Skripta pravděpodobnost a statistika

n a oznaˇc´ıme jej A1∩A2∩...∩An nebo t´eˇz intersectiontextni=1 Ai. Tedy pr˚unik
jev˚u A1,A2,...,An znaˇc´ı souˇcasn´y v´yskyt vˇsech jev˚u A1,A2,...,An.
8
Rozd´ıl jev˚u. Jsou-li A1 a A2 jevy, pak rozd´ılem jev˚u A1 a A2 rozum´ıme jev, kter´y
nastane, pr´avˇe kdyˇz jev A1 nastane a z´aroveˇn jev A2 nenastane. Rozd´ıl jev˚u
A1 a A2 oznaˇc´ıme A1 −A2.
D´ale zavedeme:
Jev opaˇcn´y k jevu A je jev, kter´y nastane pr´avˇe tehdy, kdyˇz nenastane jev A.
Budeme jej znaˇcit A. Jev opaˇcn´y se nˇekdy naz´yv´a jev komplement´arn´ı nebo
t´eˇz jev doplˇnkov´y.
Nesluˇciteln´e jevy. ˇRekneme, ˇze jevy A1 a A2 jsou nesluˇciteln´e, jestliˇze nemohou
nastat souˇcasnˇe, tj. v pˇr´ıpadˇe, ˇze jejich pr˚unik je nemoˇzn´y jev. Tedy A1∩A2 =
∅. Nˇekdy m´ısto rˇcen´ı, ˇze A1 a A2 jsou nesluˇciteln´e jevy ˇr´ık´ame, ˇze jevy A1 a
A2 se vz´ajemnˇe vyluˇcuj´ı, nebo ˇze jsou disjunktn´ı.
Rozklad jevu A. ˇRekneme, ˇze jevy A1,A2,...,An tvoˇr´ı rozklad jevu A, jestliˇze
kaˇzd´e dva jsou nesluˇciteln´e tj. Ai ∩Aj = ∅ pro i negationslash= j,i,j = 1,2,...,n a jejich
sjednocen´ı tvoˇr´ı jev A, tj. uniontextni=1 Ai = A.
Pˇri pr´aci s jevy lze ˇcasto s v´yhodou pouˇz´ıt nˇekter´y z n´asleduj´ıc´ıch vzorc˚u
Vyj´adˇren´ı opaˇcn´eho jevu k pr˚uniku. Pro libovoln´e jevy A1,A2,...,An plat´ı
nintersectiondisplay
i=1
Ai =
nuniondisplay
i=1
Ai
Vyj´adˇren´ı opaˇcn´eho jevu ke sjednocen´ı. Pro libovoln´e jevy A1,A2,...,An
plat´ı
nuniondisplay
i=1
Ai =
nintersectiondisplay
i=1
Ai
Posledn´ı dva uveden´e vzorce plat´ı i pro spoˇcetn´e sjednocen´ı a spoˇcetn´y pr˚unik jev˚u.
V teorii mnoˇzin se tyto vzorce naz´yvaj´ı de Morganova pravidla.
D´ale lze snadno vzhl´ednout, ˇze pˇri pr´aci s jevy lze s v´yhodou pouˇz´ıvat
komutativn´ı z´akony: A1 ∪A2 = A2 ∪A1 a A1 ∩A2 = A2 ∩A1
asociativn´ı z´akony: (A1 ∪A2) ∪A3 = A1 ∪ (A2 ∪A3) a (A1 ∩A2) ∩A3 = A1 ∩
(A2 ∩A3),
distributivn´ı z´akony:
(A1 ∪A2)∩A3 = (A1 ∩A3)∪(A2 ∩A3), a
(A1 ∩A2)∪A3 = (A1 ∪A3)∩(A2 ∪A3)
9
vyj´adˇren´ı rozd´ılu pomoc´ı pr˚uniku: A1 −A2 = A1 ∩A2.
Pozorn´y ˇcten´aˇr si jistˇe vˇsimnul, ˇze terminologie pouˇzit´a pˇri pr´aci s jevy d˚uslednˇe
odpov´ıd´a mnoˇzinov´e terminologii a rovnˇeˇz uˇzit´e oznaˇcen´ı jevov´ych operac´ı je stejn´e
jako bˇeˇznˇe uˇz´ıvan´e oznaˇcen´ı mnoˇzinov´ych operac´ı. V dalˇs´ım textu uk´aˇzeme, ˇze tato
shoda nen´ı n´ahodn´a, zavedeme pojem element´arn´ıho jevu a pˇrejdeme k mnoˇzinov´emu
vyj´adˇren´ı (n´ahodn´eho) jevu.
