Skripta pravděpodobnost a statistika

zn´am´e a ˇcetnost fn(A) bude jeho odhadem.
Lze si tedy pravdˇepodobnost pˇredstavit jako limitn´ı hodnotu relativn´ı ˇcetnosti, kdyˇz
nekoneˇcnˇe roste poˇcet opakov´an´ı pokusu n. Tedy pravdˇepodobnost jevu A je v tomto
pojet´ı zavedena vztahem
p = P(A) = lim
n→∞
fn(1).
Uveden´y vztah pˇredstavuje tzv.statistickou definici pravdˇepodobnostia v min-
ulosti se s touto definic´ı pravdˇepodobnosti ˇcasto pracovalo viz [11]. Jej´ı nev´yhodou
je, ˇze nen´ı moˇzn´e ovˇeˇrit existenci uveden´e limity. Nicm´enˇe podstatn´a je skuteˇcnost,
ˇze pravdˇepodobnost by mˇela pˇri velk´em poˇctu opakov´an´ı pokusu korespondovat s
relativn´ı ˇcetnost´ı a proto tak´e se modern´ı axiomatick´a definice pravdˇepodobnosti
o vlastnosti relativn´ı ˇcetnosti podstatnˇe op´ır´a. Dˇr´ıve neˇz budeme pravdˇepodobnost
axiomaticky definovat, pˇripomeˇnme vlastnosti relativn´ı ˇcetnosti.
Vyjdeme ze statisticky stabiln´ıho n´ahodn´eho pokusu, jemuˇz odpov´ıd´a jevov´e pole
(Ω,A) a budeme uvaˇzovat jevy A,A1,A2 ∈ A, jev nemoˇzn´y ∅ a jev jist´y Ω. Relativn´ı
ˇcetnost jevu A z´ısk´ame z n nez´avisl´ych opakov´an´ıch pokusu oznaˇc´ıme fn(A). Pak
lze snadno nahl´ednout, ˇze relativn´ı ˇcetnost m´a n´asleduj´ıc´ı vlastnosti:
V1 : fn(∅) = 0 tj. ˇcetnost nemoˇzn´eho jevu je 0.
16
V2 : fn(Ω) = 1 tj. ˇcetnost jist´eho jevu je 1.
V3 : fn(A) ≥ 0 tj. pro kaˇzd´y jev A ∈ A
V4 : fn(A) ≤ 1 tj. pro kaˇzd´y jev A ∈ A
V5 : fn(A1 ∪A2) = fn(A1) +fn(A2)−fn(A1 ∩A2)
V6 : fn(A1 ∪A2) =n (A1) +fn(A2), kdyˇz jevy A1 a A2 jsou nesluˇciteln´e
V7 : fn(A1) ≤ fn(A2), kdyˇz A1 ⊆ A2
V8 : fn(A2 −A1) = fn(A1)−fn(A2), kdyˇz A2 ⊂ A1.
Axiomatick´a definice pravdˇepodobnosti potom pˇriˇrazuje kaˇzd´emu jevu A ∈ A re´aln´e
ˇc´ıslo P(A), kter´e vyjadˇruje ”moˇznost nastoupen´ı” jevu A v dan´em pokusu a toto
pˇriˇrazen´ı mus´ı b´yt v souladu s vlastnostmi relativn´ı ˇcetnosti V1 −V8. Lze uk´azat, ˇze
rozhoduj´ıc´ı pro axiomatick´e zaveden´ı pravdˇepodobnosti jsou vlastnosti relativn´ıch
ˇcetnost´ı V2,V3 a V6, dalˇs´ı vlastnosti pravdˇepodobnosti analogick´e zbyl´ym vlastnos-
tem relativn´ı ˇcetnosti lze odvodit ze z´akladn´ıch axiom˚u. D´ale uveden´a axiomatick´a
definice pravdˇepodobnosti poch´az´ı od Kolmogorova viz [13].
