Skripta matematika3

2
26xyy5= +−−, které ohraničují
oblast zleva, resp. zprava. Ω
Oblast Ω zapíšeme jako oblast II. typu, normální vzhledem k ose y, takto:
22
:15
26 5 26 5
y
yy x yy
Ω≤≤
−−−≤≤+−−.

Platí:
2
2
22
26 5
434 5
01
34 26 5
(, ) (, ) .
yy
xx
xx yy
dx f x y dy dy f x y dx
+−−
+−
−− −−−
=
∫∫ ∫ ∫


Poznámka
Je zřejmé, že vyjádření integračních mezí pro kruh je v kartézských souřadnicích
komplikované. Později si ukážeme jednodušší způsob pro určení mezí v případě, kdy
integrační oblastí je kruh.

Úlohy k samostatnému řešení
1. Určete integrační meze pro (, )f x y dxdy
Ω
∫∫
jednodušším z obou způsobů, jestliže Ω je
a) čtyřúhelník o vrcholech (2,1), (6, 2), (6, 2), (2,5),−
b) čtyřúhelník o vrcholech (2,5), (2,1), (6, 2), (6,7),−
c) čtyřúhelník o stranách 1, 2, , 2 ,x xyxy====x
,xy x+−= −=−=
xyx==−=−−

d) trojúhelník o stranách xy 230, 1, 40
e) trojúhelník o stranách yy 0, 2, 2,
f) lichoběžník s vrcholy (1,1), (3,1), (2,2), (1,2),
g) rovnoběžník s vrcholy (0,1), (1, 3), (1, 6), (0, 4).
2. Určete integrační meze pro (, )f x y dxdy
Ω
∫∫
oběma způsoby, jestliže Ω je
a) ohraničena křivkou
22
4,xy+=
b) ohraničena čarami a
22
1yx−=
22
9,xy+ = přičemž obsahuje bod (0 µ ,0),
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 34 -
c) ohraničena čarami
1
2, , 2( 0, 0).
2
yxy xxy x y== =≥≥
3. Zaměňte pořadí integrace:
a) f)
24
13
(, ) ,dy f x y dx
∫∫
2
3
13
2
00 1 0
(, ) (, ) ,
x
x
dx f x y dy dx f x y dy
−
+
∫∫ ∫∫

b) g)
26
02
(, ) ,
x
x
dx f x y dy
−
∫∫
11
00
(, ) ,
y
dy f x y dx
−
∫∫

c)
3
1
0
(, ) ,
x
x
dx f x y dy
∫∫
h)
2
00
(, ) ,
x
dx f x y dy
∫∫

d)
2
11
10
(, ) ,
x
dx f x y dy
−
−
∫∫
i)
2
01
(, ) ,
y
e
dy f x y dx
∫∫
e)
2
11
0
1
(, ) ,
y
y
dy f x y dx
−
−−
∫∫
µ j)
2
2
1
2 4
2
1
4
(, ) .
x
x
dx f x y dy
−
−
−−
∫∫


