Modelování a počítačová simulace přednášky

jsou zapojeny paralelně a
touto paralelní kombinací neteče žádný proud, protože je připojena ke vstupu OZ. Není tedy
na ní žádný úbytek napětí (viz obr. 4.22 a). Výstupní napětí se proto nezmění, nahradíme-li
38 FEKT Vysokého učení technického v Brně

tyto rezistory zkratem (obr. 4.22 b). Dostáváme základní zapojení OZ jako invertujícího
zesilovače se zesílením –R
2
/R
1
, takže bude platit
VVV
R
R
U
x
101.
5
50
1.
1
2
1
−=−=−= .
=
a) b)
d)c)
1
R
2
R
3
R
4
R
V1
V15+
V15−
k1
k5
k50
k1
1
R
2
R
3
R
4
R
V15+
V15−
k1
k5
k50
k1
V1V1
1
R
2
R
3
R
4
R
V15+
V15−
k1
k5
k50
k1
1
R
2
R
3
R
4
R
V15+
V15−
k1
k5
k50
k1
V1
V1
V0
V0
V0
x
U
1x
U
2x
U
21 xxx
UUU +=

Obr. 4.21: Řešení obvodu metodou superpozice.
a)
1
R
3
R
4
R
V15+
V15−
k1
k5
k50
k1
V1
V0
1x
U
V0
A0
b)
1
R
3
R
V15+
V15−
k5
k50
V1
VV
R
R
U
x
101.
1
2
1
−=−=
2
R
2
R

Obr. 4.22: K výpočtu napětí U
x1
.
Modelování a počítačová simulace - přednášky 39


Zbývá určit napětí U
x2
v druhém z dílčích obvodů na obr. 4.21 d). Řešení je rozfázováno
na obr. 4.23. Rezistory R
3
a R
4
tvoří nezatížený dělič vstupního napětí 1V. Mají stejné odpory,
takže na každém z nich bude úbytek napětí 0,5 V. Z hlediska výstupního napětí je to
ekvivalentní situaci, kdy na neinvertující vstup OZ je připojen napěťový zdroj o napětí 0,5 V
(viz obr. 4.23 b – princip substituce, příloha P3.3.2). Na obr. b) je však druhé základní
zapojení OZ jako neinvertujícího zesilovače se zesílením 1 + R
2
/R
1
. Pro napětí U
x2
tedy platí:
VVV
R
R
U
x
5,55,0).
5
50
1(5,0).1(
1
2
2
=+=+= .
a)
V15+
V15−
k1
k5
k50
k1
V1
2x
U
V5,0
V5,0
b)
V15+
V15−
k5
k50
V5,0
1
R
2
R
1
R
2
R
VV
R
R
U
x
5,55,0.1
1
2
2
=








+=

Obr. 4.23: K výpočtu napětí U
x2
.
Hledané napětí U
x
z obr. 4.21. a) je podle principu superpozice
VUUU
xxx
5,45,510
21
−=+−=+= .
Další ukázkou nealgoritmické analýzy obvodu s operačním zesilovačem jsou výpočty v
obvodu na obr. 4.24, tzv. zesilovače s T-článkem.
1
R
2
R
3
R
4
R
VU 1,0
1
=
Aµ20
k5
k50
A0
V0
V15+
V15−
Aµ200
Aµ220
V1 V11
VU 12111
2
−=−−=
VU 1,0
1
=
k5
k50
V1

Obr. 4.24: Analýza operační sítě s T-článkem.
Postup analýzy je možné vysledovat z obrázku. V důsledku nulového diferenčního
napětí OZ je celé napětí zdroje 0,1 V současně na rezistoru R
1
= 5 kΩ, kterým proto teče
proud 20 µA. Protože vstupní odpor OZ je nekonečný, teče celých 20 µA do rezistoru
R
2
= 50 kΩ a vytvoří na něm úbytek napětí 1V. Toto napětí se objeví v orientaci uvedené na
obr. b) na R
4
= 5 kΩ, protože „levý“ vývod R
2
je na potenciálu 0 V. Proud tímto rezistorem je
200 µA, přičítá se k proudu rezistorem R
2
a protéká přes R
3
. Úbytek napětí na R
3
proto bude
40 FEKT Vysokého učení technického v Brně

