Modelování a počítačová simulace přednášky

9
-G
5
. ............................... 91
OBR. 4.70: A) TRANZISTOR JAKO OBECNÝ TROJPÓL, B) JEHO ÚPLNÝ M-C GRAF.................. 92
OBR. 4.71: A) OBVOD S TRANZISTOREM V ZAPOJENÍ SE SPOLEČNÝM KOLEKTOREM, B) M-C
GRAF, C) ZKRÁCENÝ M-C GRAF. ....................................................................................... 92
OBR. 4.72: A) PRVEK OTA, B) JEHO M-C GRAF................................................................... 93
OBR. 4.73: A) FILTR 2. ŘÁDU S PRVKY OTA, B) JEHO ZKRÁCENÝ M-C GRAF. ..................... 93
OBR. 4.74: A) THÉVENINŮV MODEL DVOJPÓLU, B) PŘÍSLUŠNÝ M-C GRAF TYPU „VÁŽKA“.. 94
Modelování a počítačová simulace - přednášky 7


OBR. 4.75: A) ANALYZOVANÝ OBVOD, B) M-C GRAF TYPU „VÁŽKA“. VODIVOSTI JSOU
ZNAČENY ÚSPORNÝM ZPŮSOBEM, NAPŘ. G
234
ZNAMENÁ SOUČET G
2
+ G
3
+ G
4
.................95
OBR. 4.76: A) ZAPOJENÍ S PRVKEM CCII+, B) PŘÍSLUŠNÝ M-C GRAF. .................................97
OBR. 4.77: A) OBVOD SE VZÁJEMNOU INDUKČNOSTÍ, B) PŘÍSLUŠNÝ M-C GRAF...................98
OBR. 4.78: A) CAMPBELLŮV FILTR, B) PŘÍSLUŠNÝ M-C GRAF..............................................98
OBR. 4.79: A) IDEÁLNÍ TRANSFORMÁTOR, B) PŘÍSLUŠNÝ M-C GRAF....................................99
OBR. 4.80: A) OBVOD S IDEÁLNÍM TRANSFORMÁTOREM; R
1
= 10 Ω, R
2
= 8 Ω, C = 20 µF,
I
Z
= 20 A/50 HZ, N
1
= 1420 ZÁVITŮ, N
2
= 150 ZÁVITŮ, N
3
= 80 ZÁVITŮ; B) JEHO M-C
GRAF. .........................................................................................................................100
OBR. 4.81: A) ANTONIŮV MUTÁTOR, B) M-C GRAF ZALOŽENÝ NA METODĚ ZAKÁZANÉHO
ŘÁDKU .........................................................................................................................103
OBR. 4.82: A) ZESILOVAČ S T-ČLÁNKEM, B) M-C GRAF PRO PŘÍPAD IOZ, C) M-C GRAF PRO
ZESILOVAČ S KONEČNÝM ZISKEM. ...................................................................................103
OBR. 4.83: A) ANTONIŮV MUTÁTOR, B) M-C GRAF ZALOŽENÝ NA METODĚ U/I. ...............104
OBR. 4.84: ILUSTRACE K POSTUPU SESTAVOVÁNÍ „EKONOMICKÉHO“ M-C GRAFU OBVODU
Z OBR. 4.83 A)..................................................................................................................105
OBR. 4.85: A) ODPOROVÝ OBVOD. HODNOTY VODIVOSTÍ JEDNOTLIVÝCH REZISTORŮ JSOU (V
[MS]): G
1
= G
4
= G
5
= G
7
= 1, G
2
= G
3
= G
6
= 2, G
8
= 5. B) JEHO VODIVOSTNÍ MATICE. C)
M-C GRAF. D) ZKRÁCENÝ M-C GRAF..............................................................................107
OBR. 4.86: A) FILTR 2. ŘÁDU TYPU „TOW-THOMAS“, B) OBVODOVÁ MATICE, SESTAVENÁ
METODOU ZAKÁZANÉHO ŘÁDKU, C) OBVODOVÁ MATICE SESTAVENÁ POMOCÍ METODY U/I,
D) M-C GRAF SESTAVENÝ NA ZÁKLADĚ METODY ZAKÁZANÉHO ŘÁDKU..........................108
OBR. 5.1: ZJEDNODUŠENÉ DĚLENÍ METOD ANALÝZY NELINEÁRNÍCH OBVODŮ.................109
OBR. 5.2: ANALÝZA STABILIZÁTORU NAPĚTÍ. ZD JE ZENEROVA DIODA 1N3826 O NAPĚTÍ
U
Z
= 5,1 V, D JE „KLASICKÁ“ KŘEMÍKOVÁ DIODA 1N459...............................................110
OBR. 5.3: ANALÝZA STABILIZÁTORU NAPĚTÍ GRAFICKOU METODOU SKLÁDÁNÍ
CHARAKTERISTIK PRVKŮ. ................................................................................................111
OBR. 5.4: A) ZJEDNODUŠENÍ OBVODU Z OBR. 5.2 POMOCÍ THÉVENINOVY VĚTY, B) ŘEŠENÍ
OBVODU METODOU ZATĚŽOVACÍ PŘÍMKY. .......................................................................112
OBR. 5.5: ZJEDNODUŠENÉ MATEMATICKÉ MODELY AMPÉRVOLTOVÝCH CHARAKTERISTIK
DIOD. .........................................................................................................................113
OBR. 5.6: ILUSTRACE K HLEDÁNÍ KOŘENU I
X
NELINEÁRNÍ ROVNICE F(I) = 0 NEWTONOVOU
ITERAČNÍ METODOU.........................................................................................................114
OBR. 5.7: UPRAVENÝ OBVOD Z OBR. 5.2 PO NÁHRADĚ ZDROJE NAPĚTÍ EKVIVALENTNÍM
ZDROJEM PROUDU............................................................................................................115
OBR. 5.8: DVOUCESTNÝ OPERAČNÍ USMĚRŇOVAČ [2.7]. .................................................117
OBR. 5.9: POMĚRY V USMĚRŇOVAČI PŘI VSTUPNÍM NAPĚTÍ A) +0,1V, B) -0,1V. .............118
OBR. 5.10: ANALYZOVANÝ STABILIZÁTOR NAPĚTÍ............................................................119
OBR. 5.11: A) JEDNOSTUPŇOVÝ TRANZISTOROVÝ ZESILOVAČ, B) NÁHRADNÍ SCHÉMA PRO
VÝPOČET STEJNOSMĚRNÝCH POMĚRŮ..............................................................................120