Výsledky úloh k samostatnému řešení
1. a)
35 31
26;
42 4 2
xxyx≤≤− +≤≤− +
3
; b)
35 1
26;
42 2
4x xyx≤ ≤− +≤≤ +;
c) 12, 2x xy x≤≤ ≤≤ ; d)
513
4, 1
322
x xyx≤≤− +≤≤−; e) 20,2yyxy2− ≤≤−−≤≤+;
f) 12 ; g) 01 ,14yx≤≤ ≤≤−y 4.,212xxyx≤≤ +≤≤ +
2. a)
22
22,4 4x xy x−≤≤ − − ≤ ≤ − nebo
22
22,4 4y yx y−≤≤−−≤≤−;
b)
22
1
:3 2, 9 9 ,x xy xΩ−≤≤−− − ≤≤ −
22
2
:2 2, 1 1 ,x xy xΩ−≤≤ −+ ≤≤+
22
3
:2 3, 9 9x xy xΩ≤≤−−≤≤− nebo
1
:5 1,yΩ −≤≤− ,y9x1y
22
−≤≤−
22
2
:5 1, 9 1,yyyxΩ− ≤≤−− − ≤≤− −
22
3
:1 1, 9 9 ,yyxyΩ−≤≤− − ≤≤ −
22
4
:1 5, 9 1,yyxyΩ≤≤ −−≤≤− −
22
5
:1 5, 1 9y yxΩ≤≤ −≤≤−y;
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 35 -
c)
12
11
:0 1, 2 , :1 2,
22
xxyx x xy
2
x
Ω≤ nebo ≤ ≤≤ Ω≤≤ ≤≤
:0 1, 2 , :1 2, .yyxy y yx
y
Ω≤≤ ≤≤ Ω≤≤ ≤≤
3. a) ; b)
42
31
(, )dx f x y dy
∫∫
/2 646
00 40
(, ) (, )
yy
dy f x y dx dy f x y dx
−
+
∫∫ ∫∫
; c)
3
2
1
0
(, )
y
y
dy f x y dx
∫∫
;
d)
2
2
1
1
0
1
(, )
y
y
dy f x y dx
−
−−
∫∫
; e)
2
01 11
10 00
(, ) (, )
xx
dx f x y dy dx f x y dy
−−
−
+
∫∫ ∫∫
; f)
321
0
(, )
y
y
dy f x y dx
−
∫∫
;
g) ; h)
11
00
(, )
x
dx f x y dy
−
∫∫
2
22
0
(, )
y
dy f x y dx
∫∫
; i) ; j)
2
2
1ln
(, )
e
x
dx f x y dy
∫∫
2
2
21
1
1
21
(, )
y
y
dy f x y dx
−
−
−−
∫∫
.

Vlastní výpočet dvojrozměrných integrálů si objasníme na příkladech.

Řešené úlohy

Příklad 1.2.6. Vypočtěte xydxdy
Ω
∫∫
, je-li oblast Ω ohraničena čarami
1
,a 2,(
2
yxyx x x== =≥2).
Řešení: Zakreslíme oblast , viz obr. 11. Ω
Řešením soustavy rovnic
1
,
2
y xy x== dostaneme postupně
22
1212
1
,4,40,(4)0,0,4,0,2
2
xxx xx x xx x x y y==−=−==== .=

Obr. 11
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 36 -
Přímka
1
2
y x= a křivka y= x (část paraboly v I. kvadrantu) se tedy pro
protínají v bodě Oblast
2x ≥
(4,2). Ω splňuje požadavky kladené na oblasti obou typů.
Vyjádříme ji jako oblast I. typu, normální vzhledem k ose x.
:2 4,
.
2
x
x
y x
Ω≤≤
≤≤

Nyní můžeme integrál vyřešit:
444 4
223
222 2
2
4
34
2
8
64 256 8 16 11
.
632 6 32 632 6
x
xx
x
xx
yxx
xydxdy dx xydy xdx ydy x dx dx
xx
Ω
⎡⎤ ⎛ ⎞
=== =−⎜⎟
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦ ⎝ ⎠
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
=− =− −−=
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
=

Proveďte sami záměnu pořadí integrace (oblast Ω zapište jako oblast II. typu,
normální vzhledem k ose y).

Příklad 1.2.7. Vypočtěte
2
(2 ) ,x ydxdy
Ω
−
∫∫
je-li oblast Ω ohraničena přímkami
1, 1 a 3yxyxy=− =+ =.
Řešení:
x
y
0
1
3
(2,3)
(-2,3)
x=y-1x=1-y
y=3
Obr. 12
Z obr. 12 je zřejmé, že jednodušší bude vyjádřit oblast Ω jako oblast II. typu,
normální vzhledem k ose y. Při zápisu jako oblast I. typu, normální vzhledem k ose x,
bychom oblast museli rozdělit na dvě podoblasti přímkou , podobně jako Ω 0x =
v příkladu 1.2.2.
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 37 -
:1 3,
11
y
yxy
Ω≤≤
−≤≤−.

