Skripta matematika3

číme se metody jeho výpočtu. Ukážeme si také využití dvojrozměrného integrálu
v geometrii a fyzice.

Předpokládané znalosti
Integrační metody (základní integrační vzorce, metoda integrace substitucí, metoda per
partes), výpočet určitého integrálu (Newton – Leibnizova věta).
Analytická geometrie lineárních útvarů (obecná rovnice přímky, její směrnicový a
úsekový tvar, parametrické rovnice přímky) a kvadratických útvarů v rovině (kuželosečky).

1.1. Dvojrozměrný integrál v obdélníku

Průvodce studiem
Z prvního ročníku si jistě pamatujete, že jednoduchý určitý integrál byl definován pro
funkci jedné proměnné , přičemž integrační oblast tvořil uzavřený interval . ()yfx= ,ab
Matematika III Dvojrozměrný integrál

11 - 11 -
V této kapitole zavedeme analogicky Riemannův dvojrozměrný integrál, který je obecně
definován pro funkci dvou proměnných (, )zfxy= . Výpočet Riemannova dvojrozměrného
integrálu je jednoduchý, je-li integrační oblastí obdélník, jehož strany jsou rovnoběžné se
souřadnicovými osami.

Cíle
Cílem této kapitoly je objasnit pojem Riemannova dvojrozměrného integrálu v obdélníku
a ukázat způsob jeho výpočtu.

Předpokládané znalosti
K výpočtu jakéhokoliv integrálu je zcela nezbytné znát základní integrační vzorce.
Abychom je měli neustále k dispozici, připomeneme si je v následujících řádcích.
[1.]
∫
= Cdx0
[2.]
∫
+= Cxdx1
[3.]
∫
+
+
=
+
C
n
x
dxx
n
n
1
1
pro 1 ,0 −≠> nx
[4.]
∫
+= Cxdx
x
ln
1
pro 0≠x
[5.]
∫
+−= Cxxdx cossin
[6.]
∫
+= Cxxdx sincos
[7.]
∫
+= Cxdx
x
tg
cos
1
2
pro (2 1) ,
2
x kk
π
≠ +∈Z
[8.]
∫
+−= Cxdx
x
cotg
sin
1
2
pro , x kkπ≠ ∈Z
[9.]
∫
+=
−
Cxdx
x
arcsin
1
1
2
pro (1,1)x∈ −
[10.]
∫
+=
+
Cxdx
x
arctg
1
1
2

[11.]
ln
x
x
a
adx C
a
=+
∫
pro 1 ,0 ≠> aa
[12.]
xx
edx e C=+
∫
Matematika III Dvojrozměrný integrál

12 - 12 -
[13.] Cxfdx
xf
xf
+=
′
∫
)(ln
)(
)(
pro () 0fx≠
[14.]
∫
+=
+
C
a
x
a
xa
dx
arctg
1
22
pro 0a >
[15.] C
a
x
xa
dx
+=
−
∫
arcsin
22
pro ),( aax −∈
[16.]
∫
++=+ CbaxF
a
dxbaxf )(
1
)( pro 0a ≠

Výklad
Pojem Riemannova dvojrozměrného integrálu funkce dvou proměnných v obdélníku je
analogický pojmu Riemannova určitého integrálu funkce jedné proměnné v uzavřeném
intervalu. Pro naše potřeby bude postačující omezit se při výkladu pojmu dvojrozměrného
integrálu na takové funkce , které jsou v obdélníku (, )zfxy= {(, ): , ,D xy x ab=∈
},ycd∈< > , jehož strany jsou rovnoběžné s osami souřadnic, spojité a ohraničené, viz obr. 1.
x
z
y
b
a
c
d
0
z=f(x,y)
x
i-1
x
i
y
j-1
y
j
D
D
ij
(ξ ,η )
ij
f(ξ ,η )
ij
Obr. 1
Rozdělíme intervaly , resp. >< b,a >< d,c posloupnostmi bodů
012
... ,
m
ax x x x b=∈< >
∫∫
j)
22
cos( ) , ( , ) : 0, , 0, 2 ,
2
D
x y xy dxdy D x y x y
π
⎧⎫
=∈∈<
⎨⎬
⎩⎭
∫∫
>µ
k) sin(2 ) , ( , ) : 0, , , ,
4
D
xydxdyD xyx y
π
ππ+=∈∈<
∫∫
>
l)
{}
2
, ( , ): 3,4 , 1,2 ,
()
D
dxdy
Dxyx y
xy
=∈∈<
+
∫∫
>
m) {}
3
22
2
, ( , ) : 0,1 , 0,1 ,
(1 )
D
y
dxdy D x y x y
xy
=∈∈<
++
∫∫
>
,>
µ
n) µ
{}
2
,(,):0,1,0,2
xy
D
xye dxdyD xy x y=∈∈<
∫∫
o)
{}
2
1
, ( , ) : 0,1 , 0,1 .
(1)
D
dxdy D x y x y
xy
=∈∈<
++
∫∫
>