11 V. Výstupní napětí U
2
je dáno záporně vzatým součtem napětí na R
2
a R
3
, tedy –12 V.
Napěťové zesílení ze vstupu na výstup je –120.
Ze způsobu řešení je názorně vidět, že napětí na R
4
nezávisí vůbec na odporu R
4
a je
dáno vzorcem
1
1
2
U
R
R
− .
Čím menší bude odpor R
4
, tím větší proud bude dodávat do rezistoru R
3
a tím větší bude
napětí na R
3
a tudíž i výstupní napětí a zesílení.
Úlohu je možné řešit i jinými cestami. Například je možné T-článek R
2
-R
3
-R
4
podrobit
transfiguraci hvězda-trojúhelník, jak je to ukázáno na obr. 4.25 a). Na výstupní napětí nemá
vliv ani jeden z rezistorů R
24
a R
34
: R
24
je vlastně připojen mezi vstupní svorky OZ, kde je
nulové napětí, takže proud tímto rezistorem neteče a můžeme ho z obvodu odstranit. Rezistor
R
34
je připojen paralelně k výstupní bráně OZ. Zesilovač se chová jako ideální zdroj napětí,
takže výstupní napětí nezávisí na připojené zátěži. Obvod na obr. 4.25 b) je obyčejný
invertující zesilovač se zesílením
120
1
23
1
2
−=−=
R
R
U
U
.
Vezmeme-li v úvahu vzorce pro transfiguraci hvězda-trojúhelník, můžeme vyjádřit
velikost zesílení přímo pomocí původních odporů v obvodu:
1
4
32
32
1
2
R
R
RR
RR
U
U
++
−= .
kR 5
1
kR 600
23
k
R
60
34
k
R
60
24
VU 1,0
1
=
?
2
=U
V15+
V15−
kR 5
1
kR 600
23
VU 1,0
1
=
V15+
V15−
VU
R
R
U 12
1
1
23
2
−=−=
a) b)
Obr. 4.25: Obvod z obr. 4.24 po transfiguraci hvězda – trojúhelník a jeho řešení.
Porovnáním obrázků 4.24 a) a 4.25 b) dospíváme k poznání, že použití rezistoru
s problematicky velkým odporem 600 kΩ jsme obešli třemi rezistory o odporech 50 kΩ, 50
kΩ a 5 kΩ.
Modelování a počítačová simulace - přednášky 41


4.2.6 Analýza setrvačných obvodů s operačními zesilovači VFA
VFA = Voltage Feedback Amplifier = operační zesilovač s napěťovou zpětnou vazbou.
Na obr. 4.26 je schéma aktivního filtru Sallen-Key typu dolní propust. V souladu
s pravidly pro tvorbu náhradních schémat pro střídavý signál (viz příloha P1.4) jsou zdroje
pro napájení operačního zesilovače nahrazeny zkraty, což je znázorněno „uzemněním
pouzdra“ operačního zesilovače. Úkolem je nalézt přenosovou funkci U
2
/U
1
v operátorovém
tvaru, z níž je možné určit kmitočtovou charakteristiku filtru a jeho další vlastnosti (viz
příloha P2.2.3).
1
U
2
U
1
R
2
R
1
C
2
C
k10
n1
n10
k10


Obr. 4.26: Aktivní filtr Sallen-Key typu dolní propust 2. řádu.
Přenosová funkce je charakteristika obvodu určovaná při nulových počátečních
podmínkách. Proto operátorové schéma filtru bude v podstatě stejné jako schéma výchozí,
pouze je třeba při výpočtech uvažovat operátorové reaktance kapacitorů a všechna napětí a
proudy chápat ve smyslu Laplaceových obrazů časových průběhů (viz příloha P2.2).
Máme-li vyjádřit poměr napětí U
2
/U
1
, bude výhodné pokusit se vyjádřit zpětně U
1

pomocí U
2
. Je na tom založený následující postup, jehož výsledky jsou znázorněny na obr.
4.27.

42 FEKT Vysokého učení technického v Brně

1
U
2
U
1
R
2
R
1
C
2
C
V0
A0
A0
2
U
1
U
2
U
1
R
2
R
1
C
2
C
V0
A0
A0
2
U
22
UpC
222
UCpR
1
U
2
U
1
R
2
R
1
C
2
C
V0
A0
A0
2
U
22
UpC
222
UCpR
222
)1( UCpR+
222
UCpR
222
UCpR
2122
UpCCpR
1
U
2
U
1
R
2
R
1
C
2
C
V0
A0
A0
2
U
22
UpC
222
UCpR
222
)1( UCpR+
222
UCpR
2122
UpCCpR
2212
)1( URpCpC +
22121
)1( URpCCpR +


Obr. 4.27: Postupné hledání vztahu mezi U
1
a U
2
s cílem
nalezení přenosové funkce filtru.