Element´arn´ı jev. Jev A nazveme element´arn´ım jevem, jestliˇze neexistuj´ı jevy B
a C r˚uzn´e od A takov´e, ˇze A = B ∪ C. To znamen´a, ˇze jev A nelze vyj´adˇrit
jako sjednocen´ı dvou jin´ych jev˚u r˚uzn´ych od A. Jin´ymi slovy, element´arn´ı jev A
nelze d´ale rozloˇzit a rozum´ı se j´ım ”nejjednoduˇsˇs´ı moˇzn´y” v´ysledek pokusu. El-
ement´arn´ı jevy budeme znaˇcit ˇreck´ym p´ısmenem ω pˇr´ıpadnˇe s indexem (napˇr.
ω1 nebo ωi apod.).
Prostor element´arn´ıch jev˚u. Mnoˇzinu vˇsech element´arn´ıch jev˚u, kter´e mohou
nastat jako v´ysledek dan´eho n´ahodn´eho pokusu, naz´yv´ame prostorem ele-
ment´arn´ıch jev˚u. Budeme jej znaˇcit Ω. Prostor element´arn´ıch jev˚u m˚uˇze b´yt
koneˇcn´a mnoˇzina, kdy Ω = {ω1,ω2,...,ωn} nebo nekoneˇcn´a spoˇcetn´a mnoˇzina
tvoˇren´a posloupnostmi prvk˚u, tedy Ω = {ω1,ω2,ω3,...} nebo nekoneˇcn´a ne-
spoˇcetn´a mnoˇzina dan´a nˇejakou vlastnost´ı V element´arn´ıch jev˚u, pak p´ıˇseme
Ω = {ω : ωmaj´ı vlastnostV}.
Je-li Ω prostor element´arn´ıch jev˚u, pak libovoln´y jev A lze ch´apat jako podmnoˇzinu
mnoˇziny Ω tj. A ⊂ Ω. Dˇr´ıve proveden´e jevov´e operace (sjednocen´ı, pr˚unik, rozd´ıl,
komplement) pˇresnˇe odpov´ıdaj´ı zn´am´ym mnoˇzinov´ym operac´ım (sjednocen´ı, pr˚unik,
rozd´ıl, komplement), jev nemoˇzn´y ∅ odpov´ıd´a pr´azdn´e mnoˇzinˇe, tedy mnoˇzinˇe, kter´a
nem´a ˇz´adn´e prvky, jev jist´y je roven prostoru element´arn´ıch jev˚u Ω. Proto v dalˇs´ım
lze na n´ahodn´e jevy pohl´ıˇzet jako na podmnoˇziny prostoru element´arn´ıch jev˚u Ω a
lze nimi prov´adˇet vˇsechny zn´am´e mnoˇzinov´e operace.
Vybran´e pojmy budeme ilustrovat na pˇr´ıkladech.
Pˇr´ıklad 2.1 N´ahodn´y pokus spoˇc´ıv´a v jednom hodu ide´aln´ı hrac´ı kostkou. Budeme
uvaˇzovat n´asleduj´ıc´ı n´ahodn´e jevy.
A1 ... padne sud´e ˇc´ıslo
A2 ... padne lich´e ˇc´ıslo
B2 ... padne ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz dva
B3 ... padne ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz tˇri
C ... nepadne lich´e ˇc´ıslo
Ei ... padne ˇc´ıslo i, i = 0,1,2...,6,7.