8 FEKT Vysokého učení technického v Brně

Seznam tabulek

TAB. 4.1: CHARAKTERIZACE OBECNÝCH METOD ANALÝZY OBVODŮ. ............................... 23
TAB. 4.2: IDEÁLNÍ ZESILOVAČ NAPĚTÍ, OPERAČNÍ ZESILOVAČ A PROUDOVÝ KONVEJOR
CCII, PŘÍSLUŠNÉ M-C GRAFY A OBVODOVÉ ROVNICE...................................................... 96
TAB. 4.3: METODA ZAKÁZANÉHO ŘÁDKU APLIKOVANÁ NA M-C GRAFY IDEÁLNÍHO
ZESILOVAČE NAPĚTÍ A IOZ.............................................................................................. 101
TAB. 5.1: SROVNÁNÍ ODHADŮ SOUŘADNIC STEJNOSMĚRNÉHO PRACOVNÍHO BODU
S VÝSLEDKY DYNAMICKÉ DC ANALÝZY V MICROCAPU................................................. 121
TAB. P1.1: ZÁKLADNÍ STATICKÉ A DYNAMICKÉ CHARAKTERISTIKY ELEKTRICKÝCH OBVODŮ.
135
TAB. P2.1: PŘEHLED ZÁKLADNÍCH METOD ŘEŠENÍ LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ A MEZÍ JEJICH
POUŽITELNOSTI. .............................................................................................................. 138



