Reálná funkce dvou a více proměnných I

erivaci slo enØ funkce mÆme
z0(t) = z0x x0(t) + z0y y0(t) = e3x+2y 0x (cost)0 + e3x+2y 0y (t2)0 =
= 3e3x+2y ( sint) + 2e3x+2y 2t = e3 cost+2t2(4t 3 sint); t 2R:
CviŁen 2.4.3: VypoŁt te dv ma røzn mi zpøsoby u0(t); kdy
1. u = x=y; kde x = et;y = lnt:
2. u = ln sin(x=py); kde x = 3t2;y = pt2 + 1:
3. u = xyz; kde x = t2 + 1;y = lnt;z = tg t:
4. u = z=px2 + y2; kde x = r cost;y = r sint;z = H a r;H jsou kladnØ reÆlnØ
konstanty.
2.5 TotÆln diferenciÆl funkce
V teorii funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ byl de novÆn pojem diferenciÆlu
df(x) = df(x;h) = f0(x)h funkce f a jeho geometrick v znam. Rovn byl za-
veden diferenciÆl dkf(x;h) = d(dk 1f(x;h)) = f(k)(x)hk; łÆdu k > 1:
TotÆln (œpln ) diferenciÆl funkce dvou prom nn ch je analogi pojmu dife-
renciÆl funkce jednØ prom nnØ.
2.5.1 Pojem totÆln ho diferenciÆlu
Uva ujme funkci f; kterÆ mÆ spojitØ parciÆln derivace prvn ho łÆdu v n jakØm
okol O(A); kde A = [x0;y0]: V jednØ z navazuj c ch kapitol si ukÆ eme, e teŁnÆ
rovina v bod [x0;y0;f(x0;y0)] ke grafu funkce f mÆ rovnici
z = f(x0;y0) + f0x(x0;y0) (x x0) + f0y(x0;y0) (y y0):
Nahrad me-li v bl zkØm okol bodu A funkci f funkc
L(x;y) = f(x0;y0) + f0x(x0;y0) (x x0) + f0y(x0;y0) (y y0);
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 TotÆln diferenciÆl funkce 33
pak mnohdy hovoł me o standardn lineÆrn aproximaci funkce f v okol bodu
A: Zvol me-li v okol O(A) bod B = [x0 + h;y0 + k]; pak pro pł røstek funkŁn ch
hodnot na teŁnØ rovin plat
L(x0 + h;y0 + k) f(x0;y0) = f0x(x0;y0)h + f0y(x0;y0)k:
De nice 2.5.1: MÆ-li funkce f v n jakØm okol O(A) E2 bodu A = [x0;y0]
spojitØ parciÆln derivace, pak v raz
df(A;~u) = f0x(A)h + f0y(A)k
naz vÆme totÆln m diferenciÆlem funkce f v bod A pro vektor pł røstkø
~u = (h;k) nezÆvisle prom nn ch.