Lze snadno nahl´ednout, ˇze pro uveden´e jevy plat´ı:
E0 a E7 jsou jevy nemoˇzn´e
10
Ω = E1 ∪E2 ∪E3 ∪E4 ∪E5 ∪E6 = uniontext6i=1 Ei je jev jist´y
B2 ⊂ B3, tj. B2 m´a za n´asledek B3
B2 = E3 ∪E4 ∪E5 ∪E6 ... padne ˇc´ıslo vˇetˇs´ı nebo rovno neˇz 3
B3 = E4 ∪E5 ∪E6 ... padne ˇc´ıslo vˇetˇs´ı nebo rovno neˇz 4
B3 ⊂ B2 tj. B3 m´a za n´asledek B2
B2 = E1
B2 a E1 jsou ekvivalentn´ı, B1 ⊂ E1 a z´aroveˇn E1 ⊂ B2
A1 = C tj. A1 a C jsou ekvivalentn´ı jevy, protoˇze A1 ⊂ C a C ⊂ A1.
A2 ∩B2 = E1 tj. A2 ∩B2 je jev, ˇze padne ˇc´ıslo 1
A1 ∩ A2 = ∅ tj. A1 a A2 nemohou nastat souˇcasnˇe, tedy A1 a A2 jsou nesluˇciteln´e
jevy
A1 ∪ A2 = Ω tj. sjednocen´ı jev˚u A1 a A2 je jev jist´y, A1, A2 tvoˇr´ı rozklad jist´eho
jevu, podobnˇe E1,...,E6 tak´e tvoˇr´ı rozklad jist´eho jevu Ω.
A1−B2 = A1∩B2 = E4∪E6 tj. rozd´ıl jev˚u A1−B2 je jev, ˇze padne sud´e ˇc´ıslo vˇetˇs´ı
neˇz 2
A2 ∩B2 = A2 ∪B2 = Ω−E1 = E2 ∪E3 ∪E4 ∪E5 ∪E6 je jev, ˇze nepadne ˇc´ıslo 1
A2 ∪B2 = A2 ∩B2 = E3 ∪E5 je jev, ˇze padne lich´e ˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 2
(A1 ∪A2)∩B2 = (A1 ∩B2)∪(A2 ∩B2) = ∅∪(A2 ∩B2) = A2 ∩B2 = E1 je jev, ˇze
padne ˇc´ıslo 1.
E1,E2,...,E6 jsou element´arn´ı jevy, protoˇze je nelze d´ale rozloˇzit. V uveden´em
oznaˇcen´ı m˚uˇzeme ps´at, ˇze ω1 = E1,ω2 = E2,...,ω6 = E6 a prostor element´arn´ıch
jev˚u Ω = {ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}. Jednotliv´e jevy uveden´e dˇr´ıve lze zapsat v mnoˇzinov´em
tvaru
A1 = {ω2,ω4,ω6}
A2 = {ω1,ω3,ω5}
B2 = {ω1} = ω1
B3 = {ω1,ω2}
C = {ω2,ω4,ω6}
E0 = {} = ∅, E7 = {} = ∅.
Pˇr´ıklad 2.2 N´ahodn´y pokus spoˇc´ıv´a v trojn´asobn´em hodu minc´ı. Zavedeme n´ahodn´e
jevy
Ai ... v i-t´em hodnu padne l´ıc, i = 1,2,3
Bj ... l´ıc padne pr´avˇe j kr´at, j = 0,1,2,3.
Pak zˇrejmˇe moˇzn´e v´ysledky pokusu – element´arn´ı jevy jsou jevy
ω1 = [L,L,L]... jev, ˇze ve vˇsech hodech padl l´ıc
ω2 = [L,L,R]... jev, ˇze v prvn´ıch dvou hodech padl l´ıc a ve 3. hodu padl rub
...
ω7 = [L,R,R]... jev, ˇze v prvn´ım hodu padl l´ıc a v ostatn´ıch rub
ω8 = [R,R,R]... jev, ˇze ve vˇsech hodech padl rub.
Pouˇzit´ı hranat´ych z´avorek v pˇredchoz´ım oznaˇcen´ı naznaˇcuje, ˇze jde o v´ysledky
uspoˇr´adan´e posloupnosti hod˚u. Tedy v´ysledek pokusu [L,R,L] znaˇc´ı, ˇze v 1. hodu
padl l´ıc, ve druh´em rub a ve tˇret´ım l´ıc.