Definice 2.2. Axiomatick´a definice pravdˇepodobnosti. Necht’ (Ω,A) je jevov´e
pole pˇr´ısluˇsn´e uvaˇzovan´emu pokusu. Potom pravdˇepodobnost´ıP rozum´ıme zobrazen´ı,
pˇriˇrazuj´ıc´ı kaˇzd´emu jevu A ∈ A ˇc´ıslo P(A) a toto zobrazen´ı spˇnuje n´asleduj´ıc´ı ax-
iomy
A1. P(A) ≥ 0 pro kaˇzd´y jev A ∈ A (Pravdˇepodobnost je nez´aporn´a)
A2. P(Ω) = 1 ( Pravdˇepodobnost je normovan´a)
A3. Je-li A1,A2,A3,... koneˇcn´a nebo spoˇcetn´a posloupnost po dvou disjunktn´ıch
jev˚u z A (tj. Ai ∈ A,Ai ∩ Aj = ∅ pro i negationslash= j;i,j = 1,2...), pak pro koneˇcnou
posloupnost jev˚u A1,A2,A3,...An plat´ı
P(∪ni=1Ai) =
nsummationdisplay
i=1
P(Ai)
(pravdˇepodobnost je aditivn´ı)
Pro spoˇcetnou posloupnost jev˚u A1,A2,... plat´ı
P(∪∞i=1Ai) =
∞summationdisplay
i=1
P(Ai)
17
(pravdˇepodobnost je σ – aditivn´ı). Pro jev A pak ˇc´ıslo P(A) naz´yv´ame pravdˇe-
podobnost´ı jevu A. Trojici (Ω,A,P) pak naz´yv´ame pravdˇepodobnostn´ı prostor.
Poznamenejme,ˇze axiomy A1, A2 a A3 nen´ı pravdˇepodobnostP urˇcena jednoznaˇcnˇe,
to je ale jej´ı v´yhoda, protoˇze pro konkr´etn´ı pokus m˚uˇzeme volbu pravdˇepodobnosti
P provˇeˇrit tak, aby dobˇre korespondovala s relativn´ı ˇcetnost´ı. Uk´aˇzeme si to na
pˇr´ıkladˇe:
Pˇr´ıklad 2.5 Pokus spoˇc´ıv´a v hodu minc´ı. Pak Ω = {L,R} a A = {∅,{L},{R},Ω}.
Podle toho, zda mince je ide´alnˇe symetrick´a nebo ne, lze pravdˇepodobnost na jevov´em
poli (Ω,A) zav´est dvoj´ım zp˚usobem:
a) Pˇredpokl´adejme, ˇze mince je ide´aln´ı. Pak lze poloˇzit P(∅) = 0,P({L}) =
P({R}) = 12 a P(Ω) = 1. Je zˇrejm´e, ˇze zvolen´e zobrazen´ı P vyhovuje axiom˚um
A1, A2, A3, jde tedy o pravdˇepodobnost na jevov´em poli (Ω,A). Uveden´a
pravdˇepodobnost pˇriˇrazuje jevu ”padne l´ıc” pravdˇepodobnost 12 tedy stejnou
jako jevu ”padne rub”.
b) Pˇredpokl´adejme, ˇze mince nen´ı ide´aln´ı a pomoc´ı opakovan´ych hod˚u touto
minc´ı bylo vypozorov´ano, ˇze l´ıc pad´a v 55% vˇsech hod˚u. Pak lze na (Ω,A)
zav´est pravdˇepodobnost, kter´a tuto skuteˇcnost respektuje, staˇc´ı poloˇzitP(∅) =
0,P({L}) = 0,55,P({R}) = 0,45,P(Ω) = 1. Snadno lze opˇet ovˇeˇrit, ˇze zv-
olen´e zobrazen´ıP vyhovuje axiom˚um A1, A2, A3 a jde tedy o pravdˇepodobnost.
D´ale se budeme zab´yvat vlastnostmi axiomatick´e pravdˇepodobnosti. Vlastnosti,
kter´e uvedeme lze snadno odvodit z axiom˚u A1-A3. Viz [15]. ˇCten´aˇr si m˚uˇze ovˇeˇrit,
ˇze tyto odpov´ıdaj´ı vlastnostem relativn´ıch ˇcetnost´ı V1-V8.