Modelování a počítačová simulace - přednášky 9


1 Úvod
Skriptum „Modelování a počítačová simulace – přednášky“ je úvodním studijním
textem stejnojmenného povinného předmětu studijního oboru „Mikroelektronika a
technologie“ tříletého bakalářského studijního programu „Elektrotechnika, elektronika,
komunikační a řídicí technika“. Navazujícími texty jsou pak skripta „Modelování a simulace
– cvičení 1“, v nichž jsou podrobně vysvětleny teoretické i praktické zásady počítačové
simulace, a skripta „Modelování a simulace – cvičení 2“, obsahující sadu příkladů řešených
programem PSpice.
2 Zařazení předmětu ve studijním programu
Předmět „Modelování a počítačová simulace“ je vyučován v letním semestru 2. ročníku
v rozsahu 26 hodin přednášek a 52 hodin cvičení, čemuž odpovídá jeho ohodnocení sedmi
kredity. Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou.
Nejdůležitější předměty 1. ročníku, na které tento předmět obsahově navazuje, jsou
„Elektrotechnika 1“, „Elektrotechnika 2“ a „Elektronické součástky“, z volitelných oborových
předmětů pak „Mikroelektronické praktikum“. Předpokládá se aktivní znalost základních
zákonů a principů teoretické elektrotechniky, metod analýzy lineárních a nelineárních
obvodů, jakož i znalost vlastností a funkce základních elektrotechnických součástek.
Z předmětů zimního semestru 2. ročníku je navazováno zejména na „Analogové
elektronické obvody“ a „Signály a soustavy“. Z teorie signálů je vyžadována znalost
spektrální analýzy a praktických zásad používání algoritmu FFT.
Pokud jde o navazování na předměty Matematika 1-3“, v předmětu „Modelování a
počítačová simulace“ je běžně používán matematický aparát pro popis a analýzu lineárních a
nelineárních elektrických obvodů. To představuje práci se soustavami lineárních
algebraických rovnic a manipulace s těmito soustavami prostřednictvím maticového počtu.
Lineární diferenciální rovnice budou formálně převáděny na algebraické prostřednictvím
operátorového počtu. Nelineární rovnice budou řešeny numerickými iteračními metodami. O
těchto metodách je třeba mít alespoň uživatelský přehled ve smyslu globálního porozumění
mechanismů jejich fungování.
2.1 Úvod do předmětu
Na následujících stranách je velké množství informací z oblasti efektivních metod
analýzy analogových obvodů. Neméně důležité než tyto informace je však jejich „pojivo“,
totiž řetěz řešených příkladů. Tyto příklady vás budou provázet metodami jak „ruční“ analýzy
obvodů, tak i metodami jejich řešení na počítači prostřednictvím simulačních programů.
Jak studovat tento předmět, aby vám studium přineslo do budoucna co největší užitek?
Učební texty předmětu jsou rozděleny do tří vzájemně souvisejících skript. V tomto
skriptu dvou se píše o metodách „ruční“ analýzy „klasických“ i „moderních“ elektrických a
elektronických obvodů. Další dvě skripta jsou věnována počítačové analýze a simulaci. Pro ty
z vás, kteří se chtějí skutečně dobře naučit analyzovat elektronické obvody, doporučuji
10 FEKT Vysokého učení technického v Brně

nepodceňovat úvodní části. Výhodnější je nejprve se učit řešit jednodušší obvody „ručně“, na
základě snahy o pochopení jejich fungování, a teprve pak se věnovat studiu „automatizované“
analýzy na počítači. Studium počítačové simulace je pak velmi efektivní při současném
experimentování na počítači. V této druhé fázi je proto vhodné stáhnout si z Internetu
instalační soubory dále používaných programů spolu s elektronickými výukovými příklady.
Současné simulační programy vesměs pracují na základě modifikované metody
uzlových napětí. Proto je této metodě věnováno hodně prostoru v úvodních kapitolách o
metodách „ruční“ analýzy, hned po heuristických metodách, kterých využívají zejména ti z
nás, kteří rádi řeší problémy „po svém“ tvůrčím využíváním základních zákonů a principů
elektrotechniky. Jsou popsány do podrobností postupy rychlé analýzy obvodů s klasickými i
moderními obvodovými prvky (různé typy operačních zesilovačů včetně transimpedančních a
transkonduktančních, proudové konvejory atd). Metody jsou jednoduchou formou a na
množství příkladů objasňovány jak v maticovém tvaru, tak i ve formě tzv. grafů signálových
toků. Některé uvedené postupy rychlé analýzy dosud nebyly jinde publikovány. To platí i o
poněkud „exotických“ metodách řešení obvodů pomocí grafů signálových toků. Jejich
mistrným zvládnutím lze dosáhnout pozoruhodných efektů, například okamžitým napsáním
výsledku analýzy přímo ze schématu obvodu, tj. bez jakýchkoliv mezivýpočtů.
Po prostudování předloženého učebního textu budete dobře připraveni k zahájení studia
abecedy počítačového modelování a simulace složitých elektronických systémů.
2.2 Vstupní test
Průchod následujícím „autotestem“ vám ukáže, nakolik vaše současné znalosti
odpovídají vstupním požadavkům na úspěšné další studium předmětu. Výsledky jsou uvedeny
v dodatku 6.1.1 na str. 122.
Vyznačte správnou odpověď (ke každé otázce existuje právě jedna):

