Přednášky mix

BRR 1 2008/9. Stabilita systémů se zpětnou vazbou
Nyquistovo kriterium stability. Př. 5. Stabilní jsou takové systémy, které se po skončení budícího (vstupního) signálu vrací do původního stavu. Této definici vyhovují takové systémy, jejichž póly přenosové funkce splňují tuto podmínku:
- leží v levé polorovině roviny p (pro spojité systémy)
- leží uvnitř jednotkové kružnice v rovině z (pro diskrétní systémy) Póly přenosové funkce (kořeny polynomu ve jmenovateli) svou polohou určují nejen stabilitu systému. Jsou rozhodující i pro charakter přechodného děje (kmitavý, tlumený, pomalý a pod).
Nazýváme je proto charakteristické póly systému a polynom ve jmenovateli přenosu je charakteristický polynom. Všimněme si, že všechny přenosy systému se zavedenou zpětnou vazbou (přenos řízení, odchylky, poruchy, akční veličiny) mají stejný jmenovatel: kde F0 je přenos otevřeného systému(bez zp.vazby) Pokud je polynom A nejvýše druhého řádu jeho kořeny lze snadno vypočítat a určit tak stabilitu systému
Pozn.: v době masového použití výkonné výpočetní techniky to není problém ani u systémů vyššího řádu. Pro systémy vyššího řádu používáme algebraická kriteria stability, která určují, zda všechny kořeny charakteristického polynomu leží ve stabilní oblasti. Nejpoužívanější jsou kriteria Hurwitzovo a Routh- Schurovo. Algebraická kriteria pro spojité systémy lze použít i pro diskrétní, jestliže provedeme bilineární transformaci, která převede vnitřek jednotkové kružnice na levou polorovinu komplexní roviny w. Bilineární transf.se obvykle používá ve tvaru: Je však třeba mít na paměti, že touto transformací se převede do roviny w pouze jeden list Riemanovy vícelisté plochy. Doporučení: prostudujte proces transformace roviny p do roviny z vzorcem a roviny z do roviny w bilineární transformací. Nyquistovo kriterium stability. Toto kriterium posuzuje stabilitu uzavřeného obvodu podle vlastností frekvenčního přenosu otevřené smyčky. R S e x y w Z přenosu otevřené smyčky F0=RS určíme stabilitu (rozložení kořenů charakt.polynomu):
A=1+F0=1+RS Předpokládejme, že přenos otevřené smyčky je dán poměrem dvou polynomů: M(p) v čitateli je stupně m (má m kořenů, které tvoří nuly)
N(p) ve jmenovateli je stupně n (má n kořenů, které tvoří póly přen.) Dále nechť r pólů leží v pravé polorovině. Otevřený obvod je tedy nestabilní.Zbývajících n-r pólů leží v levé polorovině(jsou „stabilní“). Pro charakt. polynom platí A=1+F0 Pro stabilitu uzavřeného obvodu je nutné, aby všechny kořeny charakt.polynomu, tj. ai ,ležely v levé (stabilní) polorovině. Vysvětlení: obecný bod p nahradíme výrazem což je transformace celé imaginární osy. Jednotlivým výrazům odpovídají vektory, které spojují póly přenosu otevřené smyčky s body na imaginární ose. Při průběhu celé imaginární osy bude změna úhlu tohoto vektoru 1800, jestliže pól leží v levé polorovině (je stabilní) a -1800 jestliže jde o nestabilní pól otevřené smyčky. Protože všechny póly uzavřeného obvodu musí ležet v levé polorovině kdežto r pólů otevřeného obvodu může ležet v pravé polorovině, platí následující věta:
Nechť r pólů otevřeného obvodu leží v pravé polorovině roviny p. Uzavřený obvod bude stabilní, jestliže funkce při průběhu celé imag.osy učiní r oběhů kolem počátku v kladném smyslu (úpravou rovnice R4.1 přesuneme oběhový bod do počátku).
Teorie automatického řízení I. Proporcionální ( P ) regulátor
Integrální ( I ) regulátor
Př.6. Standardní regulátory typu PID. Proporcionální regulátor zesiluje regulační odchylku a takto zesílenou (zejména výkonově) akční veličinou působí na regulovanou soustavu. P- regulátor je tedy většinou tvořen zesilovačem.
Důležité vlastnosti systému s P-regulátorem:
Ustálené odchylky. P regulátor zmenšuje ustálené odchylky, nezajišťuje však jejich nulovost. V konkrétním případě je vždy třeba použitím věty o konečné hodnotě velikost odchylky vypočítat.P regulátor může při nevhodném nastavení způsobit nestabilitu uzavřeného obvodu. I regulátor.