Operační zesilovač je zapojen
jako sledovač napětí: jestliže
mezi vstupy OZ je udržováno
nulové napětí, pak napětí mezi
neinvertujícím vstupem a zemí,
tj. napětí na C
2
, musí být
totožné s výstupním napětím.


Proud tekoucí kapacitorem C
2

teče celý i rezistorem R
2

v důsledku nekonečného vstup-
ního odporu IOZ. Jeho velikost
je dána Ohmovým zákonem
v operátorovém tvaru: proud =
napětí.susceptance = U
2
.pC
2
.
Tento proud vyvolá na R
2

napětí R
2
.proud = pR
2
C
2
U
2
.
Napětí na C
1
je stejné jako na
R
2
(protože mezi „pravými“
konci obou prvků je vložen
napěťový sledovač).



Mezi uzlem, který spojuje R
1
,
R
2
a C
1
a zemí je součet napětí
na R
2
a C
2
, tedy (1+pR
2
C
2
)U
2
.
Proud tekoucí C
1
bude
pR
2
C
2
U
2
.pC
1
.





Sečteme-li proudy přes R
2
a C
1
,
dostaneme proud tekoucí R
1
, a
po jeho vynásobení napětí na
R
1
. Součet tohoto napětí
s napětím (1+pR
2
C
2
)U
2
je
napětí U
1
. Takto se nám
podařilo zpětně odvodit napětí
U
1
pomocí U
2
:
Modelování a počítačová simulace - přednášky 43


222212211
)1()1( UCpRUCpRCpRU +++= .
Z této rovnice získáme úpravou hledaný vzorec pro přenosovou funkci filtru:
1)(
1
)(
2122121
2
1
2
+++
==
RRpCCCRRpU
U
pK
a po dosazení číselných hodnot parametrů součástek
942
9
529
1010.2
10
110.210
1
)(
++
=
++
=
−−
pppp
pK .
Přenosová funkce je zdrojem řady informací o analyzovaném obvodu, jak je ukázáno
v příloze P2.2.3. Z odvozené přenosové funkce například vyplývá, že v rámci uvažovaného
modelu je filtr stabilní, že se jedná o obvod 2. řádu, že jeho činitel jakosti je asi 1,58 a
charakteristický kmitočet 5 kHz, s odpovídajícími důsledky na průběh kmitočtové
charakteristiky a odezvy filtru na skokově proměnné signály, apod.
Následující příklad ukazuje, že jednoduchými postupy lze analyzovat i poměrně složité
obvody.
Cílem analýzy bude určení vstupní impedance obvodu na obr. 4.28. Z teorie obvodů je
tento obvod znám jako tzv. Antoniův mutátor.
1OZ
2OZ
1
U
1
I
2
I
3
I
V0
A0
1
R
2
R
3
R
C
4
R
11
IR
23
IR
134
UIR =
V0
A0
A0A0
V0
?
1
1
==
I
U
Z
in
1122
IRIR =
23
3
IR
pC
I
=

Obr. 4.28: Způsob výpočtu vstupní impedance Antoniova mutátoru.
Vstupní impedanci můžeme určit například tak, že vyjdeme z proudu I
1
, analýzou se
dopracujeme k napětí U
1
a poté stanovíme výsledek z vzorce Z
in
= U
1
/I
1
.
Na obr. 4.28 je předběžný rozbor napěťových a proudových poměrů. Protože diferenční
napětí obou OZ je nulové, má to dva zajímavé důsledky. Prvním z nich je, že vstupní napětí
U
1
se „přenese“ na opačný konec mutátoru na rezistor R
4
. Druhým důsledkem je rovnost, až
na polaritu, napětí na R
1
a R
2
a napětí na R
3
a C. Tyto faktory nám spolu s nulovými
44 FEKT Vysokého učení technického v Brně

