Přednášky mix

velmi rozdílné konstanty. Jak už bylo řečeno, každé časové konstantě odpovídá pól přenosové funkce (při použití stavového popisu je to vlastní číslo matice zpětných vazeb A). Všechny tyto póly leží v případě spojitého systému na záporné reálné poloose, v případě diskrétního systému na kladné reálné poloose v intervalu 0-1. Čím větší je časová konstanta, tím blíže k počátku (u spojitého systému) nebo blíže k bodu 1 (u diskrétního systému) jí odpovídající pól leží.
Víme, že na dynamiku soustavy mají největší vliv největší časové konstanty. Proto ty póly, které leží nejblíž zmíněným bodům nazýváme dominantní. Často pak při návrhu řídícího algoritmu pracujeme se zjednodušeným modelem soustavy, ve kterém jsou pouze dominantní póly a ostatní zanedbáváme. To je ovšem možné jedině tehdy, když frekvenční vlastnosti celého otevřeného obvodu (tj. včetně regulátoru) jsou takové, že vliv zanedbání malých časových konstant se neprojeví. Prakticky to znamená, že oblast středních kmitočtů, kde tvar frekvenční charakteristiky určuje jak stabilitu, tak dynamické vlastnosti uzavřeného obvodu, je nižší, než oblast, ve které by se projevil vliv přítomnosti oněch zanedbaných konstant.
2.2 Kmitavé soustavy.
O kmitavých soustavách mluvíme tehdy, jestliže se v jejich přenosové funkci vyskytují komplexně sdružené póly. V časových odezvách (impulsní a přechodová charakteristika) se pak vyskytují harmonické funkce typu sin a cos. Pokud kmitavé póly nejsou v přenosové funkci dominantní, nemusí však být kmitavý charakter na časovém průběhu výrazně patrný.
Tak npř. přenosová funkce má komplexní póly a reálný pól . Impulsní odezva, uvedená na obr.14 jasně ukazuje na kmitavý charakter této soustavy, u které oba komplexní póly jsou dominantní. Změníme-li hodnotu časové konstanty stokrát, takže dominantním se nyní stane pól , bude odezva spíše odpovídat soustavě přetlumené (viz.obr.15.). Z průběhu odezvy je ovšem zřejmé, že se jedná o soustavu vyššího řádu (svědčí o tom tvar odezvy v okolí počátku a též nepravidelnosti v sestupové části charakteristiky).
Doporučení:
Modelováním v jazyce MATLAB zjistěte, jaký vliv na tvar impulsní odezvy bude mít změna tlumení kmitavé části soustavy při nezměněné reálné části. Ve výše uvedeném příkladě, je a poměrné tlumení je a=0,5 .Pro dvakrát menší tlumení a stejnou hodnotu reálné části pólů platí
a příslušná přenosová funkce (samotné kmitavé části) pak je
Zopakujme, že u kmitavých článků jsou důležité dva parametry: časová konstanta T a poměrné tlumení a. Přenosová funkce má tvar . Dále jsou definovány tři důležité frekvence:
vlastní frekvence netlumených kmitů, pro kterou platí on.3
vlastní frekvence . Je to frekvence kmitů odezvy a platí pro ni rovnice
resonanční frekvence, která udává frekvenci ve které má frekvenční charakteristika resonanční převýšení. Toto převýšení ovšem vzniká pouze v případě, že poměrné tlumení je menší než 0,7. Pro resonanční frekvenci platí rovnice
.
V soustavách se může vyskytovat i několik kmitavých článků. Celkový charakter soustavy pak záleží tom, který z nich je dominantní, čili ten, jehož póly leží nejblíže reálné osy (případně nejblíže bodu 1 u diskrétních systémů).
2.3 Identifikace regulovaných soustav.
Pro návrh regulátoru potřebujeme obvykle znát matematický model regulované soustavy. Existuje sice několik postupů, které umožňují navrhnout algoritmus řízení bez popisu vlastností soustavy, používáme je však spíše jako krajní řešení v těch případech, kdy formulace matematického modelu je buď nemožná, nebo velmi obtížná. Pro běžné a linearizovatelné soustavy však není obvykle příliš obtížné najít alespoň přibližný popis-model. Lze k němu dospět buď analyticky, tj. formulací příslušných diferenciálních či diferenčních rovnic (na základě fyzikálně chemických dějů, které v soustavě probíhají) nebo experimentálně, měřením statických i dynamických vlastností reálného objektu.