11
Prostor element´arn´ıch jev˚u Ω je mnoˇzina
Ω = {ω1,...,ω8} = {[L,L,L],[L,L,R],[L,R,L],[R,L,L],[R,R,L],[R,L,R],[L,R,R]
,[R,R,R]}
a uvaˇzovan´e jevy lze mnoˇzinovˇe zapsat ve tvaru
A1 = {[L,L,L],[L,L,R],[L,R,L],[L,R,R]}
A2 = {[L,L,L],[L,L,R],[R,L,L],[R,L,R]}
A3 = {[L,L,L],[R,L,L],[L,R,L],[R,R,L]}
Zˇrejmˇe A1 ∩A2 ∩A3 = {[L,L,L]} = {ω1} = ω1
B0 = {[R,R,R]} = ω8
B1 = {[L,R,R],[R,L,R],[R,R,L]}
B2 = {[L,L,R],[L,R,L],[R,L,L]}
B3 = {[L,L,L]} = ω1
Je zˇrejm´e, ˇze B0,B1,B2 a B3 tvoˇr´ı rozklad jist´eho jevu Ω
A1 ∩B1 = {[L,R,R]} = ω7 je jev, ˇze l´ıc padne pr´avˇe jednou a to v prvn´ım hodu
A1 ∪A2 ∪A3 = B0 je jev, ˇze padne aspoˇn v jednom hodu l´ıc tedy jev, ˇze nepadne v
kaˇzd´em hodu rub.
V pˇredchoz´ıch dvou pˇr´ıkladech byl prostor element´arn´ıch jev˚u Ω koneˇcnou mnoˇzinou.
Jak ukazuj´ı n´asleduj´ıc´ı dva pˇr´ıklady, nemus´ı tomu tak b´yt vˇzdycky.
Pˇr´ıklad 2.3 N´ahodn´y pokus spoˇc´ıv´a v opakovan´em hodu minc´ı a pokus konˇc´ı,
jakmile padne rub. Pak zˇrejmˇe prostor element´arn´ıch jev˚u Ω je spoˇcetn´a mnoˇzina
Ω = {ω∞,ω1,ω2,ω3,...}, kde element´arn´ı jev ωi znaˇc´ı, ˇze rub padl poprv´e v hodu
ˇc´ıslo i,i = 1,2,3... a ω∞ je element´arn´ı jev, ˇze vˇzdy padne l´ıc a rub nepadne
nikdy. Jednotliv´e element´arn´ı lze zapsat ve tvaru: ω1 = [R],ω2 = [L,R],ω3 =
[L,L,R],...,ωi = [L,L,...,L,R]bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
(i−1)×L
,...,ω∞ = [L,L,L,...].
Jako pˇr´ıklad n´ahodn´ych jev˚u, kter´e lze uvaˇzovat spolu s t´ımto pokusem uvedeme:
A1 = {ω1,ω2,...,ω10} ... rub padne nejpozdˇeji v des´at´em hodu
A2 = {ω1,ω2} ... v prvn´ım nebo ve druh´em hodu padne rub
A3 = {ω∞,ω3,ω4,...,ω10} = A2 ... v prvn´ıch dvou hodech rub nepadne
A4 = {ω1,ω3,ω5} ... poprv´e padne rub, kdyˇz poˇcet hod˚u bude lich´e ˇc´ıslo
Pˇr´ıklad 2.4 Pˇredpokl´adejme, ˇze sledujeme situaci v dan´e pojiˇst’ovnˇe, sledov´an´ı
zaˇc´ın´ame vˇcase t = 0 a v´ysledkem sledov´an´ı je pˇresnˇe mˇeˇren´y ˇcasov´y okamˇzik (napˇr.
v hodin´ach), kdy byla nahl´aˇsena prvn´ı pojistn´a ud´alost. V´ysledek takov´eho sledov´an´ı
m˚uˇzeme v rozˇs´ıˇren´em ch´apan´ı slova pokus povaˇzovat za realizaci n´ahodn´eho pokusu.
Za pˇredpokladu, ˇze provoz pojiˇst’ovny sledujeme neomezenou dobu a jej´ı provoz je
st´ale v ust´alen´em reˇzimu, lze si pˇredstavit, ˇze tento pokus je statisticky stabiln´ı.
12
Mnoˇzina moˇzn´ych v´ysledk˚u tohoto pokusu pak m˚uˇze b´yt mnoˇzina vˇsech ˇcasov´ych
okamˇzik˚u, kdy mohla b´yt nahl´aˇsena prvn´ı pojistn´a ud´alost, tedy interval 〈0,∞).