vstupními proudy umožní snadno vyjádřit napětí na R
4
pomocí proudu I
1
. Protože však napětí
na R
4
je U
1
, dostaneme jeho vydělením I
1
přímo hledanou vstupní impedanci.
Sledujme postup výpočtu nastíněný na obr. 4.28. Proud I
2
bude
1
2
1
2
I
R
R
I = , protože
1122
IRIR = .
Tento proud teče přes R
3
a vyvolá na něm napětí
1
2
1
323
I
R
R
RIR = .
Toto napětí se v naznačené polaritě objeví na kapacitoru C. Proud I
3
tedy bude
1
2
1
3233
I
R
R
pCRIpCRI == .
Průtokem proudu I
3
vznikne napětí na R
4
, které se rovná U
1
. Proto
1
2
1
43341
I
R
R
RpCRIRU == .
Vstupní impedance je tedy
Ω===
−3
2
431
1
1
10.p
R
RRR
pC
I
U
Z
vst
.
Z výsledku je zřejmé, že analyzovaný obvod je vlastně syntetický induktor o impedanci
pL, kde indukčnost
mHC
R
RRR
L 1
2
431
== .
4.2.7 Analýza obvodů se zesilovači OTA
Transkonduktanční zesilovač, neboli zesilovač OTA (Operational Transconductance
Amplifier), se chová na svém výstupu jako zdroj proudu, který je řízen vstupním diferenčním
napětím. Oproti klasickému operačnímu zesilovači se ideální OTA liší v těchto bodech (viz
příloha P5):
1. Chová se jako ideální zdroj proudu, nikoliv jako ideální zdroj napětí.
2. Vstupní diferenční napětí není nulové. Přitom vstupní impedance je opět nekonečná, takže
můžeme zanedbat proudy do vstupů.
CC
U+
CC
U−
A0
d
U
dm
UgI =
A0
+
U
−
U
vysokoimpedanční vstupy
napájecí napětí
proudový výstup

Obr. 4.29: Schématická značka prvku OTA s vyznačenými obvodovými napětími a proudy.
Výstupní proud závisí na vstupním diferenčním napětí podle rovnice
Modelování a počítačová simulace - přednášky 45


dm
UgI = ,
kde g
m
je tzv. transkonduktance (přenosová vodivost). Její velikost je možné nastavit vnějším
řídicím proudem přes pomocnou svorku, čehož se využívá k elektronickému nastavování
parametrů, např. k přelaďování kmitočtových filtrů.
Na obr. 4.30 je zapojení filtru typu dolní propust se dvěma prvky OTA. Pokusme se
určit jeho přenosovou funkci K=U
out
/U
in
.
in
U
out
U
inout
UU −
1d
U
2d
U
1m
g
2m
g
11 dm
Ug
1
C
2
C
1C
U
22 dm
Ug

Obr. 4.30: Aktivní filtr 2. řádu s prvky OTA.

Na obr. 4.30 jsou znázorněny výstupní proudy obou zesilovačů a jejich závislost na
napětích v obvodu. Přenosovou funkci nalezneme hledáním vztahu mezi napětími U
in
a U
out
.
Tento vztah můžeme najít například takto:
1. Vyjdeme z napětí na kapacitoru C
2
, které je rozdílem U
out
-U
in
. Diferenční napětí U
d1
se
liší znaménkem, tedy
U
d1
= U
in
-U
out
.
2. Výstupní proud prvku OTA teče v důsledku nekonečného vstupního odporu druhého
prvku OTA celý do kapacitoru C
1
a vytvoří na něm napětí
U
C1
= pC
1
g
m1
U
d1
= pC
1
g
m1
(U
in
-U
out
).
3. Diferenční napětí U
d2
je rozdílem napětí U
C1
a U
out
:
U
d2
= pC
1
g
m1
(U
in
-U
out
)-U
out
.
4. Výstupní proud druhého prvku OTA teče celý přes kapacitor C
2
a vytváří na něm napětí,
z něhož jsme však vyšli při analýze. Platí tedy rovnice
pC
2
g
m2
U
d2
=U
out
-U
in

a po dosazení
pC
2
g
m2
(pC
1
g
m1
(U
in
-U
out
)-U
out
))=U
out
-U
in
.
5. Smyčka se uzavřela a my můžeme z této rovnice vyjádřit výstupní napětí pomocí
vstupního napětí. Po úpravě bude hledaná přenosová funkce v tvaru
21
21
2
22
21
212
CC
gg
C
g
pp
CC
gg
p
U
U
mmm
mm
in
out
++
+
−= ,
z čehož plyne, že se jedná o pásmovou zádrž.
46 FEKT Vysokého učení technického v Brně