Výsledky úloh k samostatnému řešení
1. a) 7; b) 16; c) 14; d)
2
(31 9 3)
15
− ; e) 1ln2− ; f)
1
(1 ln 2)
2
− ; g)
1
3
; h) 1; i)
32
3
; j)
16
π
− ;
k) 0; l)
25
ln ; m)
24
22
ln
13
+
+
; n) 2; o)
4
ln .
3

Výklad
Snadno lze dvojrozměrný integrál v obdélníku { }(, ): , , ,D xy x ab y cd= ∈< > ∈< >
vypočítat pro funkce, které lze napsat jako součin dvou funkcí jedné proměnné:
12
(, ) (). ().f xy f x f y= Pak zřejmě platí
12 1 2
(). () () () .
bd
Dac
f xf ydxdy fxdx f ydy=
∫∫ ∫ ∫
(3c)
Matematika III Dvojrozměrný integrál

18 - 18 -

Řešené úlohy

Příklad 1.1.2. Vypočtěte integrál A z příkladu 1.1.1 užitím vztahu (3c).
Řešení:
12
23 23 2 3
01
xy xy x y
DD
A edxdyeedxyededy
+
===
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
=
12
23 332
01
11 1
(1)(1
6
xy
ee eee
⎡⎤⎡⎤
==−
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
).−

Úlohy k samostatnému řešení
2. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D užitím vztahu (3c):
a)
{}
2
, ( , ): 0,2 , 1,2 ,
D
x ydxdy D x y x y=∈∈<
∫∫
>
b) {}
2
2
, ( , ) : 0,1 , 0,1 ,
1
D
y
dxdy D x y x y
x
=∈∈<
+
∫∫
>
>
>

c) , ( , ) : 0,1 , 0,1 ,
xy
D
ye dxdy D x y x y
+
=∈∈<
∫∫
d)
{}
2
ln(1 ) , ( , ) : 0,1 , 0,1 ,
y
D
xdxdyD xyx y+=∈∈<
∫∫
e) sin , ( , ) : 1,2 , 0, ,
2
D
x y dxdy D x y x y
π
⎧⎫
=∈∈<
⎨⎬
⎩⎭
∫∫
>
f) , je čtverec o vrcholech (0,0), (1,0), (1,1), (0,1),
D
ydxdy D
∫∫
g) , je obdélník o vrcholech (0,0), ( ,0), ( , ), (0, ), 0 .
D
xydxdy D a ab b a b
Řešení: 1. Použijeme vztah (3b):
1
21 2 2
1
10 1 1
0
10
111
y
y
x
C dy x dx dy dy
yyy
+
⎡⎤
⎛⎞
= ==−
⎢⎥
⎜⎟
+++
⎝⎠⎢⎥
⎣⎦
∫∫ ∫ ∫
=
[]
2
2
1
1
3
ln | 1| ln 3 ln 2 ln
12
dy
y
y
==+=−=
+
∫
.
2. Použijeme vztah (3a):
2
12 1 1
2
01 0 0
1
ln ln ln
y
y
xxx
C dx x dy dx dx
⎡⎤ ⎛ ⎞
== =−⎜⎟
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦ ⎝ ⎠
∫∫ ∫ ∫
K=.
Další výpočet výše uvedeného integrálu je pracný.