V případě I regulátoru je akční veličina úměrná integrálu regulační odchylky od daného počátku přechodného děje.
I regulátor vnáší do přenosu otevřené smyčky astatismus (pól v počátku, u diskrétních systémů v bodě 1,0). To znamená fázový posun o -900 , tzn.zmenšení zásoby stability. Ustálené odchylky.
I regulátor výrazně zmenšuje ustálené odchylky a to jak při působení řídícího tak poruchového signálu. Pro diskrétní signály se integrace mění v sumaci, takže diskrétní obdobou spojitého I regulátoru je sumátor, který sečítá v daném časovém intervalu naměřené hodnoty reg. odchylky. Chceme-li současně využít výhodných vlastností obou základních typů regulátorů ( P a I) zapojíme je paralelně. Výsledný přenos pak lze napsat v některém z následujících tvarů: Fázový posun se nyní mění od -900 do 0. V čitateli přenosu regulátoru je jeden volitelný kořen(nula), jehož přítomnost lze využít ke vhodné kompensaci pólu v přenosu soustavy. Přenos diskrétního sumačně proporcionálního regulátoru (PS) může být v některém z těchto tvarů: Poznámka: jak se změní význam výše uvedených konstant, jestliže uvažujeme nezpožděnou sumaci (přenos sumačního členu bude násoben z). Nakreslete odezvy na impuls a skokovou funkci). V zájmu dalšího zmenšování ustálených odchylek, by bylo možno uvažovat o použití dvojitého integračního regulátoru (I2). To by však již vedlo k nepřijatelnému zmenšení stability systému (viz Nyquistovo kriterium stability). Z dalších základních dynamických členů má smysl uvažovat o derivačním členu, který způsobuje fázový posun o +900. Při paralelním spojení s P regulátorem bude výsledný přenos Respektive při spojení s P a I regulátorem Posledně uvedený tvar je použitelný pouze tehdy, jestliže kořeny čitatelového polynomu jsou reálné. Uvedené přenosy platí pro ideální derivační člen, jehož realizace je prakticky nemožná. Frekvenčním rozborem lze ukázat, že ideální derivační člen ani není vhodný s ohledem na velké zesílení vysokých frekvencí (šumy a poruchové signály, které se v průmyslovém prostředí vždy vyskytují). Proto se takřka vždy počítá s reálnými derivačními členy. Přenosy PD a PID regulátorů pak jsou: Časová konstanta ve jmenovateli obou přenosů je vždy alespoň o 2 řády menší než časové konstanty v čitateli.
Úkol:
U diskrétních regulátorů se tento problém nevyskytuje. Ukažte proč.
Teorie automatického řízení I. Analýza a syntéza zpětnovazebních regulačních obvodů. Př.7. Při návrhu regulátoru je obvykle nutno splnit několik požadavků: 1. Zajistit dodržení předepsané přesnosti regulace v ustáleném stavu.
Požadované vlastnosti v ustáleném stavu určují zda bude použit P nebo I regulátor a jaké musí být jeho zesílení. 2. Dodržení předepsaných dynamických vlastností z hlediska řízení i poruchy.
Dynamické vlastnosti lze sledovat: v časové oblasti (odezvy), ve frekvenční oblasti (frekv.charakt.), pomocí rozložení pólů a nul přenosových funkcí.
1.Analýza a syntéza zpětnovazebních regulačních obvodů v časové oblasti.
Podle odezvy na typický signál (impulz, skoková změna, funkce lineárně proměnná s časem) posuzujeme: dobu trvání přechodného děje, maximální překmit, tlumení apod.
Dokonalejší posouzení poskytují integrální kriteria regulace, zejména kvadratické kriterium a kriterium ITAE (integral time and error). Kvadratické kriterium je používáno zejména pro možnost relativně snadného analytického výpočtu (metodou Nekolného doplňku Routh-Schurova kriteria stability). Kriterium ITAE obsahuje funkci v absolutní hodnotě a součin dvou funkcí, což je pro analytický výpočet obtížné. Proto se většinou určuje pomocí modelovacích technik s použitím metod pro vyhledávání extrému funkce. Příklad: v reg.obvodě je soustava druhého řádu s jedním pólem v počátku a P regulátor. Určete jaké tlumení bude v tomto systému optimální podle kvadratického kriteria kvality regulace?. Proveďte tentýž výpočet při působení skokové poruchy na vstupu do soustavy. Postup výpočtu kvadratického kriteria kvality regulace metodou Nekolného doplňku. 1.Vypočteme obraz odchylky E(p) 2.Na jmenovatelový polynom obrazu aplikujeme R-Sch kriterium abychom určili stabilitu systému.Koeficienty násobení v jednotl. řádcích označíme ai 3.V případě, že systém je stabilní, pokračujeme v testu:
-sudé koef.čitatele(ve stejném směru jak bylo provedeno u jmenovatele) podtrhneme a od nepodtržených odečteme podtržené koef.jmenovatele, násobené takovým číslem, aby se po přičtení řádku první koef.čitatele rovnal nule.Násobící koeficienty označíme bi . -celý proces opakujeme až do konce analýzy čitatelového polynomu
-hodnotu kvadratického kriteria určuje vzorec Příklad:soustava se dvěma stejnými póly v -1 a I regulátor.