Vlastnosti pravdˇepodobnosti. Pro libovoln´e jevy A,A1,A2,...,An z A plat´ı
VP1: P(∅) = 0
VP2: 0 ≤ P(A) ≤ 1
VP3: Je-li A1 ⊂ A2, pak P(A1) ≤ P(A2)
VP4: Je-li A1 ⊂ A2, pak P(A2 −A1) = P(A2)−P(A1)
VP5: P(A) = 1−P(A)
VP6: P(A1 −A2) = P(A1)−P(A1 ∩A2)
18
VP7: P(A1 ∪A2) = P(A1) +P(A2)−P(A1 ∩A2)
VP8: P(uniontextni=1 Ai) = summationtextni=1 P(Ai)−summationtextn−1i=1 summationtextnj=i+1 P(Ai ∩Aj) +
summationtextn−2
i=1
summationtextn−1
j=i+1
summationtextn
k=j+1 P(Ai ∩Aj ∩Ak)−...+ (−1)
n−1P(A1 ∩A2 ∩...∩An)
VP9 P(uniontextni=1 Ai) ≤summationtextni=1 P(Ai)
Uveden´e vlastnosti pravdˇepodobnosti budou potˇrebn´e pˇri dalˇs´ım v´ykladu, hojnˇe se
pouˇz´ıvaj´ı ve statistick´ych ´uvah´ach. V dalˇs´ım odstavci uk´aˇzeme jejich pouˇzit´ı pˇri
ˇreˇsen´ıch pravdˇepodobnostn´ıch ´uloh.
2.4 Specifick´epˇr´ıpadyaxiomatick´epravdˇepodobnosti
Ve vybran´ych experiment´aln´ıch situac´ıch (jak bylo naznaˇceno v pˇr´ıkladu 2.5) lze
pravdˇepodobnostP na dan´em jevov´em poli (Ω,A) vybrat tak, aby co nejl´epe odpov´ıdala
podm´ınk´am pokusu. Touto volbou pak dosp´ıv´ame ke speci´aln´ım pˇr´ıpad˚um axiomat-
ick´e pravdˇepodobnosti.
Klasick´a pravdˇepodobnost
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze prostor element´arn´ıch jev˚u Ω je koneˇcn´a mnoˇzina, obsahuj´ıc´ı N
prvk˚u a vˇsechny element´arn´ı jevy ω ∈ Ω jsou ”stejnˇe moˇzn´e”. Pak lze libovoln´emu
jevu A ⊂ Ω pˇriˇradit pravdˇepodobnost P(A) = card(A)card(Ω) = card(A)N , kde card(A)
znaˇc´ı poˇcet prvk˚u mnoˇziny A. Uveden´e pˇriˇrazen´ı vyhovuje axiom˚um A1, A2 a A3
i definici axiomatick´e pravdˇepodobnosti a takto zkonstruovan´e zobrazen´ı je tedy
speci´aln´ım pˇr´ıpadem axiomatick´e pravdˇepodobnosti definovan´e na σ – algebˇre A,
kter´a je tvoˇrena vˇsemi podmnoˇzinami Ω. Tato pravdˇepodobnost pˇriˇrazuje kaˇzd´emu
element´arn´ımu jevu ω pravdˇepodobnost P(ω) = 1N. Kdyˇz element´arn´ı jev ω ∈ A
nazveme v´ysledek pokusu pˇr´ızniv´y jevu A, pak lze zavedenou pravdˇepodobnost jevu
A definovat jako pod´ıl poˇctu v´ysledk˚u pokusu pˇr´ızniv´ych jevu A a poˇctu vˇsech
moˇzn´ych v´ysledk˚u pokusu. Pravdˇepodobnost zaveden´a t´ımto zp˚usobem se naz´yv´a
klasick´a pravdˇepodobnost. Jej´ı pouˇzit´ı si uk´aˇzeme na vybran´ych pˇr´ıkladech.
Zd˚urazˇnujeme, ˇze jej´ı pouˇzit´ı je moˇzn´e, kdyˇz mnoˇzina moˇzn´ych v´ysledk˚u pokusu
je koneˇcn´a a jednotliv´e element´arn´ı jevy maj´ı stejnou pravdˇepodobnost.