Kontrolní otázky
1. Jaká musí být funkce (, )f xy, abychom ji mohli integrovat v obdélníku D?
a) kladná, b) spojitá a ohraničená,
c) monotónní, d) periodická.
2. Jaký geometrický útvar určuje množina bodů { }(, ): , , ,x yx ab y ab∈∈?
a) Kruh, b) čtverec,
c) obdélník, d) parabolu.
3. Jakou polohu má obdélník { }(, ): , , ,D xy x ab y cd=∈∈ v souřadnicovém systému
Oxy?
a) Libovolnou,
b) jeho strany jsou rovnoběžné s osami souřadnic,
c) jeden vrchol obdélníka musí být v počátku soustavy souřadnic a jeho strany jsou
rovnoběžné s osami souřadnic,
d) jeden vrchol obdélníka musí být v počátku soustavy souřadnic.
4. Který z následujících výrazů je zápisem dvojrozměrného integrálu?
a)
12
() ()
bd
ac
f xdx f ydy
∫∫
, b) (, )
db
ca
f x y dx dy
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
,
20 - 20 -
Matematika III Dvojrozměrný integrál

21 - 21 -
c) d) (,(, ) ,
bd
ac
dx f x y dy
∫∫
)
D
f x y dxdy
∫∫
.
5. Který z následujících výrazů je zápisem dvojnásobného integrálu?
a)
12
(). ()
D
f xf ydxdy
∫∫
, b) (, )
db
ca
f x y dx dy
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
,
c) d) (,(, ) ,
bd
ac
dx f x y dy
∫∫
)
D
f x y dxdy
∫∫
.
6. Jaké je obecně pořadí výpočtu jednotlivých integrálů v dvojnásobném integrálu funkce
(, )f xy?
a) Nejprve počítáme vnější integrál, pak teprve vnitřní,
b) na pořadí nezáleží,
c) nejprve počítáme vnitřní integrál, pak teprve vnější,
d) oba integrály počítáme současně.
7. Jaký tvar musí mít funkce (, )f xy, abychom mohli v obdélníku D integrovat současně oba
integrály (podle proměnné x i y)?
a)
12
(, ). (),f xy f y b)
12
(). (, ),f xf xy
c)
12
(). (),f xf y d)
12
() ().f xfy+
8. Jaký geometrický význam má (, )
D
f x y dxdy
∫∫
pro ? (, ) 0fxy≥
a) Obsah oblasti D,
b) obvod oblasti D,
c) objem tělesa, jehož spodní podstavou je obdélník D, které je shora ohraničeno funkcí
, (, )zfxy=
d) povrch tělesa, jehož spodní podstavou je obdélník D, které je shora ohraničeno
funkcí . (, )zfxy=

Odpovědi na kontrolní otázky
1. b); 2. b); 3. b); 4. d); 5. b, c); 6. c); 7. c); 8. c).

Matematika III Dvojrozměrný integrál

Průvodce studiem
Pokud jste správně odpověděli nejméně v šesti případech, pokračujte další kapitolou.
V opačném případě je nutno prostudovat kapitolu 1.1 znovu.

Kontrolní test
1. Vypočítejte integrál { },(,):1,3,2,4
D
dxdy D x y x y=∈∈<
∫∫
>.
a) 1, b) 2,
c) 3, d) 4.
2. Vypočítejte integrál { },(,):0,1,0,2
D
xydxdy D x y x y= ∈< > ∈< >
∫∫
.
a) 1, b) 2,
c) 3, d) 4.
3. Vypočítejte integrál { }(), (,): 0,1, 0,2
D
x y dxdy D x y x y+=∈∈<
∫∫
>.
a) 1, b) 2,
c) 3, d) 4.
4. Vypočítejte integrál { },(,):0,1,0,9
D
xydxdy D x y x y= ∈< > ∈< >
∫∫
.
a) 11, b) 12,
c) 13, d) 14.
5. Vypočítejte integrál
{}
22
sin sin , ( , ) : 0, , 0,
D
x y dxdy D x y x yππ= ∈< > ∈< >
∫∫
.
a)
4
π
, b)
2
4
π
,
c) 4π , d) 4 π− .
6. Vypočítejte integrál
{}, ( , ) : 0,1 , 0,1
xy
D
edxdyD xyx y
+
= ∈< > ∈< >
∫∫
.
a) b) e
2
,e
2
1,−
c) d) e
2
(1)e− ,
2
1.+
22 - 22 -
Matematika III Dvojrozměrný integrál