Proto prostor element´arn´ıch jev˚u Ω = 〈0,∞) je mnoˇzina, kter´a m´a nekoneˇcn´y poˇcet
prvk˚u a nen´ı ani spoˇcetn´a. Pˇr´ıkladem n´ahodn´ych jev˚u mohou b´yt mnoˇziny (inter-
valy)
A1 = 〈0,10) ... prvn´ı pojistn´a ud´alost nastane do deseti hodin od zaˇc´atku sledov´an´ı
A2 = 〈15,25〉 ... prvn´ı pojistn´a ud´alost nastane mezi 15 a 25 hodinou
A3 = 〈10,∞) ... prvn´ı pojistn´a ud´alost nastane aˇz po deset´at´e sledovan´e hodinˇe
Je zˇrejm´e, ˇze libovoln´y ˇcasov´y interval, a jejich sjednocen´ı odpov´ıd´a nˇejak´emu n´a-
hodn´emu jevu. Dokonce kaˇzd´a podmnoˇzina intervalu 〈0,∞) pˇredstavuje nˇejak´y
n´ahodn´y jev.
Z posledn´ıho uveden´eho pˇr´ıkladu je patrn´e, ˇze v pˇr´ıpadˇe, kdy mnoˇzina urˇcit´ych
v´ysledk˚u dan´eho pokusu nen´ı koneˇcna a nen´ı ani spoˇcetn´a, lze uvaˇzovat velk´e mnoˇz-
stv´ı n´ahodn´ych jev˚u, kter´e z praktick´eho hlediska maj´ı pramal´y v´yznam. Proto je
uˇziteˇcn´e v pˇr´ıpadˇe, kdy prostor element´arn´ıch jev˚u Ω nen´ı spoˇcetn´a mnoˇzina, omezit
se na nˇejak´y syst´em n´ahodn´ych jev˚u – tedy na nˇejak´y syst´em podmnoˇzin mnoˇziny
Ω, kter´y je z praktick´eho hlediska dostupnˇejˇs´ı, obsahuje s dan´ymi jevy tak´e jevy,
kter´e vzniknou pomoc´ı v´yˇse uveden´ych jevov´ych operac´ı. V uveden´em pˇr´ıkladˇe 2.4 je
moˇzn´e omezit se jenom na jevy, kter´e lze vytvoˇrit z interval˚u pomoc´ı mnoˇzinov´ych
operac´ı sjednocen´ı, pr˚unik, rozd´ıl, doplnˇek. Naznaˇcen´ym zp˚usobem lze potupovat
obecnˇe. Pro takov´y syst´em jev˚u spojen´ych s dan´ym pokusem kter´y je uzavˇren´y vzh-
ledem k zaveden´ym mnoˇzinov´ym operac´ım se zav´ad´ı n´azev jevov´a algebra pˇr´ıpadnˇe
σ – algebra. D´ale ji budeme form´alnˇe definovat.
Definice 2.1. Necht’ Ω je prostor element´arn´ıch jev˚u pˇriˇrazen´ych dan´emu pokusu
a A syst´em n´ahodn´ych jev˚u (syst´em podmnoˇzin mnoˇziny Ω), kter´e v souvislosti s
dan´ym pokusem uvaˇzujeme. Pak ˇr´ık´ame, ˇze syst´em jev˚u A tvoˇr´ı jevovou algebru,
jestliˇze plat´ı n´asleduj´ıc´ı axiomy:
1. Ω ∈ A tj. jev jist´y patˇr´ı do syst´emu A
2. A ∈ A ⇒ A ∈ A, tj. pro kaˇzd´y jev z A plat´ı tak´e, ˇze jev k nˇemu opaˇcn´y patˇr´ı
do syst´emu A
3. A1,A2 ∈ A ⇒ A1 ∪A2 ∈ A, tj. sjednocen´ı dvou jev˚u z A je tak´e jevem z A.
ˇR´ık´ame, ˇze syst´em A je uzavˇren´y vzhledem ke sjednocen´ı jev˚u.
