Skripta matematika3

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA




MATEMATIKA III
Pavel Burda
Jarmila Doležalová



Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů
CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016
Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro předměty teoretického
základu studia.
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem
a státním rozpočtem České republiky
ESF – ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY























ISBN 80-248-1195-2

OBSAH

Úvod ....................................................................................................................... 6

POKYNY KE STUDIU ............................................................................................ 7

1. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL...................................................... 10

1.1. Dvojrozměrný integrál v obdélníku............................................................ 10
Kontrolní otázky.................................................................................................... 20
Kontrolní test ........................................................................................................ 22
Shrnutí lekce......................................................................................................... 24

1.2. Dvojrozměrný integrál v obecné uzavřené oblasti ................................... 25
Kontrolní otázky.................................................................................................... 38
Kontrolní test ........................................................................................................ 40
Shrnutí lekce......................................................................................................... 42

1.3. Transformace v dvojrozměrném integrálu ................................................ 44
Kontrolní otázky.................................................................................................... 54
Kontrolní test ........................................................................................................ 56
Shrnutí lekce......................................................................................................... 58

1.4. Aplikace dvojrozměrného integrálu........................................................... 59
1.4.1 Objem tělesa ............................................................................................... 59
1.4.2. Obsah rovinné oblasti normální vzhledem k ose x, resp. y......................... 63
1.4.3. Obsah plochy.............................................................................................. 67
1.4.4. Fyzikální aplikace ....................................................................................... 70
Kontrolní otázky.................................................................................................... 74
Kontrolní test ........................................................................................................ 76
Shrnutí lekce......................................................................................................... 77

2. TROJROZMĚRNÝ (TROJNÝ) INTEGRÁL ...................................................... 78

2.1. Trojrozměrný integrál v kvádru .................................................................. 78
Kontrolní otázky.................................................................................................... 84
Kontrolní test ........................................................................................................ 86
Shrnutí lekce......................................................................................................... 88

2.2. Trojrozměrný integrál v obecné uzavřené oblasti .................................... 89
Kontrolní otázky.................................................................................................... 96
Kontrolní test ........................................................................................................ 98
Shrnutí lekce....................................................................................................... 100

2.3 Transformace v trojrozměrném integrálu................................................. 102
2.3.1. Transformace do válcových souřadnic ..................................................... 103
2.3.2. Transformace do sférických souřadnic ..................................................... 106
Kontrolní otázky.................................................................................................. 110
Kontrolní test ...................................................................................................... 112
Shrnutí lekce....................................................................................................... 114




2.4. Aplikace trojrozměrného integrálu........................................................... 114
2.4.1. Objem tělesa ............................................................................................ 115
2.4.2 Fyzikální aplikace ...................................................................................... 118
Kontrolní otázky.................................................................................................. 125
Kontrolní test ...................................................................................................... 127
Shrnutí lekce....................................................................................................... 129

3. VEKTOROVÁ ANALÝZA............................................................................... 130

3.1. Vektorová funkce....................................................................................... 130
Kontrolní otázky.................................................................................................. 140
Kontrolní test ...................................................................................................... 142
Shrnutí lekce....................................................................................................... 145

3.2. Skalární pole .............................................................................................. 146
Kontrolní otázky.................................................................................................. 153
Kontrolní test ...................................................................................................... 154
Shrnutí lekce....................................................................................................... 156

3.3. Vektorové pole........................................................................................... 158
Kontrolní otázky.................................................................................................. 164
Kontrolní test ...................................................................................................... 165
Shrnutí lekce....................................................................................................... 167

3.4. Operace druhého řádu .............................................................................. 168
Shrnutí lekce....................................................................................................... 172

4. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL.................................................................................. 173

4.1. Křivka a její orientace................................................................................ 173
Kontrolní otázky.................................................................................................. 179
Kontrolní test ...................................................................................................... 181
Shrnutí lekce....................................................................................................... 183

4.2. Zavedení křivkového integrálu ................................................................. 185
Shrnutí lekce....................................................................................................... 187

4.3. Výpočet a vlastnosti křivkových integrálů .............................................. 188
Kontrolní otázky.................................................................................................. 205
Kontrolní test ...................................................................................................... 207
Shrnutí lekce....................................................................................................... 209

4.4. Greenova věta............................................................................................ 210
Kontrolní otázky.................................................................................................. 214
Kontrolní test ...................................................................................................... 216
Shrnutí lekce....................................................................................................... 218