Pˇr´ıklad 2.6 Hod´ıme ide´aln´ı hrac´ı kostkou. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze
a) padne sud´e ˇc´ıslo?
b) padne lich´e ˇc´ıslo?
19
ˇReˇsen´ı: Protoˇze uvaˇzujeme ide´aln´ı hrac´ı kostku, pouˇzijeme klasickou pravdˇepodobnost.
Poloˇz´ıme Ω = {ω1,...ω6}, kde ωi je element´arn´ı jev, ˇze padne ˇc´ıslo i, i = 1,2,...,6.
Zavedeme jevy A – padne sud´eˇc´ıslo a B – padne lich´eˇc´ıslo. PakA = {ω2,ω4,ω6},card(Ω) =
N = 6,card(A) = 3 a uˇzit´ım klasick´e pravdˇepodobnosti dostaneme P(A) = 36 = 12.
Protoˇze B = A dostaneme uˇzit´ım vlastnosti pravdˇepodobnosti VP6 P(B) = P(A) =
1−P(A) = 1− 12 = 12.
Pˇr´ıklad 2.7 H´az´ıme dvˇema stejn´ymi mincemi, kter´e nedovedeme rozliˇsit. Jak´a je
pravdˇepodobnost jevu A, ˇze na obou minc´ıch padne l´ıc.
ˇReˇsen´ı:
a) Zavedeme element´arn´ı jevy
ω1 ... na obou minc´ıch padne l´ıc
ω2 ... na obou minc´ıch padne rub
ω3 ... na jedn´e minci padne l´ıc a na jedn´e rub.
Pak Ω = {ω1,ω2,ω3}, A = ω1 a uˇzit´ım klasick´e pravdˇepodobnosti bychom
dostali P(A) = 13.
b) Mince form´alnˇe oˇc´ıslujeme, abychom je byli schopni rozliˇsit a uvedeme ele-
ment´arn´ı jevy
ω∗1 = [L,L] na 1 minci padne l´ıc a na druh´e l´ıc
ω∗2 = [L,R] na 1 minci padne l´ıc a na druh´e rub
ω∗3 = [R,L] na 1 minci padne rub a na druh´e l´ıc
ω∗4 = [R,R] na 1 minci padne rub a na druh´e rub
Pak Ω = {ω∗1,ω∗2,ω∗3,ω∗4},A = ω∗1 a klasick´a pravdˇepodobnost jevu A je P(A) = 14.
D˚uvodem rozd´ıln´ych v´ysledk˚u v ˇreˇsen´ı a) a b) je neopr´avnˇen´e pouˇzit´ı klasick´e
pravdˇepodobnosti v bodˇe a). Ze zkuˇsenosti v´ıme, ˇze element´arn´ı jev ω3 nast´av´a
pˇri opakov´an´ı hodu dvˇema mincemi pˇribliˇznˇe dvakr´at ˇcastˇeji neˇz element´arn´ı jev
ω1.
Pˇr´ıklad 2.8 Hod´ıme n kr´at ide´aln´ı hrac´ı kostkou. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze
a) ˇsestka padne pr´avˇe jednou (n´ahodn´y jev A1)
b) ˇsestka padne v kaˇzd´em hodu (n´ahodn´y jev B)
c) ˇsestka padne pr´avˇe i kr´at (n´ahodn´y jev Ai) i = 1,2,...,Ai
d) ˇsestka padne aspoˇn jednou (n´ahodn´y jev A)
e) ˇseska nepadne (n´ahodn´y jev A0)
20
ˇReˇsen´ı: Protoˇze jde o nez´avisle opakovan´e hody ide´aln´ı kostkou, pouˇzijeme klasickou
pravdˇepodobnost. V kaˇzd´em hodu je 6 moˇzn´ych v´ysledk˚u, tud´ıˇz v n hodech je 6n
moˇzn´ych v´ysledk˚u a tedy card(Ω) = 6n.
a) Zavedeme jev Bi, ˇze ˇsestka padne v hodu ˇc´ıslo i a v ostatn´ıch hodech nepadne,
i = 1,2...,n. Zˇrejmˇe card(Bi) = 5n−1, protoˇze v i-t´em hodu mus´ı padnout
ˇc´ıslo 6 a v ostatn´ıch n − 1 hodech m˚uˇze padnout kter´ekoliv z ˇc´ısel 1,2,3,4,5.