V pˇr´ıpadˇe, ˇze plat´ı axiomy 1 a 2 a nav´ıc plat´ı axiom 3 pro spoˇcetnou posloupnost
jev˚u A1,A2 ..., tj. plat´ı
13
3*. A2 ∈ A,i = 1,2... ⇒ ∪∞i=1Ai ∈ A
naz´yv´ame A jevovou σ– algebrou.(ˇReck´e p´ısmeno σ naznaˇcuje, ˇze jde o
spoˇcetn´e sjednocen´ı jev˚u.)
Dvojici (Ω,A) pak naz´yv´ame jevov´e pole.
Kdyˇz se pˇri prov´adˇen´ı dan´eho pokusu omez´ıme na jevy z dan´e jevov´e σ – algebry
A, je potˇreba zaruˇcit, ˇze pˇri konstrukci nov´ych jev˚u, kterou prov´ad´ıme aplikov´an´ım
operac´ı koneˇcn´e nebo spoˇcetn´e sjednocen´ı, koneˇcn´y nebo spoˇcetn´y pr˚unik, rozd´ıl
apod. na posloupnosti jev˚u z A, dostaneme opˇet jevy z jevov´e σ – algebry A. Tato
skuteˇcnost plyne z vlastnosti jevov´e σ – algebry A viz[15]. Kromˇe jin´eho odtud
plyne, ˇze pro posloupnost jev˚u A1,A2,... z A plat´ı, ˇze intersectiontextni=1 Ai ∈ A, intersectiontext∞i=1 Ai ∈ A,
A1 −A2 ∈ A, ∅ ∈ A apod.
Z praktick´eho hlediska pˇredstavuje jevov´e pole (Ω,A) matematick´y model n´ahodn´eho
pokusu. Ω je mnoˇzina vˇsech moˇzn´ych v´ysledk˚u pokusu a A syst´em n´ahodn´ych jev˚u,
kter´e jsou v z´avislosti s kon´an´ım pokusu prakticky uˇziteˇcn´e. V pˇr´ıpadˇe, ˇze mnoˇzina
Ω je koneˇcn´a, je obvykle A jevov´a σ – algebra, kter´a obsahuje vˇsechny podmnoˇziny
mnoˇziny Ω. V pˇr´ıpadˇe, ˇze Ω je mnoˇzina nespoˇcetn´a a tvoˇrena intervalem re´aln´ych
ˇc´ısel (jako tomu bylo v pˇr´ıpadˇe 2.4), lze pˇr´ısluˇsnou σ – algebru jev˚u vytvoˇrit pomoc´ı
polouzavˇren´ych interval˚u typu (a,b〉 ⊂ Ω, a < b. Takov´ato σ – algebra se potom
naz´yv´a borelovsk´a σ – algebra a odpov´ıdaj´ıc´ı jevov´e pole se naz´yv´a borelovsk´e
jevov´e pole.
Kromˇe naznaˇcen´ych praktick´ych d˚uvod˚u pro redukci syst´emu vˇsech n´ahodn´ych jev˚u
na jevovou σ – algebru A, je tˇreba zd˚uraznit, ˇze existuje takov´e dalˇs´ı teoretick´e
d˚uvody k t´eto redukci. Jedn´ım z podstatn´ych teoretick´ych d˚uvod˚u t´eto redukce je,
ˇze na jevov´em poli (Ω,A) lze pomoc´ı vhodnˇe zvolen´ych axi´om˚u snadno definovat
pravdˇepodobnost. Zaveden´a pravdˇepodobnost, kter´a dobˇre popisuje re´aln´e situace je
po matematick´e str´ance zvl´aˇst’ elegantn´ı a jednoduch´a v situaci, kdyˇz moˇzn´e jevov´e
pole je borelovsk´e.
Zaveden´ı pravdˇepodobnosti n´ahodn´ych jev˚u se budeme vˇenovat v dalˇs´ım odstavci.
2.3 Pravdˇepodobnost a ˇcetnost
V tomto odstavci budeme vych´azet ze statisticky stabiln´ıho n´ahodn´eho pokusu.