4.5. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě............................ 220
Kontrolní otázky.................................................................................................. 228
Kontrolní test ...................................................................................................... 230
Shrnutí lekce....................................................................................................... 233




4.6. Aplikace křivkového integrálu.................................................................. 234
4.6.1. Obsah válcové plochy............................................................................... 235
4.6.2. Délka křivky .............................................................................................. 237
4.6.3. Obsah rovinné oblasti............................................................................... 238
4.6.4. Práce síly po křivce................................................................................... 240
4.6.5. Cirkulace vektorového pole ...................................................................... 243
4.6.6. Hmotnost oblouku křivky........................................................................... 246
4.6.7. Statické momenty a souřadnice těžiště křivky .......................................... 248
4.6.8. Momenty setrvačnosti křivky..................................................................... 250
Kontrolní otázky.................................................................................................. 251
Kontrolní test ...................................................................................................... 253
Shrnutí lekce....................................................................................................... 255

5. PLOŠNÝ INTEGRÁL...................................................................................... 256

5.1. Plocha a její orientace............................................................................... 256
Kontrolní otázky.................................................................................................. 259
Shrnutí lekce....................................................................................................... 261

5.2. Zavedení plošného integrálu .................................................................... 261
Shrnutí lekce....................................................................................................... 263

5.3. Výpočet a vlastnosti plošných integrálů ................................................. 264
Kontrolní otázky.................................................................................................. 275
Kontrolní test ...................................................................................................... 278
Shrnutí lekce....................................................................................................... 280

5.4. Gauss-Ostrogradského věta, Stokesova věta......................................... 280
Kontrolní otázky.................................................................................................. 286
Kontrolní test ...................................................................................................... 288
Shrnutí lekce....................................................................................................... 290

5.5. Aplikace plošného integrálu..................................................................... 291
5.5.1. Obsah plochy............................................................................................ 292
5.5.2. Objem tělesa ............................................................................................ 294
5.5.3. Hmotnost plochy....................................................................................... 296
5.5.4. Statické momenty a souřadnice těžiště plochy ......................................... 298
5.5.5. Momenty setrvačnosti plochy ................................................................... 301
5.5.6. Tok vektorového pole plochou.................................................................. 302
Kontrolní otázky.................................................................................................. 304
Kontrolní test ...................................................................................................... 306
Shrnutí lekce....................................................................................................... 308

Literatura........................................................................................................... 309

Matematika III Úvod
- 6 -

STUDIJNÍ OPORY S PŘEVAŽUJÍCÍMI DISTANČNÍMI PRVKY PRO PŘEDMĚTY
TEORETICKÉHO ZÁKLADU STUDIA
je název projektu, který uspěl v rámci první výzvy Operačního programu Rozvoj lidských
zdrojů. Projekt je spolufinancován státním rozpočtem ČR a Evropským sociálním fondem.
Partnery projektu jsou Regionální středisko výchovy a vzdělávání, s.r.o. v Mostě, Univerzita
obrany v Brně a Technická univerzita v Liberci. Projekt byl zahájen 5.1.2006 a bude ukončen
4.1.2008.
Cílem projektu je zpracování studijních materiálů z matematiky, deskriptivní geometrie,
fyziky a chemie tak, aby umožnily především samostatné studium a tím minimalizovaly počet
kontaktních hodin s učitelem. Je zřejmé, že vytvořené texty jsou určeny studentům všech
forem studia. Studenti kombinované a distanční formy studia je využijí k samostudiu, studenti
v prezenční formě si mohou doplnit získané vědomosti. Všem studentům texty pomohou při
procvičení a ověření získaných vědomostí. Nezanedbatelným cílem projektu je umožnit
zvýšení kvalifikace širokému spektru osob, které nemohly ve studiu na vysoké škole
z různých důvodů (sociálních, rodinných, politických) pokračovat bezprostředně po maturitě.
V rámci projektu jsou vytvořeny jednak standardní učební texty v tištěné podobě,
koncipované pro samostatné studium, jednak e-learningové studijní materiály, přístupné
prostřednictvím internetu. Součástí výstupů je rovněž banka testových úloh pro jednotlivé
předměty, na níž si studenti ověří, do jaké míry zvládli prostudované učivo.
Bližší informace o projektu můžete najít na adrese http://www.studopory.vsb.cz/.
Přejeme vám mnoho úspěchů při studiu a budeme mít radost, pokud vám předložený text
pomůže při studiu a bude se vám líbit. Protože nikdo není neomylný, mohou se i v tomto
textu objevit nejasnosti a chyby. Předem se za ně omlouváme a budeme vám vděčni, pokud
nás na ně upozorníte.