Obdobnou analýzou bychom zjistili, že pokud bychom odebírali výstupní napětí
z kapacitoru C
1
, pak by se zapojení chovalo jako dolní propust.
4.2.8 Analýza obvodů s proudovými konvejory (CCII) a s proudovými operačními
zesilovači (CFA)
Na obr. 4.31 a) jsou schématická značka a principiální model proudového konvejoru II.
generace (CCII – Current Conveyor II), jehož použití je obdobné jako u klasického
operačního zesilovače. Na rozdíl od něj se však konvejor chová jako zdroj proudu. Napětí
mezi vstupy Y a X je udržováno na nulové hodnotě díky tomu, že v interní struktuře konvejoru
působí mezi vstupními svorkami jednotkový zesilovač. Výstupní proud zesilovače je
kopírován proudovým zrcadlem na výstup. Podle orientace výstupního proudu I se proudový
konvejor chová jako neinvertující (tzv. pozitivní) nebo invertující (negativní), což se
vyznačuje příslušným znaménkem za zkratkou CCII.
X
I
1
I
Y
Z
CCII+(-)
CCII+
CCII-
z
x
y
+(-)
CCII+(-)
1
z
x
y
+
CCII+
∞→
T
Z
0→I
+
-
CFA
+
-
CFA
0→I
a) b)

Obr. 4.31: Principiální modely a) proudového konvejoru CCII, b) operačního zesilovače
CFA.
Na bázi CCII+ pracuje tzv. proudový operační zesilovač CFA („Current Feedback
Amplifier“), někdy též nazývaný transimpedanční operační zesilovač (Transimpedance
Amplifier, TIA). Z obr. 4.31 b) vyplývá, že se jedná o pozitivní proudový konvejor
s navazujícím oddělovacím jednotkovým zesilovačem. Protože vstupní odpor tohoto
zesilovače je značný, výstupní proud CCII+ se může uzavírat pouze přes tzv. transimpedanci
Z
T
, tvořenou v prvním přiblížení velkým „svodovým“ odporem a parazitní kapacitou. Napětí
vzniklé průtokem proudu se kopíruje na výstup. Při růstu transimpedance nade všechny meze
teoreticky roste stejně i výstupní napětí, a tedy i napěťové zesílení. Je-li CFA zapojen do
obvodu, v němž působí záporná zpětná vazba, zesílení je regulováno na konečnou hodnotu, a
to jediným možným způsobem – dostavováním proudu svorky X na nulu. Proudové zrcadlo
tuto „nulu“ kopíruje do „nekonečné“ transimpedance.
Připomeneme-li si teorii trpaslíka z operačního zesilovače VFA, který se staral o
doregulovávání vstupního diferenčního napětí na nulu, pak zde působí podobný princip:
výstupní napětí je regulováno tak, aby proud vytékající ze svorky X byl neustále nulový. Proto
se v názvu tohoto zesilovače hovoří o proudové zpětné vazbě.
Modelování a počítačová simulace - přednášky 47


Srovnáme-li ideální zesilovače VFA a CFA z hlediska „vnější“ analýzy, pak mezi nimi
nejsou rozdíly: diferenční napětí je nulové, vstupními svorkami neteče proud, výstupní odpor
je nulový. Proto při analýze obvodů s ideálními operačními zesilovači není nutné rozlišovat,
zda se jedná o součástku typu VFA nebo CFA. Významné rozdíly je však možné zaznamenat
v projevech reálných vlastností těchto obvodů.
Vypočítejme výstupní napětí (mezi svorkou Z a zemí) obvodu na obr. 4.32. Víme, že
napětí mezi svorkami X a Y je nulové. Od toho se odvíjí řešení napěťových a proudových
poměrů, které je znázorněné na obr. 4.32. V důsledku nulového diferenčního napětí je napětí
na R
1
rovno vstupnímu napětí. Ze zdroje je tedy odebírán proud 1V/5 kΩ = 0,2 mA. Ze svorky
X vytéká proud I a jeho „kopie“ teče i výstupu CCII přes R
2
zpět do daného uzlu. Z proudové
bilance
0,2 mA + 2.I = 0
vyplývá, že proud I musí být –0,1 mA. Průtokem přes R
2
se na rezistoru vytvoří úbytek napětí
5V, které se pak v důsledku nulového diferenčního napětí „překopíruje“ s opačným
znaménkem na výstup.
z
x
y
+
CCII+
V1
V0
1
R
2
R
k5
k50
mA2,0
V5
V5−
I
mAI 1,0−=
V1