23 - 23 -
7. Vypočítejte integrál {}
2
2
, ( , ) : 0,1 , 0,1
1
D
y
dxdy D x y x y
x
= ∈< > ∈< >
+
∫∫
.
a) ,
12
π
b)
2
,
12
π

c) 12 ,π d) 12 .π−
8. Vypočítejte integrál
{}
2
2
1
(),(,):0,10,
1
D
xdxdyDxyxy
y
+=∈∈<
+
∫∫
1.>
a)
3
,
4
π +
b)
34
,
12
π +

c) 12 4,π + d) 12 3 .π−
9. Vypočítejte integrál sin( ) , ( , ) : 0, , 0, .
2
D
xxydxdyD xyx y
π
π
⎧ ⎫
+=∈∈
⎨ ⎬
⎩⎭
∫∫

a) 1,
12
π
− b) 2,
12
π
+
c) 2,π d) 2.π −
10. Vypočítejte integrál .
{}
22
(),(,):0,1,0,2
D
x y dxdy D x y x y+=∈∈<
∫∫
>
a)
10
3
, b)
15
,
4
c)
4
15
, d)
3
.
10

Výsledky testu
1. d); 2. a); 3. c); 4. b); 5. b); 6. c); 7. a); 8. b); 9. d); 10. a).

Průvodce studiem
Pokud jste správně odpověděli nejméně v osmi případech, pokračujte další kapitolou.
V opačném případě je potřeba prostudovat kapitolu 1.1 znovu.

Matematika III Dvojrozměrný integrál

24 - 24 -
Shrnutí lekce
Dvojrozměrný nebo také dvojný integrál (, )
D
f x y dxdy
∫∫
funkce (, )f xy v obdélníku
{ }
(, ): , , ,D xy x ab y cd=∈∈ vypočítáme převedením na integrál dvojnásobný
nebo , tedy dvojnásobnou integrací funkcí jedné proměnné.
Důležitým předpokladem pro výpočet příkladů bylo zopakování základních integračních
metod.
(, )
bd
ac
dx f x y dy
∫∫
(, )
db
ca
dy f x y dx
∫∫
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 25 -

1.2. Dvojrozměrný integrál v obecné uzavřené oblasti
Průvodce studiem
V předchozí kapitole jsme se naučili počítat dvojrozměrný integrál, jestliže obor integrace
byl jednoduchý geometrický útvar - obdélník, jehož strany byly rovnoběžné s osami
souřadnic. Nyní rozšíříme své znalosti dvojrozměrného integrálu na případy, kdy obor
integrace tvoří obecná rovinná oblast. Naučíme se vyjádřit hranice oblasti v takovém tvaru,
aby mohly být použity jako integrační meze.

Cíle
Cílem této kapitoly je objasnit pojem Riemannova dvojrozměrného integrálu v obecné
uzavřené oblasti a ukázat způsob jeho výpočtu.

Předpokládané znalosti
Opět budeme potřebovat znalost základních integračních metod.
K vyjádření integračního oboru je třeba zopakovat analytickou geometrii v rovině,
především rovnice přímky a kuželoseček.

Výklad
V úvodu poznamenejme, že množinu bodů Ω v rovině (v prostoru), ve které lze každé
dva body spojit čarou, jejíž všechny body leží v množině Ω, nazýváme souvislou. Souvislá
otevřená množina se nazývá oblast. Obsahuje-li oblast všechny své hromadné body, viz [3],
[8], nazývá se uzavřenou.
Rozšíříme nyní Riemannovu definici dvojrozměrného integrálu funkce (, )f xy
v obdélníku D na uzavřenou oblast Ω. Vnoříme takovou oblast Ω do obdélníku D, tj.
, viz obr. 3, a definujeme novou funkci DΩ⊂
*
(, )f xy předpisem

*
(, ) pro (, ) ,
(, )
0pro (,)\
fxy xy
fxy
xy D
∈Ω
⎧
=
⎨
.∈ Ω
⎩

Pak platí
*
(, ) (, ) .
D
f x y dxdy f x y dxdy
Ω
=
∫∫ ∫∫

Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 26 -
x
z
y
z=0
D
0
z=f(x,y)
Ω
Obr. 3
Nyní je dvojrozměrný integrál v oblasti Ω definován pomocí dvojrozměrného integrálu
v obdélníku. Problém s nespojitostí funkce
*
(, )f xy v obdélníku D lze odstranit zobecněním
definice Riemannova integrálu, viz [9].