Matematick´ym modelem tohoto pokusu bude jevov´e pole (Ω,A), kde Ω je mnoˇzina
vˇsech moˇzn´ych v´ysledk˚u pokusu (prostor element´arn´ıch jev˚u) a A je jevov´a σ –
algebra, tedy mnoˇzina vˇsech n´ahodn´ych jev˚u, kterou v souvislosti s prov´adˇen´ym
pokusem uvaˇzujeme. C´ılem bude jednotliv´e jevyˇc´ıselnˇe ohodnotit, tj. pˇriˇradit kaˇzd´emu
jevu ˇc´ıslo, kter´e by postihlo moˇznost nastoupen´ı toho jevu (jeho ˇsanci) v dan´em
prov´adˇen´ı pokusu. Takov´e numerick´e ohodnocen´ı jednotliv´ych jev˚u z hlediska moˇznosti
14
jejich nastoupen´ı se naz´yv´a pravdˇepodobnost´ı. Zaveden´e pravdˇepodobnosti by mˇely
b´yt v souladu s empirick´ymi zkuˇsenostmi, tedy pravdˇepodobnost nastoupen´ı jevu
A v dan´em pokuse by mˇela odpov´ıdat relativn´ı ˇcetnosti jevu A ve velk´em poˇctu
nez´avisl´ych opakov´an´ıch tohoto pokusu. Uvedenou souvislost relativn´ı ˇcetnosti a
pravdˇepodobnosti budeme nejdˇr´ıve ilustrovat na situaci zn´am´e z v´yzkumu veˇrejn´eho
m´ınˇen´ı.
Pˇri zkoum´an´ı veˇrejn´eho m´ınˇen´ı v dan´em souboru napˇr. dospˇel´ych obyvatel st´atu se
vyˇsetˇruje mal´a skupina n´ahodnˇe vybran´ych obyvatel a z jejich odpovˇed´ı na dan´e
ot´azky se potom usuzuje za n´azory vˇsech dospˇel´ych obyvatel st´atu. V t´eto sou-
vislosti mluv´ıme o souboru vˇsech obyvatel st´atu, jako o z´akladn´ım souboru a
o souboru vybran´ych obyvatel, kteˇr´ı byli n´ahodnˇe vybr´ani a dotazov´ani, jako o
souboru v´ybˇerov´em.
Budeme pˇredpokl´adat, ˇze z´akladn´ı soubor m´a N prvk˚u a poˇcet prvk˚u v´ybˇerov´eho
souboru oznaˇc´ıme n. Budeme uvaˇzovat dva z´akladn´ı pˇr´ıstupy k poˇr´ızen´ı v´ybˇerov´eho
souboru:
a) v´ybˇer s opakov´an´ım – postupnˇe n´ahodnˇe vyb´ır´ame (po jednom) prvky z´a-
kladn´ıho souboru a vybran´e prvky pˇred dalˇs´ım v´ybˇerem do z´akladn´ıho souboru
vrac´ıme.
b) v´ybˇerbezopakov´an´ı– postupnˇe n´ahodnˇe vyb´ır´ame prvky z´akladn´ıho souboru
a vybran´e prvky do z´akladn´ıho souboru nevrac´ıme.
Je zˇrejm´e, ˇze v pˇr´ıpadˇe, kdy je rozsah v´ybˇerov´eho souboru n mal´y ve srovn´an´ı
s rozsahem z´akladn´ıho souboru N, je m´alo pravdˇepodobn´e, ˇze by se pˇri v´ybˇeru s
opakov´an´ım nˇekter´y prvek ve v´ybˇeru opakoval. Budeme proto pro v dalˇs´ıch ´uvah´ach
vych´azet z v´ybˇerov´eho souboru, kter´y byl z´ısk´an n´ahodn´ym v´ybˇerem s opakov´an´ım.
V´ybˇery bez opakov´an´ı se budeme zab´ıvat pozdˇeji.
Pˇredpokl´adejme pro jednoduchost, ˇze prvky z´akladn´ıho souboru, kter´y je tvoˇren
vˇsemi dospˇel´ymi obyvateli st´atu rozdˇel´ıme podle pohlav´ı na soubor muˇz˚u, pˇredpo-
kl´adejme,ˇze jich je K1 a na souborˇzen, kter´ych je N−K1. Podle n´azoru jednotliv´ych
obyvatel, m˚uˇzeme z´akladn´ı soubor rozdˇelit na dva podsoubory, v prvn´ım podsouboru
je K2 obˇcan˚u levicovˇe sm´yˇslej´ıc´ıch a N − K2 obˇcan˚u pravicovˇe sm´yˇslej´ıc´ıch. Plat´ı
tedy, ˇze v z´akladn´ım souboru je pod´ıl muˇz˚u p1 = K1N a pod´ıl levicovˇe sm´yˇslej´ıc´ıch
obˇcan˚u p2 = K2N . Pod´ıl p1 lze interpretovat jako ”pravdˇepodobnost” tedy numerick´e
ohodnocen´ı moˇznosti, ˇze n´ahodnˇe vybran´a osoba ze z´akladn´ıho souboru bude muˇz.
