusem zjiˇstˇen´ı hodnoty kurzu korunu k euru, m˚uˇze b´yt n´ahodn´ym jevem tvrzen´ı,
ˇze kurz pˇrekroˇcil hodnotu 30 korun za 1 euro apod.
V teorii pravdˇepodobnosti je c´ılem ˇc´ıselnˇe ohodnotit n´ahodn´e jevy tak, abychom
se mohli pˇri opakovan´em prov´adˇen´ı pokusu l´epe orientovat v tvrzen´ıch typu ”jev
nast´av´a velmi ˇcasto” nebo ”jev prakticky nenast´av´a” ˇci ”jev nast´av´a pomˇernˇe ˇcasto”
apod. ˇC´ıselnou kvantifikaci n´ahodn´ych jev˚u chceme prov´est v souladu s naˇsimi
zkuˇsenostmi.
Budeme pˇredpokl´adat, ˇze dan´y pokus lze libovolnˇekr´at nez´avisle opakovat. Jed-
notliv´e realizace pokus˚u mohou p˚usobit zcela chaoticky, ale pˇri pozorov´an´ı velk´eho
poˇctu tˇechto realizac´ı, tedy pˇri tzv. hromadn´em pozorov´an´ı, se mohou objevit zjevn´e
z´akonitosti. Tak napˇr´ıklad, kdyˇz budeme opakovanˇe h´azet minc´ı, zjist´ıme,ˇze l´ıc pad´a
pˇribliˇznˇe v pades´ati procentech hod˚u. Budeme-li opakovanˇe h´azet kostkou, zjist´ıme,
ˇze ˇc´ıslo 6 pad´a pˇribliˇznˇe v 16,66% hod˚u. Budeme-li sledovat poˇcty narozen´ych
chlapc˚u v dan´em st´atˇe, bude jejich pomˇer k poˇctu vˇsech narozen´ych dˇet´ı kol´ısat
kolem dan´e hodnoty (tˇreba bl´ızk´e jedn´e polovinˇe). Viz Tab. 2.1. pˇrevzat´a z [9].
Rok 1927 1928 1929 1930 1931 1932
Celkov´y
poˇcet 958 733 990 993 994 101 1 022 811 964 573 934 663
narozen´ych
dˇet´ı
Poˇcet
narozen´ych 496 544 513 654 514 765 528 072 496 986 482 431
chlapc˚u
Relativn´ı ˇcetnost 0,5179 0,5183 0,5178 0,5163 0,5152 0,5162
Tabulka Pˇrehled dˇet´ı narozen´ych v Polsku v letech 1927–1932
Kdyˇz pro uvaˇzovan´y n´ahodn´y jev plat´ı,ˇze pˇri dlouhodob´ych nez´avisl´ych opakov´an´ıch
pokusu se relativn´ı ˇcetnost nastoupen´ı dan´eho jevu, tj. pomˇer poˇctu nastoupen´ı
sledovan´eho jevu a poˇctu opakov´an´ı pokusu, ustaluje kolem pevn´ych hodnot,ˇr´ık´ame,
ˇze relativn´ı ˇcetnosti tohoto jevu jsou statisticky stabiln´ı. Jsou-li statisticky sta-
biln´ı relativn´ıˇcetnosti vˇsech v dan´em pokusu uvaˇzovan´ych n´ahodn´ych jev˚u, mluv´ıme
o statisticky stabiln´ım n´ahodn´em pokuse. V teorii pravdˇepodobnosti se potom
zab´yv´ame matematick´ym modelov´an´ım statisticky stabiln´ıch pokus˚u. V prvn´ı ˇradˇe
jde o ˇc´ıseln´e ohodnocen´ı jednotliv´ych statisticky stabiln´ıch jev˚u, kter´e by bylo v
souhlasu s vlastnostmi relativn´ıch ˇcetnost´ı. Toto kvantitativn´ı ohodnocen´ı povede
7
k zaveden´ı pravdˇepodobnosti. Dˇr´ıve neˇz pˇrikroˇc´ıme k osvˇetlen´ı pravdˇepodobnosti
n´ahodn´ych jev˚u, pop´ıˇseme z´akladn´ı operace, kter´e m˚uˇzeme s n´ahodn´ymi jevy prov´adˇet.
2.2 Operace s n´ahodn´ymi jevy
V pˇredchoz´ım odstavci jsme zavedli n´ahodn´y jev jako tvrzen´ı o v´ysledku n´ahodn´eho
pokusu, o nˇemˇz lze po proveden´ı pokusu jednoznaˇcnˇe ˇr´ıci, zda je pravdiv´e ˇci nikoliv.
V tomto textu budeme d´ale s n´ahodn´ymi jevy pracovat. Pro struˇcnˇejˇs´ı vyjadˇrov´an´ı
budeme m´ısto ´uslov´ı n´ahodn´y jev ˇr´ıkat pouze jev. D´ale budeme jevy znaˇcit velk´ymi
p´ısmeny ze zaˇc´atku abecedy, pˇr´ıpadnˇe s indexy. Napˇr. A,B,A1,A2,...,An,B0,C
apod. V dalˇs´ı pr´aci s jevy budeme potˇrebovat zav´est dva speci´aln´ı jevy:
Jev jist´y, kter´y nutnˇe nastane pˇri kaˇzd´em proveden´ı pokusu. Budeme jej znaˇcit
Ω.
Jev nemoˇzn´y, kter´y nem˚uˇze v dan´em pokusu nikdy nastat, oznaˇc´ıme jej ∅.
D´ale zavedeme dva vztahy mezi jevy:
Implikace – ˇrekneme, ˇze jev A implikuje jev B nebo ekvivalentnˇe, ˇze jev A m´a
za n´asledek jev B, jestliˇze jev B nastane vˇzdy, kdyˇz nastane jev A. Vztah
”jev A m´a za n´asledek jev B” oznaˇc´ıme A ⊂ B.
Ekvivalence – ˇrekneme, ˇze jevy A a B jsou si rovny nebo t´eˇz, ˇze jevy A a
B jsou ekvivalentn´ı, kdyˇz A ⊂ B a z´aroveˇn B ⊂ A. Rovnost jev˚u A a B
oznaˇc´ıme A = B.
Protoˇze jevy pˇredstavuj´ı v´yroky o v´ysledc´ıch pokusu, lze vytv´aˇret nov´e v´yroky tedy
jevy pomoc´ı logick´ych spojek. Zav´ad´ıme tak n´asleduj´ıc´ı jevy:
Sjednocen´ı jev˚u. Jsou-li A1,A2,...,An jevy, pak jev, kter´y nastane, pr´avˇe kdyˇz
nastane alespoˇn jeden z jev˚u A1,A2,...,An, nazveme sjednocen´ım jev˚u
A1,A2,...,An a budeme jej znaˇcit A1 ∪A2 ∪...∪An nebo t´eˇz uniontextni=1 Ai. Sjed-
nocen´ı jev˚u m˚uˇze obsahovat i nekoneˇcn´y poˇcet jev˚u. Je-li jich spoˇcetn´y poˇcet,
tj. lze je uspoˇr´adat do nekoneˇcn´e posloupnosti A1,A2,... budeme jejich sjed-
nocen´ı oznaˇcovat uniontext∞i=1 Ai.
Pr˚unik jev˚u. Jsou-li A1,A2,...,An jevy, pak jev, kter´y nastane, pr´avˇe kdyˇz v
realizaci pokusu nastane kaˇzd´y z jev˚u A1,A2,...,An, nazveme pr˚unikem jev˚u
A1,A2,...,A