č. obvod otázka varianty odpovědí
Napětí U
X
je a) 2V, b) 3V, c) 4V, d) -6V
Napětí U
Y
je a) -2V, b) -3V, c) -4V, d)
6V
Proud I
X
je a) I
X
>I
Y
, b) I
X
0.
Je zřejmé, že v čase t = 0 bude kapacitor nabit na určité napětí a že v čase t > 0 bude
přechodný děj záviset i na budicím napětí U. Jde tedy o analýzu úplné odezvy, skládající se
z odezvy přirozené a vynucené (viz příloha P1.3). Protože se jedná o obvod 1. řádu (jedinou
stavovou veličinou je u
c
), pokusíme se nejprve o jednoduché řešení, založené na základních
poznatcích o obvodech 1. řádu. Poté ukážeme obecnější postup využívající operátorového
počtu. Obě metody vyžadují výpočet počátečního napětí na kapacitoru v čase t = 0.

Výpočet počátečního napětí na kapacitoru v čase t = 0

Před sepnutím spínače se obvod nacházel v stejnosměrném ustáleném stavu, kdy do
kapacitoru netekl proud. Počáteční napětí u
c
(0) tedy nalezneme analýzou obvodu na obr. 4.15.
Modelování a počítačová simulace - přednášky 33


Řešení je
Vu
c
3)0( = .
Výsledný odpor působící mezi svorkami baterie je totiž
{[(1 + 1) paralelně 2] + 2} kΩ = 3 kΩ.
Proto proud tekoucí z baterie má velikost 6 V/3 kΩ = 2 mA. Z toho pak lze snadno
odvodit rozložení napětí, které je znázorněné na obr. 4.15.
VU 6=
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
k1
k2
k1 k1
k1
Vu
c
3)0( =
mA2
V1
V2 V2
V2
V1

Obr. 4.15: Rozložení napětí v obvodu z obr. 4.14 před sepnutím spínače.
Zjednodušení obvodu pro t > 0
Pro t > 0, kdy nás zajímá přechodný děj, tj. kdy je spínač sepnut, zkusíme obvod
maximálně zjednodušit. Zjednodušení provedeme tak, že celý obvod vyjma kapacitoru
nahradíme jeho Théveninovým modelem vzhledem k svorkám, k nimž je kapacitor připojen.
Tím převedeme celý problém na jednoduchou úlohu nabíjení kapacitoru ze zdroje přes
rezistor.
C
VU 6=
2
R
3
R
4
R
5
R
k2
k1 k1
k1
Vu
c
3)0( =
?)( =tu
c
n1
a) b)
VU
i
5,4=
Ω= kR
i
8
5
C
?)( =tu
c
Vu
c
3)0( =
n1
Obr. 4.16: Náhrada nesetrvačné části obvodu Théveninovým modelem.
Na obr. 4.16 a) je model obvodu pro čas t > 0, kdy sepnutý spínač vyřazuje z činnosti
rezistor R
1
(není tedy již zakreslen). Na obr. 4.16 b) je Théveninův model příslušného
podobvodu. Vidíme, že kapacitor o kapacitě 1 nF a počátečním napětí 3V je nabíjen ze zdroje
napětí 4,5 V přes rezistor o odporu 5/8 kΩ. Časový průběh nabíjení odvodíme nejprve
„intuitivní metodou“ a posléze pomocí operátorového počtu.
Vraťme se ke konkrétnímu obvodu na obr. 4.16 b). Vstupními údaji jsou:
Vu
C
3)0( = , Vu
C
5,4)( =∞ , sCR
i
µτ 625,010.10.
8
5
93
===
−
.
34 FEKT Vysokého učení technického v Brně

Aplikací výše uvedeného postupu dospějeme k výslednému průběhu, který je na obr.
4.17. Přechodný děj je pro t ≥ 0 popsán rovnicí
],[)1(5,13)(
6
10.625,0
sVetu
t
C
−
−
−+=