Integrál převedeme na dvojrozměrný integrál podle vztahu (4b):
133
1
222
1
11 1
3
33
34
23 3 2 3
11
1
(2 ) (2 )
26
((1 2 2 ) (1 2 )) (2 2 ) .
32 3
y
y
y
y
x y dxdy dy x y dx x y x dy
yy
yyy yydy y ydy
−
−
−
Ω−
⎡⎤
−= −=− =
⎣⎦
⎡⎤
=−+−−−+ = − = − =−
⎢⎥
⎣⎦
∫∫ ∫ ∫ ∫
8


Úlohy k samostatnému řešení
4. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v oblasti Ω :
a)
2
(5 2 ) , je Δ ,(0,0),(2,0),(0,1xxydxy ABCABC
Ω
−Ω ===
∫∫
),
b)
32 2 2
, je dána nerovnicí 4,x y dxdy x y
Ω
Ω +≤
∫∫

c) ( ) , je ohraničena přímkami 0, , 2,x y dxdy y y x x y
Ω
−Ω ==+
∫∫
=
≥
=
d)
22
, je dána nerovnicemi 4 4, 0, 0,xy dxdy x y x y
Ω
Ω+≤
∫∫
e)
2
, je ohraničena čarami 2 , 2,xy dxdy y x x
Ω
Ω=
∫∫
f) , je dána nerovnicemi 1 2,
x
dxdy y x
y
Ω
Ω≤
∫∫
≤µ
g)
2
, je ohraničena čarami , 0, 1, 2,
x
y
edxdy y xx y y
Ω
Ω ====
∫∫

h)
2
, je dána nerovnicemi 2,
x
ye dxdy y x y
Ω
Ω ≤≤+
∫∫

i)
2
2
1
, je dána nerovnicemi 3, 4 , ,
x
dxdy x y x y
x
y
Ω
Ω≤≤
∫∫
≥
≥

j)
22
( ) , je dána nerovnicemi , 1, 0,x y dxdy y x x y
Ω
+Ω ≤≤
∫∫
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 38 -
k) , je ohraničena čarami 2 sin , 0, 0, 2 ,
3
x
dxdy x y x y y π
Ω
Ω =+ ===
∫∫

l) cos( ) , je dána nerovnicemi , 0, ,x y dxdy y x x y π
Ω
+Ω ≥≥
∫∫
≤
m)
2
6 , je ohraničena čarami 0, 2, ,xydxdy y x y x
Ω
Ω=
∫∫
=
n)
2
cos( ) , je ohraničena čarami 1, 2, , ,
2
xxydxdy xx y y
x
π π
Ω
Ω==
∫∫
=
o)
2
16
, je ohraničena čarami , , 8,xdxdy y y xx
x
Ω
Ω=
∫∫
=
p)
1
22
2
(1 ) , je ohraničena čarami , 4, 0, ( 0),x y dxdy y x y x x
−
Ω
+Ω ===
∫∫
≥
≤
µ
(zvažte pořadí integrace),
q)
22
(3 2 ) , : 1,x y dxdy x y
Ω
−Ω+
∫∫
r)
2
1
, je Δ ,(0,0),(1,),(0,1
1
dxdy ABC A B C
x
Ω
Ω===
+
∫∫
),
s) , je ohraničena čarami , 6 , 0,xy dxdy y x y x y
Ω
Ω==
∫∫
−=
t)
3
( 1) , je ohraničena čarami , .x dxdy y x y x
Ω
−Ω ==
∫∫


Výsledky úloh k samostatnému řešení
4. a) 3; b) 0; c)
2
3
; d)
1
2
; e) 0; f)
3
2ln2
4
− ; g)
2
3
2
e − ; h)
4
15
22
ee+ ; i)
1225
; j)
64
1
3
;
k)
3
2
π
; l) –2; m) 32; n)
2
π
− ; o) 576; p)
1
(17 1)
2
− ; q) 0; r)
1
ln 2
42
π
− ; s)
50
3
; t)
1
.
2
−

Kontrolní otázky
1. Uzavřená oblast je oblast v rovině nebo prostoru, která
a) je souvislá,
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 39 -
,
b) je souvislá a obsahuje všechny svoje hromadné body,
c) obsahuje všechny svoje hromadné body,
d) obsahuje všechny svoje izolované body.
2. Která z následujících množin je uzavřená oblast?
a) Kruh bez svého středu, b) čtverec bez vrcholů,
c) kruh, d) parabola.
3. Která z následujících oblastí je zapsána jako oblast I. typu, normální vzhledem k ose x ?
a) : 0 3,
03
y
x y
Ω≤≤
≤≤−