ESF – ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY

Matematika III Pokyny ke studiu

POKYNY KE STUDIU
V úvodu si vysvětlíme jednotnou pevnou strukturu každé kapitoly textu, která by vám
měla pomoci k rychlejší orientaci při studiu. Pro zvýraznění jednotlivých částí textu jsou
používány ikony a barevné odlišení, jejichž význam nyní objasníme.

Průvodce studiem
vás stručně seznámí s obsahem dané kapitoly a s její motivací. Slouží také k instrukci, jak
pokračovat dál po vyřešení kontrolních otázek nebo kontrolních textů.

Cíle
vás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování
měli umět.

Předpokládané znalosti
shrnují stručně učivo, které byste měli znát ještě dříve než kapitolu začnete studovat. Jsou
nezbytným předpokladem pro úspěšné zvládnutí následující kapitoly.

Výklad
označuje samotný výklad učiva dané kapitoly, který je členěn způsobem obvyklým
v matematice na definice, věty, případně důkazy.

Definice 1.1.1.
Zavádí základní pojmy v dané kapitole.

Věta 1.1.1.
Uvádí základní vlastnosti pojmů zavedených v dané kapitole.

Důkaz: Vychází z předpokladů věty a dokazuje tvrzení uvedené ve větě.
- 7 -
Matematika III Pokyny ke studiu

Poznámka
neformálně komentuje vykládanou látku..

Řešené úlohy
označují vzorové příklady, které ilustrují probrané učivo.
Příklad Uvádí zadání příkladu.
Řešení: Uvádí podrobné řešení zadaného příkladu.

Úlohy k samostatnému řešení
obsahují zadání příkladů k procvičení probraného učiva. Úlohy označené µ patří
k obtížnějším a jsou určeny zájemcům o hlubší pochopení tématu.

Výsledky úloh k samostatnému řešení
obsahují správné výsledky předchozích příkladů, slouží ke kontrole správnosti řešení.

Kontrolní otázky
obsahují soubor otázek k probranému učivu včetně několika odpovědí, z nichž je vždy
alespoň jedna správná.

Odpovědi na kontrolní otázky
uvádějí správné odpovědi na kontrolní otázky.

Kontrolní test
obsahuje soubor příkladů k probranému učivu.

Výsledky testu
uvádějí správné odpovědi na příklady kontrolního testu.
- 8 -
Matematika III Pokyny ke studiu

Shrnutí lekce
obsahuje stručný přehled učiva, které by měl student po prostudování příslušné kapitoly
zvládnout.

Literatura
obsahuje seznam knih, které byly použity při tvorbě příslušného textu a na které byly
případně uvedeny odkazy k hlubšímu prostudování tématu.

Piktogram, který upozorňuje na důležité vztahy nebo vlastnosti, které je nezbytné si
zapamatovat.

µ Označuje příklad (řešený nebo k samostatnému řešení), který je obtížnější a slouží proto
k hlubšímu studiu.

Takto podbarvený text je určen k hlubšímu studiu daného problému, obvykle není
předmětem zkoušky.

- 9 -
Matematika III Dvojrozměrný integrál

10 - 10 -

1. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
Průvodce studiem
V prvním ročníku jste se seznámili s integrálním počtem funkce jedné proměnné. Poznali
jste pojem primitivní funkce a její vztah k neurčitému integrálu, základní metody výpočtu
neurčitého integrálu. Metodou dělení intervalu byl zaveden Riemannův určitý integrál a
pomocí Newton – Leibnizovy věty jste se jej naučili počítat. V závěru jste se zabývali
využitím integrálního počtu v matematice a fyzice.
Stejně jako jsme v prvním ročníku rozšířili pojmy diferenciálního počtu funkce jedné
proměnné na funkce dvou a více proměnných, zavedeme i pojem integrálního počtu funkcí
dvou proměnných na základě analogií s integrálním počtem funkce jedné proměnné.
Získáme tak pojem dvojrozměrný integrál, který uvedl v roce 1769 jako první švýcarský
matematik Leonhard Euler. Naučíme se dvojrozměrný integrál počítat a ukážeme si jeho
využití v matematice a fyzice.

Cíle
V první kapitole zavedeme dvojrozměrný integrál v obdélníku a obecné rovinné oblasti a
nau