Určete optimální zesílení podle kvadrat.kriteria.(KR=2/3) Kvadrat.opt.odezva systému 2.ř.s I-regulátorem na poruchu
Analýza a syntéza zpětnovazebních regulačních obvodů metodou geometrického místa kořenů (g.m.k.) P 10. Metoda g.m.k. umožňuje sledovat rozložení kořenů charakt. polynomu při změně zesílení v otevřené smyčce. Výchozím podkladem je rozložení nul a pólů přenosu otevřené smyčky. Přenos otevřené smyčky je dán poměrem dvou polynomů: Charakteristická rovnice je: Pro konstrukci kořenového hodografu (dráhy jednotlivých kořenů charakt.rovnice) platí následující soubor pravidel: 1. Počet větví g.m.k. je roven stupni polynomu N(p) ve jmenovateli přenosu otevřené smyčky. Jednotlivé větve začínají pro K0=0 v pólech otevř.sm. a končí (pro nekonečné zesílení) v nulách. Pokud je řád čitatele nižší než řád jmenovatele (nul je méně než pólů) končí některé větve v nekonečnu. 2. G.m.k. je symetrické podle reálné osy. 3. Větve g.m.k., které končí v nekonečnu se blíží k asymptotám, které svírají s kladnou reálnou poloosou úhel, pro který platí 4. Asymptoty protínají reálnou osu v bodě CA , jehož vzdálenost od počátku je kde bj , ai jsou nuly a póly přenosu otevřené smyčky. 5. Bod na reálné ose je součástí g.m.k., jestliže vpravo od něj je lichý počet nul a pólů F0(p). 6. Průsečík g.m.k. s imaginární osou určíme pomocí některého z algebraických kriterií (Hurwitzova, Routh- Schurova).
Dosazením kritického zesílení do redukovaného řádku R-Sch kriteria, který odpovídá polynomu druhého řádu (koeficient u první mocniny je v tom případě roven nule) získáme přímo vztah pro souřadnice průsečíku větví g.m.k. s imaginární osou). Kromě uvedených základních pravidel platí celá řada dalších (tečny větví g.m.k. v komplexních pólech i nulách otevř.smyčky, souřadnice průsečíku g.m.k. s reálnou osou apod.). Pro přesný obraz g.m.k. slouží spec.příkazy v MATLABu. Poznámka:
Podobná pravidla platí i pro tvorbu g.m.k. diskrétních systémů.
1. Úvod.
1.1 Základní pojmy.
Řízení je každé cílevědomé působení na řízený objekt, s cílem dosáhnout předem daného stavu. Pokud takové řízení probíhá automaticky, mluvíme o automatickém řízení.
Automatické řízení se v technické praxi vyskytuje ve dvou hlavních formách:
Sekvenční řízení, kdy řízený systém přechází postupně z jednoho stavu do druhého (dalšího). K přechodu obvykle dochází tehdy, jsou-li splněny určité podmínky. Typickým příkladem je start nebo ukončení nějakého technologického procesu. Kopírka typu xerox je připravena k práci teprve po nahřátí válce; při vypnutí projektoru zhasne lampa ale větrák běží ještě určitou dobu aby nedošlo k přehřátí zbytkovým teplem. Sekvenční automatiky průmyslových celků (npř. energetického bloku) jsou ovšem mnohonásobně složitější a počet stavů, kterými zařízení projde, může jít do desítek tisíců.
Řízení dynamických systémů. V tomto případě je cílem řízení aby daná výstupní (regulovaná) veličina co nejpřesněji sledovala časový průběh dané řídící ( žádané,vstupní) veličiny a to bez ohledu na signálové i parametrické poruchy, které na řízenou soustavu mohou působit. Regulátor, který generuje akční veličinu, působící na soustavu, musí tedy plnit dvě úlohy:
zajistit věrné sledování řízení, což je obtížné vzhledem k časovým zpožděním (obecně vzhledem k dynamickým vlastnostem) řízeného objektu;
kompenzovat poruchy, které mohou na řízený objekt působit tak, aby se jejich vliv na regulované veličině projevil v co nejmenší míře.