4
Pro totÆln diferenciÆl plat tyto døle itØ vztahy:
lim
X!A
f(X) f(A)
df(A;~u) = 1 kde ~u =
~AX;
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
34 Funkce dvou a v ce prom nn ch
lim
~u!(0;0)
f(X) f(A) df(A;~u)
jj~ujj = 0:
Odtud vypl vÆ, e mø eme psÆt
f(X) := f(A) + df(A;~u); kde ~u = ~AX:
TotÆln diferenciÆl funkce tł prom nn ch f(x;y;z) v bod A = [x0;y0;z0] je
pro vektor pł røstkø ~u = (h1;h2;h3) de novÆn analogick m zpøsobem jako
df(A;~u) = f0x(A)h1 + f0y(A)h2 + f0z(A)h3:
Vyu ijeme-li nerovnosti ja1 +a2 +a3j ja1j+ja2j+ja3j, mø eme v tomto pł pad
odhadnout absolutn chybu u it m diferenciÆlu takto:
jf(X) f(A)j := jdf(A;~u)j jf0x(A)j jh1j + jf0y(A)j jh2j + jf0z(A)j jh3j:
Pł klad 2.5.1: Strany trojœheln ku byly zm łeny s płesnost a = 200m
2cm; b = 300m 5cm a œhel jimi sevłen = 60 1000: U it m (totÆln ho)
diferenciÆlu urŁete odhad absolutn a relativn chyby, s jakou bude vypoŁtena
strana c; vyjdeme-li z nam łen ch hodnot a0 = 200m; b0 = 300m; 0 = 60 :
e„en : Strana c = pa2 + b2 2abcos je funkc prom nn ch a;b; a je
dÆn bod A = [200;300; =3]; kde œhel 0 je vyjÆdłen v obloukovØ m łe. Do od-
pov daj c ch jednotek płepoŁ tÆme takØ odchylky h1 = jdaj = 2cm = 0:02m;
h2 = jdbj = 5cm = 0:05m; h3 = jd j = 1000 = 10 =648000; kde jsme pou ili
płevod jednotek 100 = =(180 60 60): Po v poŁtu parciÆln ch derivac c0x;c0y;c0z
pro totÆln diferenciÆl plat nerovnost
jdc(A;(h1;h2;h3))j
= 1pa2
0 + b20 2a0b0 cos 0
(ja0 b0 cos 0jjdaj + jb0 a0 cos 0jjdbj + ja0b0 sin 0jjd j) =
= 1264:575

50 0:02 + 200 0:05 + 200 300
p3
2
10
648000
!
= 1 + 10 + 2:5192264:575 =
:= 0:051
Odhad absolutn chyby vypoŁtenØ dØlky 264:575m strany c je 4c = dc =
0:051m = 5:1cm: Odhad relativn chyby mø eme vyjÆdłit jako
4c
c
:= dc
c
:= 0:051
264:575
:= 1:9 10 4:
Relativn chyba v procentech pak je 0:019%; t.j., 0:19 = (promile).
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 TotÆln diferenciÆl funkce 35
CviŁen 2.5.1: e„enØ pł klady.
VypoŁt te totÆln diferenciÆl df(A;~u), kde ~u = ~AX, pro
1. f(x;y) = cos (2x2 3y), A = [
p
2p2;0],
2. f(x;y) = ln cotg yx, A = [1; 4 ].
e„en :
1: f0x(x;y) = 4x sin (2x2 3y); f0y(x;y) = 3 sin (2x2 3y);
f0x(A) = p ; f0y(A) = 3
p2
2 ;
df(A;~u) = p

x
p
2p2

+ 3
p2
2 (y 0) =
p x + 3p2
2 y +

2p2:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2: f0x(x;y) = 1cotg y
x


1sin2 y
x

yx2 = 2yx2 sin 2y
x
;
f0y(x;y) = 2x sin 2y
x
;
df(A;~u) = 2 (x 1) 2 (y 4 ):
CviŁen 2.5.2: VypoŁt te totÆln diferenciÆl df(A;~u), kde ~u = ~AX, pro
1. f(x;y) = exy cosx, A = [ 6;0],
2. f(x;y) = 1arctg xy, A = [1;1].
CviŁen 2.5.3: U it m totÆln ho diferenciÆlu odhadn te absolutn a relativn
chybu, kterØ se dopust me t m, e vypoŁteme objem ku ele z nam łen ch hodnot
polom ru podstavy r = 20 cm a v „ky v = 30 cm v me-li, e polom r byl zm łen
s płesnost 0:1 mm a v „ka s płesnost 0:3 mm.