Jevy B1,...,Bn jsou nesluˇciteln´e
A1 = B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn a P(Bi) = card(Bi)card(Ω) = 5n−16n . Proto uˇzit´ım axiomu A3
dostaneme
P(A1) = P(∪ni=1Bi) =
nsummationdisplay
i=1
P(Bi) =
nsummationdisplay
i=1
5n−1
6n =
n5n−1
6n .
b) Zˇrejmˇe B je element´arn´ı jev a proto P(B) = 16n.
c) Poˇcet pˇr´ızniv´ych v´ysledk˚u jevu Ai stanov´ıme tak, ˇze nejdˇr´ıve parenleftbigniparenrightbig zp˚usoby
vybereme z n hod˚u i hod˚u, v nichˇz padne ˇc´ıslo 6 a v ostatn´ıch n − i hodech
m˚uˇze padnout kter´ekoliv z ˇc´ısel 1,2,...,5. Tedy tˇechto n−i hod˚u m˚uˇzeme m´ıt
5n−i r˚uzn´ych v´ysledk˚u a kdyˇz tyto v´ysledky kombinujeme s v´ybˇerem i-hod˚u,
kde padnou ˇsestky dostaneme
card(A) =
parenleftbiggn
i
parenrightbigg
·5n−i.
Odtud
P(Ai) =
parenleftbign
i
parenrightbig·5n−i
6n =
parenleftbiggn
i
parenrightbiggparenleftbigg1
6
parenrightbiggiparenleftbigg5
6
parenrightbiggn−i
,
i = 1,2,...,n.
d) Protoˇze B = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An a jevy A1,...,An jsou po dvou nesluˇciteln´e
dostaneme uˇzit´ım axiomu A3
P(B) = P(
nuniondisplay
i=1
Ai) =
nsummationdisplay
i=1
P(Ai) =
nsummationdisplay
i=1
parenleftbiggn
i
parenrightbiggparenleftbigg1
6
parenrightbiggiparenleftbigg5
6
parenrightbiggn−i
Odtud pomoc´ı binomick´e vˇety dostaneme
P(B) =
nsummationdisplay
i=0
parenleftbiggn
i
parenrightbiggparenleftbigg1
6
parenrightbiggiparenleftbigg5
6
parenrightbiggn−i
−
parenleftbigg5
6
parenrightbiggn
=
parenleftbigg1
6 +
5
6
parenrightbiggn
−
parenleftbigg5
6
parenrightbiggn
= 1−
parenleftbigg5
6
parenrightbiggn
.
e) Poˇcet pˇr´ızniv´ych v´ysledk˚u jevu A0 je 5n, protoˇze v kaˇzd´em hodu m˚uˇze padnout
kter´ekolivˇc´ıslo 1,2,...,5, aby nastal v´ysledek pˇr´ızniv´y jevuA0. ProtoP(A0) =
5n
6n = (
5
6)
n.
21
Srovn´an´ım v´ysledk˚u v bodˇe d) a e) je vidˇet, ˇze pravdˇepodobnost jevu B bylo moˇzn´e
poˇc´ıtat jednoduˇseji. Protoˇze B = A0 dostaneme uˇzit´ım vlastnosti VP5, ˇze P(B) =
P(A0) = 1−P(A0) = 1−(56)n.