Při tomto způsobu identifikace obvykle používáme pro buzení soustavy některý typický signál. Nejčastěji je to skoková změna, nebo harmonický průběh. Třetí standardní časový průběh, totiž jednotkový impuls, je obtížné realizovat a používá se spíše výjimečně. Použijeme-li skok vstupní veličiny, obdržíme jako odezvu přechodovou charakteristiku. To ovšem platí za předpokladu nulových počátečních podmínek a při absenci poruchových signálů (na soustavu kromě vstupní veličiny nepůsobí žádný jiný signál). Budeme-li soustavu budit harmonickým signálem, jehož frekvenci budeme postupně měnit, můžeme měřit zesílení a fázový posun procházejícího signálu a získat tak jednotlivé body frekvenční charakteristiky.
S ohledem na praktické podmínky lze doporučit:
Měření přechodové charakteristiky je vhodné pro soustavy s předpokládanými časovými konstantami v rozmezí jednotek až tisíců sekund; zapisovače pro takové časové průběhy jsou běžně dostupné a realizace dostatečně věrné skokové změny vstupní veličiny je možná.
Měření s použitím harmonického signálu je vhodné spíše pro rychlejší soustavy, neboť po každé změně frekvence je třeba počkat, až dozní přechodný děj vyvolaný touto změnou. Totéž platí v případě, kdy nejsou zaručeny nulové počáteční podmínky. Nevýhodou frekvenčního měření je nutnost předem odhadnout frekvenční rozsah, ve kterém se dynamické vlastnosti soustavy projeví.
Společnou nevýhodou měření přechodové charakteristiky nebo jednotlivých bodů frekvenční charakteristiky je nutnost izolovat soustavu od jiných signálových vlivů. To je možné jen při vyřazení soustavy z běžného provozu. Existuje i řada tzv. "on-line" postupů, které určují potřebný matematický model na základě dlouhodobého měření vstupních a výstupních hodnot. Nejpoužívanější je metoda minima součtu kvadrátů odchylek. Její princip ukážeme na jednoduchém příkladě.
Předpokládejme, že identifikovaná soustava má diskrétní přenos ve tvaru
(Diskrétní přenos používáme pro jednoduchost vysvětlení). Úkolem identifikace je určit hodnoty parametrů a , b . Vstupní veličina je x(k), výstupní y(k), kde k je krok diskrétního signálu. Z přenosu plyne, že platí následující rovnice:
y(k+1)=ax(k)+by(k). Teoreticky by tedy stačilo (za předpokladu nulových počátečních podmínek a absence vlivu působení poruchového signálu) změřit dvě sobě odpovídající dvojice vstupních a výstupních hodnot. Tím získáme dvě rovnice o dvou neznámých ( a,b), které lze řešit za předpokladu, že matice soustavy rovnic není singulární. To bude splněno, jestliže hodnoty vstupního signálu budou různé. Pokud provedeme větší množství měření, než je nutné pro výpočet neznámých parametrů soustavy, získáme možnost zmenšit vliv nenulových počátečních podmínek i případného poruchového signálu, který si můžeme představit jako chybu prováděných měření. Z teorie signálů je známo, že tento postup bude úspěšný, pokud poruchový signál bude mít určité statistické parametry (npř. nulovou střední hodnotu). Podrobné matematické odvození použitých algoritmů přesahuje rámec tohoto kurzu. Dodejme, že nevýhodou této metody je nutnost předem určit tvar matematického modelu (počet neznámých parametrů v čitateli i jmenovateli přenosu). Podobné metody existují i pro stanovení spojitého přenosu. V programu MATLAB je k dispozici několik modifikací metody minima kvadrátů odchylek.
2.4. Aproximace regulovaných soustav.
Aproximovat, znamená nahradit přesné hodnoty jejich přibližným odhadem. Proces aproximace lze obecně uplatnit na kterýkoliv popis vlastností soustavy:
diferenciální/diferenční rovnici, přesně popisující dynamiku soustavy lze nahradit rovnicí nižšího řádu, nebo jiného tvaru, kterou lze snáze řešit
frekvenční charakteristiku lze ve zvoleném frekvenčním pásmu nahradit charakteristikou jednoduššího systému
časovou odezvu (přechodovou nebo impulsní charakteristiku) nahradíme odezvou některého ze zvolených aproximačních systémů (soustav)
skutečné rozložení nul a pólů nahradíme rozložením, ve kterém budou pouze dominantní póly a nuly.
Poněkud obtížnější je aproximace ve stavovém prostoru, protože jakékoliv zjednodušení znamená přechod z prostoru vyššího rozměru do prostoru nižší dimense (odpovídá snížení řádu popisující diferenciální/diferenční rovnice).
V praxi se nejčastěji aproximuje změřená přechodová charakteristika charakteristikou zvolené aproximační soustavy. Jde-li o přetlumené soustavy (bez kmitavých členů) používají se tyto typy aproximací:
, soustava prvního řádu s dopravním zpožděním
, soustava druhého řádu s různými časovými konstantami
, soustava druhého řádu s dopravním zpožděním
, soustava n-tého řádu se stejnými časovými konstantami.