2.5.2 TotÆln diferenciÆly vy„„ ch łÆdø
Z oznaŁen totÆln ho diferenciÆlu prvn ho łÆdu df(X;~u) vypl vÆ, e jde o funkci
souładnic bodu X = [x;y] a slo ek pł røstkovØho vektoru ~u = (h;k); t.j., funkci
Łtył prom nn ch x;y;h;k: Budeme-li v„ak pova ovat vektor ~u za konstantn ,
pak g(X) = df(X;~u) je pouze funkc dvou prom nn ch x;y: Płi takto zvolenØm
~u = (h;k) oznaŁme dg(X;~u) jako d2f(X;~u): Pokud mÆ funkce f spojitØ parciÆln
derivace druhØho łÆdu v bod X; pak plat :
d2f(X;~u) =
= dg(X;~u) = @@x
@f(X)
@x h +
@f(X)
@y k

h + @@y
@f(X)
@x h +
@f(X)
@y k

k =
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
36 Funkce dvou a v ce prom nn ch
= @
2f(X)
@x2 h
2 + 2@
2f(X)
@x@y hk +
@2f(X)
@y2 k
2;
co lze psÆt ve tvaru
d2f(X;~u) =
@
@xh +
@
@yk
2
f(X):
Tento zÆpis nÆm umo uje jednoduchØ vyjÆdłen totÆln ch diferenciÆlø
dnf(X;~u) =
@
@xh +
@
@yk
n
f(X)
vy„„ ch łÆdø, kterØ de nujeme "rekurentn rovnic "
dnf(X;~u) = d dn 1f(X;~u) ;
płiŁem płi v poŁtu totÆln ch diferenciÆlø vy„„ ch łÆdø stÆle uva ujeme tent
vektor pł røstkø ~u: DostÆvÆme se tak k de nici.
De nice 2.5.2: MÆ-li funkce f v bod A = [x0;y0] spojitØ parciÆln derivace a
do łÆdu n vŁetn , pak (totÆln m) diferenciÆlem n{tØho łÆdu funkce f v bod
A pro vektor pł røstkø ~u = (h;k) naz vÆme v raz
dnf(A;~u) =
@
@xh +
@
@yk
n
f(A):
4
PoznÆmka: Pro n = 2;3 dostaneme vyjÆdłen
d2f(A;~u) = f00xx(A)h2 + 2f00xy(A)hk + f00yy(A)k2;
d3f(A;~u) = f000xxx(A)h3 + 3f000xxy(A)h2k + 3f000xyy(A)hk2 + f000yyy(A)k3:
CviŁen 2.5.4: VyjÆdłete si sami
d4f(A;~u):
PoznÆmka: Płi v poŁtu totÆln ho diferenciÆlu dkf(A;~u); kde ~u = ~AX; je vhodnØ
postupovat takto:
1. Nejprve vypoŁteme v„echny parciÆln derivace k{tØho łÆdu v pł pustn ch obec-
n ch bodech X = [x;y] (s vyu it m rovnosti sm „en ch parciÆln ch derivac k{tØho
łÆdu).