b) : 0 3,
03
x
,y x
Ω ≤≤
≤ ≤−

c) : 0 3 ,
03,
y x
x y
Ω≤≤−
≤≤−

d) : 0 3,
03
x
yxy .
Ω ≤≤
≤ ≤+=

4. Která z následujících oblastí je zapsána jako oblast II. typu, normální vzhledem k ose y ?
a) : 0 3,
03
y
,x y
Ω≤≤
≤≤−

b):0 3,
03
x
,y x
Ω ≤≤
≤ ≤−

c) : 0 3 ,
03,
y x
x y
Ω≤≤−
≤≤−

d) : 0 3,
03
x
yxy
Ω ≤≤
≤ ≤+=
5. Záměna pořadí integrace v znamená řešit tento integrál ve tvaru
2
1
()
()
(, )
hy
d
chy
dy f x y dx
∫∫
a) , b)
2
1
()
()
(, )
hy
d
chy
dx f x y dy
∫∫
2
1
()
()
(, )
hy
d
hy c
f x y dx dy
∫ ∫
,
c) , d) .
2
1
()
()
(, )
hy
d
hy c
dx f x y dy
∫∫
2
1
()
()
(, )
gx
b
agx
dx f x y dy
∫∫
6. Převést dvojrozměrný integrál (, )f x y dxdy
Ω
∫∫
, přičemž oblast Ω je I. typu, normální
vzhledem k ose x, na dvojnásobný, znamená zapsat jej ve tvaru
a) , b)
2
1
()
()
(, )
hy
d
chy
dy f x y dx
∫∫
2
1
()
()
(, )
hy
d
chy
f x y dy dx
∫ ∫
,
c) , d)
2
1
()
()
(, )
gx
b
agx
dx f x y dy
∫∫
2
1
()
()
(, )
gx
b
agx
f x y dx dy
∫ ∫
.
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 40 -
7. Který z následujících výrazů je správným zápisem dvojnásobného integrálu na oblasti Ω
I. typu?
a) xydxdy
Ω
∫∫
, b) ()x ydxdy
Ω
+
∫∫
,
c) d)
2
1
()
()
,
gx
b
agx
xdx ydy
∫∫
2
1
()
()
hx
d
chx
ydy xdx+
∫ ∫
.
8. Jaký geometrický význam má
22
()x ydxdy
Ω
+
∫∫
?
a) Obsah oblasti Ω,
b) obvod oblasti Ω,
c) objem tělesa, jehož spodní podstavou je oblast Ω, které je shora ohraničeno funkcí
,
22
zx y=+
d) povrch tělesa, jehož spodní podstavou je oblast Ω, které je shora ohraničeno funkcí
.
22
zx y=+

Odpovědi na kontrolní otázky
1. b); 2. c); 3. b); 4. a); 5. d); 6. c); 7. c); 8. c).

Průvodce studiem
Pokud jste správně odpověděli nejméně v šesti případech, pokračujte další kapitolou.
V opačném případě je potřeba prostudovat kapitolu 1.2 znovu.

Kontrolní test
1. Zaměňte pořadí integrace v integrálu
22
00
x
xdx ydy
−
∫ ∫
.
a) , b)
22
00
x
ydx xdy
−
∫∫
22
00
x
ydy xdx
−
∫ ∫
,
c) , d)
22
00
y
ydy xdx
−
∫∫
2 2
00
y
xdx ydy
−
∫ ∫
.
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 41 -
2. Vypočítejte integrál
{ }
22
,(,):dxdy x y x y
Ω
Ω= + =
∫∫
4.
a) 4π , b) 4,
c) 1, d)
4
π
.
3. Vypočítejte integrál ,xdxdy
Ω
∫∫
je-li oblast Ω ohraničena čarami 0, 0, 1x yxy= =+=.
a) 6, b)
1
6
,
c)
1
3
, d) 3.
4. Vypočítejte integrál je-li oblast ,ydxdy
Ω
∫∫
Ω ohraničena čarami 0, 0, 1x yxy= =+=.
a) 6, b)
1
6
,
c)
1
3
, d) 3.
5. Vypočítejte integrál ,dxdy
Ω
∫∫
je-li oblast Ω ohraničena čarami 0, 1, 1x xy xy= −= +=.
a) 1, b) 2,
c) 3, d) 4.
6. Vypočítejte integrál
2
2
,
x
dxdy
y
Ω
∫∫
je-li oblast Ω ohraničena čarami 2, , 1.xyxxy= ==
a) 9, b)
9
,
4