K rozhodnutí o typu vhodné aproximace je potřebné znát zejména polohu inflexního bodu i a velikost parametrů nazývaných doba průtahu Tu a doba náběhu Tn . Význam jednotlivých parametrů je zřejmý z obr.16. Postup určení parametrů jednotlivých aproximací závisí na tvaru aproximačního přenosu. Pro přenos F1(p) platí T=Tn a d=Tu . Přenos F2(p) a F3(p) je vhodný pro výšku inflexního bodu menší než 0,264. Pro větší hodnoty je vhodné použít aproximaci přenosem typu F4(p). Řád a velikost časové konstanty určuje Tab.1. Uvedené hodnoty se vztahují k normovanému tvaru přechodové charakteristiky, tj. se zesílením k=1. Skutečnou hodnotu zesílení určíme z poměru velikosti vstupního skoku a rozdílu ustálených hodnot výstupního signálu.
Řád n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tu/Tn
0,00
0,104
0,218
0,319
0,410
0,493
0,570
0,642
0,709
Tn/T
1,00
2,718
3,695
4,463
5,119
5,699
6,226
7,144
7,590
Tab.1
O vhodnosti aproximace se lze přesvědčit srovnáním přechodových charakteristik, nebo porovnáním frekvenčních charakteristik (pokud je k dispozici f.ch.skutečné soustavy.
Aproximace dopravního zpoždění.
Dopravní zpoždění nemění tvar procházejícího signálu, pouze jej posunuje v čase. Mezi vstupním a výstupním signálem platí rovnice . Podle věty o posunutí v originále lze přímo určit přenos

Na rozdíl od ostatních dynamických článků tento přenos není vyjádřen poměrem dvou polynomů. Funkci exp však lze vyjádřit pomocí mocninné řady. Zvolíme následující tvar:
V čitateli i jmenovateli jsou nyní polynomy nekonečného řádu. Přenosová funkce dopravního zpoždění má tedy nekonečně mnoho nul i pólů. Použijeme –li pouze omezený počet členů mocninných řad, dopustíme se jisté nepřesnosti. Aproximace Padého polynomy tyto chyby minimalizuje vhodnou volbou koeficientů u jednotlivých mocnin operátoru p. Hodnoty závisí na řádu aproximačních polynomů (tj.na počtu členů mocninné řady). Tak pro třetí řád platí:
a pro aproximační polynomy čtvrtého řádu:
.
Je zřejmé, že platí: pro , kdežto pro je limita rovna +1 pro sudé počty členů (n) aproximace a –1 pro liché. Tato náhrada přenosové funkce dopravního zpoždění je nutná při práci v jazyce MATLAB nebo SIMULINK, pokud se zpoždění vyskytuje ve zpětné vazbě, nebo je v systému více členů s různými hodnotami zpoždění d. Kvalita aproximace stoupá, pokud je v sérii zapojen dynamický článek typu dolnofrekvenční propusti (vyšší frekvence, na kterých se aproximační charakteristika značně liší od skutečnosti, jsou tlumeny).

Tvar.čl.
Spojitá soust.

Teorie automatického řízení I. Analýza a syntéza zpětnovazebních regulačních obvodů ve frekvenční oblasti P8. Analýza ve frekvenční oblasti. Podobně jako v případě Nyquistova kriteria je vhodné posuzovat dynamické vlastnosti uzavřeného obvodu na základě průběhu fr.ch.otevřené smyčky. Definujeme dvě důležité hodnoty:
- zásoba stability v amplitudě (zvýšení zesílení otevřené smyčky, kterým se právě dosáhne mez stability)
- zásoba stability ve fázi(fázový úhel, o který lze změnit fázi frekv.přenosu otevř.obvodu aniž by došlo k nestabilitě uzavřené smyčky). Za optimální obvykle považujeme takový průběh fr.ch. otevřeného obvodu, kdy amplitudová charakteristika protíná osu 0db při nejvyšší frekvenci a dosahuje přitom největší fázové i amplitudové bezpečnosti. Tyto dva parametry odpovídají dvěma požadavkům, které jsme uvedli při analýze v časové oblasti:
- co nejrychlejší přechodný děj
- nejmenší první překmit odezvy na skokovou změnu. Pro podrobnější návrh definujeme tzv.standardní průběh fr.ch.otevřené smyčky:
- v pásmu nízkých frekvencí požadujeme co největší zesílení (nebo přítomnost astatismu co nejvyššího řádu) - ve střední části fr.ch.má amplitudová část fr.ch.protínat osu 0dB pod sklonem -20dB/dek a to co nejdále na obě strany od frekvence řezu - v pásmu vyšších frekvencí, kdy ampl.ch.klesá hluboko pod osu 0dB není průběh fr.ch.podstatný. Všechny uvedené vlastnosti vyplývají přímo ze vztahu pro frekv.přenos řízení: Podobné závěry lze udělat s použitím vztahu pro přenos poruchy: Metoda optimálního modulu.