2. Do takto vypoŁten ch derivac dosad me bod A.
3. U it m binomickØ v ty urŁ me koe cienty ve vyjÆdłen dkf(A;~u) a za vektor
~u = (h;k) dosad me h = x x0; k = y y0:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 TotÆln diferenciÆl funkce 37
Pł klad 2.5.2: Pro funkci f : z = x2y + sinx vypoŁt te
a) d3f(X;~u); kde X = [x;y]; ~u = (h;k);
b) d3f(M;~u); kde M = [0;1]; ~u = ~MX;
c) d3f(M;~u); kde M = [0;1]; ~u = ~MN; N = [0:01;1:001]
e„en : Funkce f(x;y) = x2y + sinx mÆ spojitØ parciÆln derivace v ka dØm
bod prostoru E2: Proto mø eme poŁ tat
d3f(x;y) =
@
@xh +
@
@yk
3
f(x;y) =
= @
3f(x;y)
@x3 h
3 + 3@
3f(x;y)
@x2@y h
2k + 3@
3f(x;y)
@x@y2 hk
2 + @
3f(x;y)
@y3 k
3 =
= f000xxx(x;y)h3 + 3f000xxy(x;y)h2k + 3f000xyy(x;y)hk2 + f000yyy(x;y)k3;
kde
f0x(x;y) = 2xy + cosx; f0y(x;y) = x2;
f00xx(x;y) = 2y sinx; f00xy(x;y) = f00yx(x;y) = 2x; f00yy(x;y) = 0;
f000xxx(x;y) = cosx; f000xxy(x;y) = f000xyx(x;y) = f000yxx(x;y) = 2;
f000xyy(x;y) = f000yxy(x;y) = f000yyx(x;y) = 0; f000yyy(x;y) = 0:
Odtud
f000xxx(0;1) = 1; f000xxy(0;1) = 2; f000xyy(0;1) = 0; f000yyy(0;1) = 0:
Je tedy
a) d3f(X;~u) = f000xxx(x;y)h3 + 3f000xxy(x;y)h2k + 3f000xyy(x;y)hk2 + f000yyy(x;y)k3 =
= cosx h3 + 3 2 h2k + 3 0 hk2 + 0 k3 = cosx h3 + 6h2k;
b) ~u = ~MX = (x;y 1) = (h;k) a tedy
d3f(M;~u) = h3 + 6h2k = x3 + 6x(y 1);
c) ~u = ~MN = (10 2;10 3) = (h;k) a proto
d3f(M;~u) = h3+6h2k = (10 2)3+6(10 2)210 3 = 10 6+6 10 7 = 4 10 7:
CviŁen 2.5.5: Pro zadanou funkci vypoŁ tejte diferenciÆl płedepsanØho łÆdu:
1. f(x;y) = ln (x y); d2f;
2. f(x;y) = x2 cos2 y; d2f;
3. f(x;y) = sin (x 2y); d3f:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
38 Funkce dvou a v ce prom nn ch
2.5.3 Taylorova v ta
Podobn jako u funkce jednØ prom nnØ mø eme płi spln n potłebn ch płedpo-
kladø i u funkce dvou prom nn ch nahradit zadanou funkci polynomem dvou
prom nn ch, kter mÆ s funkc f v danØm bod stejnou funkŁn hodnotu a stejnØ
hodnoty v„ech parciÆln ch derivac a do łÆdu n; kde n je stupe polynomu. Pro
funkci dvou prom nn ch plat toto tvrzen { Taylorova v ta.
Tvrzen : MÆ-li funkce f v bod A = [x0;y0] a n jakØm okol O(A) spojitØ
parciÆln derivace a do łÆdu n+1 vŁetn , pak pro ka d bod X = [x;y] 2 O(A)
plat
f(X) = Tn(f;A;~u) + Rn(f;A;~u);
kde Tn je Taylorøv polynom n{tØho stupn a Rn je zbytek, płiŁem
Tn(f;A;~u) = f(A) + 11!df(A;~u) + 12!d2f(A;~u) + + 1n!dnf(A;~u);
Rn(f;A;~u) = 1(n + 1)!dn+1f( ~A;~u);
kde ~u = ~AX; ~A = A + ~u; 2 (0;1):
Uva ujeme-li bod A = [0;0]; pak pou vÆme term n Maclaurinøv polynom
nam sto Taylorøv polynom, analogicky situaci u funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ.