Věta 1.2.1. (Vlastnosti dvojrozměrného integrálu v oblasti Ω)
1. (, ) (, ) ,c f x y dxdy c f x y dxdy
ΩΩ
=
∫∫ ∫∫
2. ()(, ) (, ) (, ) (, ) ,f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy
Ω
+= +
∫∫ ∫∫ ∫∫

3. (, )f x y dxdy
Ω
=
∫∫
12
(, ) (, ) ,f x y dxdy f x y dxdy
ΩΩ
+
∫∫ ∫∫

kde funkce (, ), (, )f xy gxy jsou spojité v , cRΩ ∈ a oblasti
1
,
2
Ω Ω vzniknou z oblasti Ω
jejím rozdělením přímkou rovnoběžnou s osou x, resp. s osou y.

Uvedené vlastnosti vyplývají přímo z definice Riemannova dvojrozměrného integrálu
v obdélníku (Definice 1.1.1) a z předcházející úvahy.
Při studiu se dále omezíme pouze na oblasti Ω definované následujícím způsobem:
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 27 -

Definice 1.2.1.
a) Oblast Ω I. typu (tzv. normální vzhledem k ose x) je ohraničena přímkami
,,x ax b==kde ba ≤ , a spojitými křivkami
12
(), (),y gx y g x= =
kde pro
12
() ()gx g x≤ ,x ab∈< >, viz obr. 4.
b) Oblast II. typu (tzv. normální vzhledem k ose y) je ohraničena přímkami Ω
,,ycyd== kde , a spojitými křivkami dc ≤
12
(), (),x hy x h y= =
kde pro , viz obr. 5.
12
() (),hy h y≤ >∈< d,cy

x
y
y=g (x)
1
y=g (x)
2
a b
Obr. 4
x
y
x=h (y)
2
x=h (y)
1
d
c
Obr. 5


Užitím následující věty lze vypočítat dvojrozměrné integrály v oblastech obou typů.
Věta 1.2.1. (Fubiniova)
(a) Jestliže je funkce (, )f xy spojitá v oblasti Ω I. typu, pak platí
2
1
()
(, ) (, ) .
b
agx
()gx
f x y dxdy dx f x y dy
Ω
=
∫∫ ∫ ∫
(4a)
(b) Jestliže je funkce (, )f xy spojitá v oblasti Ω II. typu, pak platí
2
1
()
(, ) (, ) .
d
chy
()hy
f x y dxdy dy f x y dx
Ω
=
∫∫ ∫ ∫
(4b)

Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 28 -
Větu nebudeme dokazovat. Geometrickou představu si však můžeme pro funkce
v oblasti (, ) 0fxy≥ Ω vytvořit obdobně jako v úvaze za větou 1.1.1.

Poznámka
Přechod od zápisu dvojnásobného integrálu ve tvaru (4a) do tvaru (4b), respektive naopak,
nazýváme záměna pořadí integrace.

(, )f x y dxdy
Ω
∫∫
určuje pro objem tělesa, jehož dolní podstavou je oblast (, ) 0fxy> Ω a
které je shora ohraničeno funkcí . (, )zfxy=
Ve vztazích (4a), (4b) vždy pár integračních mezí vnějšího integrálu musí být konstantní,
pár integračních mezí vnitřního integrálu mohou být funkce jedné proměnné. Nejdříve
počítáme v dvojnásobných integrálech (4a), (4b) zásadně vnitřní integrál s proměnnými
mezemi a teprve pak vnější integrál s mezemi konstantními.
Oblastí, pro niž jsou oba páry mezí konstantní, je vždy jen obdélník (čtverec), jehož
strany jsou rovnoběžné s osami souřadnic x, y, viz kapitola 1.1.
V následujících příkladech se omezíme pouze na nalezení integračních mezí.