Intuitivní metoda řešení přechodných dějů 1. řádu
Co potřebujeme k řešení:
• počáteční hodnotu stavové veličiny
• konečnou – ustálenou hodnotu stavové veličiny
• časovou konstantu přechodného děje τ = RC, resp. L/R.
Postup řešení:
1. Nakreslíme souřadnou soustavu: čas na vodorovné ose, svislá osa je osa stavové
veličiny.
2. V čase t = 0 vyznačíme na svislé ose bod, odpovídající počáteční hodnotě stavové,
resp. jiné analyzované veličiny.
3. Na časové ose vyznačíme bod, odpovídající časové konstantě přechodného děje.
4. Rovnoběžkou s časovou osou vyznačíme úroveň ustáleného stavu.
5. Bodem, odpovídajícím časové konstantě, vedeme kolmici k časové ose, a vyznačíme
její průsečík s úrovní ustáleného stavu.
6. Průsečík spojíme přímkou s bodem, zkonstruovaným v kroku 2. Získáme tečnu
k exponenciální křivce přechodného děje.
7. Přibližně načrtneme exponenciální křivku přechodného děje, vymezenou jejím
počátečním bodem, tečnou v tomto bodě, a úrovní jejího ustáleného stavu.

Křivka přechodného děje je popsána rovnicí:
)1)](0()([)0()(
τ
t
esssts
−
−−∞+= ,
kde s(0) a s(∞) jsou počáteční a ustálená hodnota stavové veličiny.

Poznámka: Popsaný postup je platný i při uvažování jiných obvodových
veličin než “klasických” stavových veličin – napětí na kapacitorech a proudů
induktory. Protože pak není zaručena spojitost těchto veličin v čase 0, je
třeba rozlišovat mezi limitami zleva a zprava s(0-) a s(0+). Popsaný postup
platí při uvažování limit zprava.
Modelování a počítačová simulace - přednášky 35


0 1 2 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
τ
][Vu
c
][ st m


Obr. 4.17: Časový průběh analyzovaného přechodného děje v obvodu z obr.4.14.

Řešení operátorovou metodou
Zapojení z obr. 4.16 b) je převedeno na operátorové schéma na obr. 4.18 (viz příloha
P2.2.1). Zdroj stejnosměrného napětí 4,5 V, působící v obvodu v čase t ≥ 0, je uvažován jako
jednotkový skok násobený hodnotou 4,5 V. V operátorovém schématu je reprezentován
zdrojem, jehož „hodnota“ je Laplaceův obraz tohoto skoku 4,5/p. Kapacitor je nahrazen jeho
operátorovou reaktancí 1/pC, jeho počáteční podmínka u
c
(0) = 3 V je respektována sériovým
zdrojem napětí o Laplaceově obrazu 3/p.
?)( =pU
c
pC/1
p/3
p/5,4
nFC 1=
Ω= kR
i
8
5

Obr. 4.18: Operátorové schéma pro řešení přechodného děje v obvodu z obr. 4.14.
Řešením obvodu z obr. 4.18 dostáváme
τ
τ
1
115,13
1
1
35,43
)(
+
+=
+
−
+=
p
pp
R
pC
pC
pp
pU
i
C
, sCR
i
µτ 625,0== .
36 FEKT Vysokého učení technického v Brně

Po provedení zpětné Laplaceovy transformace obdržíme výsledný časový průběh:
][)(1)]1(5,13[)( Vtetu
t
C
τ
−
−+= ,
který je ve shodě s výsledkem získaným „intuitivní“ metodou.

4.2.5 Analýza odporových obvodů s operačními zesilovači VFA
Je dán obvod s ideálním operačním zesilovačem (ideálním OZ, IOZ) typu VFA
(Voltage Feedback Amplifier) podle obr. 4.19. Úkolem je nalézt velikost výstupního napětí.
1
R
2
R
3
R
4
R
V1
V5,0
V5
V5,4−
V0
V15+
V15−
A0
mA1,0
V1
V0
A0
A0
A0
V15+
V15−
V5,0
V5,0
k1
k5
k50
k1
k5
k1
k1
k50
a) b)

Obr. 4.19: a) Analyzovaný obvod s vyznačením nulového diferenčního napětí a nulových
vstupních proudů operačního zesilovače, b) výsledné rozložení napětí a proudů.
K analýze použijeme „intuitivní“ metodu.