PoznÆmky ke vzorci:
1. OznaŁ me-li F(t) = f(x0 + th;y0 + tk);
pak F(0) = f(x0;y0); F(1) = f(x0 + h;y0 + k): Pomoc Taylorova vzorce pro funkci
jednØ prom nnØ dostÆvÆme
F(1) = F(0) + 11!F0(0) + 12!F00(0) + + 1n!F(n)(0) + 1(n + 1)!F(n+1)(#);
kde # 2 (0;1): OznaŁ me-li x = x0 + th; y = y0 + tk; pak podle v ty o derivaci slo enØ
funkce plat
F0(t) = f0x(x;y)h + f0y(x;y)k;
F00(t) = f0x(x;y)h + f0y(x;y)k 0x h + f0x(x;y)h + f0y(x;y)k 0y k =
= f00xx(x;y)h2 + 2f00xy(x;y)hk + f00yy(x;y)k2:
Odtud
F0(0) = f0x(x0;y0)h + f0y(x0;y0)k = df(A;~u);
F00(0) = f00xx(x0;y0)h2 + 2f00xy(x0;y0)hk + f00yy(x0;y0)k2 = d2f(A;~u);
kde A = [x0;y0]: Lze odvodit, e plat
F(n)(0) = dnf(A;~u):
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 TotÆln diferenciÆl funkce 39
Dosazen m t chto v razø do v „e uvedenØho Taylorova vzorce pro funkci jednØ pro-
m nnØ obdr me hledan tvar Taylorova polynomu pro funkci dvou prom nn ch.
2. Pro zbytek Rn v Taylorov v t plat vztah
lim
~u!~o
f(X) Tn(f;A;~u)
jj~ujjn = lim~u!~o
Rn(f;A;~u)
jj~ujjn = 0:
Vzorec mø eme interpretovat tak, e zbytek Taylorova polynomu pro ~u !~o konverguje
k nule rychleji, ne n{tÆ mocnina normy vektoru pł røstkø.
Pł klad 2.5.3: Najd te Taylorøv polynom T3(f;A;~u) tłet ho stupn funkce
f(x;y) = x3 3x2 + 3y2 3xy2 + 12xy 9x 11y + 9
pro A = [1;2]; ~u = ~AX. Odhadn te zbytek R3(f;A;~u):
e„en : Ve zjednodu„enØm zÆpisu si vyjÆdł me vzorec Taylorovy v ty jako
f(x;y) := f(A) + df(A;~u) + 12!d2f(A;~u) + + 1n!dnf(A;~u);
kde dpf(A;~u) =

@
@xh +
@
@yk
p
f(A); h = x 1 a k = x 2: Pak
f(x;y) = x3 3x2 + 3y2 3xy2 + 12xy 9x 11y + 9 ) f(1;2) = 0;
f0x(x;y) = 3x2 6x 3y2 + 12y 9 ) f0x(1;2) = 0;
f0y(x;y) = 6y 6xy + 12x 11 ) f0y(1;2) = 1;
df(A;~u) = 0h + 1k = k = y 2:
Podobn
f00xx(x;y) = 6x 6 ) f00xx(1;2) = 0;
f00xy(x;y) = 6y + 12 ) f00xy(1;2) = 0;
f00yy(x;y) = 6 6x ) f00yy(1;2) = 0;
d2f(A;~u) = 0h2 + 2 0hk + 0k2 = 0;
f000xxx(x;y) = 6 ) f000xxx(1;2) = 6;
f000xxy(x;y) = 0 ) f000xxy(1;2) = 0;
f000xyy(x;y) = 6 ) f000xyy(1;2) = 6;
f000yyy(x;y) = 0 ) f000yyy(1;2) = 0;
d3f(A;~u) = 6h3 + 3 0h2k 3 6hk2 + 0k3 = 6(x 1)3 18(x 1)(y 2)2:
V„echny parciÆln derivace ŁtvrtØho łÆdu jsou ji v bod A = [1;2] a jeho okol
nulovØ, proto je
R3(f;A;~u) = 14!d4f( ~A;~u) = 0:
Plat tedy
f(x;y) = 9y 20 3(x 1)(y 2)2 + (x 1)3:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
40 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Nyn uvedeme pł klad ilustruj c vyjÆdłen chyby v Taylorov v t .