c)
4
,
9
d) 4.
7. Vypočítejte integrál
2
(),x ydxdy
Ω
+
∫∫
je-li oblast Ω ohraničena čarami
22
,.y xxy==
a) 33, b)
140
,
33

c)
33
,
140
d) 140.
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 42 -
8. Vypočítejte integrál
22
(),x ydxdy
Ω
+
∫∫
je-li oblast Ω ohraničena čarami
0, 0, 1.xy xy==+=
a) 9, b)
1
,
4

c)
1
,
6
d) 4.
9. Vypočítejte integrál
2
,y dxdy
Ω
∫∫
je-li oblast Ω ohraničena čarami
0, 0, 2 3 12.xy xy== +=
a) 28, b) 42,
c) 12 d) 32.
10. Vypočítejte integrál
2
(4 ) ,y dxdy
Ω
−
∫∫
je-li oblast Ω ohraničena čarami
2
2, 2 .y yx==
a)
256
7
, b)
256
,
21
c)
56
21
, d)
156
.
21

Výsledky testu
1. c); 2. a); 3. b); 4. b); 5. a); 6. b); 7. c); 8. c); 9. d); 10. b).

Průvodce studiem
Pokud jste správně odpověděli nejméně v osmi případech, pokračujte další kapitolou.
V opačném případě je potřeba prostudovat kapitolu 1.2 znovu.

Shrnutí lekce
V této kapitole jste se naučili vypočítat dvojrozměrný integrál v uzavřené oblasti Ω.
Oblast Ω je k určení mezí nutno zapsat jako oblast I. typu, normální vzhledem k ose x, kterou
obecně popisují nerovnice , nebo jako oblast II. typu, normální
vzhledem k ose y, kterou obecně popisují nerovnice
1
,() (axbgx ygx≤≤ ≤≤
2
)
.
12
,() ()cydhy xhy≤ ≤≤≤Teprve pak
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 43 -
můžeme dvojrozměrný integrál v uzavřené oblasti Ω převést na integrál dvojnásobný, ve
kterém vnější integrál vždy musí mít konstantní meze:
2
1
()
()
(, ) (, ) ,
gx
b
agx
f x y dxdy dx f x y dy
Ω
=
∫∫ ∫ ∫

2
1
()
()
(, ) (, ) .
hy
d
chy
f x y dxdy dy f x y dx
Ω
=
∫∫ ∫ ∫

Důležitým předpokladem pro výpočet úloh je opět znalost základních integračních metod.
Navíc je nutno zopakovat si pro určení integračních mezí analytickou geometrii v rovině
(rovnice přímky a rovnice kuželoseček).
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 44 -

1.3. Transformace v dvojrozměrném integrálu
Průvodce studiem
V příkladu 1.2.5 jsme ukázali, že vyjádření integrační oblasti, kterou tvoří kruh nebo jeho
část, je v kartézských souřadnicích obtížné. Použijeme-li v takovém případě k řešení polární
souřadnice, stává se vyjádření oboru integrace mnohem snadnějším a rovněž výpočet
dvojnásobného integrálu se obvykle značně zjednoduší.

Cíle
V této kapitole se naučíme počítat dvojrozměrné integrály v případech, kdy integrační
oblastí je kruh nebo jeho část, případně elipsa nebo její část.

Předpokládané znalosti
Stejně jako v předchozích kapitolách budeme potřebovat znalost základních integračních
metod.
K vyjádření integračního oboru je zapotřebí tentokrát zopakovat zejména rovnice přímky,
kružnice a elipsy.
Použijeme vše, co jsme se naučili v předchozích kapitolách.

Výklad
Dvojrozměrné integrály, jejichž integrační oblastí je kruh, případně část kruhu, lze
jednoduše vyřešit transformací do polárních souřadnic.