Obr. 4.32: Analyzované zapojení s pozitivním proudovým konvejorem CCII+.
Kdybychom označili vstupní a výstupní napětí symboly U
1
a U
2
, pak přenos napětí by u
tohoto obvodu vyšel
1
2
1
2
2R
R
U
U
−= .
Jestliže proudový konvejor v daném zapojení nahradíme operačním zesilovačem CFA,
situace se změní, neboť do sumačního uzlu nyní ze vstupu CFA neteče proud (viz obr. 4.33).
Přes rezistor R
2
poteče oproti předchozímu zapojení dvojnásobný proud a vyvolá tudíž
dvojnásobný úbytek napětí.
CFA
V1
1
R
2
R
k5
k50
mA2,0
V0
A0
V10
V10−
V1


Obr. 4.33: Invertující zesilovač s aktivním prvkem CFA.
48 FEKT Vysokého učení technického v Brně

musím nastavit I = 0,
neboli Ix = 0,2mA !!!
V1
1
R
2
R
k5
k50
V15+
V15−
mA2,0
V0
V1
CFA
I
I
x
je dodrženo z principu, mezi vstupy působí
sledovač napětí jako součást obvodu CCII
toho se dosáhne nastavením
výstupního napětí na -10V.

Obr. 4.34: Objasnění funkce obvodu pomocí teorie trpaslíka.
Přenos napětí je dán známým vzorcem
1
2
1
2
R
R
U
U
−= .
Pro úplnost je funkce obvodu z obr. 4.33 vyložena na obr. 4.34 pomocí teorie trpaslíka,
který na rozdíl od zesilovačů VFA nenastavuje nulové diferenční napětí, nýbrž nulový proud
z invertujícího vstupu.
4.2.9 Shrnutí podkapitoly 4.2
Pokud získáte potřebnou zkušenost s „intuitivním“ řešením stejnosměrných obvodů
obsahujících zdroje napětí, proudu a rezistory, pak dokážete vyřešit napěťové a
proudové poměry v jakémkoliv obvodu. Budete k tomu potřebovat pouze toto: aktivní
znalost Ohmova zákona a dvou Kirchhoffových zákonů.
V některých případech vám výrazně usnadní práci znalost některých principů,
platných v lineárních obvodech (ekvivalence, superpozice…) a z nich vyplývajících
pouček a metod. K těm nepraktičtějším patří: metoda zjednodušování sériových a
paralelních kombinací, metoda náhradního zdroje, metoda superpozice, přepočty
napěťových a proudových zdrojů, metoda transfigurace hvězda – trojúhelník.
Řešíte-li obvody s idealizovanými modely operačních zesilovačů typu VFA nebo
CFA, je nutné přidat do arzenálu znalostí jednoduchou poučku o nulovém diferenčním
napětí a nulových vstupních proudech (podrobnosti viz „Intuitivní metoda řešení
obvodů s operačními zesilovači“).
Pro výpočty v obvodech se zesilovači OTA postačí vědět, že se tyto prvky chovají
jako zdroje proudu řízené vstupním napětím a že vstupní odpor je v ideálním případě
nekonečný.
Při řešení obvodů s proudovými konvejory lze doporučit překreslit si celé schéma
zapojení tak, abyste místo schématické značky konvejoru měli před očima jeho vnitřní
náhradní schéma.
Modelování a počítačová simulace - přednášky 49


Zkušenost s řešením obvodů, která je potřebná právě k tomu, abyste dobře porozuměli
tomu, jak tyto obvody fungují, se získává nesnadným, ale logickým způsobem, totiž
jejich „ručním“ řešením. Pokuste se porozumět všem příkladům řešeným
v podkapitole 4.2. V dalším kroku se pokuste o vlastní postupy, tedy o jiné způsoby
řešení než ty, které jsou popsány.
4.3 Maticové algoritmické metody se zaměřením na MMUN

Věnováno mému učiteli Prof. Ing. Josefu Čajkovi, DrSc.


V této kapitole se seznámíme jednak s klasickou metodou uzlových napětí (MUN),
jednak s třemi základními typy jej