Pł klad 2.5.4: Funkci f(x;y) = ex siny nahra te Maclaurinov m polynomem
tłet ho stupn a odhadn te chybu (velikost zbytku).
e„en : Existuj spojitØ parciÆln derivace v okol O([0;0]); h = x 0 = x;
k = y 0 = y; proto
f(x;y) = ex siny j[0;0] = 0;
f0x(x;y) = ex siny j[0;0] = 0; f0y(x;y) = ex cosy j[0;0] = 1;
f00xx(x;y) = ex siny j[0;0] = 0; f00xy(x;y) = ex cosy j[0;0] = 1;
f00yy(x;y) = ex siny j[0;0] = 0;
f000xxx(x;y) = ex siny j[0;0] = 0; f000xxy(x;y) = ex cosy j[0;0] = 1;
f000xyy(x;y) = ex siny j[0;0] = 0; f000yyy(x;y) = ex cosy j[0;0] = 1:
Pak df(0;0) = k = y; d2f(0;0) = 2hk = 2xy; d3f(0;0) = 3h2k y3 = 3x2y y3
a plat
f(x;y) = ex siny = 0+ 11!y+ 12!2xy+ 13!(3x2y y3)+R3 = y+xy+ 12x2y 16y3+R3;
kde
R3 = 14!d4f( x; y) pro 0 < < 1:
Pomoc parciÆln ch derivac
f(4)xxxx(x;y) = ex siny; f(4)xxxy(x;y) = ex cosy; f(4)xxyy(x;y) = ex siny;
f(4)xyyy(x;y) = ex cosy; f(4)yyyy(x;y) = ex siny
ŁtvrtØho łÆdu mø eme odhadnout v absolutn hodnot
jd4f( x; y)j =
= je x sin y x4+4e x cos y x3y 6e x sin y x2y2 4e x cos y xy3+e x sin y y4j =
= e xj((x4 6x2y2 + y4) sin y + 4xy(x2 y2) cos y)j
e x(jx4 6x2y2 + y4j + 4jxjjyjjx2 y2j):
Płi podm nce 0 < < 1 plat e x < e0 = 1 pro x < 0 a e x < ex pro x > 0:
Chybu R3 mø eme proto pro vektor pł røstkø ~u = (h;k) = (x;y) odhadnout
vzorci
jR3j <
1
24 (jx
4 6x2y2 + y4j + 4jxjjyjjx2 y2j) pro x < 0;
1
24e
x (jx4 6x2y2 + y4j + 4jxjjyjjx2 y2j) pro x > 0:
CviŁen 2.5.6: Pro funkci f najd te Taylorøv polynom stupn n v bod A,
kdy
1. f(x;y) = x3 + xy2 3x + 2xy + 1; n = 3; A = [1; 1];
2. f(x;y) = y2x3; n = 2; A = [ 1;1];
3. f(x;y) = cos (x2 + y2); n = 4; A = [0;0]:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kontroln otÆzky
Co rozum me okol m bodu v E2?
Charakterizujte vlastnosti mno in vE2 : mno ina otevłenÆ, uzavłenÆ, ohra-
niŁenÆ, souvislÆ. Co je to oblast v E2?
Kdy konverguje posloupnost bodø (Xn)1n=1 v E2 k bodu A 2E2?
Kdy mÆ funkce f v bod A 2E2 limitu rovnou Ł slu b 2R?
Jak se de nuje spojitost funkce f v bod A 2E2?
Zformulujte Weierstrassovu a Bolzanovu v tu.
Zapi„te limitu, kterÆ urŁuje f0x(x0;y0): ZnÆzorn te geometrick v znam tØto
parciÆln derivace.
Plyne z existence parciÆln ch derivac f0x(x0;y0); f0y(x0;y0) spojitost funkce
f v bod A = [x0;y0]? Zdøvodn te odpov .
Zapi„te f00yy(x0;y0) u it m limity.
Kdy plat , e f00xy = f00yx v oblasti D E2?
Zapi„te Lagrangeovu v tu pro funkci dvou prom nn ch.
Uve te vztahy pro parciÆln derivace 1. łÆdu funkce
F(x;y) = f(u(x;y);v(x;y)) v bod A:
Jak lze geometricky interpretovat totÆln diferenciÆl df(A;~u)?