Intuitivní metoda řešení obvodů s ideálními operačními zesilovači
Vychází z tří základních vlastností IOZ:
1. Nekonečný vstupní odpor, jehož důsledkem jsou nulové proudy tekoucí do vstupů.
2. Nekonečné napěťové zesílení, které v kombinaci se zápornou zpětnou vazbou v obvodu
způsobuje nulové diferenční napětí mezi vstupy operačního zesilovače.
3. Nulový výstupní odpor, který způsobuje, že výstup IOZ se chová jako ideální zdroj
napětí. Velikost tohoto napětí tedy nebude záviset na zátěži, připojené k výstupu.
Před použitím této metody je vhodné se přesvědčit, že celková zpětná vazba působící
v obvodu je záporná. Pokud tomu tak není, nelze použít poučku 2 o nulovém diferenčním
napětí.
Postup:
1. Ve schématu vyznačíme, že diferenční napětí IOZ je nulové a že do vstupů
IOZ netečou proudy.
2. Na zbylou část obvodu aplikujeme Kirchhoffovy zákony, Ohmův zákon a
případně další známé teorémy a poučky.
Modelování a počítačová simulace - přednášky 37


Konkrétní řešení vidíme na obr. 4.19 b). Rezistory R
3
a R
4
tvoří nezatížený dělič napětí.
Protože jejich odpory jsou shodné, bude na každém z nich napětí 0,5 V. Napětí 0,5 V musí
být rovněž na rezistoru R
1
jako důsledek nulového diferenčního napětí. Proud rezistorem R
1

vychází z Ohmova zákona 0,1 mA. Celý teče do rezistoru R
2
, protože vstupní odpor IOZ je
nekonečný. Na R
2
vyvolá podle Ohmova zákona úbytek napětí 5 V. Nyní již můžeme podle 2.
Kirchhoffova zákona „sečíst“ napětí na R
2
, diferenční napětí a napětí na R
4
a získáme
výstupní napětí: -5 + 0 + 0,5 = -4,5 V.
„Intuitivní“ metoda řešení obvodů s operačními zesilovači je dovedena téměř
k dokonalosti v tzv. teorii trpaslíka. Podle této teorie je uvnitř každého operačního zesilovače,
který je zapojen ve smyčce záporné zpětné vazby, trpaslík, který neustále sleduje diferenční
napětí a reguluje výstupní napětí IOZ tak, aby diferenční napětí bylo stále nulové. Pohledem
na obr. 4.19 b) zjistíme, že napětí mezi neinvertujícím vstupem IOZ a zemí je trvale 0,5 V.
Toto napětí je nezávislé na činnosti IOZ, protože je nastaveno nezatíženým odporovým
děličem R
3
-R
4
. Jinými slovy, trpaslík se snaží nastavovat napětí mezi invertujícím vstupem a
zemí na 0,5 V. Situace je znázorněna na obr. 4.20.
musím nastavit Ud = 0,
neboli Ux = 0,5 V !!!
a) b)
V1
V5,0
V5,4
d
U
x
U
1
R
2
R
VU
x
5,0=
k5
k50
V1
k5
k50
V15+
V15−
Obr. 4.20: K teorii trpaslíka.

Výpočtem se můžeme snadno přesvědčit, že pokud chce trpaslík nastavit napětí U
x
na
0,5 V, musí nastavit výstupní napětí na -4,5 V.
Pokud se napětí v obvodu mění v čase, má to trpaslík s dostavováním nulového
diferenčního napětí náročnější. Při rychlých změnách signálu již nestačí pružně reagovat.
Operační zesilovač je v podstatě zesilovač nízkofrekvenční.
Obvod z obr. 4.19 a) můžeme vyřešit i jiným než zde uvedeným způsobem, známe-li
základní invertující a neinvertující variantu zapojení zesilovače s OZ (viz příloha P5).
Postup je znázorněn na obr. 4.21. Výstupní napětí U
x
se nezmění, jestliže jediný vstupní
zdroj napětí nahradíme dvěma stejnými zdroji podle obr. b). Na obvod pak aplikujeme princip
superpozice podle obr. c) a d).
Nejprve vyřešíme dílčí obvod na obr. c). Rezistory R
3
a R
4