Pˇr´ıklad 2.9 Urna obsahuje N koul´ı, K b´ıl´ych a N −K ˇcerven´ych. Z urny n´ahodnˇe
bez opakov´an´ı vybereme n koul´ı. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze mezi vybran´ymi je
pr´avˇe x koul´ı b´ıl´ych (jev Ax)
ˇReˇsen´ı:
a) Pˇredpokl´adejme, ˇze koule vyb´ır´ame po jedn´e. Pak prostor element´arn´ıch jev˚u
Ω je tvoˇren variacemi bez opakov´an´ı n-t´e tˇr´ıdy vybran´ych z N prvk˚u a tedy
cardΩ = N(N − 1)...(N − n + 1) = N!(N−n)!. Jev Ax nastane, kdyˇz v dan´e
posloupnosti vybran´ych n prvk˚u bude pr´avˇe v x taz´ıch vytaˇzena b´ıl´a koule
a v n − x taz´ıch vytaˇzena b´ıl´a koule. ˇC´ısla tah˚u x b´ıl´ych koul´ı lze vybrat z
n tah˚u parenleftbignxparenrightbig zp˚usoby. V uveden´ych x taz´ıch lze vyt´ahnout b´ıl´e koule K(K −
1)...(K − x + 1) = K!(K−x)! zp˚usoby a ˇcern´e koule v n − x taz´ıch lze vybrat
(N−K)(N−K−1)...(N−K−(n−x)+1) = (N−K)!(N−k−(n−x))! zp˚usoby. Je proto
card(Ax) = parenleftbignxparenrightbig K!(K−x)! (N−K)!(N−K−(n−x)! a P(Ax) = parenleftbignxparenrightbig K!(K−x)! (N−K)!(N−K−(n−x)! (N−n)!N!
b) Pˇredpokl´adejme, ˇze z´aroveˇn n´ahodnˇe vybereme z urny n koul´ı. Pak Ω je
tvoˇreno mnoˇzinou kombinac´ı bez opakov´an´ı K-t´e tˇr´ıdy z N prvk˚u a tedy
card(Ω) = parenleftbigNkparenrightbig. D´ale v´ybˇer x b´ıl´ych koul´ı z K b´ıl´ych lze prov´est parenleftbigKxparenrightbig zp˚usoby
a v´ybˇer (n−x) ˇcern´ych koul´ı z N −k ˇcern´ych koul´ı lze prov´est parenleftbign−kn−xparenrightbig zp˚usoby.
Tedy celkem dost´av´ame card(Ax) = parenleftbigkxparenrightbigparenleftbign−kn−xparenrightbig a pro pravdˇepodobnost P(Ax)
m´ame P(Ax) = (
K
x)(
n−k
n−x)
(Nx) .
´Upravou v´ysledku uveden´eho v bodˇe a) postupnˇe dostaneme
P(Ax) = parenleftbignxparenrightbig K!(K−x)! (N−K)!(N−K−(n−x)! (N−n)!N! = K!X!(k−x)! (N−K)!(n−x)!(N−K−(n−x)! n!(N−n)!N! = (
K
x)(
N−K
n−x)
(Nn) .
A tedy v´ysledky v bodˇe a) a b) jsou shodn´e. Je lhostejno, zda v dan´em pokuse koule
vyb´ır´ame z´aroveˇn nebo po jedn´e a nevrac´ıme. Uveden´y model se vyuˇz´ıv´a v teorii
v´ybˇerov´ych ˇsetˇren´ı. Jeho speci´aln´ı pˇr´ıpad pro N = 49,K = 6 a n = 6 odpov´ıd´a
losov´an´ı ve Sportce, jev A6 odpov´ıd´a v´yhˇre v prvn´ım poˇrad´ı, A5 ve druh´em poˇrad´ı
atd. Jev A2 ∪A3 ∪A0 odpov´ıd´a situaci, kdy dan´a s´azenka nevyhr´av´a.
Pˇr´ıklad 2.10 Urna obsahuje a koul´ı b´ıl´ych a b koul´ı ˇcern´ych. 2 kr´at po sobˇe vy-
t´ahneme po jedn´e kouli, pˇriˇcemˇz prvn´ı vytaˇzenou kouli nevrac´ıme zpˇet. Jak´a je
pravdˇepodobnost, ˇze druh´a vytaˇzen´a koule je b´ıl´a.
ˇReˇsen´ı: Zavedeme jevy A1 – prvn´ı vytaˇzen´a koule je b´ıl´a a A2, ˇze druh´a vytaˇzen´a
koule je b´ıl´a. Pak postupn´ymi ´upravami dostaneme
22
P(A2) = P(A2 ∩ Ω) = P(A2 ∩ (A1 ∪ A1)) = P((A2 ∩ A1) ∪ (A2 ∩ A1)) = P(A1 ∩
A2) +P(A1 ∩A2).