Uve te vztah pro v poŁet dnf(A;~u):
U it m totÆln ho diferenciÆlu vyjÆdłete Taylorøv polynom n{tØho stupn
funkce f v bod A = [x0;y0]: Co tvrd Taylorova v ta? Uve te płedpoklady
pro jej platnost.
Co je to Maclaurinøv polynom?
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
42 Funkce dvou a v ce prom nn ch
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
V sledky cviŁen , testy ke
zpracovÆn
CviŁen 2.1.2
V sledky uvÆd me ve tvaru nerovnic, z nich je ji mo nØ provØst geometrickØ
znÆzorn n de niŁn ch oborø.
1) 1 + 4k < x2 + y2 < 1 + 4k; k = 0;1;2;::: ,
2) x2 + y2 6y 0 a souŁasn x2 + y2 4y > 0 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.2.1
1. 103 , 2. neexistuje, 3. 8, 4. 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.2.2
1. Funkce f nen spojitÆ v bod A, hodnotu funkce f v bod A staŁ zm nit
na f(1;2) = 45.
2. f(0;0) = 1
3. Funkce f nen spojitÆ v bod A.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.3.1
f0x(A) = 38, f0y(A) = 112
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.3.2
1. f0x(x;y) = 2xy 3yx4; f0y(x;y) = x2y2 + 1x3 ,
D(f) = D(f0x) = D(f0y) = f[x;y] 2E2; x 6= 0;y 6= 0g
2. f0x(x;y) = yx2+y2; f0y(x;y) = xx2+y2 ,
D(f) = D(f0x) = D(f0y) = f[x;y] 2E2; x 6= 0g
3. f0x(x;y) = 1yex=y cosy; f0y(x;y) = ex=y

xy2 cosy siny

,
D(f) = D(f0x) = D(f0y) = f[x;y] 2E2; y 6= 0g
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
44 Funkce dvou a v ce prom nn ch
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.3.3
1. f00xx(x;y) = 2xy(x2+y2)2; f00xy(x;y) = x2 y2(x2+y2)2; f00yy(x;y) = 2xy(x2+y2)2 ,
2. f000xxy(x;y) = 4 sin 2x siny,
3. f000xyy(x;y) = 2x cosxy + yx2 sinxy.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.5.2
1. df(A;~u) = x2 + 6y + 12;
2. df(A;~u) = 8 2 (x + y 2):
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.5.3
V := dV = 8 dm3; VV := 2 = :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.5.5
1. d2f(X;~u) = (h k)2(x y)2;
2. d2f(X;~u) = 2 cos2 y h2 4xsin 2y h k 2x2 cos 2y k2;
3. d3f(X;~u) = cos (x 2y) (h 2k)3:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.5.6
1. T3(f;A;~u) = 2 (x 1)+3(x 1)2 +(y+1)2 +(x 1)3 +(x 1)(y+1)2;
2. T2(f;A;~u) = 1 3(x + 1) + 2(y 1) 6(x + 1)2 6(x + 1)(y 1);
3. T4(f;A;~u) = 1 12(x4 + y4) x2y2:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 TotÆln diferenciÆl funkce 45
Test 1
JmØno a pł jmen :
Adresa:
E-mail:
Telefon:
1. NaŁrtn te kartØzskØ grafy de niŁn ch oborø funkc :
a) z = px y2 ln sin (x + y);
b) z = arccos xx+y:
2. Uka te, e funkce z(x;y) = ln 1p(x a)2+(y b)2 vyhovuje Laplaceov rovnici
z00xx + z00yy = 0:
3. Zjist te, zda funkce
u(x;t) = 12ap te (x b)
2
4a2t ; a 6= 0;
vyhovuje parciÆln diferenciÆln rovnici pro veden tepla u00xx 1a2u0t = 0:
4. VypoŁt te d2f(A;~u); je-li:
a) f : z = arctg x+y1 xy; A = [ 1; 2]; ~u = (dx;dy);
b) f : z = xy A = [x0;y0]; B = [x;y]; ~u = ~AB:
5. Zjist te, zda funkce z(x;y) = x g(y2 x2); kterÆ mÆ spojitØ
parciÆln derivace 1: łÆdu, vyhovuje parciÆln diferenciÆln rovnici
1
xz
0
x +
1
yz
0
y =
1
x2z:
6. Doka te, e funkce u(x;y;z) = x y g(x2 y2 z2) (kde g mÆ spojitØ
parciÆln derivace 1: łÆdu), vyhovuje parciÆln diferenciÆln rovnici
1
2xu
0
x
1
2yu
0
y +
1
zu
0
z =
1
2
1
x2
1
y2

u:
7. UrŁete Taylorøv polynom funkce z = f(x;y) stupn n v bod A; je-li:
a) z = xy; A = [1; 1]; n = 3;
b) z = cosx cosy; A = [ =4; =4]; B = [x;y]; n = 3:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
46 Funkce dvou a v ce prom nn ch
8. UrŁete Maclaurinøv polynom funkce z = f(x;y) stupn n; je-li:
a) z = cosxcosy; n = 2;
b) z = ex ln (1 + y); n = 3:
Tabulka hodnocen
1. a 1.b 2. 3. 4. a 4. b 5. 6. 7. a 7. b 8. a 8. b
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 body
Opravil:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Rejstł k
bod mno iny
hraniŁn , 12
vnitłn , 12
vn j„ , 12
Bolzanova v ta, 17
funkce
dvou prom nn ch, 9
parciÆln derivace, 18
slo enÆ, 26, 27
spojitÆ, 16
totÆln diferenciÆl, 33
Lagrangeova v ta, 29
limita
funkce, 14
posloupnosti, 14
mno ina
ohraniŁenÆ (omezenÆ), 12
otevłenÆ, 12
souvislÆ, 13
uzavłenÆ, 12
oblast, 13
okol bodu
euklidovskØ, 10
prstencovØ, 11
parciÆln derivace
vy„„ ch łÆdø, 24
parciÆln derivace funkce, 18
slo enØ, 29, 30
posloupnost
konvergentn , 14
limita, 14
souvislÆ
mno ina, 13
spojitost funkce, 16
Taylorova v ta, 38
totÆln diferenciÆl
vy„„ ch łÆdø, 36
totÆln diferenciÆl funkce, 33
uzÆv r
oblasti, 13
uzÆv r mno iny, 12
v ta
Bolzanova, 17
Lagrangeova, 29
Taylorova, 38
Weierstrassova, 17
Weierstrassova v ta, 17
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
48 REJST ˝K
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Literatura
[1] Anton H., Calculus with Analytic Geometry, John Wiley, 1995.
[2] Brabec J., Hrøza B., MatematickÆ anal za II, SNTL, Praha 1986.
[3] ¨ermÆkovÆ H. a kolektiv, Sb rka pł kladø z matematiky II, VUT, FAST,
CERM, Brno 2003.
[4] Do„lÆ Z., Do„l O., DiferenciÆln poŁet funkc v ce prom nn ch, Masarykova
univerzita, Pł rodov deckÆ fakulta, Brno 1999.
[5] DrÆbek P., M ka S., MatematickÆ anal za II, ZÆpadoŁeskÆ univerzita v Plzni,
Fakulta aplikovan ch v d, Plze 1999.
[6] Elia„ J., HorvÆth J., Kajan J. Zbierka œloh z vy„„ej matematiky, 3. Łas», Alfa,
Bratislava 1971 (2. vydanie).
[7] Ivan J., Matematika II, Alfa, Bratislava 1989.
[8] KarÆsek J., Matematika II, VUT, FSI, CERM, Brno 2002.
[9] KluvÆnek J., Mi„ k L., 'vec M., Matematika I, SVTL, Bratislava 1959.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||