Obr. 13
x
y
0
X(x,y)
(-a,0) (a,0)
ρ
φ
P(x,0)
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 45 -
Kartézské souřadnice ,x y bodu nahradíme polárními souřadnicemi ,,ρ ϕ v nichž ρ
znamená vzdálenost bodu o souřadnicích (, )x y od počátku soustavy souřadnic ( 0ρ ≥ ) a ϕ
označuje orientovaný úhel, měřený od kladné části osy x po průvodič bodu (, )x y v kladném
smyslu, viz obr. 13.
Transformační rovnice odvodíme v prvním kvadrantu z trojúhelníka OPX (viz obr. 13),
v němž platí:
cos , sin
x y
ϕϕ
ρ ρ
==.
Odtud pro 0ρ ≠ platí cos , sin .xyρ ϕρ==ϕ
Platnost posledních dvou rovnic lze dokázat i ve zbývajících kvadrantech.
Transformační rovnice při přechodu z kartézských souřadnic do polárních souřadnic
mají tvar
cos , sinxyρ ϕρ==ϕ. (5)
Součin diferenciálů v dvojrozměrném integrálu nahradíme výrazem dxdy Jd dρ ϕ ,
v němž se výraz
cos sin
(,)
sin cos
xx
JJ
yy
ϕρϕρϕ
ρ ϕρ
ϕρ ϕ
ρϕ
∂∂
−∂∂
== =
∂∂
∂∂
=
nazývá jakobián transformace.

Pro dvojrozměrný integrál pak platí
(, ) ( cos , sin ) .f x y dxdy f d dρ ϕρ ϕρϕ ρ
∗
Ω
Ω
=
∫∫ ∫∫

Oblast Ω je obrazem oblasti Ω v polárních souřadnicích. Například kruh se středem
v počátku a poloměrem
∗
{ }
222
,:(,Ω):axyxya+≤, se zobrazí na obdélník o délkách stran
ρ a 2π , {}:(,): (0, , 0,2)aρ ϕρ ϕ π
∗
Ω∈ . >∈<

Poznámka
Transformace do polárních souřadnic je speciálním případem zobrazení oblasti do oblasti Ω
∗
Ω , který pro zájemce o bližší pochopení uvádíme dále.
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 46 -

Transformace v dvojrozměrném integrálu, kterou zavedeme obecně rovnicemi
(,) (,),x urs y vrs== kde r, s jsou nové proměnné, (6)
zobrazí uzavřenou oblast do množiny
∗
Ω ,Ω která nemusí být nutně oblastí.
Jestliže každým dvěma různým bodům
11 2 2
(, ), ( , )A rs B r s
∗∗
== z oblasti
∗
Ω jsou
rovnicemi (6) přiřazeny opět dva různé body
11 2 2
(, ), ( , )AxyBxy= = množiny mluvíme ,Ω
o prostém neboli injektivním zobrazení oblasti
∗
Ω na množinu ,Ω resp. do množiny Ω
podle toho, zda všechny body z množiny Ω mají, resp. nemají vzor v oblasti . Prosté
∗
Ω
zobrazení oblasti na množinu Ω se nazývá vzájemně jednoznačné nebo bijektivní.
∗
Ω
Jsou-li přitom funkce spojité na oblasti (,), (,)urs vrs
∗
Ω , mluvíme o spojitém zobrazení
obou množin.
Mají-li tyto funkce na oblasti
∗
Ω spojité parciální derivace prvního řádu, mluvíme
o diferenciabilním zobrazení. Přitom se determinant tvaru
(,)
uu
rs
Juv
vv
rs
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
(7)
nazývá jakobián tohoto zobrazení.
Lze dokázat, že je-li v některém bodě
000
(, )Prv= jakobián , pak zobrazení 0J ≠
určitého okolí bodu do oblasti Ω je prosté.
0
P

Věta 1.3.1.
1. Nechť se vnitřek oblasti zobrazí pomocí rovnic
∗
Ω (,), (,)x urs y vrs= = vzájemně
jednoznačně na oblast Ω, zatímco zobrazení hraniční křivky oblasti nemusí být
∗
Ω
prosté.
2. Nechť funkce (, )f xy je spojitá a ohraničená na uzavřené oblasti Ω a funkce
(,), (,)urs vrs mají spojité parciální derivace prvního řádu na oblasti , v níž leží oblast
•
Ω
∗
Ω i se svou hraniční křivkou.
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 47 -
3. Nechť všude uvnitř oblasti
∗
Ω je jakobián zobrazení nenulový, tj. (,) 0.Juv≠
Pak platí
*
(, ) ((,), (,))| (,)| .f x y dxdy f u r s v r s J u v drds
Ω
Ω
=
∫∫ ∫∫
(8)