Podobnˇe lze interpretovat pod´ıl p2. Bude-li n´ahodn´y pokus spoˇc´ıvat v n´ahodn´em
vylosov´an´ı jedn´e osoby ze z´akladn´ıho souboru, m˚uˇzeme s t´ımto pokusem uvaˇzovat
n´asleduj´ıc´ı jevy:
A1 ... n´ahodnˇe vylosovan´a osoba je muˇz
A2 ... n´ahodnˇe vylosovan´a osoba je levicovˇe sm´yˇslej´ıc´ı.
A1 ∩A2 ... n´ahodnˇe vybran´a osoba je muˇz levicovˇe sm´yˇslej´ıc´ı
15
A1 ∪A2 ... n´ahodnˇe vybran´a osoba je muˇz nebo osoba pravicovˇe sm´yˇslej´ıc´ı
ˇC´ısla p1 a p2 pak lze interpretovat jako pravdˇepodobnosti jev˚u A1 a A2, tedy budem
ps´at p1 = P(A1) a p2 = P(A2).
Odhad pravdˇepodobnost´ı lze z´ıskat pomoc´ıˇcetnost´ı stanoven´ych z v´ybˇerov´eho souboru.
Je-li v´ybˇerov´y soubor (poˇr´ızen´y v´ybˇerem s opakov´an´ım) rozsahu n, oznaˇc´ıme n(A1)
ˇcetnost, tj. poˇcet muˇz˚u ve v´ybˇeru a n(A2) ˇcetnost levicovˇe sm´yˇslej´ıc´ıch obˇcan˚u ve
v´ybˇeru. D´ale oznaˇc´ıme fn(A1) = n(A1)n a fn(A2) odpov´ıdaj´ıc´ı relativn´ı ˇcetnosti. Ze
zkuˇsenosti lze usoudit, ˇze pro velk´a n bude relativn´ı ˇcetnost fn(A1) kol´ısat kolem
p1 = P(A1) a relativn´ı ˇcetnost fn(A2) == n(A2)n kolem p2 = P(A2). Pˇri prov´adˇen´ı
rozs´ahl´ych v´ybˇerov´ych ˇsetˇren´ı se skuteˇcnˇe nezn´am´e pod´ıly p1 a p2 odhaduj´ı rel-
ativn´ımi ˇcetnostmi fn(A1) a fn(A2). Snadno lze tak´e stanovit relativn´ı ˇcetnosti
fn(A1 ∪A2) nebo fn(A1 ∩A2) a odhadnout pˇr´ısluˇsn´e pravdˇepodobnosti P(A1 ∪A2)
a P(A1 ∩A2) apod.
Podobn´e chov´an´ı relativn´ıchˇcetnost´ı jev˚u lze pozorovat tak´e pˇri opakov´an´ı prov´adˇen´ı
libovoln´eho statisticky stabiln´ıho n´ahodn´eho pokusu. Bude-li napˇr. pokus spoˇc´ıvat
v hodu kostkou, pak za pˇredpokladu, ˇze kostka, kterou h´az´ıme je ide´alnˇe symet-
rick´a, lze oˇcek´avat, ˇze s rostouc´ım poˇctem hod˚u n bude relativn´ı ˇcetnost fn(A) jevu
A =”po hodu padne ˇc´ıslo 6”, kol´ısat kolem ˇc´ısla p = 16.
ˇC´ıslo p = P(A) = 16 lze interpretovat jako nastoupen´ı jevu A (tj. pravdˇepodobnost,
ˇze po hodu padne ˇc´ıslo 6). V situaci, kdy kostka nen´ı ide´alnˇe symetrick´a se relativn´ı
ˇcetnosti fn(A) opˇet budou ustalovat kolem nˇejak´eho ˇc´ısla p = P(A), kter´e ovˇsem
m˚uˇze b´yt ne