V kurzu Řízení a regulace I. se budeme věnovat řízení dynamických systémů, bez ohledu na to, půjde-li o systémy technické, ekonomické či společenské nebo jiné. Důležité je, zda rovnice, popisující vlastnosti řízeného systému mají stejný tvar. Pokud ano, budou odvozené algoritmy řízení platit, ať je fyzická podstata systému jakákoliv.
Regulované soustavy (systémy, objekty) mohou mít jeden vstup a jeden výstup. V tom případě je označujeme názvem SISO systémy (z anglického Single Input-Single Output). Pokud mají více vstupů a více výstupů, mluvíme o MIMO systémech (Multi Input-Multi Output).
V systémech automatického řízení se vyskytují tyto základní veličiny (proměnné):
regulovaná veličina je výstupní veličina řízeného systému (obvyklé značení je y )
řídící veličina, též žádaná hodnota nebo vstupní veličina; hodnota a časový průběh této proměnné určuje jaká má být hodnotu a časový průběh regulované veličiny (obvykle se značí w )
regulační odchylka je rozdíl mezi žádanou hodnotou a regulovanou veličinou (obvykle se značí e , a platí e=w-y )
akční veličina, též regulační veličina, je vstupní veličina regulované soustavy a výstupní veličina regulátoru; obvykle ji značíme u (někdy také x)
porucha je veličina, která působí buď na vstupu, výstupu nebo na libovolném místě regulované soustavy. V praxi může na jednu soustavu působit několik poruch v různých místech. (V rámci tohoto kurzu budeme uvažovat pouze signálové poruchy, parametrické poruchy, čili změny vlastností regulované soustavy budou probírány později). Signálové poruchy obvykle značíme v.
Regulované soustavy mohou mít stálé (časově neproměnné, neboli invariantní) vlastnosti, nebo se jejich vlastnosti mohou v čase měnit. V tomto kurzu se budeme převážně zabývat časově neproměnnými soustavami.
Procesy, probíhající v regulovaných soustavách mohou být popsány buď lineárními, nebo nelineárními rovnicemi. Připomeňme, že lineární je takový systém, u kterého platí následující dvě tvrzení (věty o linearitě):
násobení konstantou; jestliže odezva systému na vstupní signál u(t) je y(t), pak lineární systém odpoví na vstup ku(t) , kde k je konstanta, odezvou ky(t);
princip superpozice; jestliže odezva systému na vstup ui(t) je yi(t), pak pro odezvu lineárního systému na signál platí .
V reálním světě je jen velmi málo systémů, které jsou skutečně lineární. Řada reálných systémů se však - zejména v okolí pracovních bodů - od lineárních systémů odlišuje jen málo a proto je lze s určitou mírou nepřesnosti za lineární považovat. Vzhledem k tomu, že popis i řešení problémů s lineárními systémy je nesrovnatelně jednodušší jež v případě systémů s nelinearitami, omezíme se v tomto základním kurzu na lineární systémy. Při praktické realizaci provedeme nejprve tzv. linearizaci systému, při které nahradíme skutečný systém jeho modelem, který v okolí pracovního bodu s dostatečnou přesností nahradí původně nelineární vztahy lineárními rovnicemi. Linearizovat lze obvykle systémy s tzv. parazitními nelinearitami, které se v systémech vyskytují z důvodu konstrukčních (nasycení, omezení, pásmo necitlivosti, vůle v ozubených převodech, hysterese magnetických materiálů apod). Kromě těchto nelinearit se však v systémech automatického řízení vyskytují i tzv. podstatné nelinearity, často zaváděné úmyslně, které linearizovat obvykle nelze (to se týká zejména prvků s reléovou charakteristikou, které mají pouze dvou nebo tří hodnotový výstup). Nelineární systémy budou náplní dalšího kurzu.
Proces řízení může být realizován různým způsobem a podle toho se systémy řízení rozdělují do několika skupin, z nichž některé jsou považovány za standardní. Rozlišujeme regulátory přímočinné a s pomocnou energií podle toho, zda se k řízení používá pouze energie odebrané z řízené soustavy, nebo ze zvláštního zdroje. Mezi přímočinné regulátory patří jednoduché regulátory v ledničkách, žehličkách, pečících troubách nebo regulátory hladiny či napětí (dobíjení baterie v autech). Jiné dělení může být podle