Důkaz uvedené věty nebudeme uvádět. Vysvětlíme jen, proč je dxdy nahrazeno výrazem
|(,)| .Juv drds
x
y
0
P
3
P
4
P
2
P
1
Obr. 14
Transformací (,), (,)x urs y vrs== se oblast
∗
Ω zobrazí na oblast Ω. Element drds
oblasti přejde v element oblasti
∗
Ω Ω, viz obr. 14. Pro tuto oblast s vrcholy
( , ), 1, 2,3, 4,
iii
Pxyi==platí
1
(,).x ur= s Podle věty o střední hodnotě diferenciálního
počtu (Lagrangeovy), viz [3], [8], dostaneme ( , ) ( , ) ( ),
r
u r dr s u r s u r dr′ r+ −= −+ odtud pak
2
(,)(,) .
r
u r dr s u r s u dr′=+ = + Podobně
3
(, ) (,) ,
s
x urs ds urs uds′= += + x
1
(,),y vrs=
23
(,)(,) a (,)(,)y .vrdrsvrsvdryvrsdsvrsvds=+ = + = += + ΔΩ Obsah oblasti Ω
můžeme pro velmi malé přírůstky určit jako dvojnásobek obsahu trojúhelníka |ds||,dr|
o vrcholech Obsah určíme jako objem rovnoběžnostěnu se čtyřúhelníkovou
123
,,PP P. ΔΩ
podstavou
1 11 2 22 3 33 4 44
( , ,0), ( , ,0), ( , ,0), ( , ,0)P xy P xy P xy P xy====
a vrcholem horní podstavy , tj. výškou v = 1. Užijeme vlastnosti smíšeného
111
(, ,1)Pxy′=
součinu vektorů a dostaneme
12 13 11
,,PP PP PP′
uuuur uuuur uuuur
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 48 -
21 21
121311 31 31 2131 3121
0
() ()()()(
001
xxyy
PP PP PP x x y y x x y y x x y y
−−
′⋅×=− − =− −−− −
uuuur uuuur uuuur
)=
23 32 13 31 12 21
()()()x y xy xy xy xy x y=−−−+−=
11
22
33
11 1
0
11
rr rr
ss ss
xy u v u v
x yuudrvvdrudvd
x y u uds v vds uds vds
′′ ′′==++=
′′ ′′++
=
(,)
rs
rs
uu
drds J u v drds
vv
′′
==
′′

Je tedy |(,)| .Juv drdsΔΩ=

Poznámka
Předchozí úvahu lze využít při transformaci do polárních souřadnic ve dvojrozměrném
integrálu a při transformacích do cylindrických a sférických souřadnic v trojrozměrném
integrálu. Jak v transformaci do polárních souřadnic tak v transformacích do cylindrických a
sférických souřadnic nastávají problémy s jednoznačností zobrazení na hranicích oblastí Ω,
∗
Ω . Může se stát, že po transformaci nebude oblast uzavřená, a proto intervaly pro
ohraničení proměnných nebudou vždy uzavřené. Pro výpočet zadaných integrálů však tato
skutečnost nemá praktický význam.

Řešené úlohy

Příklad 1.3.1. Proveďte transformaci do polárních souřadnic a vypočítejte integrál
222
,: , 0ydxdy x y a y
Ω
Ω+≤ ≥
∫∫
.
a

Řešení: Oblast tvoří horní polovina kruhu se středem v počátku a poloměrem
(souřadnice y je nezáporná v prvním a druhém kvadrantu). Pro každý bod (,
Ω
)x y
oblasti při transformaci do polárních souřadnic platí 0,Ω 0aρ ϕπ< ≤≤ ∈< >
∫∫∫
.
a) 411, b) 512,
c) 613, d) 514.
5. Vypočítejte integrál
{}
22
sin sin , ( , , ) : 0, , 0, , 0,
G
xyzdxdydzGxyzx y zπππ= ∈∈∈
∫