Tento postup vychází z následující úvahy:
přechodný děj bude optimální, jestliže amplitudová část frekv.přenosu řízení bude mít hodnotu blízkou 1 a nebude mít resonanční překmit.
(Pozn.:viz průběhy u kmitavého článku 2.řádu při různých hodnotách poměrného tlumení). Přenos řízení předpokládáme ve tvaru: Pro druhou mocninu modulu platí tatáž podmínka a není třeba pracovat s odmocninou: Příklad: určete hodnotu optimálního tlumení a pro systém jehož přenos řízení je ve tvaru Optimální tlumení podle metody optimálního modulu je a= 0,7. Porovnejte vlastnosti takto nastaveného systému se systémem kde a= 0,5 (optimum podle kvadratické regulační plochy).
Teorie automatického řízení I. Návrh konstant PID regulátoru Ziegler-Nicholsovou metodou. P 9. Ziegler-Nicholsovu metodu je možno použít při návrhu řízení SISO systémů jestliže: - předem zvolíme regulátor typu PID - je k dispozici reálný systém, nebo jeho dostatečně přesný model Poznámka: Z-N metoda je empirická, vhodná pro pracovníky bez hlubších znalostí teorie zpětnovazebního řízení. Dává středně kvalitní výsledky. Postup:
1. V regulátoru vyřadíme I a D složku (zůstane pouze P) a zesílení nastavíme na mez stability (systém začne kmitat) 2. Takto nastavené zesílení (kritické) označíme Kkr 3. Změříme velikost periody kmitů v systému Tk 4. Provozní hodnoty konstant PID regulátoru nastavíme podle následující tabulky: Přenos regulátoru předpokládáme ve tvaru: Pro jednotlivé konstanty platí:
Typ reg. Kr Ti Td
P 0,5Kkr - -
PI 0,45Kkr 0,85Tk -
PD doladit - 0,12Tk
PID 0,6Kkr 0,5Tk 0,12Tk Podobné vztahy navrhl prof.Takahashi i pro diskrétní regulátory. Poznámka: Z-N metoda je úspěšná zejména u přetlumených soustav bez astatismu. Ve složitějších případech selhává.
Pravidla hodnocení BRR1 v ak.roce 2008/2009.
1. Přednášky jsou nepovinné, ostatní formy výuky povinné
( numerická cvičení, počítačové a ostatní laboratoře)
2. Celkový počet bodů je 100, přiřazení ke klasifikačním stupňům podle stud.předpisů.
3. Rozpis bodového hodnocení:
- závěrečná písemná zkouška 70 bodů
- hodnocení kolektivních příkladů na Cz
(5 x 3 body). 15bodů
Ve Cz jsou studenti rozděleni do podskupin po 7-8 . Za podskupinu odpovídá jmenovaný vedoucí student. Rozdělení do skupin bude provedeno na úvodní přednášce dne 12.2.2009. První Cz pro liché týdny se bude konat dne 23.2., první Cz pro sudé týdny bude 16.2 (bez presentace samostatných prací), první presentace řešení skupin sudých týdnů bude 2.3.2009.V průběhu semestru bude zadáno 5 příkladů. Úkolem je vždy vypracovat příklad, přednést na příštím cvičení kolegům jeho řešení ( max.6 minut) a odevzdat písemné vypracování (1 výtisk za skupinu). Všichni členové podskupiny dostanou stejné bodové hodnocení – pokud vedoucí student skupiny neurčí jinak (max.3 body za příklad). Výše hodnocení závisí na kvalitě vypracování zprávy a na presentaci. Vedoucí skupiny zodpovídá za účast všech jejich členů na vypracování řešení.
- hodnocení 2 individuálních miniprojektů 15 bodů
4. Zápočet se uděluje na základě bodů ze cvičení a hodnocení odevzdaných miniprojektů. V každé výukové formě (Cz i Cp) je nutnou (nikoliv však postačující) podmínkou získání alespoň 8 bodů.
5. Miniprojekty jsou samostatné práce studentů, psané a kreslené ručně. Odevzdání je podmínkou udělení zápočtu, kvalita a dochvilnost odevzdání je hodnocena až 15 body (celkem).
Prof. Ing. Petr Vavřín, DrSc, garant předmětu.