Řešené úlohy

Příklad 1.2.1. Určete nerovnice pro převedení dvojrozměrného integrálu (, ) ,f x y dxdy
Ω
∫∫

kde Ω je trojúhelník o vrcholech , na dvojnásobný. (0,0), ( ,0), (0, ), 0aaa>
Řešení: a) Nejprve vyjádříme Ω jako oblast I. typu, normální vzhledem k ose x. Je
zřejmé, že oblast Ω ohraničíme zleva a zprava přímkami 0,x xa= = , viz obr. 6.
x
y
0
x+y=a
a
a
Ω
Obr. 6
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 29 -
Ve směru osy y oblast Ω ohraničíme zdola osou x, která má rovnici , a shora
přímkou
0y =
x ya+=, jejíž rovnici převedeme na tvar yax= − .
Oblast Ω zapíšeme ve tvaru:
:0 , ( 0, ),
0,
xa x a
yax y ax
Ω≤≤ ∈
≤≤− ∈< −>.
a

b) Nyní vyjádříme jako oblast II. typu, normální vzhledem k ose y. Je zřejmé, že
oblast ohraničíme zdola a shora přímkami
Ω
Ω 0,yy= = . Ve směru osy x oblast Ω
ohraničíme zleva osou y, která má rovnici 0x = , a zprava přímkou x ya+=, jejíž
rovnici převedeme na tvar x ay= − .
Oblast Ω zapíšeme ve tvaru:
:0 , ( 0, ),
0,
ya y a
.x ay x ay
Ω≤≤ ∈
≤≤− ∈< −>


Příklad 1.2.2. Určete integrační meze pro (, ) ,kde je Δf xydxdy ABC
Ω
Ω
∫∫
, jehož strany
jsou dány rovnicemi . 1, 4, 6yyxy==+=−x
Řešení: a) Nejprve vyjádříme Ω jako oblast I. typu, normální vzhledem k ose x. Pokud
ohraničíme oblast přímkami Ω 3, 5,xx=−= pak Ω není shora ohraničena jedinou
křivkou a je proto nutno rozdělit ji na oblasti
1
,
2
Ω Ω přímkou 1x = , viz obr. 7.
Nerovnice pro oblasti a mají pak tvar:

1
Ω
2
Ω
12
:3 1, ( 3,1), :1 5, ( 1,5),
14,(1,4), 1 6,(1,6
xx x x
yx y x y x y x
Ω−≤≤ ∈ Ω ≤≤ ∈< >
≤≤+ ∈< +> ≤≤−+ ∈).

x
y
0
A B
(5,0)
y=1
y=-x+6
x=6-y
y=x+4
x=y-4
(0,5)
C
(-3,0) (1,0)
(0,1)
Ω
Ω
2
Ω
1
Obr. 7
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 30 -


Podle vlastnosti 3 a vztahu (4a) pak platí:
12
14 56
31 11
(, ) (, ) (, ) (, ) (, ) .
xx
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy
+−
ΩΩΩ −
=+= +
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b) Nyní zapíšeme Ω jako oblast II. typu, normální vzhledem k ose y. Ohraničíme
oblast Ω přímkami Proměnnou x vyjádříme ze zadání příkladu jako
funkci proměnné
Nerovnice pro oblast Ω pak mají tvar:
1, 5.yy==
, tj. 4, 6 .yxyx=− =−y
).
:1 5, (1,5),
46,( 4,6
yy
y xy xy y
Ω≤≤ ∈
−≤≤− ∈

Podle vztahu (4b) dostáváme
65
14
(, ) (, ) .
y
y
f x y dxdy dy f x y dx
−
Ω−
=
∫∫ ∫ ∫

Je zřejmé, že druhé řešení je jednodušší, neboť vede k řešení jediného dvojnásobného
integrálu.