Snadno zjist´ıme, ˇze P(A1 ∩ A2) = a(a−1)(a+b)(a+b−1) a P(A1 ∩ A2) = b·a(a+b)(a+b−1). Odtud
dosazen´ım do vztahu pro P(A2) dostaneme
P(A2) = a(a−1)(a+b)(a+b−1) + a·b(a+b)(a+b−1) = aa+b.
Vˇsimnˇeme si, ˇze plat´ı P(A2) = aa+b = P(A1) a tedy pravdˇepodobnost vytaˇzen´ı b´ıl´e
koule ve druh´em tahu je stejn´a, jako pravdˇepodobnost vytaˇzen´ı b´ıl´e koule v prvn´ım
tahu.
Geometrick´a pravdˇepodobnost
Geometrickou pravdˇepodobnost je moˇzn´e povaˇzovat za zobecnˇen´ı klasick´e pravdˇe-
podobnosti pro pˇr´ıpad, ˇze prostor element´arn´ıch jev˚u Ω nen´ı koneˇcn´a mnoˇzina,
ale je tvoˇrena nˇejak´ym intervalem na pˇr´ımce s kladnou d´elkou nebo mnoˇzinou v
rovinˇe s kladn´ym obsahem nebo mnoˇzinou v prostoru (trojrozmˇern´em) s kladn´ym
objemem apod. Oznaˇcme symbolem m(A) d´elku respektive obsah respektive ob-
jem mnoˇziny A, je-li A interval na pˇr´ımce respektive podmnoˇzina roviny respek-
tive podmnoˇzina prostoru. Obecnˇe se m(A) naz´yv´a m´ırou mnoˇziny A. Pak geo-
metrickou pravdˇepodobost jevu A ⊂ Ω zav´ad´ıme v pˇr´ıpadˇe, ˇze 0 < m(Ω) < ∞
vztahem P(A) = m(A)m(Ω) pro A ∈ A, pˇriˇcemˇz jevov´a σ – algebra je borelovsk´a (viz
odstavec 2.2 pro pˇr´ıpad, ˇze Ω je interval na pˇr´ımce nebo viz [14] v obecn´em pˇr´ıpadˇe).
Z vlastnosti m(A) plyne, ˇze zaveden´a geometrick´a pravdˇepodobnost vyhovuje ax-
iom˚um A1,A2,A3 a je tedy speci´aln´ım pˇr´ıpadem axiomatick´e pravdˇepodobnosti.
Jej´ı pouˇzit´ı uk´aˇzeme na pˇr´ıkladech.
Pravdˇepodobnost definovan´a pomoc´ı v´ahov´ych pravdˇepodobnost´ı
element´arn´ıch jev˚u
Budeme vych´azet ze situace, ˇze prostor element´arn´ıch jev˚u Ω je koneˇcn´a nebo
spoˇcetn´a mnoˇzina, kterou zap´ıˇseme ve tvaru Ω = {ω1,ω2,...}. D´ale budeme pˇred-
pokl´adat, ˇze element´arn´ı jevy ω maj´ı zn´am´e pravdˇepodobnosti P(ω) ≥ 0,ω ∈ Ω
a plat´ı, ˇze summationtextω∈Ω P(ω) = 1. Pak n´ahodn´emu jevu A lze pˇriˇradit pravdˇepodobnost
P(A) = summationtextω∈A P(ω), kde se sˇc´ıtaj´ı pravdˇepodobnosti vˇsech element´arn´ıch jev˚u, kter´e
jsou pˇr´ızniv´e jevu A. Lze uk´azat,ˇze takto zaveden´a pravdˇepodobnost splˇnuje axiomy
A1, A2 a A3 a je tedy pravdˇepodobnost´ı ve smyslu axiomatick´e definice. Pouˇzit´ı t´eto
pravdˇepodobnosti uk´aˇzeme na pˇr´ıkladˇe.