µ Příklad 1.2.3. Určete nerovnice pro převedení dvojrozměrného integrálu (, ) ,f x y dxdy
Ω
∫∫

kde Ω je čtyřúhelník o vrcholech (0,0), (1, 2), (3,1), (2, 2)− , na dvojnásobný.
Řešení: Určíme rovnice stran čtyřúhelníka (obr. 8
Řeš


):
ení:
x
y
Ω
1
Ω
2
Ω
3
p
1
p
2
p
4
p
3
(2,-2)
(3,1)
(1,2)
(0,0)
1
2
3
4
:2,
15
:,
22
:38,
:.
pyx
pyx
pyx
pyx
=
=−+
=−
=−


br. 8



O
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 31 -
Rozdělením oblasti rovnoběžkami s osou y, resp. s osou x dostaneme vždy tři
oblasti. K rozdělení užijeme například přímek
Ω
1x = a 2,x = tj. rovnoběžek s osou y.
Vyjádříme tedy jako oblasti I. typu, normální vzhledem k ose x.
12
,,ΩΩΩ
3
Dostaneme:
12 3
:0 1, : 1 2, : 2 3,
15 15
2, , 3 8 .
22 22
xx x
xy x xy x x y x
Ω≤≤ Ω ≤≤ Ω ≤≤
−≤≤ −≤≤− + −≤≤− +


Podle vlastnosti 3 a vztahu (4a) pak platí:
15 15
12 2 3
22 22
01 238
(, ) (, ) (, ) (, ) .
xx
x
xx x
f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy
−+ −+
Ω−− −
=+ +
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫


Příklad 1.2.4. Stanovte nerovnice určující oblast Ω, která je ohraničena křivkami
2
y x= a
2
.y x=
Řešení: a) Nejprve určíme průsečíky křivek o rovnicích
2
y x= a
2
y x= , viz obr. 9.
Vyřešením soustavy dvou rovnic
2
y x= ,
2
y x= dostaneme postupně
24 3
,0,(1)xxxxx=−=−0=.
Reálné kořeny tedy jsou .
12
0, 1xx==
Oblast zapíšeme jako oblast I. typu, normální vzhledem k ose x. Proto ji
ohraničíme přímkami
Ω
0, 1x x==. Křivka, která ohraničuje Ω shora, má rovnici
y x= . Křivka, která ohraničuje Ω zdola, má rovnici
2
y x= .

x
y
0
x=1
y=x
2
x=y
2
Ω
x=0
Obr. 9

Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 32 -
Nerovnice pro oblast Ω mají tvar:
2
:0 1,
.
x
x yx
Ω≤≤
≤≤


b) Podobně určíme oblast jako oblast II. typu, normální vzhledem k ose y. Ω
2
:0 1,
.
y
y xy
Ω≤≤
≤≤


µ Příklad 1.2.5. Zaměňte pořadí integrace pro integrál
2
2
434
0
34
(, ) .
xx
xx
dx f x y dy
+−
−−
∫∫

Řešení: Oblast Ω je zapsána jako oblast I. typu, normální vzhledem k ose x:
22
:04,
34 34 .
x
x xy xx
Ω≤≤
−−≤≤+−

x
y
0
x=4
y=5
(0,5)
(0,1)
y=1
Ω
S
x=2+ 6y-y -5
2
(4,0)
x=2- 6y-y -5
2
Obr. 10

Po umocnění horní i dolní proměnné meze (pro y) a po úpravě dostaneme
.
2
(3)4
2
y xx−=−
2
4
,
Další úpravou (doplněním na čtverec)

lze tento vztah převést na tvar
22
(3) 44 4(2)yxxx−=−+−+=−−+
22
(2)(3) 4xy− +− =
což je rovnice kružnice o středu (2,3)S = a poloměru 2.r =
Přímky jsou tečnami oblasti 0, 4xx== Ω a jedná se tedy o integraci v celém kruhu,
viz obr. 10.
Matematika III Dvojrozměrný integrál

- 33 -
Vedeme nyní tečny k dané kružnici rovnoběžné s osou x, tj. přímky a
získáme nerovnice 1 Z rovnice kružnice vyjádříme proměnnou x a dostaneme
rovnice půlkružnic
1, 5yy==
5.y≤≤
2
26xyy=− − −5, resp.