Pˇr´ıklad 2.11 Pˇredpokl´adejme, ˇze h´az´ıme nesymetrickou kostkou, kde ˇc´ıslo 1 pad´a
s pravdˇepodobnost´ı 19, ˇc´ıslo 6 s pravdˇepodobnost´ı 29 a kaˇzd´e z ostatn´ıch ˇc´ısel s
pravdˇepodobnost´ı 16. Stanovte pravdˇepodobnost jevu A, ˇze po hodu padne sud´e
ˇc´ıslo.
ˇReˇsen´ı: Zˇrejmˇe Ω = {ω1,...,ω6} a P(ω1) = 19,P(ω2) = P(ω3) = P(ω4) = P(ω5) = 16
a P(ω6) = 29. Pak A = {ω2,ω4,ω6} a pro P(A) dostaneme P(A) = P(ω2)+P(ω4)+
P(ω6) = 16 + 16 + 29 = 59.
23
Je zˇrejm´e,ˇze uveden´a pravdˇepodobnost vznikla rozˇs´ıˇren´ım klasick´e pravdˇepodobnosti
opuˇstˇen´ım pˇredpokladu ”stejn´e moˇznosti” element´arn´ıch jev˚u, tj. pˇripuˇstˇen´ım moˇznosti,
ˇze aspoˇn pro jedno ω ∈ Ω je P(ω) negationslash= 1N. Nav´ıc nen´ı nutn´e pˇredpokl´adat, ˇze Ω je
koneˇcn´a mnoˇzina, ale Ω m˚uˇze b´yt mnoˇzinou nekoneˇcnou, ale spoˇcetnou.
24
Literatura
[1] Hanousek, J., Charamca, P.: Modern´ı metody zpracov´an´ı dat - matematick´a
statistika pro kaˇzd´eho. GRADA a. s. Praha 1992 ISBN 80-85623-31-5.
[2] Swoboda, H.: Modern´ı statistika. Svoboda, Praha 1974.
[3] Wonnacot T.H., Wonnacot R.J.: Statistika pro obchod a hospod´aˇrstv´ı. Victoria
Publishing. Praha ISBN 80-85605-09-0.
[4] Andˇel, J.: Statistick´e metody. Matfyzpross. Praha 1993.
[5] Bud´ıkov´a, M., Mikol´aˇs, ˇS. a Oseck´y, P.: Popisn´a statistika. MU Brno, 2001.
ISBN 80-210-1831-3.
[6] Likeˇs, J. a Machek, J.: Poˇcet pravdˇepodobnosti. SNTL Praha 1981.
[7] Nov´ak, I. a kol.: Statistika v obchodˇe. SNTL Praha 1973.
[8] McClave, J. T. and Dietrich, F. H.: Statistics. Dellen Publishing Company. San
Francisco, 1991. Fifth edition. ISBN 0-02-379185-3.
[9] Fiss, M:: Rachunek prawdopodobie´nstwa i statystyka matematyczna.
Warszawa. PWN 1967.
[10] Jarn´ık, V.: Diferenci´aln´ı poˇcet I. NˇCSAV. Praha, 1963.
[11] Mises von, R.: Mathematical Theory of Probability and Statistics. Edited and
complemented by H.Geiringer. New York and London. Acad. Press 1964.
[12] Tutubatin, V. N.: Teorie pravdˇepodobnosti. SNTL praha, 1978.
[13] Kolmogorov, A. N.: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer-
Verbag, Berlin, 1933.
[14] Dupaˇc, V. a Huˇskov´a, M.: Pravdˇepodobnost a matematick´a statistika. UK v
Praze, Nakladatelstv´ı Karolinum, Praha 1999. ISBN 80-246-0009-9.
[15] Mich´alek, J.: ´Uvod do teorie pravdˇepodobnosti a matematick´e statistiky. SPN
Praha, 1984.
25
26
[16] Gnˇedˇenko, B. V.: Kurs t´eorii verojatnostˇej. Moskva 1954. (rusky)
[17] Lord, W.: Die Titanic Katastropphe. M¨unchen: Heyene Verbung 1998
[18] Heb´ak, P.: Rozhodov´an´ı podnikatel˚u pˇri riziku VˇSE Praha, 1993.